上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷（原卷版+解析版）

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2024.4
考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1. 已知集合，，则________.
2. 设抛物线的准线方程为__________.
3. 计算________（其中为虚数单位）.
4. 若，则__________．
5. 已知二项式，其展开式中含项的系数为________.
6. 各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为________.
7. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________.
8. 若函数为奇函数，则函数，的值域为________.
9. 设复数与所对应的点为与，若，，则________.
10. 有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种.
11. 某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________.

12. 已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________.
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 下列函数中，在区间上为严格增函数的是（ ）
A B. C. D.
14. 已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A B. C. D.
15. 某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A. 350B. 400C. 450D. 500
16. 平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：
①对任意，存在该平面的向量，满足
②对任意，存在该平面向量，满足
则下面判断正确的为（ ）
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①正确，②正确D. ①错误，②错误
三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.

（1）求证：平面平面；
（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.
18. 已知.
（1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）已知，中，，，分别是角，，所对边，若，，，求的值.
19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：
（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；
（2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；
（3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：
根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）.
20. 已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；
（3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）
21. 函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
（1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
（2）已知与为相关函数对，求实数取值范围；
（3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
优秀
合格
总计