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2024年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数为无理数的是（ ）
A. 3B. 3.14C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，无限不循环小数就是无理数，这是解题的关键．
根据无理数的概念逐一分析判定．
【详解】A．3是整数，属于有理 ，不符合题意；
B．3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C．是无理数，符合题意；
D．是分数，属于有理数，不符合题意；
故选：C．
2. 如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A. 点与点B. 点与点C. 点与点D. 点与点
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．
【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3. 位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛．如果小尹知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这位同学成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较.故应知道中位数的多少.
故选D.
【点睛】此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减，乘法计算，然后逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；
B．，故原运算错误；
C．5与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；
D．，故原运算正确，
故选：D．
5. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
检验：把代入，
∴分式方程的解为，
故选：B．
6. 在中，对角线、交于点O，若，，，的周长为（ ）
A. 13B. 16C. 18D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长．
【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，，
∴，，，
∴的周长为：．
故选：A．
7. 如图，中，，，，是上的一点，，垂足为，若，则的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质即判定，利用相似三角形的性质建立比例关系是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，利用相似三角形的判定方法判定出，再通过相似的性质建立边的比值关系求出的长，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∵，
∴，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
过作轴于点，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出的坐标后，代入反比例函数解析式求出的值，利用平移的性质得到点的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．
【详解】解：过作轴于点，如图所示：
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴把代入可得：，
∴，
又∵点向右平移个单位后的坐标为：，
∴把，代入可得：，
解得：，
故选：C．
9. 如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为（ ）m．（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟悉利用三角函数边的比值关系建立等量关系是解题的关键．
根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可．
【详解】解：由题意可建立如图所示平面图：
∴，，
∵，
∴设，则，
∴，即，
解得：，
∴，
∴ ，即塔高为m，
故选：A．
10. 已知抛物线（a，b，c是常数，，），经过点，其对称轴是直线．则下列结论：①；②关于x的方程无实数根；③当时，y随x增大而减小；④.其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数解析式中的系数与图象的有关系是解题的关键．
利用对称轴判定④，根据，结合抛物线的解析式判定①，根据，结合对称轴判定③，根据二次函数与一元二次方程的关系判定②．
【详解】∵对称轴是直线，
∴，
整理，得，④正确；
即：，
把点代入解析式，得，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∴，①正确；
∵，
∴抛物线的开中向下，当时，y随x增大而减小，③错误；
∵，
∴直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，②错误；
综合分析可得，正确的有：①④，
故选：B
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 代数式在实数范围内有意义时，应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．
根据二次根式有意义的概念运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 因式分解___________．
【答案】
【解析】
分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝_____cm．
【答案】6
【解析】
【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD．
【详解】∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴BD＝AC＝2CD＝6cm，
故答案为：6．
【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、三角形的外角性质，关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．
14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且．
∴的取值范围为且．
故答案为：且．
15. 如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，则的度数为________．
【答案】105
【解析】
【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
16. 如图，已知正方形的边长为2，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点M，则的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，先由正方形的性质得到，则由勾股定理得到；由折叠的性质可得，则点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，据此可得当点H在上时，有最小值，最小值为；当点F运动到点D时，有最大值，利用勾股定理求出最大值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵正方形的边长为2，E为的中点，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，
∴当点H在上时，有最小值，最小值为；
∵点F在上运动，
∴当点F运动到点D时，有最大值，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：x2+6x+5=0．
【答案】x1=-1，x2=-5
【解析】
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】x2+6x+5=0
(x+1)(x+5)=0
∴x+1=0或x+5=0
∴x1=-1．x2=-5
【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18. 如图，在四边形中，平分和．求证：，．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，进而利用证明，据此可证明，．
【详解】证明：∵平分和，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
19. 已知．
（1）化简；
（2）已知反比例函数的图象经过点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，反比例函图象点的坐标特征，因式分解等知识点，熟练运用运算法则运算是解题的关键．
（1）利用因式分解对分式进行通分，再运算化简即可；
（2）把点代入得到关于的式子后，代入运算即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：∵在反比例函数上，
∴把，代入可得：，
整理得：，
∴．
20. “2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．
（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：
已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；
（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．
【答案】（1）6000
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是频率，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确的画出表格或数状图．
（1）利用表格中的数据确定出参加“2023广州黄埔马拉松” 比赛的频率，根据频率求频数；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
由表格中的数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的频率为，
∴参加“半程马拉松”项目的人数约为：（人），
故答案为：6000；
【小问2详解】
列表得：
由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的情况有种，
恰好录取2名初中生志愿者的概率．
21. 某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
【答案】（1）购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元
（2）这个文具店至少购进甲种圆规80个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：
（1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；
【小问2详解】
解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，
根据题意，得，
解得，
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）尺规作图：作抛物线的对称轴，交轴于点，并标记抛物线的顶点，连接，且与对称轴相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若，求的大小及的值．
【答案】（1）详情见解析；
（2）；．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，垂直平分线的作法，一次函数的图象性质等知识点，熟悉掌握各函数点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴为的中垂线，按要求作图即可；
（2）求出点和的坐标，由列式运算出的值，根据的值求出各边的长进而求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知抛物线的对称轴为的中垂线，再按要求作图如下：
小问2详解】
解：把代入可得：，
∴，
把代入可得：，
解得：或，
∵，
∴，，
∴，
∵，即，
解得：或（舍去），
∴，，， ，
∵的中点坐标为：，即，
∴把代入可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的函数解析式为，
则：，
解得：，
所以直线的表达式为：，
把代入可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
23. 如图，内接于，，的延长线交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；．
【解析】
【分析】（1）延长交于，连接，证明，在线段的垂直平分线上，得出，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）延长交于，连接，则是的直径，可得，由圆周角定理得出，可得，求出的长，由勾股定理求出，利用平行线判定出，由相似三角形的比值关系求出，即可得到；由三角形的中位线定理求出的长，再通过勾股定理求即可．
【小问1详解】
延长交于，连接，如图所示：
∵，，
∴，在线段的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴平分；
【小问2详解】
延长交于，连接，如图所示：
∴是的直径，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
∵，，
∴是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴ ，
∴在中：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
24. 如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．
（1）求证：；
（2）当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①；②存在，最小值是
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；
（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，，
∴，
∵矩形和矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴
【小问2详解】
∵，
∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：
此时，，
①∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
由（1）得：，
∴， 即，
∴；
②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，
由旋转可得：，
∴，
∴，
∴,
过P作于S，则 ，，
∴，则 ，
∴，
∴，
∵，即，
当C、P、K、L四点共线时，的长最小，
由题意，，， ，，
过点L作垂直的延长线于点Q，
，
∴，，
则，
在中，根据勾股定理得，
∴的最小值为.
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.
25. 已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
（1）求点A的坐标；
（2）若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．
【答案】（1）
（2）最大值为4，此时点D的坐标为；
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A的坐标即可；
（2）先求出直线解析式为，同理可得直线解析式为，设，则，，可得，；再证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案；
（3）设，设直线解析式为，可利用待定系数法求出，，同理可得直线解析式为，；如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，可求出，证明，可推出，进而得到；设直线解析式为，联立得，则，据此可得，即直线经过定点；设点D到直线得距离为h，由垂线段最短可得，则当时，h最大，最大值为．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当，解得或，
∴；
【小问2详解】
解：设直线解析式为，直线交直线于H，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
设，则，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴时，有最大值，最大值为4，
∴此时点D的坐标为；
【小问3详解】
解：设，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
联立得，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点；
设点D到直线得距离为h，
由垂线段最短可得，
∴当时，h最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于证明是等腰直角三角形得到，解（3）的关键是推出直线经过定点．
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
7
17
31
58
150
参加“半程马拉松”频率
0.35
034
0.31
0.29
0.30
初中生1
初中生2
高中生
大学生
初中生1
初中生2，
初中生1
高中生，
初中生1
大学生，
初中生1
初中生2
初中生1，
初中生2
高中生，
初中生2
大学生，
初中生2
高中生
初中生1，
高中生
初中生2，
高中生
大学生，
高中生
大学生
初中生1，
大学生
初中生2，
大学生
高中生，
大学生
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数为无理数的是（ ）
A. 3B. 3.14C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，无限不循环小数就是无理数，这是解题的关键．
根据无理数的概念逐一分析判定．
【详解】A．3是整数，属于有理 ，不符合题意；
B．3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C．是无理数，符合题意；
D．是分数，属于有理数，不符合题意；
故选：C．
2. 如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A. 点与点B. 点与点C. 点与点D. 点与点
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．
【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3. 位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛．如果小尹知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这位同学成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较.故应知道中位数的多少.
故选D.
【点睛】此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减，乘法计算，然后逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；
B．，故原运算错误；
C．5与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；
D．，故原运算正确，
故选：D．
5. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
检验：把代入，
∴分式方程的解为，
故选：B．
6. 在中，对角线、交于点O，若，，，的周长为（ ）
A. 13B. 16C. 18D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长．
【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，，
∴，，，
∴的周长为：．
故选：A．
7. 如图，中，，，，是上的一点，，垂足为，若，则的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质即判定，利用相似三角形的性质建立比例关系是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，利用相似三角形的判定方法判定出，再通过相似的性质建立边的比值关系求出的长，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∵，
∴，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
过作轴于点，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出的坐标后，代入反比例函数解析式求出的值，利用平移的性质得到点的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．
【详解】解：过作轴于点，如图所示：
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴把代入可得：，
∴，
又∵点向右平移个单位后的坐标为：，
∴把，代入可得：，
解得：，
故选：C．
9. 如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为（ ）m．（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟悉利用三角函数边的比值关系建立等量关系是解题的关键．
根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可．
【详解】解：由题意可建立如图所示平面图：
∴，，
∵，
∴设，则，
∴，即，
解得：，
∴，
∴ ，即塔高为m，
故选：A．
10. 已知抛物线（a，b，c是常数，，），经过点，其对称轴是直线．则下列结论：①；②关于x的方程无实数根；③当时，y随x增大而减小；④.其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数解析式中的系数与图象的有关系是解题的关键．
利用对称轴判定④，根据，结合抛物线的解析式判定①，根据，结合对称轴判定③，根据二次函数与一元二次方程的关系判定②．
【详解】∵对称轴是直线，
∴，
整理，得，④正确；
即：，
把点代入解析式，得，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∴，①正确；
∵，
∴抛物线的开中向下，当时，y随x增大而减小，③错误；
∵，
∴直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，②错误；
综合分析可得，正确的有：①④，
故选：B
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 代数式在实数范围内有意义时，应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．
根据二次根式有意义的概念运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 因式分解___________．
【答案】
【解析】
分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝_____cm．
【答案】6
【解析】
【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD．
【详解】∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴BD＝AC＝2CD＝6cm，
故答案为：6．
【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、三角形的外角性质，关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．
14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且．
∴的取值范围为且．
故答案为：且．
15. 如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，则的度数为________．
【答案】105
【解析】
【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
16. 如图，已知正方形的边长为2，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点M，则的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，先由正方形的性质得到，则由勾股定理得到；由折叠的性质可得，则点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，据此可得当点H在上时，有最小值，最小值为；当点F运动到点D时，有最大值，利用勾股定理求出最大值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵正方形的边长为2，E为的中点，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，
∴当点H在上时，有最小值，最小值为；
∵点F在上运动，
∴当点F运动到点D时，有最大值，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：x2+6x+5=0．
【答案】x1=-1，x2=-5
【解析】
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】x2+6x+5=0
(x+1)(x+5)=0
∴x+1=0或x+5=0
∴x1=-1．x2=-5
【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18. 如图，在四边形中，平分和．求证：，．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，进而利用证明，据此可证明，．
【详解】证明：∵平分和，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
19. 已知．
（1）化简；
（2）已知反比例函数的图象经过点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，反比例函图象点的坐标特征，因式分解等知识点，熟练运用运算法则运算是解题的关键．
（1）利用因式分解对分式进行通分，再运算化简即可；
（2）把点代入得到关于的式子后，代入运算即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：∵在反比例函数上，
∴把，代入可得：，
整理得：，
∴．
20. “2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．
（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：
已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；
（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．
【答案】（1）6000
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是频率，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确的画出表格或数状图．
（1）利用表格中的数据确定出参加“2023广州黄埔马拉松” 比赛的频率，根据频率求频数；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
由表格中的数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的频率为，
∴参加“半程马拉松”项目的人数约为：（人），
故答案为：6000；
【小问2详解】
列表得：
由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的情况有种，
恰好录取2名初中生志愿者的概率．
21. 某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
【答案】（1）购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元
（2）这个文具店至少购进甲种圆规80个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：
（1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；
【小问2详解】
解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，
根据题意，得，
解得，
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）尺规作图：作抛物线的对称轴，交轴于点，并标记抛物线的顶点，连接，且与对称轴相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若，求的大小及的值．
【答案】（1）详情见解析；
（2）；．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，垂直平分线的作法，一次函数的图象性质等知识点，熟悉掌握各函数点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴为的中垂线，按要求作图即可；
（2）求出点和的坐标，由列式运算出的值，根据的值求出各边的长进而求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知抛物线的对称轴为的中垂线，再按要求作图如下：
小问2详解】
解：把代入可得：，
∴，
把代入可得：，
解得：或，
∵，
∴，，
∴，
∵，即，
解得：或（舍去），
∴，，， ，
∵的中点坐标为：，即，
∴把代入可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的函数解析式为，
则：，
解得：，
所以直线的表达式为：，
把代入可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
23. 如图，内接于，，的延长线交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；．
【解析】
【分析】（1）延长交于，连接，证明，在线段的垂直平分线上，得出，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）延长交于，连接，则是的直径，可得，由圆周角定理得出，可得，求出的长，由勾股定理求出，利用平行线判定出，由相似三角形的比值关系求出，即可得到；由三角形的中位线定理求出的长，再通过勾股定理求即可．
【小问1详解】
延长交于，连接，如图所示：
∵，，
∴，在线段的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴平分；
【小问2详解】
延长交于，连接，如图所示：
∴是的直径，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
∵，，
∴是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴ ，
∴在中：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
24. 如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．
（1）求证：；
（2）当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①；②存在，最小值是
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；
（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，，
∴，
∵矩形和矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴
【小问2详解】
∵，
∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：
此时，，
①∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
由（1）得：，
∴， 即，
∴；
②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，
由旋转可得：，
∴，
∴，
∴,
过P作于S，则 ，，
∴，则 ，
∴，
∴，
∵，即，
当C、P、K、L四点共线时，的长最小，
由题意，，， ，，
过点L作垂直的延长线于点Q，
，
∴，，
则，
在中，根据勾股定理得，
∴的最小值为.
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.
25. 已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
（1）求点A的坐标；
（2）若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．
【答案】（1）
（2）最大值为4，此时点D的坐标为；
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A的坐标即可；
（2）先求出直线解析式为，同理可得直线解析式为，设，则，，可得，；再证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案；
（3）设，设直线解析式为，可利用待定系数法求出，，同理可得直线解析式为，；如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，可求出，证明，可推出，进而得到；设直线解析式为，联立得，则，据此可得，即直线经过定点；设点D到直线得距离为h，由垂线段最短可得，则当时，h最大，最大值为．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当，解得或，
∴；
【小问2详解】
解：设直线解析式为，直线交直线于H，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
设，则，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴时，有最大值，最大值为4，
∴此时点D的坐标为；
【小问3详解】
解：设，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
联立得，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点；
设点D到直线得距离为h，
由垂线段最短可得，
∴当时，h最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于证明是等腰直角三角形得到，解（3）的关键是推出直线经过定点．
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
7
17
31
58
150
参加“半程马拉松”频率
0.35
034
0.31
0.29
0.30
初中生1
初中生2
高中生
大学生
初中生1
初中生2，
初中生1
高中生，
初中生1
大学生，
初中生1
初中生2
初中生1，
初中生2
高中生，
初中生2
大学生，
初中生2
高中生
初中生1，
高中生
初中生2，
高中生
大学生，
高中生
大学生
初中生1，
大学生
初中生2，
大学生
高中生，
大学生
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