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2024年中考数学复习训练---第11天 最值（范围）问题
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这是一份2024年中考数学复习训练---第11天 最值（范围）问题，共93页。试卷主要包含了在有理数，，0，2中，最小的是，与最接近的整数是，在下列四个实数中，最大的实数是，下列无理数，与3最接近的是等内容，欢迎下载使用。
中考预测
满分技巧
eq \\ac(◇,以) eq \\ac(◇,练) eq \\ac(◇,带) eq \\ac(◇,学)
真题回顾
一．选择题
1．（2022•阜新）在有理数，，0，2中，最小的是
A．B．C．0D．2
2．（2022•郴州）有理数，，0，中，绝对值最大的数是
A．B．C．0D．
3．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为
A．B．C．D．
4．（2022•云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作
A．B．C．D．
5．（2022•泸州）与最接近的整数是
A．4B．5C．6D．7
6．（2021•日照）在下列四个实数中，最大的实数是
A．B．C．D．0
7．（2021•徐州）下列无理数，与3最接近的是
A．B．C．D．
8．（2022•邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是
A．3B．4C．5D．6
9．（2021•绵阳）关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是
A．1B．C．D．2
10．（2022•淄博）若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为
A．1B．2C．3D．4
11．（2022•资阳）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，有最大值为2、最小值为，此时的取值范围是．其中正确结论的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．（2022•衢州）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为
A．或4B．或C．或4D．或4
13．（2022•柳州）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为
A．1B．2C．4D．6
14．（2022•辽宁）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与，是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是
A．2B．3C．4D．5
15．（2022•包头）已知实数，满足，则代数式的最小值等于
A．5B．4C．3D．2
16．（2022•贺州）已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为
A．1B．2C．3D．4
17．（2022•宿迁）如图，点在反比例函数的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是
A．1B．C．D．4
18．（2022•嘉兴）已知点，在直线为常数，上，若的最大值为9，则的值为
A．1B．C．2D．
19．（2022•舟山）已知点，在直线为常数，上，若的最大值为9，则的值为
A．B．2C．D．1
20．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点爬到顶点去觅食，则需要爬行的最短路程是
A．B．2C．D．3
21．（2022•绵阳）如图1，在菱形中，，是的中点，是对角线上一动点，设长为，线段与长度的和为，图2是关于的函数图象，图象右端点的坐标为，，则图象最低点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
22．（2022•湘西州）如图，在中，，为的中点，为上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是
A．24B．22C．20D．18
23．（2022•柳州）如图，从学校到书店有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是
A．①B．②C．③D．④
24．（2022•泰州）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为
A．B．2C．D．4
25．（2022•玉林）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是
A．B．C．D．
26．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，分别是，上的格点，，．若点是这个网格图形中的格点，连结，，则所有满足的中，边的长的最大值是
A．B．6C．D．
27．（2022•杭州）如图，已知内接于半径为1的，是锐角），则的面积的最大值为
A．B．C．D．
28．（2022•泰安）如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为
A．B．C．D．
29．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，，下列各地点中，离原点最近的是
A．超市B．医院C．体育场D．学校
30．（2022•安徽）已知点是边长为6的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是
A．B．C．D．
31．（2022•遂宁）如图，、、分别是三边上的点，其中，边上的高为6，且，则面积的最大值为
A．6B．8C．10D．12
二．填空题
32．（2022•宿迁）满足的最大整数是 ．
33．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是 ．
34．（2022•青海）如图，从一个腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，则此扇形的弧长为 ．
三．解答题
35．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．
（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？
36．（2022•无锡）如图，二次函数的图象与轴交于点、在左侧），点，点在对称轴上．
（1）求、两点坐标；
（2）设直线与抛物线的另一个交点为，求点坐标；
（3）设关于直线、的对称点分别为、，求以为直径的圆面积的最小值．
37．（2022•内蒙古）某商店决定购进、两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进、两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的6倍，且购进种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
区域模拟
一．选择题
1．（2023•宝应县一模）已知点，在直线为常数，上，则有
A．最大值B．最大值9C．最小值D．最小值9
2．（2023•龙港市一模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内有最大值，可能为
A．B．C．0.5D．1.5
3．（2023•平阴县一模）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为
A．B．C．或D．1或
4．（2023•增城区一模）如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为
A．3B．C．D．
5．（2023•大庆一模）若，，则有，即．已知函数与函数，由上述结论判断的值正确的是
A．有最小值4B．有最小值C．有最小值D．有最小值1
6．（2023•济阳区一模）把二次函数的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则的最小整数值为
A．2B．3C．4D．5
7．（2023•肇源县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则点到直线的最小距离为
A．1B．C．D．
8．（2023•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连结，，则面积的最大值是
A．5B．4.5C．6D．4
9．（2023•绥德县一模）已知二次函数，当时，，当时，，点是二次函数图象上一点，要使的值相对最大，则的值可以是
A．B．C．D．0
10．（2023•庐阳区一模）二次函数的图象经过点，则代数式的最小值是
A．2B．3C．4D．5
11．（2023•晋州市模拟）甲、乙、丙、丁四个人所行的路程和所用时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．（2023•龙川县一模）关于二次函数的最值，说法正确的是
A．最小值为B．最小值为3C．最大值为1D．最大值为3
13．（2023•老河口市模拟）点，，，都在反比例函数的图象上，则，，，中最小的是
A．B．C．D．
14．（2023•西安一模）已知二次函数 （其中是自变量），当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为10，则的值为
A．1B． 或C．2.5D．1或
15．（2023•静乐县一模）2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系式为．已知足球被踢出时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间为
A．B．C．D．
16．（2023•岳阳楼区模拟）已知抛物线与轴交于、两点在的左侧），当时，点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为
A．B．1C．5D．8
17．（2023•碑林区三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数确定，其中为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的值为
A．2B．4C．2或D．4或
18．（2023•莲湖区一模）已知抛物线，当时，的最小值为，则当时，的最大值为
A．2B．1C．0D．
19．（2023•雁塔区模拟）已知二次函数（其中是自变量且，当时，随的增大而减小，且时，的最大值为7，则的值为
A．1或B．1C．2或D．2
20．（2023•滦州市模拟）如图，在矩形纸片中，，，沿对角线剪开（如图；固定，把沿方向平移（如图，当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离等于
A．1B．1.5C．2D．3
21．（2023•广东模拟）二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值4，则的值为
A．B．C．1D．2
二．填空题
22．（2023•莱西市一模）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．连接，，则的最大面积为 ．
23．（2023•宁津县一模）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 ．
24．（2023•工业园区一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ．
25．（2023•武进区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，在直线上运动，则的最小值为 ．
26．（2023•杨浦区二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ．
27．（2023•二道区模拟）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：，，，．二次函数的图象经过其中任意三个点，当的值最大时，二次函数的解析式为 ．
28．（2023•蚌山区模拟）市政府要规划一个形如梯形的花园，如图，，米．园林设计者想在该花园内设计一个四边形区域来种植花卉，其他区域种植草皮，已知种植花卉的费用为每平方米100元．要求、分别位于、边上，，且，米．为了节约成本，要使得种植花卉所需总费用尽可能的少，即种植花卉的面积尽可能的小，请根据相关数据求出种花卉所需总费用的最小值为 元．
29．（2023•五常市一模）二次函数的最小值是 ．
30．（2023•陇南模拟）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是 ．
31．（2023•凤凰县模拟）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为 ．
32．（2023•绿园区模拟）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围是 ．
三．解答题
33．（2023•海安市一模）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价（元与月份的函数关系如图所示，该服装每件的进价（元与月份的关系为．
（1）①求与之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
34．（2023•呼和浩特一模）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元件，售价为60元件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件．
（1）若设每件涨价元，则每星期实际可卖出 件，每星期售出商品的利润（元与的关系式为 ，的取值范围是 ；
（2）若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元与的关系式为 ；
（3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
35．（2023•天山区一模）一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元千克、设销售时间为（天，通过一个月天）的试销，该种水果的售价（元千克）与销售时间（天满足如图所示的函数关系（其中，且为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．
（1）直接写出售价（元千克）与销售时间（天的函数关系式；
（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？
36．（2023•平阳县一模）已知抛物线．
（1）若抛物线与轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与轴的交点在轴正半轴上，与轴有交点．若点，在抛物线上，求的取值范围及的最大值．
37．（2023•姑苏区模拟）如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过，两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标；
（3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接；点为线段上一点，且，连接，求的最小值 （直接写出答案）．
考前押题
一．选择题
1．已知二次函数的图象以轴为对称轴．若点在该二次函数的图象上，则的最大值等于
A．B．4C．D．
2．已知二次函数、是常数，且的图象过点与点，当时，有最小值，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点，点为线段的中点，点为轴上的一个动点，连接，，，当的周长最小时，点的坐标为
A．B．C．D．
二．填空题
4．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，当线段最短时，的周长为，的周长为， ．
三．解答题
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最大值；
（3）若函数在（其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围．
真题回顾
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：有理数，，0，2中，最小的是，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：的绝对值是2，的绝对值是，0的绝对值是0，的绝对值是．
，
的绝对值最大．
故选．
3．【答案】
【解答】解：根据题意得：，
则该地这天的温差为．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：零上记作，
零下记作：，
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，而，
更接近4，
更接近6，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：，，，，，
与3最接近的是．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
解得：，
不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，
，
的最大值是5，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实根、，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
的最大值是2，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：二次函数的图象经过，
，
，
，
在上，
，
，
，
的最小值为1．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
，，
，
，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，
因此将代入得，，
即，故②正确；
，
，
从图中可以看出，当时，函数值小于0，
，
，故③正确；
二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为，
当时，；
根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选．
12．【答案】
【解答】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
的最小值为，
，
；
当时，在，当时，函数有最小值，
，
解得；
综上所述：的值为4或，
故选：．
13．【答案】
【解答】解：点是内部（包括边上）的一点，
点在直线上，如图所示，
当为直线与直线的交点时，取最大值，
当为直线与直线的交点时，取最小值，
中令，则，
中令，则，
的最大值为1，的最小值为．
则的最大值与最小值之差为：．
故选：．
14．【答案】
【解答】解：抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
，．
，，
，
①的结论正确；
抛物线经过点，
，
，
．
，
②的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的对称点为，
，
当时，随的增大而减小．
，
．
③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标为，1，
方程的两根为，，
④的结论正确；
直线经过点，
，
．
，
，
，
．
函数
，
，
当时，函数有最大值，
⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：，
，
，
代数式的最小值等于5，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
当时，，
解得或，
当时，的最大值为15，
，
故选：．
17．【答案】
【解答】解：三角形是等腰直角三角形，
当最小时，最小，
设点坐标为，
，
，
即：，
，
，
两边同时开平方得：，
当时，有最小值，
解得，（舍去），
点坐标为，，
，
三角形是等腰直角三角形，为斜边，
．
解法二：最小时，最小，此时是到图象上的最近距离，的解析式是，
故，，
的最小值为2，
的最小值为．
故选：．
18．【答案】
【解答】解：点，在直线上，
，
由①可得：，
的最大值为9，
，，
解得，
把代入②得：，
，
故选：．
19．【答案】
【解答】解：点，在直线上，
，
由①可得：，
的最大值为9，
，，
解得，
把代入②得：，
，
故选：．
20．【答案】
【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段的长，如图：
正方体棱长为1，
，，
，
需要爬行的最短路程为；
故选：．
21．【答案】
【解答】解：如图，连接，，
四边形是菱形，，
，垂直平分，，，
，是等边三角形，
，
当点在线段上时，有最小值为的长，
点的坐标为，，
，，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为：，，
故选：．
22．【答案】
【解答】解：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形的周长，
当最小时，即时四边形的周长有最小值，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的周长最小值为，
故选：．
23．【答案】
【解答】解：根据题意可得，
从学校到书店有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：．
24．【答案】
【解答】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点，，，在同一条线上时，最小，即最小，
连接，
最小值为，
在中，，
最小，
故选：．
25．【答案】
【解答】解：过点作于，
用刻度尺测量的长度，更接近，
故选：．
26．【答案】
【解答】解：如图所示：
，，且，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
根据题意得到点的轨迹为圆弧，当为直径时最长，
在和中，
根据勾股定理得：，
则．
故选：．
27．【答案】
【解答】解：当的高经过圆的圆心时，此时的面积最大，
如图所示，
，
，，
在中，
，
，，
，
，
．
故选：．
28．【答案】
【解答】解：如图，取的中点，连接，．
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，2为半径的上，
，
，
的最小值为．
故选：．
29．【答案】
【解答】解：如右图所示，
点到超市的距离为：，
点到学校的距离为：，
点到体育场的距离为：，
点到医院的距离为：，
，
点到超市的距离最近，
故选：．
30．【答案】
【解答】解：如图，不妨假设点在的左侧，
，
，
，
，
，
是等边三角形，边长为6，
，
，
过点作的平行线，连接延长交于点，交于点．
的面积是定值，
点的运动轨迹是直线，
是的中心，
，，
，，，
，
，
，
的最小值为，
当点在②区域时，同法可得的最小值为，
如图，当点在①③⑤区域时，的最小值为，当点在②④⑥区域时，最小值为，
，
故选：．
31．【答案】
【解答】解：如图，过点作于，交于点，则，
设，
，
，，
，
，
，
，
面积
，
当时，有最大值，最大值为6．
故选：．
二．填空题
32．【答案】3．
【解答】解：，且，
最大整数是3．
故答案为：3．
33．【答案】2．
【解答】解：方法一：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
如图，当点在轴上时，△为等边三角形，
则，，
，
，，
，且，
由勾股定理得：，
，
点的坐标为，，
如图，当点在轴上时，
△为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
，
点运动所形成的图象是一条直线，
当时，线段最短，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
在△中，
设点到的距离为，则
，
，
解得，
即线段的最小值为2；
方法二：如图，在第二象限作等边三角形，连接、，
过点作轴于点，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
是轴上一动点，
当轴时，最小，即点与点重合时最小，
，，
，
的最小值为2，
故答案为2．
34．【答案】．
【解答】解：过作于，当扇形的半径为时扇形最大，
，，
，
，
弧的长，
故答案为：．
三．解答题
35．【答案】（1）若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
（2）当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．
【解答】解：（1），（元，
若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
（2）若每箱水果降价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为6400元；
若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为6250元；
综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．
36．【答案】（1），；
（2）；
（3）以为直径的圆面积最小为．
【解答】解：（1）在中，
令得：，
解得或，
，；
（2）设直线对应的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得
直线对应的函数表达式为，
联立，
解得或，
；
（3）设交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线交于，连接，，过作轴于，过作于，如图：
由得抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
，
，
，
，关于对称，
，，
，是等腰直角三角形，
设，，则，
，
，
，关于对称，
，为的中点，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
为的中点，
，
由，可得直线解析式为，
把代入得：
，
，
，，
，
，
的最小值为，
以为直径的圆面积最小为，
答：以为直径的圆面积最小为．
37．【答案】（1）该商店购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元；
（2）共有6种进货方案；
（3）当购进种纪念品160件，种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【解答】解：（1）设该商店购进种纪念品每件需元，购进种纪念品每件需元，
由题意，得，
解得，
该商店购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进种纪念品个，购进种纪念品个，
根据题意，得，
由得，
把代入，解得，
，
且为正整数，
可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与相对应的可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
共有6种进货方案；
（3）设总利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大（元，
当购进种纪念品160件，种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
区域模拟
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：点，在直线上，
，
由①可得：，
，
解得，
开口向下，有最大值，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：，
二次函数的图象开口向上，，
二次函数图象的对称轴为直线，最小值为，
当时，，
点在二次函数图象上，且点关于对称轴的对称点为，
该函数在的取值范围内有最大值，
，
可能为1.5，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，
当时，函数的最大值与最小值的差为4，
当，
解得，，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：如图，设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．
对于，令，则，
．
令，则，
．
，．
，
，
的中点为，
，
，
为等边三角形，
，
．
由旋转的性质可知，，
，即，
，
．
为定点，为定值，
当在直线上运动时，点也在定直线上运动，
当点与点重合时，最短．
点与点关于轴对称，
，
．
，
，即的最小值为3．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：变换后图象解析式为，
抛物线顶点坐标为，
原函数图象解析式为，
，即，
将代入得，
将代入得，
，
，
整理得，
，
，即，
的最小整数值为4，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：连接，如图，
点为弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上（点、除外），
以为直径作，过点作直线于，交于、，
当时，，则，
当时，，
解得，则，
，
，
的半径为2，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
，．
点到直线的最小距离为．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：抛物线，
该抛物线与轴的交点为，顶点坐标为，
点的坐标为，
过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，
点和点的纵坐标为1，
将代入，可得到，，
，
点在抛物线上且在轴的上方，
当在抛物线的顶点时，面积的最大，
面积的最大值是，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：当时，；当时，，
抛物线经过原点，与轴的另一个交点在和之间，抛物线的开口向下，
抛物线的对称轴满足，
当点的横坐标为时，点到抛物线的对称轴的距离最小，此时对应的函数值最大，
即取时，的值相对最大．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：二次函数的图象经过点，
，
，
；
所以代数式的最小值是4，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：分钟甲步行的路程为，
甲的平均速度是，
分钟乙步行的路程为，
乙的平均速度是，
分钟丙步行的路程为，
丙的平均速度是，
分钟丁步行的路程为，
丁的平均速度是，
走的最快的是甲，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：二次函数中，
，
函数图象开口向下，
函数有最大值，
函数图象的顶点坐标为，
二次函数的最大值为3．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：点，，，都在反比例函数的图象上，
，，，，
．
，，，中最小的是．
故选：．
14．【答案】
【解答】解：二次函数（其中是自变量），
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
时，的最大值为10，
时，，
，
或（不合题意舍去），
，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：根据题意得，当时，，
则，
解得，
，
，
当时，最大，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：抛物线
对称轴为，
当时，点的横坐标最小值为，
当时，点的横坐标为，
，解得，
当时，点的横坐标最大，
，
，，
点的横坐标最大值为8．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：，其中为实数．其中某个喷泉水柱的最大高度是4，
，
解得，
故选：．
18．【答案】
【解答】解：抛物线，
该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值为，
当时，的最小值为，
时，，得，
，
，
时，取得最大值，此时，
故选：．
19．【答案】
【解答】解：，
抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
抛物线开口向上，，
，
时，，
解得（舍或，
故选：．
20．【答案】
【解答】解：如图，设交于点，
，
设，，
，，
，
，
两个三角形重叠部分的面积是，
当时，阴影部分的面积最大，
．
故选：．
21．【答案】
【解答】解：当时，该函数有最大值4，
，
解得，
，，
，
，至少有一个负数，
当，都小于0时，，不符合题意，
当，时，
可化为，
，
，
解得，
故选：．
二．填空题
22．【答案】．
【解答】解：，，
，
把，代入中，得：
，
解得，
抛物线解析式为，
令，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
23．【答案】甲．
【解答】解：分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多，
甲的平均速度乙的平均速度，丁的平均速度丙的平均速度，
步行3千米时，乙比丙用的时间少，
乙的平均速度丙的平均速度，
走得最快的是甲，
故答案为：甲．
24．【答案】．
【解答】解：
函数的随的增大而增大
当时，函数的函数值为边界值，
边界值小于3
，解得：．
故答案为：．
25．【答案】．
【解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，；
，，
，，
，
直线与直线交于点，在直线上运动，
直线即为直线，
点到直线的距离，垂线段最短，
当时，的值最小，
，
，
；
即的最小值为；
故答案为：．
26．【答案】．
【解答】解：顶点是抛物线的最高点，
．
故答案为：．
27．【答案】．
【解答】解：由图象知，、、组成的点开口向上，，
、、组成的二次函数开口向上，；
、、三点组成的二次函数开口向下，；
、、三点组成的二次函数开口向下，；
、、组成的二次函数的图象的开口小于、、组成的二次函数的开口大小．
、、组成的二次函数的图象中，的值最大，
当抛物线过、、三点时，则，
解得，
故的值最大时二次函数的解析式为，
故答案为：．
28．【答案】97600．
【解答】解：如图：作，连接，设，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
则，
，
，
时，有最小值是，
即时，四边形的最小面积是，
种花卉所需总费用的最小值为：（元，
故答案为：97600．
29．【答案】．
【解答】解：二次函数的解析式为：，
函数图象开口向上，顶点坐标为，
函数的最小值为．
故答案为：．
30．【答案】．
【解答】解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，，
设，
则，，
在中，，
，
，，
梯形面积
，
当时，．
即长为时，使梯形储料场的面积最大为；
故答案为：．
31．【答案】．
【解答】解：，，．
．
．
由，得，代入上式，得：．
设，当取得最大值时，也取得最大值．
．
当时，取得最大值4．
的最大值为．
故答案为：．
32．【答案】．
【解答】解：，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
时，函数的最大值为3，
解得，
故答案为：．
三．解答题
33．【答案】（1）第3个月每件服装的利润为49元；
（2）第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
【解答】解：（1）①当时，设与之间的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
，
；
②当时，，
，
第3个月每件服装的利润为（元；
（2）设每月的利润为，
则，
当时，，
该函数的对称轴为直线，
，
在该函数图象上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
当时，取得最大值，最大值为（元；
当时，，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为（元．
，
第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
34．【答案】（1），，，且为整数；
（2）；
（3）商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元．
【解答】解：（1）进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件，设每件涨价元，
现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，
，即，
，则，
，且为整数，
故答案为：，，，且为整数．
（2）进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件，设每件降价元，
现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，
，即，
故答案为：．
（3）由（1）可知，，为整数），
，
当时，商品的利润最大，最大利润，
商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元．
35．【答案】（1）；
（2）试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．
【解答】解：（1）当时，设售价（元千克）与销售时间（天的函数关系式为，
把，代入得，
，
；
由函数图象可知当时，；
综上所述，；
（2）设第天的利润为，
该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克，
第天的销售量为千克，
当时，
，
当时，最大，最大为1250；
当时，，
，
当时，最大，最大为；
，
试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．
36．【答案】（1），顶点为．
（2），的最大值为1．
【解答】解：（1）将代入得，
，
抛物线的顶点为．
（2）将代入得，
抛物线与轴交点坐标为，
，
抛物线与轴有交点，
，
或（舍．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，在抛物线上，
，
，
，
，
解得，
的最大值为1．
37．【答案】（1）二次函数的表达式为；
（2）点的横坐标为2或或或；
（3）．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）如图：
由，得直线解析式为，
，
抛物线对称轴为直线，
设，则，，
，，
，
，
解得或或或；
点的横坐标为2或或或；
（3）过作交轴于，作关于的对称点，连接，，，，如图：
，，关于轴对称，
，
在中，令得或，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
关于的对称点为，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
的最小值为．
故答案为：．
考前押题
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，
，
，
，
当时，取得最大值，
此时，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：二次函数、是常数，的图象经过点和，
，解得，
函数，
该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴交点为，
当时，，
当时，，
当时，有最小值，
．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：直线，当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为．
又点为线段的中点，
点的坐标为，．
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，如图所示．
点，关于轴对称，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，，代入得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的周长最小时，点的坐标为．
故选：．
二．填空题
4．【答案】5．
【解答】解：当线段最短时，，
从图2可以看出：
，，，，
此时，，
的周长，
的周长，
故：与的周长的差为5，
故答案为：5．
三．解答题
5．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）在中，令得，
，
，
又，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）过作交抛物线于，如图：
由，得直线解析式为，
设，
在中，令得：
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
的最大值为；
（3），
抛物线的对称轴为直线，
当时，中，随的增大而增大，
，
，
在（其中范围内，
当时，取最大值，即，
当时，取最小值．即，
，
，
，
解得，
，
的取值范围是．
最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
预测分值：10分左右
难度指数：★★★★
必考指数：★★★★
1).在代数部分最值问题多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。
2)在几何最值问题，八何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有:(1)几何图形中在特殊位置下的最值;(2)比较难的线段的最值问题，其依据是:①两点之间，线段最短;②垂线段最短，涉及的基本方法还有:利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大干第三边”“三角形两边之差小干第三边”等;③借助干圆的知识;④二次函数的最值法解决。
中考预测
满分技巧
eq \\ac(◇,以) eq \\ac(◇,练) eq \\ac(◇,带) eq \\ac(◇,学)
真题回顾
一．选择题
1．（2022•阜新）在有理数，，0，2中，最小的是
A．B．C．0D．2
2．（2022•郴州）有理数，，0，中，绝对值最大的数是
A．B．C．0D．
3．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为
A．B．C．D．
4．（2022•云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作
A．B．C．D．
5．（2022•泸州）与最接近的整数是
A．4B．5C．6D．7
6．（2021•日照）在下列四个实数中，最大的实数是
A．B．C．D．0
7．（2021•徐州）下列无理数，与3最接近的是
A．B．C．D．
8．（2022•邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是
A．3B．4C．5D．6
9．（2021•绵阳）关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是
A．1B．C．D．2
10．（2022•淄博）若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为
A．1B．2C．3D．4
11．（2022•资阳）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，有最大值为2、最小值为，此时的取值范围是．其中正确结论的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．（2022•衢州）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为
A．或4B．或C．或4D．或4
13．（2022•柳州）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为
A．1B．2C．4D．6
14．（2022•辽宁）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与，是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是
A．2B．3C．4D．5
15．（2022•包头）已知实数，满足，则代数式的最小值等于
A．5B．4C．3D．2
16．（2022•贺州）已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为
A．1B．2C．3D．4
17．（2022•宿迁）如图，点在反比例函数的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是
A．1B．C．D．4
18．（2022•嘉兴）已知点，在直线为常数，上，若的最大值为9，则的值为
A．1B．C．2D．
19．（2022•舟山）已知点，在直线为常数，上，若的最大值为9，则的值为
A．B．2C．D．1
20．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点爬到顶点去觅食，则需要爬行的最短路程是
A．B．2C．D．3
21．（2022•绵阳）如图1，在菱形中，，是的中点，是对角线上一动点，设长为，线段与长度的和为，图2是关于的函数图象，图象右端点的坐标为，，则图象最低点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
22．（2022•湘西州）如图，在中，，为的中点，为上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是
A．24B．22C．20D．18
23．（2022•柳州）如图，从学校到书店有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是
A．①B．②C．③D．④
24．（2022•泰州）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为
A．B．2C．D．4
25．（2022•玉林）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是
A．B．C．D．
26．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，分别是，上的格点，，．若点是这个网格图形中的格点，连结，，则所有满足的中，边的长的最大值是
A．B．6C．D．
27．（2022•杭州）如图，已知内接于半径为1的，是锐角），则的面积的最大值为
A．B．C．D．
28．（2022•泰安）如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为
A．B．C．D．
29．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，，下列各地点中，离原点最近的是
A．超市B．医院C．体育场D．学校
30．（2022•安徽）已知点是边长为6的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是
A．B．C．D．
31．（2022•遂宁）如图，、、分别是三边上的点，其中，边上的高为6，且，则面积的最大值为
A．6B．8C．10D．12
二．填空题
32．（2022•宿迁）满足的最大整数是 ．
33．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是 ．
34．（2022•青海）如图，从一个腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，则此扇形的弧长为 ．
三．解答题
35．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．
（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？
36．（2022•无锡）如图，二次函数的图象与轴交于点、在左侧），点，点在对称轴上．
（1）求、两点坐标；
（2）设直线与抛物线的另一个交点为，求点坐标；
（3）设关于直线、的对称点分别为、，求以为直径的圆面积的最小值．
37．（2022•内蒙古）某商店决定购进、两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进、两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的6倍，且购进种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
区域模拟
一．选择题
1．（2023•宝应县一模）已知点，在直线为常数，上，则有
A．最大值B．最大值9C．最小值D．最小值9
2．（2023•龙港市一模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内有最大值，可能为
A．B．C．0.5D．1.5
3．（2023•平阴县一模）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为
A．B．C．或D．1或
4．（2023•增城区一模）如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为
A．3B．C．D．
5．（2023•大庆一模）若，，则有，即．已知函数与函数，由上述结论判断的值正确的是
A．有最小值4B．有最小值C．有最小值D．有最小值1
6．（2023•济阳区一模）把二次函数的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则的最小整数值为
A．2B．3C．4D．5
7．（2023•肇源县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则点到直线的最小距离为
A．1B．C．D．
8．（2023•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连结，，则面积的最大值是
A．5B．4.5C．6D．4
9．（2023•绥德县一模）已知二次函数，当时，，当时，，点是二次函数图象上一点，要使的值相对最大，则的值可以是
A．B．C．D．0
10．（2023•庐阳区一模）二次函数的图象经过点，则代数式的最小值是
A．2B．3C．4D．5
11．（2023•晋州市模拟）甲、乙、丙、丁四个人所行的路程和所用时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．（2023•龙川县一模）关于二次函数的最值，说法正确的是
A．最小值为B．最小值为3C．最大值为1D．最大值为3
13．（2023•老河口市模拟）点，，，都在反比例函数的图象上，则，，，中最小的是
A．B．C．D．
14．（2023•西安一模）已知二次函数 （其中是自变量），当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为10，则的值为
A．1B． 或C．2.5D．1或
15．（2023•静乐县一模）2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系式为．已知足球被踢出时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间为
A．B．C．D．
16．（2023•岳阳楼区模拟）已知抛物线与轴交于、两点在的左侧），当时，点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为
A．B．1C．5D．8
17．（2023•碑林区三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数确定，其中为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的值为
A．2B．4C．2或D．4或
18．（2023•莲湖区一模）已知抛物线，当时，的最小值为，则当时，的最大值为
A．2B．1C．0D．
19．（2023•雁塔区模拟）已知二次函数（其中是自变量且，当时，随的增大而减小，且时，的最大值为7，则的值为
A．1或B．1C．2或D．2
20．（2023•滦州市模拟）如图，在矩形纸片中，，，沿对角线剪开（如图；固定，把沿方向平移（如图，当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离等于
A．1B．1.5C．2D．3
21．（2023•广东模拟）二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值4，则的值为
A．B．C．1D．2
二．填空题
22．（2023•莱西市一模）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．连接，，则的最大面积为 ．
23．（2023•宁津县一模）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 ．
24．（2023•工业园区一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ．
25．（2023•武进区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，在直线上运动，则的最小值为 ．
26．（2023•杨浦区二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ．
27．（2023•二道区模拟）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：，，，．二次函数的图象经过其中任意三个点，当的值最大时，二次函数的解析式为 ．
28．（2023•蚌山区模拟）市政府要规划一个形如梯形的花园，如图，，米．园林设计者想在该花园内设计一个四边形区域来种植花卉，其他区域种植草皮，已知种植花卉的费用为每平方米100元．要求、分别位于、边上，，且，米．为了节约成本，要使得种植花卉所需总费用尽可能的少，即种植花卉的面积尽可能的小，请根据相关数据求出种花卉所需总费用的最小值为 元．
29．（2023•五常市一模）二次函数的最小值是 ．
30．（2023•陇南模拟）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是 ．
31．（2023•凤凰县模拟）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为 ．
32．（2023•绿园区模拟）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围是 ．
三．解答题
33．（2023•海安市一模）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价（元与月份的函数关系如图所示，该服装每件的进价（元与月份的关系为．
（1）①求与之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
34．（2023•呼和浩特一模）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元件，售价为60元件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件．
（1）若设每件涨价元，则每星期实际可卖出 件，每星期售出商品的利润（元与的关系式为 ，的取值范围是 ；
（2）若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元与的关系式为 ；
（3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
35．（2023•天山区一模）一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元千克、设销售时间为（天，通过一个月天）的试销，该种水果的售价（元千克）与销售时间（天满足如图所示的函数关系（其中，且为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．
（1）直接写出售价（元千克）与销售时间（天的函数关系式；
（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？
36．（2023•平阳县一模）已知抛物线．
（1）若抛物线与轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与轴的交点在轴正半轴上，与轴有交点．若点，在抛物线上，求的取值范围及的最大值．
37．（2023•姑苏区模拟）如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过，两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标；
（3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接；点为线段上一点，且，连接，求的最小值 （直接写出答案）．
考前押题
一．选择题
1．已知二次函数的图象以轴为对称轴．若点在该二次函数的图象上，则的最大值等于
A．B．4C．D．
2．已知二次函数、是常数，且的图象过点与点，当时，有最小值，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点，点为线段的中点，点为轴上的一个动点，连接，，，当的周长最小时，点的坐标为
A．B．C．D．
二．填空题
4．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，当线段最短时，的周长为，的周长为， ．
三．解答题
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最大值；
（3）若函数在（其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围．
真题回顾
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：有理数，，0，2中，最小的是，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：的绝对值是2，的绝对值是，0的绝对值是0，的绝对值是．
，
的绝对值最大．
故选．
3．【答案】
【解答】解：根据题意得：，
则该地这天的温差为．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：零上记作，
零下记作：，
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，而，
更接近4，
更接近6，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：，，，，，
与3最接近的是．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
解得：，
不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，
，
的最大值是5，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实根、，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
的最大值是2，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：二次函数的图象经过，
，
，
，
在上，
，
，
，
的最小值为1．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
，，
，
，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，
因此将代入得，，
即，故②正确；
，
，
从图中可以看出，当时，函数值小于0，
，
，故③正确；
二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为，
当时，；
根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选．
12．【答案】
【解答】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
的最小值为，
，
；
当时，在，当时，函数有最小值，
，
解得；
综上所述：的值为4或，
故选：．
13．【答案】
【解答】解：点是内部（包括边上）的一点，
点在直线上，如图所示，
当为直线与直线的交点时，取最大值，
当为直线与直线的交点时，取最小值，
中令，则，
中令，则，
的最大值为1，的最小值为．
则的最大值与最小值之差为：．
故选：．
14．【答案】
【解答】解：抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
，．
，，
，
①的结论正确；
抛物线经过点，
，
，
．
，
②的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的对称点为，
，
当时，随的增大而减小．
，
．
③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标为，1，
方程的两根为，，
④的结论正确；
直线经过点，
，
．
，
，
，
．
函数
，
，
当时，函数有最大值，
⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：，
，
，
代数式的最小值等于5，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
当时，，
解得或，
当时，的最大值为15，
，
故选：．
17．【答案】
【解答】解：三角形是等腰直角三角形，
当最小时，最小，
设点坐标为，
，
，
即：，
，
，
两边同时开平方得：，
当时，有最小值，
解得，（舍去），
点坐标为，，
，
三角形是等腰直角三角形，为斜边，
．
解法二：最小时，最小，此时是到图象上的最近距离，的解析式是，
故，，
的最小值为2，
的最小值为．
故选：．
18．【答案】
【解答】解：点，在直线上，
，
由①可得：，
的最大值为9，
，，
解得，
把代入②得：，
，
故选：．
19．【答案】
【解答】解：点，在直线上，
，
由①可得：，
的最大值为9，
，，
解得，
把代入②得：，
，
故选：．
20．【答案】
【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段的长，如图：
正方体棱长为1，
，，
，
需要爬行的最短路程为；
故选：．
21．【答案】
【解答】解：如图，连接，，
四边形是菱形，，
，垂直平分，，，
，是等边三角形，
，
当点在线段上时，有最小值为的长，
点的坐标为，，
，，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为：，，
故选：．
22．【答案】
【解答】解：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形的周长，
当最小时，即时四边形的周长有最小值，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的周长最小值为，
故选：．
23．【答案】
【解答】解：根据题意可得，
从学校到书店有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：．
24．【答案】
【解答】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点，，，在同一条线上时，最小，即最小，
连接，
最小值为，
在中，，
最小，
故选：．
25．【答案】
【解答】解：过点作于，
用刻度尺测量的长度，更接近，
故选：．
26．【答案】
【解答】解：如图所示：
，，且，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
根据题意得到点的轨迹为圆弧，当为直径时最长，
在和中，
根据勾股定理得：，
则．
故选：．
27．【答案】
【解答】解：当的高经过圆的圆心时，此时的面积最大，
如图所示，
，
，，
在中，
，
，，
，
，
．
故选：．
28．【答案】
【解答】解：如图，取的中点，连接，．
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，2为半径的上，
，
，
的最小值为．
故选：．
29．【答案】
【解答】解：如右图所示，
点到超市的距离为：，
点到学校的距离为：，
点到体育场的距离为：，
点到医院的距离为：，
，
点到超市的距离最近，
故选：．
30．【答案】
【解答】解：如图，不妨假设点在的左侧，
，
，
，
，
，
是等边三角形，边长为6，
，
，
过点作的平行线，连接延长交于点，交于点．
的面积是定值，
点的运动轨迹是直线，
是的中心，
，，
，，，
，
，
，
的最小值为，
当点在②区域时，同法可得的最小值为，
如图，当点在①③⑤区域时，的最小值为，当点在②④⑥区域时，最小值为，
，
故选：．
31．【答案】
【解答】解：如图，过点作于，交于点，则，
设，
，
，，
，
，
，
，
面积
，
当时，有最大值，最大值为6．
故选：．
二．填空题
32．【答案】3．
【解答】解：，且，
最大整数是3．
故答案为：3．
33．【答案】2．
【解答】解：方法一：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
如图，当点在轴上时，△为等边三角形，
则，，
，
，，
，且，
由勾股定理得：，
，
点的坐标为，，
如图，当点在轴上时，
△为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
，
点运动所形成的图象是一条直线，
当时，线段最短，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
在△中，
设点到的距离为，则
，
，
解得，
即线段的最小值为2；
方法二：如图，在第二象限作等边三角形，连接、，
过点作轴于点，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
是轴上一动点，
当轴时，最小，即点与点重合时最小，
，，
，
的最小值为2，
故答案为2．
34．【答案】．
【解答】解：过作于，当扇形的半径为时扇形最大，
，，
，
，
弧的长，
故答案为：．
三．解答题
35．【答案】（1）若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
（2）当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．
【解答】解：（1），（元，
若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
（2）若每箱水果降价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为6400元；
若每箱水果涨价元，这种水果的每周销售利润为元，
根据题意得：，
由二次函数性质可知，当时，的最大值为6250元；
综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．
36．【答案】（1），；
（2）；
（3）以为直径的圆面积最小为．
【解答】解：（1）在中，
令得：，
解得或，
，；
（2）设直线对应的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得
直线对应的函数表达式为，
联立，
解得或，
；
（3）设交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线交于，连接，，过作轴于，过作于，如图：
由得抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
，
，
，
，关于对称，
，，
，是等腰直角三角形，
设，，则，
，
，
，关于对称，
，为的中点，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
为的中点，
，
由，可得直线解析式为，
把代入得：
，
，
，，
，
，
的最小值为，
以为直径的圆面积最小为，
答：以为直径的圆面积最小为．
37．【答案】（1）该商店购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元；
（2）共有6种进货方案；
（3）当购进种纪念品160件，种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【解答】解：（1）设该商店购进种纪念品每件需元，购进种纪念品每件需元，
由题意，得，
解得，
该商店购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进种纪念品个，购进种纪念品个，
根据题意，得，
由得，
把代入，解得，
，
且为正整数，
可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与相对应的可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
共有6种进货方案；
（3）设总利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大（元，
当购进种纪念品160件，种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
区域模拟
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：点，在直线上，
，
由①可得：，
，
解得，
开口向下，有最大值，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：，
二次函数的图象开口向上，，
二次函数图象的对称轴为直线，最小值为，
当时，，
点在二次函数图象上，且点关于对称轴的对称点为，
该函数在的取值范围内有最大值，
，
可能为1.5，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，
当时，函数的最大值与最小值的差为4，
当，
解得，，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：如图，设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．
对于，令，则，
．
令，则，
．
，．
，
，
的中点为，
，
，
为等边三角形，
，
．
由旋转的性质可知，，
，即，
，
．
为定点，为定值，
当在直线上运动时，点也在定直线上运动，
当点与点重合时，最短．
点与点关于轴对称，
，
．
，
，即的最小值为3．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：变换后图象解析式为，
抛物线顶点坐标为，
原函数图象解析式为，
，即，
将代入得，
将代入得，
，
，
整理得，
，
，即，
的最小整数值为4，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：连接，如图，
点为弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上（点、除外），
以为直径作，过点作直线于，交于、，
当时，，则，
当时，，
解得，则，
，
，
的半径为2，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
，．
点到直线的最小距离为．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：抛物线，
该抛物线与轴的交点为，顶点坐标为，
点的坐标为，
过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，
点和点的纵坐标为1，
将代入，可得到，，
，
点在抛物线上且在轴的上方，
当在抛物线的顶点时，面积的最大，
面积的最大值是，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：当时，；当时，，
抛物线经过原点，与轴的另一个交点在和之间，抛物线的开口向下，
抛物线的对称轴满足，
当点的横坐标为时，点到抛物线的对称轴的距离最小，此时对应的函数值最大，
即取时，的值相对最大．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：二次函数的图象经过点，
，
，
；
所以代数式的最小值是4，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：分钟甲步行的路程为，
甲的平均速度是，
分钟乙步行的路程为，
乙的平均速度是，
分钟丙步行的路程为，
丙的平均速度是，
分钟丁步行的路程为，
丁的平均速度是，
走的最快的是甲，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：二次函数中，
，
函数图象开口向下，
函数有最大值，
函数图象的顶点坐标为，
二次函数的最大值为3．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：点，，，都在反比例函数的图象上，
，，，，
．
，，，中最小的是．
故选：．
14．【答案】
【解答】解：二次函数（其中是自变量），
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
时，的最大值为10，
时，，
，
或（不合题意舍去），
，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：根据题意得，当时，，
则，
解得，
，
，
当时，最大，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：抛物线
对称轴为，
当时，点的横坐标最小值为，
当时，点的横坐标为，
，解得，
当时，点的横坐标最大，
，
，，
点的横坐标最大值为8．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：，其中为实数．其中某个喷泉水柱的最大高度是4，
，
解得，
故选：．
18．【答案】
【解答】解：抛物线，
该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值为，
当时，的最小值为，
时，，得，
，
，
时，取得最大值，此时，
故选：．
19．【答案】
【解答】解：，
抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
抛物线开口向上，，
，
时，，
解得（舍或，
故选：．
20．【答案】
【解答】解：如图，设交于点，
，
设，，
，，
，
，
两个三角形重叠部分的面积是，
当时，阴影部分的面积最大，
．
故选：．
21．【答案】
【解答】解：当时，该函数有最大值4，
，
解得，
，，
，
，至少有一个负数，
当，都小于0时，，不符合题意，
当，时，
可化为，
，
，
解得，
故选：．
二．填空题
22．【答案】．
【解答】解：，，
，
把，代入中，得：
，
解得，
抛物线解析式为，
令，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
23．【答案】甲．
【解答】解：分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多，
甲的平均速度乙的平均速度，丁的平均速度丙的平均速度，
步行3千米时，乙比丙用的时间少，
乙的平均速度丙的平均速度，
走得最快的是甲，
故答案为：甲．
24．【答案】．
【解答】解：
函数的随的增大而增大
当时，函数的函数值为边界值，
边界值小于3
，解得：．
故答案为：．
25．【答案】．
【解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，；
，，
，，
，
直线与直线交于点，在直线上运动，
直线即为直线，
点到直线的距离，垂线段最短，
当时，的值最小，
，
，
；
即的最小值为；
故答案为：．
26．【答案】．
【解答】解：顶点是抛物线的最高点，
．
故答案为：．
27．【答案】．
【解答】解：由图象知，、、组成的点开口向上，，
、、组成的二次函数开口向上，；
、、三点组成的二次函数开口向下，；
、、三点组成的二次函数开口向下，；
、、组成的二次函数的图象的开口小于、、组成的二次函数的开口大小．
、、组成的二次函数的图象中，的值最大，
当抛物线过、、三点时，则，
解得，
故的值最大时二次函数的解析式为，
故答案为：．
28．【答案】97600．
【解答】解：如图：作，连接，设，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
则，
，
，
时，有最小值是，
即时，四边形的最小面积是，
种花卉所需总费用的最小值为：（元，
故答案为：97600．
29．【答案】．
【解答】解：二次函数的解析式为：，
函数图象开口向上，顶点坐标为，
函数的最小值为．
故答案为：．
30．【答案】．
【解答】解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，，
设，
则，，
在中，，
，
，，
梯形面积
，
当时，．
即长为时，使梯形储料场的面积最大为；
故答案为：．
31．【答案】．
【解答】解：，，．
．
．
由，得，代入上式，得：．
设，当取得最大值时，也取得最大值．
．
当时，取得最大值4．
的最大值为．
故答案为：．
32．【答案】．
【解答】解：，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
时，函数的最大值为3，
解得，
故答案为：．
三．解答题
33．【答案】（1）第3个月每件服装的利润为49元；
（2）第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
【解答】解：（1）①当时，设与之间的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
，
；
②当时，，
，
第3个月每件服装的利润为（元；
（2）设每月的利润为，
则，
当时，，
该函数的对称轴为直线，
，
在该函数图象上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
当时，取得最大值，最大值为（元；
当时，，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为（元．
，
第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
34．【答案】（1），，，且为整数；
（2）；
（3）商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元．
【解答】解：（1）进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件，设每件涨价元，
现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，
，即，
，则，
，且为整数，
故答案为：，，，且为整数．
（2）进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件，设每件降价元，
现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，
，即，
故答案为：．
（3）由（1）可知，，为整数），
，
当时，商品的利润最大，最大利润，
商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元．
35．【答案】（1）；
（2）试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．
【解答】解：（1）当时，设售价（元千克）与销售时间（天的函数关系式为，
把，代入得，
，
；
由函数图象可知当时，；
综上所述，；
（2）设第天的利润为，
该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克，
第天的销售量为千克，
当时，
，
当时，最大，最大为1250；
当时，，
，
当时，最大，最大为；
，
试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．
36．【答案】（1），顶点为．
（2），的最大值为1．
【解答】解：（1）将代入得，
，
抛物线的顶点为．
（2）将代入得，
抛物线与轴交点坐标为，
，
抛物线与轴有交点，
，
或（舍．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，在抛物线上，
，
，
，
，
解得，
的最大值为1．
37．【答案】（1）二次函数的表达式为；
（2）点的横坐标为2或或或；
（3）．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）如图：
由，得直线解析式为，
，
抛物线对称轴为直线，
设，则，，
，，
，
，
解得或或或；
点的横坐标为2或或或；
（3）过作交轴于，作关于的对称点，连接，，，，如图：
，，关于轴对称，
，
在中，令得或，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
关于的对称点为，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
的最小值为．
故答案为：．
考前押题
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，
，
，
，
当时，取得最大值，
此时，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：二次函数、是常数，的图象经过点和，
，解得，
函数，
该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴交点为，
当时，，
当时，，
当时，有最小值，
．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：直线，当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为．
又点为线段的中点，
点的坐标为，．
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，如图所示．
点，关于轴对称，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，，代入得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的周长最小时，点的坐标为．
故选：．
二．填空题
4．【答案】5．
【解答】解：当线段最短时，，
从图2可以看出：
，，，，
此时，，
的周长，
的周长，
故：与的周长的差为5，
故答案为：5．
三．解答题
5．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）在中，令得，
，
，
又，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）过作交抛物线于，如图：
由，得直线解析式为，
设，
在中，令得：
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
的最大值为；
（3），
抛物线的对称轴为直线，
当时，中，随的增大而增大，
，
，
在（其中范围内，
当时，取最大值，即，
当时，取最小值．即，
，
，
，
解得，
，
的取值范围是．
最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
预测分值：10分左右
难度指数：★★★★
必考指数：★★★★
1).在代数部分最值问题多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。
2)在几何最值问题，八何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有:(1)几何图形中在特殊位置下的最值;(2)比较难的线段的最值问题，其依据是:①两点之间，线段最短;②垂线段最短，涉及的基本方法还有:利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大干第三边”“三角形两边之差小干第三边”等;③借助干圆的知识;④二次函数的最值法解决。
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