2023年中考复习数学最值问题第51讲面积最值的处理

第51讲： 面积最值处理

【例题精讲】

例1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一动点（C点除外），把线段BD绕着点D沿着顺时针的方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。

             解析提示： 

总结：

【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，

∴∠EFD＝∠BHD＝90°，

∵BH2＝BC2﹣CH2，BH2＝AB2﹣AH2，

∴80﹣（5+AH）2＝25﹣AH2，

∴AH＝3，

∵将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，

∴BD＝DE，∠BDE＝90°，

∴∠BDF+∠EDF＝90°，且∠EDF+∠DEF＝90°，

∴∠DEF＝∠BDF，

在△BDH和△DEF中，

，

∴△BDH≌△DEF（AAS），

∴EF＝DH，

∵△CDE面积＝CD×EF＝×CD×（8﹣CD）＝﹣（CD﹣4）2+8，

∴当CD＝4时，△CDE面积的最大值为8，

例2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝4，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。

              解析提示：

【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，BH⊥AC于H，EF⊥AC于F，如图，

∵AB＝AC＝4，BC＝4，

∴BM＝CM＝2，

在Rt△ACM中，∵cos∠ACM＝＝＝，

∴∠ACM＝30°，

∴BH＝BC＝2，

∴AH＝＝2，

∵线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，

∴∠BDE＝90°，DB＝DE，

∵∠BDH+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DEF＝90°，

∴∠BDH＝∠DEF，

在△BDH和△DEF中，

，

∴△BDH≌△DEF（SAS），

∴DH＝EF，

设CD＝x，则AD＝4﹣x，DH＝2+4﹣x＝6﹣x，

∴EF＝6﹣x，

∴S△CDE＝•x•（6﹣x）

＝﹣（x﹣3）2+，

当x＝3时，S△CDE有最大值．

故答案为．

例3、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝a，点D在边AC上运动（不与A，C重合），以BD为边作正方形BDEF，使点A在正方形BDEF内，连接EC，则下列结论：

①△BCD≌△ECD；                       ②当∠ADE＝30°时，CD＝2AD；

③点F到直线AB的距离为a；            ④△CDE面积的最大值是．

其中正确的结论是　   　（填写所有正确结论的序号）．

  解析提示：

总结：

【解答】解：①∵四边形BDEF是正方形，

∴BD＝ED，∠BDE＝90°，

∵CD＝CD，

当∠ADB≠45°时，∠ADB≠∠ADE，

此时∠BDC≠∠EDC，

则△BCD不全等于△ECD，

故①错误；

②∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，

∴AC＝a，

∵CD＝2AD，

∴AD＝a，

∴tan∠ADB＝＝，

∴∠ADB＝60°，

∴∠ADE＝∠BDE﹣∠ADB＝30°，

故②正确；

③过F作FG⊥AB于点G，

∵四边形BDEF是正方形，

∴BD＝FB，∠DBF＝∠BAD＝∠FGB＝90°，

∴∠ABD+∠ABF＝∠ABF+∠GFB＝90°，

∴∠ABD＝∠GFB，

∴△ABD≌△GFB（AAS），

∴AB＝GF＝a，

∴点F到直线AB的距离为a，

故③正确；

④过点E作EH⊥AC于点H，

∵四边形BDEF是正方形，

∴BD＝DE，∠BDE＝∠BAD＝∠DHE＝90°，

∴∠ABD+∠BDA＝∠BDA+∠HDE＝90°，

∴∠ABD＝∠HDE，

∴△ABD≌△HDE（AAS），

∴AD＝HE，

∵AD＝AB•tan∠ABD＝a•tan∠ABD，

AC＝a，

∴CD＝AC﹣AD＝（﹣tan∠ABD）a，

∴S△CDE＝CD•HE

＝（﹣tan∠ABD）a•a•tan∠ABD

＝（﹣tan2∠ABD+tan∠ABD）a2

＝[﹣（tan∠ABD﹣）2]a2≤a2，

∴△CDE面积的最大值是a2，

故④正确；

故答案为：②③④．

针对训练

1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。

【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，BH⊥AC于H，EF⊥AC于F，如图，

∵AB＝AC＝4，BC＝4，

∴BM＝CM＝2，

在Rt△ACM中，∵cos∠ACM＝＝＝，

∴∠ACM＝30°，

∴BH＝BC＝2，

∴AH＝＝2，

∵线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED，

∴∠BDE＝90°，DB＝DE，

∵∠BDH+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DEF＝90°，

∴∠BDH＝∠DEF，

在△BDH和△DEF中，

，

∴△BDH≌△DEF（SAS），

∴DH＝EF，

设CD＝x，则AD＝4﹣x，DH＝2+4﹣x＝6﹣x，

∴EF＝6﹣x，

∴S△CDE＝•x•（6﹣x）

＝﹣（x﹣3）2+，

当x＝3时，S△CDE有最大值．

故答案为．

2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，D为边AC上一动点（C点除外），把线段BD绕着点D沿着顺时针的方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。

【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，

∴∠EFD＝∠BHD＝90°，

∵BH2＝BC2﹣CH2，BH2＝AB2﹣AH2，

∴320﹣（10+AH）2＝100﹣AH2，

∴AH＝6，

∵将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，

∴BD＝DE，∠BDE＝90°，

∴∠BDF+∠EDF＝90°，且∠EAF+∠AEF＝90°，

∴∠AEF＝∠BDF，

又∵∠EFD＝∠BHD＝90°，BD＝DE，

∴△BDH≌△DEF（AAS），

∴EF＝DH，

∵△CDE面积＝CD×EF＝×CD×（16﹣CD）＝﹣（CD﹣8）2+32，

∴当CD＝8时，△CDE面积的最大值为32，

3、如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝14，D为AC边上一动点（D不与A、C重合），将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，连接CE，则△CDE面积的最大值为　   　。

【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，

∴∠EFD＝∠BHD＝90°，

∵BH2＝BC2﹣CH2，BH2＝AB2﹣AH2，

∴196﹣（6+AH）2＝100﹣AH2，

∴AH＝5

∵将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，

∴BD＝DE，∠BDE＝90°，

∴∠BDF+∠EDF＝90°，且∠EAF+∠AEF＝90°，

∴∠AEF＝∠BDF，且∠EFD＝∠BHD＝90°，BD＝DE，

∴△BDH≌△DEF（AAS）

∴EF＝DH，

∵△CDE面积＝CD×EF＝（6﹣AD）×（5+AD）＝﹣（AD﹣）2+15

∴△CDE面积的最大值为15，

4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为　   　。

【解答】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，

∴∠EDN+∠DEN＝90°，

∵∠EDC＝90°，

∴∠EDN+∠CDM＝90°，

∴∠DEN＝∠CDM，

在△EDN和△DCM中

∴△EDN≌△DCM（AAS），

∴EN＝DM，

∵∠BAC＝120°，

∴∠MAC＝60°，

∴∠ACM＝30°，

∴AM＝AC＝2＝1，

∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，

设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，

∴S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，

∴当BD＝1.5时，S△BDE有最大值为，

故答案为．

5、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，点D在边AC上运动（不与点A，C重合），以BD为边作正方形BDEF，使点A在正方形BDEF内，连接EC，则下列结论：

①△BCD≌△ECD；②当CD＝2AD时，∠ADE＝30°；③点F到直线AB的距离为a；④△CDE面积的最大值是a2．其中正确的结论是　    　（填写所有正确结论的序号）。

【解答】解：①∵四边形BDEF是正方形，

∴BD＝ED，∠BDE＝90°，

∵CD＝CD，

当∠ADB≠45°时，∠ADB≠∠ADE，

此时∠BDC≠∠EDC，

则△BCD不全等于△ECD，

故①错误；

②∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，

∴AC＝a，

∵CD＝2AD，

∴AD＝a，

∴，

∴∠ADB＝60°，

∴∠ADE＝∠BDE﹣∠ADB＝30°，

故②正确；

③过F作FG⊥AB于点G，

∵四边形BDEF是正方形，

∴BD＝FB，∠DBF＝∠BAD＝∠FGB＝90°，

∴∠ABD+∠ABF＝∠ABF+∠GFB＝90°，

∴∠ABD＝∠GFB，

∴△ABD≌△GFB（AAS），

∴AB＝GF＝a，

∴点F到直线AB的距离为a，

故③正确；

④过点E作EH⊥AC于点H，

∵四边形BDEF是正方形，

∴BD＝DE，∠BDE＝∠BAD＝∠DHE＝90°，

∴∠ABD+∠BDA＝∠BDA+∠HDE＝90°，

∴∠ABD＝∠HDE，

∴△ABD≌△HDE（AAS），

∴AD＝HE，

∵AD＝AB•tan∠ABD＝a•tan∠ABD，

AC＝a，

∴，

∴tan∠ABD）a2＝[]a2，

∴△CDE面积的最大值是a2，

故④正确；

故答案为：②③④．