2023-2024学年天津市河东区高一（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年天津市河东区高一（下）期中数学试卷(含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法中正确的是( )
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若a和b都是单位向量，则a=b
D. 零向量与其它向量都共线
2.化简以下各式：
①AB+BC+CA；
②AB−AC+BD−CD；
③OA−OD+AD；
④NQ+QP+MN−MP．
其结果为0的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.在△ABC中，若AB=7，AC=5，∠ACB=120°，则BC=( )
A. 2 2B. 3C. 6D. 6
4.在△ABC中，AC=3，BC= 7，AB=2，则△ABC的面积为( )
A. 2 3B. 3 32C. 262D. 32
5.下列命题正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
6.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )
A. 2+ 22B. 1+ 22C. 2+ 2D. 1+ 2
7.已知z=| 3i−1|+11+i，则在复平面内z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.在△ABC中，BA⋅AC|AB|+AC⋅BC|BC|=0,BC|BC|⋅BA|BA|=12，则△ABC为( )
A. 直角三角形B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形D. 等腰非等边三角形
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5)，则(1−i)z=______．
10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为______．
11.在△ABC中，csC=23，AC=4，BC=3，则csA=______．
12.若向量a,b满足：a=(1,0),b=(1, 3)，则b在a上的投影向量为______．
13.某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为______．
14.正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足2OP=λOB+(1−λ)OC，则PM⋅PN的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)7−9i1+i；
(2)(1−2i)23−4i−(2+i)24−3i；
16.(本小题8分)
已知复数z=m(m−1)+(m2+2m−3)i，当m取何实数值时，复数z是：
(1)纯虚数；
(2)z=2+5i．
17.(本小题8分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且bc=8．
(1)求角A；
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题10分)
(Ⅰ)已知单位向量e1与e2夹角为60°，且a=e1+e2,b=e1−2e2，求a⋅b的值．
(Ⅱ)已知|a|= 2,|b|=3,|a−b|= 7，求a与b夹角的余弦值．
19.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，S= 32AC⋅AB．
(1)求cs(A+π4)；
(2)若a= 32，AB⋅BC>0，求△ABC周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本概念，是基础题．
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于A，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定完全相同，∴A错误；
对于B，模相等的两个平行向量，可能是相等向量，也可能是相反向量，∴B错误；
对于C，a和b都是单位向量，则|a|=|b|，但a、b不一定相等，∴C错误；
对于D，零向量的方向是任意的，零向量与任意向量共线，D正确．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量加法，减法运算以及三角形法则与平行四边形法则，属于基础题．
可以利用向量加法、减法的三角形法则，逐一进行运算即可．
【解答】
解：①AB+BC+CA=AC+CA=0；
②AB−AC+BD−CD=CB+BD−CD=CD−CD=0；
③OA−OD+AD=DA+AD=0；
④NQ+QP+MN−MP=NP+PN=0．
故应选：D．
3.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，若AB=7，AC=5，∠ACB=120°，
由余弦定理有AB2=AC2+BC2−2AC×BC×cs∠ACB，
∴49=25+BC2−2×5×BC×(−12)，
∴BC2+5BC−24=0，解得BC=3或BC=−8(舍去)，
故选：B．
在△ABC中，由余弦定理有AB2=AC2+BC2−2AC×BC×cs∠ACB，求解即可．
本题考查余弦定理，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵AC=3，BC= 7，AB=2，
∴csA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=9+4−72×3×2=12，
∴sinA= 32，
∴S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=12×3×2× 32=3 32．
故选：B．
先根据余弦定理求出夹角，再根据三角形的面积公式即可求出．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据棱柱和棱台的定义分别进行判断即可．
本题主要考查棱柱和棱台的概念，要求熟练掌握空间几何体的概念，比较基础．
【解答】
解：根据棱柱的定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，
根据棱台的定义可知，一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体叫棱台，
所以A，B，C错误，D正确．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+ 2，
S=12(1+ 2+1)×2=2+ 2．
故选：C．
水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．
本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．
7.【答案】D
【解析】解：∵z=| 3i−1|+11+i，
∴z= ( 3)2+(−1)2+1−i(1+i)(1−i)=2+12−12i=52−12i，
∴在复平面内z对应的点(52,−12)，位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为在△ABC中，A，B，C∈(0,π)
BA⋅AC|AB|+AC⋅BC|BC|=0,BC|BC|⋅BA|BA|=12，
∴−|AB|×|AC|×csA|AB|+|CA|×|CB|×csC|BC|=0⇒|CA|csA−|AC|cC=0⇒csA=csC⇒A=C；
∵BC⋅BA=|BC|×|BA|×csB=12|BC|×|BA|⇒csB=12⇒B=π3；
∴△ABC为等边三角形；
故选：C．
直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A=C；第二个条件得到B即可求出结论
本题考查了数量积运算性质一季特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】−2−8i
【解析】解：因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5)，
所以z=3−5i，
所以(1−i)z=(1−i)(3−5i)=3−5−3i−5i=−2−8i，
故答案为：−2−8i．
由已知求出z的关系式，然后根据复数的运算性质化简即可求解．
本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】32
【解析】解：设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V圆柱=πR2×2R=2πR3，V球=43πR3．
∴V圆柱V球=2πR343πR3=32，
S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2，S球=4πR2．
∴S圆柱S球=6πR24πR2=32．
故答案为：32．
设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．
本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
11.【答案】23
【解析】解：因为在△ABC中，csC=23，AC=4，BC=3，
所以由余弦定理可得AB= AC2+BC2−2AC⋅BC⋅csC= 42+32−2×4×3×23=3，
所以AB=BC，即A=C，
则csA=csC=23．
故答案为：23．
由已知在△ABC中利用余弦定理可得AB的值，可求AB=BC，可得A=C，即可得解csA的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
12.【答案】(1,0)
【解析】解：因为a=(1,0),b=(1, 3)，
所以a⋅b=1×1+0× 3=1，|a|=1，
所以b在a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=a=(1,0)．
故答案为：(1,0)．
由投影向量的求法计算即可求得．
本题考查投影向量的求法，属于基础题．
13.【答案】250 6m
【解析】解：∵由题意∠DAC=15°，∠BAC=30°，∠ADE=165°，∠BDE=75°，
∴∠BAD=15°，∠ADB=120°，∠ABD=45°，且AD=1000，
∴在△ABD中，根据正弦定理ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，可得ABsin∠120∘=1000sin45∘，解得AB=500 6，
∴BC=ABsin∠BAC=500 6×sin30°=250 6．
故答案为：250 6m.
根据条件即可得出∠ADB，∠ABD，然后根据正弦定理即可求出AB的长度，然后即可求出BC的长度．
本题考查了正弦定理，直角三角形的边角关系，考查了计算能力，属于中档题．
14.【答案】−7
【解析】解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，
则B(2,−2)，C(2,2)，
∴2OP=λOB+(1−λ)OC=λ(2,−2)+(1−λ)(2,2)=(2,2−4λ)，∴OP=(1,1−2λ)
即P点坐标为(1,1−2λ)，
设M(a,−2)，则N(−a,2)，−2≤a≤2，
∴PM=(a−1,2λ−3)，PN=(−a−1,2λ+1)
∴PM⋅PN=(a−1)(−a−1)+(2λ−3)(2λ+1)=1−a2+4λ2−4λ−3，
当a=±2且λ=−−42×4=12时，PM⋅PN有最小值−7．
故答案为：−7．
建立坐标系，根据2OP=λOB+(1−λ)OC，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为(a,−2)，(−a,2)，将PM⋅PN转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值．
本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)7−9i1+i=(7−9i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2−16i1−i2=−2−16i2=−1−8i．
(2)(1−2i)23−4i−(2+i)24−3i
=−3−4i3−4i−3+4i4−3i
=−(3+4i)225−(3+4i)(4+3i)25
=7−24i25−25i25
=725−4925i．
【解析】(1)利用复数运算法则直接求解．
(2)利用复数运算法则直接求解．
本题考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)当且仅当m(m−1)=0m2+2m−3≠0时，复数z是纯虚数，
解得m=1，
解得m=0，
即m=0时，复数z=−3i为纯虚数．
(3)当且仅当m(m−1)=2m2+2m−3=5 时，z=2+5i，
解得m=2，
即m=2时，复数z=2+5i．
【解析】(1)利用m(m−1)=0，(m2+2m−3)≠0，即可求解．
(2)利用复数相等的条件实部与虚部分别相等m(m−1)=2，(m2+2m−3)=5即可求解．
本题考查复数的基本概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由b2+c2=a2+bc，得b2+c2−a2=bc，
可得csA=b2+c2−a22bc=12，
又因为0所以可得A=π3．
(2)因为A=π3，bc=8，
所以S△ABC=12bcsinA=12×8× 32=2 3．
【解析】(1)由题设条件，结合余弦定理可得csA=12，即可求角A；
(2)应用三角形面积公式直接求△ABC的面积即可．
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵单位向量e1与e2夹角为60°，
∴e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cs60°=1×1×12=12．
∴a⋅b=(e1+e2)⋅(e1−2e2)
=e12−e1⋅e2−2e22=1−12−2=−32．
(Ⅱ)∵|a−b|= 7，∴a2−2a⋅b+b2=7，即2−2a⋅b+9=7，
∴a⋅b=2，
∴cs=a⋅b|a|⋅|b|=2 2×3= 23．
故a与b夹角的余弦值为 23．
【解析】本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
(Ⅰ)由平面向量数量积的定义求得e1⋅e2的值，而a⋅b=e12−e1⋅e2−2e22，代入所得数据进行运算即可；
(Ⅱ)将|a−b|= 7两边平方展开后得a2−2a⋅b+b2=7，从而求出a⋅b的值，再由cs=a⋅b|a|⋅|b|即可得解．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，∵S= 32AC⋅AB，则bcsinA= 3bccsA，
即tanA= 3，而A∈(0,π)，得A=π3，
∴cs(A+π4)=csAcsπ4−sinAsinπ4=12× 22− 32× 22= 2− 64．
(2)由AB⋅BC>0，∴cs(π−B)>0，∴B为钝角，
又A=π3，则π2由正弦定理得bsinB=csinC= 32sinπ3=1，则b=sinB，c=sinC=sin(23π−B)，
则b+c=sinB+sin(23π−B)=32sinB+ 32csB= 3sin(B+π6)，
∵π2则sin(B+π6)∈(12, 32)，∴b+c∈( 32,32)，
∴a+b+c∈( 3,3+ 32)，
∴△ABC周长的取值范围为( 3,3+ 32)．
【解析】(1)利用三角形的面积公式和平面向量的数量积得到tanA= 3，A=π3，再利用三角函数恒等变换求解即可．
(2)先得到π2本题考查了三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，正弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，属于中档题．