人教版九年级下册26.1.1 反比例函数教学设计

这是一份人教版九年级下册26.1.1 反比例函数教学设计，共26页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

26．1.1 反比例函数
教师备课 素材示例
●置疑导入 武汉至成都的高速公路全程约1 176 km，某人开汽车要从武汉到成都，该汽车的平均速度v(km/h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1 176，则t＝ eq \f(1 176,v) ，t和v之间是什么关系呢？是一次函数或正比例函数关系吗？
【教学与建议】教学：设计生活中的常见问题，让学生认识到反比例关系在实际生活中普遍存在，尽快地进入学习状态．建议：通过具体问题中的数量关系抽象出数学概念，让学生领会到反比例函数作为一种数学模型在实际问题中的应用．
●归纳导入 1.实验中学要种植一块面积为1 200 m2的矩形草坪，草坪的长为y m，宽为x m，用含x的代数式表示y是__y＝ eq \f(1 200,x) __．
2．一个游泳池的容积为1 800 m3，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m3/h)的变化而变化，用含v的代数式表示t是__t＝ eq \f(1 800,v) __．
3．已知某市的总面积为1.205×103 km2，人均占有面积S(单位： km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化，用含n的代数式表示S是__S＝ eq \f(1.205×103,n) __．
【归纳】一般地，形如y＝ eq \f(k,x) (k为常数，且k≠0)的函数称为__反比例__函数．
【教学与建议】教学：根据题意列出函数解析式，认识并归纳反比例函数概念．建议：学生自己练习，然后教师引导学生分析反比例函数关系的概念及模型，感受从特殊到一般的思想．
*命题角度1 反比例函数的概念
反比例函数常见的三种形式：①y＝ eq \f(k,x) (k≠0)；②y＝kx－1(k≠0)；③xy＝k(k≠0).
【例1】下列函数解析式中不是反比例函数的是(C)
A．y＝ eq \f(1,2x) B．y＝2x－1 C．y＝ eq \f(x,2) D．y＝ eq \f(2,x)
【例2】如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系的说法中，正确的是(B)
A．两条直角边成正比例 B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例 D．一条直角边与斜边成反比例
*命题角度2 确定未知字母的值或取值范围
根据反比例函数的定义，求解析式中未知字母的值或取值范围．
【例3】已知反比例函数的解析式为y＝ eq \f(|a|－3,x) ，则a的取值范围是(C)
A．a≠3 B．a≠－3 C．a≠±3 D．a＝±3
【例4】已知函数y＝(k＋1)xk2－5是反比例函数，且正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k的值为__2__．
*命题角度3 确定反比例函数的解析式
由反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)定义可知，只需一对满足解析式的x，y的对应值即可求得k的值确定其函数解析式．
【例5】若点A(4，－2)关于y轴对称的点为B，则经过点B的反比例函数的解析式为(D)
A．y＝8x B．y＝－ eq \f(8,x) C．y＝－8x D．y＝ eq \f(8,x)
【例6】已知反比例函数的图象y＝ eq \f(k,x) 经过点(－2，2)，则k＝__－4__.
*命题角度4 建立反比例函数模型
根据对常见几何图形的面积、物理学或实际生活中的一些成反比例关系的知识，建立反比例函数模型．
【例7】已知甲、乙两地相距20 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：h)关于行驶速度v(单位：km/h)的函数关系式是(B)
A．t＝20v B．t＝ eq \f(20,v) C．t＝ eq \f(v,20) D．t＝ eq \f(10,v)
【例8】计划修建铁路1 200 km，那么铺轨天数y(单位：天)是每日铺轨量x(单位：km)的反比例函数吗？解：因为__y＝ eq \f(1 200,x) __，所以y是x的反比例函数．
高效课堂 教学设计
1．正确理解反比例函数的概念及解析式．
2．能够将现实生活中的情景问题转化成数学中的反比例函数解析式．
▲重点
正确理解并掌握反比例函数的概念．
▲难点
确定实际问题中反比例函数的解析式．
◆活动1 新课导入
1．上小学时我们曾经学过速度v、时间t与路程s之间满足vt＝s，如果路程s一定，那么随着速度v的增加，时间t减少．这两个量之间的关系叫做反比例关系．
2．一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有__唯一的值__与它对应，我们就称y是x的__函数__．其中，x是自变量，y是因变量．
◆活动2 探究新知
1．教材P2 思考．
提出问题：
(1)在问题(1)，(2)，(3)中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的自变量与因变量分别是什么？根据问题，你能分别列出它们的解析式吗？
(2)观察所列出的三个函数关系式，它们有何共同特征？
(3)在y＝ eq \f(k,x) 中，x＝0行吗？为什么？
学生完成并交流展示．
2．两个变量x和y的乘积等于－6，用函数关系式表示出来是__y＝－ eq \f(6,x) __．
提出问题：
(1)y＝－ eq \f(6,x) 还可以表示成哪几种形式？试试看；
(2)请给反比例函数下个定义．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，形如y＝ eq \f(k,x) (k为常数，k≠0)的函数，叫做__反比例函数__．
2．反比例函数常见的三种形式：①y＝ eq \f(k,x) ；②xy＝k；③y＝kx－1.
◆活动4 例题与练习
例1 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)y＝ eq \f(4,x) ；(2)y＝－ eq \f(1,2x) ；(3)y＝1－x；(4)xy＝1；(5)y＝ eq \f(x,2) .
解：(1)是，k＝4；(2)是，k＝－ eq \f(1,2) ；(3)不是；(4)是，k＝1；(5)不是．
例2 教材P3 例1.
例3 当m为何值时，下列函数是反比例函数？
(1)y＝－ eq \f(1,2x3m－1) ；(2)y＝(2－m)xm2－5.
解：(1)由3m－1＝1，得m＝ eq \f(2,3) ；
(2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－5＝－1，,2－m≠0，)) 得m＝－2.
练习
1．教材P3 练习第1，2，3题．
2．下列函数中反比例函数有(C)
①xy＝ eq \f(1,2) ；②y＝3x；③y＝－ eq \f(2,5x) ；④y＝ eq \f(2k,x) (k为常数，k≠0)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m＝__－1__，此函数的解析式是__y＝－ eq \f(2,x) __.
4．已知y与x－1成反比例，且当x＝ eq \f(1,2) 时，y＝－ eq \f(1,3) .
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当y＝ eq \f(1,6) 时，求x的值．
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝ eq \f(k,x－1) .∵当x＝ eq \f(1,2) 时，y＝－ eq \f(1,3) ，∴k＝ eq \f(1,6) ，∴y＝ eq \f(1,6（x－1）) ，即y关于x的函数解析式为y＝ eq \f(1,6（x－1）) ；
(2)当y＝ eq \f(1,6) 时，则有 eq \f(1,6) ＝ eq \f(1,6（x－1）) ，解得x＝2.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．反比例函数的概念．
2．反比例函数的解析式．
1．作业布置
(1)教材P8 习题26.1第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
教师备课 素材示例
●类比导入 1.一次函数和二次函数的图象分别是什么？
2．请分别画出y＝2x与y＝x2＋1的图象．
3．类比一次函数和二次函数图象的画法，你能画出反比例函数y＝ eq \f(4,x) 的图象吗？
【教学与建议】教学：通过对一次函数和二次函数的图象以及画函数图象的知识的回顾，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：教学强调画函数图象的一般步骤“列表、描点、连线”及注意点“光滑的曲线”．
●复习导入 1.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是__一条直线__，当k>0时，图象在__第一、三__象限；当k<0时，图象在__第二、四__象限．
2．画二次函数、一次函数图象的一般步骤是：__列表__、__描点__、__连线__．
3．反比例函数常见的三种形式是__y＝ eq \f(k,x) __，__y＝kx－1__，__xy＝k__，其中k是__常数__且__k≠0__．
【教学与建议】教学：复习一次函数的图象和性质，进而探索反比例函数的图象和性质．建议：先自主学习，再小组讨论归纳．
*命题角度1 考查反比例函数图象所在的象限
反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象所在象限由k的正负决定，当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限．
【例1】反比例函数y＝ eq \f(2,x) 的图象位于(A)
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
【例2】反比例函数y＝－ eq \f(k2＋1,x) 的图象大致是(B)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
*命题角度2 确定待定字母的值或取值范围
反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象在第一、三象限时，k>0；反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象在第二、四象限时，k<0.
【例3】若反比例函数y＝ eq \f(2,x) 的图象过点(a，b)，则ab＝__2__．
【例4】已知反比例函数y＝ eq \f(4－k,x) .
(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k__<4__；
(2)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k__>4__．
*命题角度3 考查在同一平面直角坐标系中不同函数图象的位置
解决同一平面直角坐标系中两种函数图象共存的问题，根据函数解析式中字母的正负来判断．
【例5】函数y＝kx－k与y＝ eq \f(k,x) 在同一直角坐标系中的图象可能是(D)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
【例6】函数y＝－ eq \f(2,|x|) 的大致图象是(D)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
*命题角度4 考查反比例函数图象的增减性
解决反比例函数图象的增减性问题，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【例7】在反比例函数y＝－ eq \f(2,x) 图象上有三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1<0A．y3C．y2【例8】如图是三个反比例函数图象的分支，则k1，k2，k3的大小关系是__k1高效课堂 教学设计
1．进一步熟悉作函数图像的步骤，能够作出反比例函数的图象．
2．通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象和性质．
▲重点
反比例函数的图象及其性质．
▲难点
反比例函数图象与性质的灵活应用．
◆活动1 新课导入
1．正比例函数y＝kx的图象是__一条直线__，当k＞0时，图象在__第一、第三__象限；当k<0时，图象在__第二、第四__象限．
2．请分别画出y＝2x与y＝－2x的图象．
3．如何用描点法画一个函数的图象．
◆活动2 探究新知
1．教材P4 例2.
提出问题：
(1)我们知道，正比例函数y＝kx的图象是一条直线，那么反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象是什么形状呢？你能用“描点”的方法画出反比例函数y＝ eq \f(6,x) 和y＝ eq \f(12,x) 的图象吗？
(2)观察y＝ eq \f(6,x) 与y＝ eq \f(12,x) 的图象，图象在向下、向上延伸时，会与x轴、y轴相交吗？为什么？
(3)教材P5 思考．
学生完成并交流展示．
2．教材P5 探究
提出问题：
(1)请仿照P4 例2画出函数y＝－ eq \f(6,x) 与y＝－ eq \f(12,x) 的图象；
(2)观察你所画出的图象，你能发现它们的共同特征以及不同点吗？每个函数的图象分别位于哪几个象限？在每个象限内，y随x的变化情况如何？
(3)反比例函数是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
一般地，反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象是双曲线，它具有以下性质：
(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于__第一、第三__象限，在每一个象限内，y随x的__增大__而__减小__；
(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于__第二、第四__象限，在每一个象限内，y随x的__增大__而__增大__；
(3)反比例函数的图象是轴对称图形，直线__y＝x__和y＝－x是它的对称轴；它也是__中心对称__图形，对称中心是__坐标原点__．
◆活动4 例题与练习
例1 已知反比例函数y＝(m－1)xm2－3的图象在第二、第四象限，求m的值，并指出在每个象限内，y随x的变化情况．
解：∵y＝(m－1)xm2－3是反比例函数，∴m2－3＝－1，且m－1≠0，∴m＝± eq \r(2) .又∵图象在第二、第四象限，∴m－1<0，∴m＝－ eq \r(2) .在每个象限内，y随x的增大而增大．
例2 已知反比例函数y＝ eq \f(1－2m,x) (m为常数)的图象在第一、第三象限．
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)，求出该反比例函数的解析式；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)都在该反比例函数的图象上，且x1>x2>0，则y1和y2有怎样的大小关系？
解：(1)由题意，得1－2m>0，解得m< eq \f(1,2) ；
(2)∵四边形ABOD为平行四边形，A(0，3)，B(－2，0)，∴AD∥OB，AD＝OB＝2，∴点D的坐标为(2，3).将D(2，3)代入反比例函数y＝ eq \f(1－2m,x) ，得1－2m＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为y＝ eq \f(6,x) ；
(3)y1练习
1．教材P6 练习第1，2题．
2．已知一次函数y＝x－b与反比例函数y＝ eq \f(2,x) 的图象有一个交点的纵坐标是2，则b的值为__－1__．
3．已知反比例函数y＝ eq \f(3k－9,x13－k2) 的图象在其所在的象限内，y随x的增大而减小，求k的值．
解：由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3k－9>0，①,13－k2＝1，②)) 由①，得k>3，由②，得k＝±2 eq \r(3) ，综合①②得k＝2 eq \r(3) .
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．反比例函数的图象．
2．反比例函数的图象和性质．
1．作业布置
(1)教材P8 习题26.1第3，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 反比例函数图象和性质的综合运用
教师备课 素材示例
●复习导入 反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象是__双曲线__．
(1)当k>0时，图象的两支分别位于__第一、第三__象限，在每一个象限内，y随x增大而__减小__．
(2)当k<0时，图象的两支分别位于__第二、第四__象限，在每一个象限内，y随x增大而__增大__．
【教学与建议】教学：通过对反比例函数的图象与性质的回顾，为本课更深入探讨反比例函数的性质及综合应用奠定基础．建议：提问为什么要强调“在每一个象限内”讨论函数图象的增减．
●类比导入 填表分析正比例函数和反比例函数的区别．
【教学与建议】教学：类比导入，为本课时探究综合应用反比例的图象和性质奠定基础．建议：分小组讨论后再填表．
*命题角度1 反比例函数解析式、图象性质
反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k为常数，k≠0)的图象上任取一点(x1，y1)，则k＝x1y1.
【例1】已知反比例函数y＝ eq \f(k,x) 经过点(2，－2)和(m，1)，则m的值是(C)
A．2 B．1 C．－4 D．4
【例2】已知点P(3，－2)在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)的图象上，则k＝__－6__；在第四象限内，函数值y随x的增大而__增大__．
*命题角度2 考查反比例函数的比例系数k的几何意义
由双曲线y＝ eq \f(k,x) 上的任意一点向两坐标轴引垂线，所构成的矩形的面积为定值|k|，这一点与一个垂足及原点所确定的三角形的面积为定值 eq \f(1,2) |k|.
【例3】如图，点B在反比例函数y＝ eq \f(2,x) (x>0)的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则△OAB的面积为(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】如图，根据图象写出反比例函数的解析式为__y＝－ eq \f(2,x) __．
*命题角度3 反比例函数与几何图形的综合
反比例函数与几何图形的综合，解题的方法是综合利用函数、方程、几何性质进行解题．
【例5】如图，在反比例函数y＝ eq \f(2,x) (x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝__ eq \f(3,2) __．
【例6】如图，点A是反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为__－6__．
*命题角度4 一次函数与反比例函数的综合应用
反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是抓住函数图象的交点坐标与线段长度的关系，活用待定系数法求解析式，活用面积公式和图形特点，将不等式、函数、方程(组)、几何图形结合起来解决问题．
【例7】如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝ eq \f(m,x) (m为常数且m≠0)的图象都经过点A(－1，2)，B(2，－1)，结合图象，则不等式kx＋b> eq \f(m,x) 的解集是(C)
A．x<－1 B．－1C．x<－1或02
【例8】如图，已知直线y1＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y2＝ eq \f(k2,x) 的图象相交于A(－2，m)，B(1，n)两点，连接OA，OB.给出下列结论：①k1k2<0；②m＋ eq \f(1,2) n＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④由图象知y1>y2时，x的取值范围是x<－2或0高效课堂 教学设计
1．分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题．
2．体会数学与现实生活的紧密性，体会数形结合的数学思想．
3．培养学生运用代数方法解决实际问题的能力．
▲重点
灵活运用反比例函数性质解决问题．
▲难点
反比例函数的图象和性质的综合应用．
◆活动1 新课导入
1．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－ eq \f(3,x) 上，则y1，y2的大小关系为__y1>y2____．
2．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y2>y1>y3____．
3．点A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)在双曲线y＝ eq \f(k,x) (k>0)上，试确定a，b，c的大小关系为__c>a>b__．
◆活动2 探究新知
1．教材P7 例3.
提出问题：
(1)点A(2，6)在第几象限？因为反比例函数的图象经过点A(2，6)，所以这个函数图象的两支分别位于第几象限？在每一个象限内，y随x的增大而怎样变化？
(2)对于第(1)问，还有其他的解答方法吗？要判断函数的性质，我们首先可以求反比例函数的解析式？求反比例函数的解析式一般用什么方法？请同学们试着用待定系数法求出这个函数的解析式，并根据该函数的图象和性质解答第(1)问；
(3)我们如何判断点在不在函数的图象上？
学生完成并交流展示．
2．教材P7 例4.
提出问题：
(1)反比例函数图象的分布有哪几种可能？由图可知这个函数的图象的一支位于第几象限？所以另一支必位于第几象限？怎么求常数m的取值范围？
(2)要比较y1和y2的大小，可以根据反比例函数的什么来解答？因为m－5>0，所以这个函数的性质是什么？因此当x1>x2时，y1和y2有怎样的大小关系？
(3)第(2)问除了课本上的解答方法，还有其他方法吗？请同学们试着用图象法或数形结合法比较y1和y2的大小．
学生完成并交流展示．
3．(1)如图①，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，连接PO.若S△PAO＝8，则这个反比例函数的解析式是__y＝－ eq \f(16,x) __；
(2)如图②，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形PAOB的面积为12，则这个反比例函数的解析式是__y＝－ eq \f(12,x) __．
(3)由(1)(2)你有什么发现？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
已知反比例函数的图象经过点A(a，b)(其中a≠0，b≠0)，可求出这个反比例函数的解析式．解题步骤如下：
(1)设这个反比例函数的解析式为__y＝ eq \f(k,x) __；(2)把x＝__a__，y＝__b__代入这个反比例函数的解析式，解出__k＝ab__；(3)所求的反比例函数为__y＝ eq \f(ab,x) __；(4)过点A作x轴，y轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积S＝__|k|__．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ eq \f(m,x) 的图象相交于A，B两点．
(1)根据图象，写出点A，B的坐标；
(2)求出两函数的解析式；
(3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
解：(1)A(－6，－2)，B(4，3)；
(2)把B(4，3)代入y＝ eq \f(m,x) ，得3＝ eq \f(m,4) ，∴m＝12，∴y＝ eq \f(12,x) .把A(－6，－2)，B(4，3)代入y＝kx＋b，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6k＋b＝－2，,4k＋b＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝1.)) ∴一次函数解析式为y＝ eq \f(1,2) x＋1；
(3)由图象可知，当－64时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
例2 如图，已知反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k>0)的图象经过点A(1，m)，过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1.
(1)求m，k的值；
(2)若一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围．
解：(1)由已知，得S△AOB＝ eq \f(1,2) ×1×m＝1，解得m＝2，把A(1，2)代入y＝ eq \f(k,x) ，得k＝2；
(2)由(1)知反比例函数解析式是y＝ eq \f(2,x) ，则 eq \f(2,x) ＝nx＋2有两个不同的解，方程去分母，得nx2＋2x－2＝0，则Δ＝4＋8n>0，解得n>－ eq \f(1,2) 且n≠0.
练习
1．教材P8 练习第1，2题．
2．反比例函数y＝ eq \f(k－1,x) 与正比例函数y＝2kx在同一个坐标系中的图象不可能是下列选项中的(D)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
3．如图，双曲线y＝ eq \f(k,x) 与直线y＝－ eq \f(1,2) x交于A，B两点，且点A(－2，m)，则点B的坐标是(A)
A．(2，－1) B．(1，－2)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
4．如图，已知反比例函数y＝ eq \f(m－7,x) 的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
(2)O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m－7>0，则m>7；
(2)设线段AB交x轴于点C.∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6, 则△OAC的面积为3，∴ eq \f(1,2) (m－7)＝3，∴m＝13.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．反比例函数图象上点的坐标特征．
2．反比例函数与一次函数的交点问题．
3．反比例函数中系数k的几何意义．
1．作业布置
(1)教材P9 习题26.1第6，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
26.2 实际问题与反比例函数
第1课时 利用反比例函数解决实际生活中的问题
教师备课 素材示例
●情景导入 1.小明家离学校4 200 m，他骑自行车的速度x(m/min)与时间y(min)之间的函数关系式是什么？若他每分钟骑450 m，需多长时间到校？
2．你还能举出我们在日常生活、生产或学习中遇到的具有反比例函数关系的实际应用的例子吗？
【教学与建议】教学：利用学生熟悉的行程问题中，路程不变的情况下，速度与时间之间的反比例函数关系，引导学生体验创建反比例函数模型解决问题．建议：教师复习路程＝速度×时间，引导学生确定速度与时间的函数关系，构建反比例函数模型解决．
●复习导入 1.什么是反比例函数？它的图象是什么？有哪些性质？
2．圆柱体体积一定，底面积S是深度d的__反比例__函数；装运货物的总量一定，装运速度v是装运时间t的__反比例__函数．
3．若一个三角形面积为常数k，底边长y与该边上的高x的函数关系式为__y＝ eq \f(2k,x) __，它的图象只分布在第__一__象限，是__双曲线__的一部分．
4．同学们，类比前面一次函数和二次函数的学习过程，我们将继续探究反比例函数在日常生活中的应用．
【教学与建议】教学：通过复习反比例函数的概念、图象和性质，类比学习一次函数与二次函数的过程和方法，为灵活应用反比例函数解决实际问题奠定基础．建议：学生回忆所学，教师做适当补充和辅导．
*命题角度1 根据反比例函数图象解决问题
生活中两个变量的乘积为定值时，构建反比例函数模型．先求出函数解析式，再解决实际问题．
【例1】如图所示是一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数关系图象．若要5 h排完水池中的水，则每小时的排水量应为__9.6__m3.
【例2】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系t＝ eq \f(k,v) ，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5).
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
解：(1)∵点A(40，1)在反比例函数t＝ eq \f(k,v) 上，∴k＝40，∴t＝ eq \f(40,v) .
又∵B(m，0.5)在此函数的图象上，∴m＝80；
(2)由t＝ eq \f(40,v) ，得v＝ eq \f(40,t) .∵v≤60，∴t≥ eq \f(2,3) ，∴汽车通过该路段最少需要 eq \f(2,3) h．
*命题角度2 反比例函数与多种函数结合的问题
函数模型有反比例函数，还有部分图象是一次函数或者其他函数的．解决此类问题的方法是用待定系数法求出各部分图象所对应的函数解析式．
【例3】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂开始限产进行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项中错误的是(C)
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
【例4】制作一种产品，需先将材料加热到达60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(min).据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图所示)．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5 min后温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
解：(1)当0≤x≤5时，设y＝k1x＋b，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝15，,5k1＋b＝60，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝9，,b＝15.)) ∴y＝9x＋15.当x≥5时，设y＝ eq \f(k2,x) ，由x＝5时，y＝60，知k2＝300.∴y＝ eq \f(300,x) ；
(2)当y＝15时，由15＝ eq \f(300,x) ，得x＝20.
答：从开始加热到停止操作，共经历了20 min.
高效课堂 教学设计
1．运用反比例函数的知识解决实际问题．
2．初步掌握建立反比例函数模型解决实际问题的思想和方法．
▲重点
运用反比例函数的意义与性质解决实际问题．
▲难点
构建反比例函数模型．
◆活动1 新课导入
我们知道，确定一个一次函数y＝kx＋b的解析式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数解析式，则只需一个独立条件即可，如点(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的解析式是__y＝ eq \f(6,x) __，当x＝4时，y的值为__ eq \f(3,2) __，而当y＝ eq \f(1,3) 时，相应x的值为__18__．用反比例函数可以反映很多实际问题中的两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P12 例1.
提出问题：
(1)圆柱的体积V、底面积S、高d之间的关系是什么？
(2)请写出V，S，d之间的函数关系式，它是反比例函数吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P13 例2.
提出问题：
(1)货物总量(工作总量)是多少？
(2)工作总量、工作效率(工作速度)与工作时间有怎样的关系？
(3)你能独立完成例2吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 例题与练习
例1 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式？
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？
解：(1)由表中数据，得xy＝6 000，故所求函数解析式为y＝ eq \f(6 000,x) ；
(2)由题意，得(x－120)y＝3 000，把y＝ eq \f(6 000,x) 代入，得(x－120)· eq \f(6 000,x) ＝3 000，解得x＝240；经检验x＝240是原方程的根．
答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元．
例2 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系t＝ eq \f(k,v) ，其图象为如图所示的一段曲线且端点坐标分别为A(40，1)和B(m，0.5).
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
解：(1)∵点A(40，1)在反比例函数t＝ eq \f(k,v) 上，∴k＝40，∴t＝ eq \f(40,v) .又∵点B在函数的图象上，∴m＝80；
(2)由(1)得t＝ eq \f(40,v) .令v＝60，则t＝ eq \f(40,v) ＝ eq \f(40,60) ＝ eq \f(2,3) ，结合图象可知汽车通过该路段最少需要 eq \f(2,3) h．
练习
1．教材P15 练习第1，2题．
2．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是(C)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
3．如图是汽车在某高速公路上匀速行驶时，速度v(km/h)与行驶时间t(h)的函数图象．请根据图象提供的信息回答问题：汽车最慢用__6__h可以到达；如果要在4 h内到达，汽车的速度应不低于__75__km/h.
◆活动4 完成附赠手册
◆活动5 课堂小结
如何建立反比例函数模型解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P16 习题26.2第1，2，5，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 利用反比例函数解决有关物理问题
教师备课 素材示例
●置疑导入 勘探小组进行野外勘探，途中遇到一片烂泥湿地．他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，从而顺利完成了任务．问题：1.你能用物理中学过的关于压强的知识解释他们这样做的道理吗？2.压强问题能利用反比例函数知识解决吗？
【教学与建议】教学：日常生活中有关物理知识利用反比例函数解决，让学生体会到数学与实际生活的密切联系．建议：教师展示情境后先复习物理中有关压强的知识，再提出问题．
●悬念激趣 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”给你一个支点，你能撬动地球吗？这里蕴含着什么原理呢？

杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，由这个等式，我们可以发现当阻力，阻力臂一定时，__动力和动力臂__成反比例函数关系．
【教学与建议】教学：通过科学家的经典名言抓住学生的注意力，并让学生尝试用反比例函数关系理解问题．建议：教师先用幻灯片展示图片，然后给出名言，继而提出问题．
*命题角度1 利用物理知识识别反比例函数图象
根据压强、电压、力等物理知识，利用反比例函数图象的特点解决问题．
【例1】“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．若500度近视眼镜片的焦距为0.2 m，则表示y与x函数关系的图象大致是(B)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
【例2】已知电源I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝ eq \f(U,R) .当电压为定值时，I关于R的函数图象是(C)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
*命题角度2 利用反比例函数的图象及性质解决物理问题
利用反比例函数图象和性质解决物理中常见的杠杆、电功率、压强等问题．
【例3】小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理．小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长100 cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离中点25 cm处挂了一个重1.6 N的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20 cm时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重量是(C)
A．1.28 N B．1.6 N C．2 N D．2.5 N
【例4】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图．
(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？
(3)当气体内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01 m3)
解：(1)设p＝ eq \f(k,V) ，根据题意，得120＝ eq \f(k,0.8) ，所以k＝96.故p＝ eq \f(96,V) ；
(2)当V＝1 m3时，p＝ eq \f(96,1) ＝96(kPa)；
(3)当p＝140 kPa时，V＝ eq \f(96,140) ≈0.69(m3).
答：为了安全起见，气体的体积应不小于0.69 m3.
高效课堂 教学设计
1．通过反比例函数在物理问题中的应用，进一步增强建模思想．
2．经历“实际问题——数学建模——拓展应用”的过程，提高学生分析问题，解决问题的能力．
▲重点
运用反比例函数的有关知识解决物理问题．
▲难点
构建反比例函数模型解决实际应用问题．
◆活动1 新课导入
“给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆原理”通俗地讲是：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂成反比例函数关系．
◆活动2 探究新知
1．教材P14 例3.
提出问题：
(1)由“杠杆原理”可知，本例中存在怎样的等量关系？
(2)动力F是动力臂l的反比例函数吗？若是，请写出反比例函数解析式；
(3)请独立完成例3；
(4)思考：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长，越省力？
学生完成并交流展示．
2．教材P15 例4.
提出问题：
(1)用电器的功率P、电压U与电阻R有怎样的关系式？
(2)对PR＝U2，通过公式变形，可以得到P＝__ eq \f(U2,R) __或R＝__ eq \f(U2,P) __；
(3)当U＝220，即U一定时，P是R的反比例函数吗？请写出该反比例函数解析式；
(4)请独立完成例4.
学生完成并交流展示．
◆活动3 例题与练习
例1 在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．
(1)求I与R之间的函数解析式；
(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过12 A时，电路中电阻R的取值范围是什么？
解：(1)设I＝ eq \f(k,R) ，根据题目条件知，当R＝6时，I＝6，∴k＝36.∴I＝ eq \f(36,R) ；
(2)根据图象得R≥3.
例2 某汽车的功率P(W)为一定值，它的速度v(m/s)与它所受的阻力F(N)之间的函数关系为v＝ eq \f(P,F) ，且当F＝3 000时，v＝20.
(1)这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数的解析式；
(2)当它所受的阻力为2 500 N时，汽车的速度为多少？
(3)如果限定汽车的速度不超过30 m/s，则阻力在什么范围？
解：(1)由v＝ eq \f(P,F) ，得P＝Fv＝3 000×20＝60 000(W)，∴这辆汽车的功率为60 000 W，此函数的解析式为v＝ eq \f(60 000,F) ；
(2)v＝ eq \f(60 000,F) ＝ eq \f(60 000,2 500) ＝24，∴汽车的速度为24 m/s；
(3)由 eq \f(60 000,F) ≤30，化简，得 eq \f(2 000,F) ≤1.∵F＞0，∴F≥2 000，∴阻力大于或等于2 000 N．
练习
1．已知压强的计算公式是p＝ eq \f(F,S) .我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是(D)
A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大
B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小
C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小
D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大
2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是__R≥3.6__．
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球的体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(kPa是一种压强单位)
(1)写出这个函数的解析式；
(2)当气球的体积为0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内气压大于144 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
解：(1)这个函数的解析式为p＝ eq \f(96,V) ；
(2)120 kPa；
(3)当p＝144 kPa时，V＝ eq \f(2,3) m3.根据函数图象得，当p≤144 kPa时，V≥ eq \f(2,3) m3.∴为了安全起见，气球的体积应不小于 eq \f(2,3) m3.
◆活动4 完成附赠手册
◆活动5 课堂小结
1．反比例函数知识在物理问题中的应用．
2．进一步掌握建模思想．
1．作业布置
(1)教材P16～17 习题26.2第3，6，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
函数
正比例函数
反比例函数
解析式
y＝kx(k≠0)
y＝kx(k≠0)
图象形状
直线
双曲线
k>0
位置
第一、三象限
第一、三象限
增减性
每个象限内，y随x的增大而增大
每个象限内，y随x的增大而减小
k<0
位置
第二、四象限
第二、四象限
增减性
每个象限内，y随x的增大而减小
每个象限内，y随x的增大而增大
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x(元/双)
150
200
250
300
销售量y(双)
40
30
24
20