上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷（原卷版+解析版）

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（考试时间120分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷共21题，答题纸共2页．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．
2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．
3．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1. 集合，，则________.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则______．
3. 始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.
4. 在的二项展开式中，项的系数为_________.
5. 已知正实数、满足，则的最大值为______．
6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______．
7. 五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有_____种.
8. 函数在处的切线方程为_________.
9. 已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为_________.
10. 双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.
11. 对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.
12. 已知空间中有2个相异点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
14. 已知，奇函数，当时，，则集合可表示为（ ）
A. B.
C. D.
15. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确个数是（ ）
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；
②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.
A. 个B. 个C. 个D. 个
16. 已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示平面图形的面积不大于.
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 在锐角中，角所对边的边长分别为，且.
（1）求角；
（2）求的取值范围.
18. 如图，已知为等腰梯形， ，，平面，.
（1）求证：；
（2）求二面角大小.
19. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
20. 如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
21. 已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；
（3）求证：.
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
121
162
283
患慢性气管炎者
13
43
56
总计
134
205
339