2023-2024学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a、b∈R，a>b，则下列不等式中不一定成立的是( )
A. a+2>b+2B. 2a>2bC. a2>b2D. (12)a<(12)b
2.下列各项与sin(π2−α)一定相等的是( )
A. cs(α−π2)B. sin(3π2−α)C. cs(π−α)D. sin(α+π2)
3.已知a、b均为非零向量，有下列四个命题：
①若m为任意实数，则a=b是ma=mb的充分非必要条件；
②已知a、b为两个不平行向量，则λa+μb=0是λ=μ=0的必要非充分条件；
③“a//b”是“a|a|=b|b|”的既非充分也非必要条件．
其中命题正确的个数( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
4.已知f(x)=x3,x为无理数 |x|,x为有理数，有下列两个结论：
①设f(x)的值域为A，则[0,+∞)⊂A⊂R；
②对于任意的正数a，g(x)=f(x)−a存在奇数个零点．
则下列判断正确的是( )
A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对
二、填空题：本题共12小题，共38分。
5.不等式x+2x−1<0的解集为______．
6.已知复数z=1−i(i为虚数单位)，则满足z−⋅w=z的复数w为______．
7.已知a=(1,−2)，b=(3,4)，则a在b方向上的数量投影为______．
8.在△ABC中，D为BC边上一点，且满足BD=2DC，设AD=xAB+yAC，则x−3y= ______．
9.若sin(θ+π4)=35，θ∈(π2,π)，则csθ= ______．
10.若函数y=tanωx在[−π4,π4]上为严格增函数，则实数ω的取值范围是______．
11.已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数y=f(x)在区间[a,b](a12.已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为其边界上的一个动点，则AB⋅AP的取值范围是______．
13.如图所示为f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π2)的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么f(−1)= ______．
14.已知f(x)=sinπx,x∈[0,2]lg2024(x−1),x∈(2,+∞)，若满足f(a)=f(b)=f(c)(a、b、c互不相等)，则a+b+c的取值范围是______．
15.若平面上的三个单位向量a、b、c满足|a⋅b|=12，|a⋅c|= 32，则b⋅c的所有可能的值组成的集合为______．
16.已知k是正整数，且1≤k≤2024，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°⋅sin2°…sink°的k有______个.
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知a，b满足|a|=1，|b|=3，〈a,b〉=π3，求|2a−b|．
18.(本小题8分)
已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)为奇函数，且在区间(0,+∞)上是严格减函数．
(1)求函数y=f(x)的表达式；
(2)对任意实数x∈[12,1]，不等式f(x)≤t+4x恒成立，求实数t的取值范围．
19.(本小题10分)
已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a,b)，n=(sinB,sinA)，p=(b−2,a−2)．
(1)若m//n，试判断△ABC的形状并证明；
(2)若m⊥p，边长c=3 2，角C=π3，求△ABC的面积．
20.(本小题12分)
某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知AB=BC=CD=4，AD=4 3.现在将BD连接，在△ABD区域内种植农作物甲，在△BCD区域内种植农作物乙．
(1)计算发现：无论BD多长， 3csA−csC始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值；
(2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大．
21.(本小题14分)
已知f(x)=sin2ωx+2 3sinωxcsωx−cs2ωx(ω>0)的最小正周期为π．
(1)化简函数y=f(x)的表达式，并求出ω的值；
(2)若不等式|f(x)−m|<2在x∈[0,π2]上有解，求实数m的取值范围；
(3)将函数y=f(x)图像上所有的点向右平移φ(φ∈[0,π2])个单位长度，得到函数y=g(x)，且y=g(x)为偶函数.若对于任意的实数a，函数y=g(λx)，x∈[a,a+π5]与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求实数λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，B，a，b∈R，a>b，则a+2>b+2，2a>2b一定成立；
对于C，取a=−1，b=−2，满足a>b，则a2当a>b>0时，a2>b2，故C中不等式不一定成立；
对于D，由a>b，由于y=(12)x在R上单调递减，则(12)a<(12)b成立．
故选：C．
根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据sin(π2−α)=csα，
对于A：cs(α−π2)=sinα，故A错误；
对于B：sin(3π2−α)=−csα，故B错误；
对于C：cs(π−α)=−csα，故C错误；
对于D：sin(α+π2)=csα，故D正确．
故选：D．
直接利用三角函数的诱导公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于①，a=b能推出ma=mb，充分性成立，
ma=mb，当m=0时，不能推出a=b，故必要性不成立，
故a=b是ma=mb的充分非必要条件；故①正确；
对于②，a、b为两个不平行向量，λa+μb=0⇔λ=μ=0，
故λa+μb=0是λ=μ=0的充要条件，故②错误；
对于③，a//b，二者反向共线时，不能推出a|a|=b|b|，充分性不成立，
a|a|=b|b|能推出a//b，必要性成立，
故“a//b”是“a|a|=b|b|”的必要不充分条件，故③错误．
故选：B．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：①中，当x为无理数时，f(x)=x3∈R；当x为有理数时，f(x)= |x|⩾0，所以[0,+∞)⊆A⊆R，故①正确．
②中，当x为无理数时，由f(x)=x3=a，解得x=3a，即一个正数a对应一个无理数3a，所以函数g(x)有一个无理数零点；
当x为有理数时，由f(x)= |x|=a，解得x=±a2(a>0)，即一个正数a对应两个有理数零点±a2，所以函数g(x)有两个有理数零点．
综上，当a>0时，函数g(x)有三个零点，且一个为无理数，两个为有理数，故②错误．
故选：C．
分别讨论分段函数求出值域可得结果，根据零点存在定理可求出零点个数．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
5.【答案】(−2,1)
【解析】解：根据题意，x+2x−1<0⇔(x+2)(x−1)<0，
解可得：−2即原不等式的解集为(−2,1)；
故答案为：(−2,1)
根据题意，将原不等式变形为(x+2)(x−1)<0，结合一元二次不等式的解法分析可得其解集，即可得答案．
本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式．
6.【答案】−i
【解析】解：复数z=1−i(i为虚数单位)，
则z−=1+i，
z−⋅w=z，
则w=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i．
故答案为：−i．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
7.【答案】−1
【解析】解：根据题意，a=(1,−2)，b=(3,4)，
则a在b方向上的数量投影为|a|csθ=a⋅b|b|=3−85=−1．
故答案为：−1．
根据题意，由向量数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量投影的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
8.【答案】−53
【解析】解：因为在△ABC中，D为BC边上一点，且满足BD=2DC，
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，
又因为AD=xAB+yAC，且AB,AC不共线，
所以由平面向量基本定理可得：x=13y=23，
所以x−3y=13−3×23=−53．
故答案为：−53．
由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可求得x，y的值，再代值计算即可．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
9.【答案】− 210
【解析】解：由于θ∈(π2,π)，
所以θ+π4∈(3π4,5π4)；
且满足sin(θ+π4)=35，
故θ+π4∈(3π4,π)，
所以cs(θ+π4)=−45，
故csθ=cs[(θ+π4)−π4]=(−45)× 22+35× 22=− 210．
故答案为：− 210．
直接利用三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】(0,2)
【解析】解：令−π2+kπ<ωx故πω4<π2−πω4>−π2ω>0，解得ω∈(0,2)．
故答案为(0,2)．
根据正切函数的性质即可得．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】[0,+∞)
【解析】解：g(x)= 3|sinx|+|tanx|的定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}，关于原点对称，
且g(−x)= 3|sin(−x)|+|tan(−x)|= 3|sinx|+|tanx|=g(x)，
所以g(x)是偶函数，
又因为g(x+π)= 3|sin(x+π)|+|tan(x+π)|= 3|sinx|+|tanx|=g(x)，
所以π是g(x)的一个周期，
所以当x∈[0,π2)时，g(x)= 3sinx+tanx，
因为y= 3sinx和y=tanx在[0,π2)上都是单调递增函数，
所以g(x)在[0,π2)上单调递增，
所以g(x)∈[0,+∞)，
由结论①可得g(x)在区间(−π2,0]上的取值范围也为[0,+∞)，
即g(x)在区间(−π2,π2)上的取值范围为[0,+∞)，
又由结论②可得g(x)在定义域上的值域为[0,+∞)．
故答案为：[0,+∞)．
利用奇偶性和周期性的定义可得g(x)是周期为π的偶函数，由所给的函数性质可得求g(x)在区间[0,π2)上的值域，即可得到g(x)在定义域上的值域．
本题主要考查函数值域的求法，函数的奇偶性与周期性的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】[−6,6]
【解析】解：如图所示，分别过C，F作AB延长线的垂线，垂直为M，N，
由正六边形的结构特征计算可得：AN=BM=1，
设AB,AP的夹角为θ，
所以AB⋅AP=|AB||AP|csθ，
由平面向量数量积的几何意义知，|AP|csθ为AP在AB方向上的投影，
所以当P在点C处时，投影|AP|csθ取得最大值3，
当P在点F处时，投影|AP|csθ取得最小值−3，
所以AB⋅AP的取值范围为[−6,6]．
故答案为：[−6,6]．
由平面向量数量积的几何意义结合图形计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积的几何意义的应用，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：根据图像连接AB，过点A，B作y轴的垂线和平行线，交于点H．
在直角三角形ABH中，AB=5，BH=4，可得AH=3，即函数f(x)的周期T=6，
所以ω=2π6=π3，所以f(x)=2sin(π3x+φ)，
又图像与轴交于点(0,1).即f(0)=2sinφ=1，且0≤φ≤π2，则φ=π6，
所以f(x)=2sin(π3x+π6)，则f(−1)=2sin(−π3+π6)=−2sin(π6)=−1．
故答案为：−1．
根据A，B两点之间的距离为5可得函数的周期，得到ω的值，再根据图像与轴交于点(0,1)，可求出φ，即可求值．
本题考查根据三角函数的图像求函数表达式，考查三角函数的图像性质，属于中档题．
14.【答案】[3,2026)
【解析】解：作出函数f(x)=sinπx,x∈[0,2]lg2024(x−1),x∈(2,+∞)的图象，如图所示：
不妨设a因为f(a)=f(b)=f(c)，
由函数的性质得a+b=1，0≤lg2024(c−1)<1，即c∈[2,2025)，
所以a+b+c∈[3,2026)．
故答案为：[3,2026)．
作出函数f(x)=sinπx,x∈[0,2]lg2024(x−1),x∈(2,+∞)的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，利用数形结合法求解．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
15.【答案】{− 32,0, 32}
【解析】解：不妨设a=(1,0)，b=(csα,sinα)，c=(csβ,sinβ)，其中α、β∈[−π,π)，
则|a⋅b|=|csα|=12，所以α=±π3或±2π3，
|a⋅c|=|csβ|= 32，所以β=±π6或±5π6，
所以α−β∈{π6,π2,−π6,−π2,7π6,−7π6,5π6,−5π6,3π2,−3π2}，
因为b⋅c=csαcsβ+sinαsinβ=cs(α−β)，
当α−β∈{π2,−π2,3π2,−3π2}时，b⋅c=cs(α−β)=0；
当α−β∈{π6,−π6}时，b⋅c=cs(α−β)= 32；
当α−β∈{7π6,−7π6,5π6,−5π6}时，b⋅c=cs(α−β)=− 32；
所以b⋅c的所有可能的值组成的集合为{− 32,0, 32}．
故答案为：{− 32,0, 32}．
不妨设a=(1,0)，b=(csα,sinα)，c=(csβ,sinβ)，其中α、β∈[−π,π)，根据平面向量数量积的坐标运算可得出α、β的值，求出α−β的值，再利用平面向量数量积的坐标运算结合两角差的余弦公式可求得b⋅c的值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查坐标法解决向量问题，属中档题．
16.【答案】11
【解析】解：由正弦函数性质可知，sin1°⋅sin2°⋅…⋅sink°<1，
(1)k=1，等式两边成立；
(2)等式的两边都为0时等式才成立，
k=359，360，719，720，1079，1080，1439，1440，1799，1800时等式成立．
综上k=1，359，360，719，720，1079，1080，1439，1440，1799，1800，共11个．
故答案为：11．
依题意，k=1时成立，等式的两边都为0时的情况也成立，分析计数即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：已知a，b满足|a|=1，|b|=3，〈a,b〉=π3，
则a⋅b=|a||b|cs=1×3×12=32，
则|2a−b|= 4a2−4a⋅b+b2= 4×12−4×32+32= 7．
【解析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
18.【答案】解：(1)依题意，可得f(x)为奇函数，在区间(0,+∞)上是严格减函数，
可得m2−2m−3<0，解得−1可得整数m=0，1，2，
则m2−2m−3=−3，−4
只有m2−2m−3=−3成立，
所以所以f(x)=x−3；
(2)不等式f(x)≤t+4x，即t≥x−3−4x，
又f(x)=x−3在(0,+∞)上是减函数，
而y=4x在R上为增函数，则g(x)=x−3−4x在[12,1]上为减函数，
所以g(x)max=g(12)=6，则t≥6，
所以实数t的取值范围为[6,+∞)．
【解析】(1)根据题意可得f(x)为奇函数，在区间(0,+∞)上是严格减函数，解不等式可得整数m的值，检验可得所求值；
(2)依题意，对任意实数x∈[12,1]，不等式t≥x−3−4x恒成立，而g(x)=x−3−4x在[12,1]上为减函数，由此可得解．
本题考查幂函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)ABC为等腰三角形；
证明：因为m=(a,b)，n=(sinB,sinA)，m//n，
所以asinA=bsinB，
由正弦定理：a⋅a2R=b⋅b2R，其中R是△ABC外接圆半径，
所以a=b，
所以△ABC为等腰三角形；
(2)因为p=(b−2,a−2)，由题意可知m⊥p，
所以a(b−2)+b(a−2)=0，
所以a+b=ab，
由余弦定理可知，c=3 2，18=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab
即(ab)2−3ab−18=0，
所以ab=6或ab=−3(舍去)，
所以S=12absinC=12×6×sinπ3=3 3．
【解析】(1)由m//n可得asinA=bsinB，再利用正弦定理即可证明结论；
(2)由m⊥p可得a+b=ab，再利用余弦定理可得到(ab)2−3ab−4=0，解此方程即可求得ab的值，从而可求得△ABC的面积．
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查解方程的能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcsA=64−32 3csA，
在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+CB2−2CD⋅CBcsC=32−32csC，
∴ 3csA−1=csC，则 3csA−csC=1，
故 3csA−csC为定值1；
(2)由题意可知该种植计划经济收益为S12+2S22，
则S12+2S22=14AB2⋅AD2⋅sin2A+2×14BC2⋅CD2⋅sin2C=192sin2A+128sin2C=192sin2A+128−128cs2C=192sin2A+128−128( 3csA−1)2=−576cs2A+256 3csA+192，
当csA=256 32×576=2 39时，S12+2S22取得最大值．
【解析】(1)利用余弦定理推出A与C的关系，即可求得 3csA−csC为一个定值；
(2)由题意可知该种植计划经济收益为S12+2S22求出S12+2S22的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出S12+2S22的最大值，从而可规划农场四边形区域的大小．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了二次函数和余弦函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=sin2ωx+2 3sinωxcsωx−cs2ωx
= 3sin2ωx−cs2ωx
=2sin(2ωx−π6)，又f(x)的最小正周期为T=2π2ω=π，解得ω=1，
∴f(x)=2sin(2x−π6)；
(2)∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，∴−12≤sin(2x−π6)≤1，∴−1≤2sin(2x−π6)≤2，①
不等式|f(x)−m|<2在x∈[0,π2]上有解⇔2sin(2x−π6)−2由①得，[2sin(2x−π6)−2]min=−3，[2sin(2x−π6)+2]max=4，
∴−3(3)∵g(x)=f(x−φ)=2sin(2x−2φ−π6)为偶函数，
∴−2φ−π6=π2+kπ，k∈Z，
∴φ=−π3−kπ2，k∈Z，
又φ∈[0,π2]，∴φ=π6，
∴g(x)=−2cs2x，
∴g(λx)=−2cs2λx，
又对于任意的实数a，函数y=g(λx)，x∈[a,a+π5]与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，
∴3⋅2π|2λ|≤π5且5⋅2π|2λ|>π5，解得15≤|λ|<25，
∴正实数λ的取值范围[15,25)．
【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简求得函数f(x)=2sin(2ωx−π6)，再利用周期公式可求得y=f(x)的表达式及ω的值；
(2)依题意，问题转化为[2sin(2x−π6)−2]min(3)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及函数性质可求得g(x)=−2cs2x，进而求得g(λx)=−2cs2λx，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求λ的取值范围．
本题考查了三角函数恒等变换及y=Asin(ωx+φ)的图象变换的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．