专题2.11等边三角形的性质与判定大题专练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

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【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】一、解答题1．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角对等边）．【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CED=30°是正确解答本题的关键．2．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．(1)求证：：(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，求出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP相交于点M，则∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，则求出它的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠QMC的大小不变，∠QMC=60°(3)∠QMC的大小不变，∠QMC＝120°【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP； （2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°； （3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．(1)证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，∵，∴（SAS）；(2)解：点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小不变，∠QMC＝60°．理由：∵，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC的大小不变．理由：同理可得，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】利用等腰三角形三线合一得出，再结合等腰三角形的底角相等和外角的性质得出，利用等角对等边证明即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，．∵是中线，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质和判定进行推理证明．4．如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时， ①求证：△BAD≌△CAE； ②若AC⊥DE，求证：BD=DC；（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数（直接写出结果）【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）100°或40°或20°【解析】【分析】（1）①根据SAS即可证明；②利用等腰三角形的三线合一得到∠DAC=∠EAC，再根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠EAC，利用等腰三角形的性质得到BD=DC；（2）分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：（1）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE；②如图，∵AE=AD，AC⊥DE，∴∠DAC=∠EAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠BAD=∠EAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）如图，当D在线段BC上时，∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠BAC，又∠ABC=∠ACB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ADB=180°-60°-20°=100°；如图，当点D在CB的延长线上时，同理可得，∠ABC=60°，∴∠ADB=40°，当△ABD中的最小角是∠ADB时，∠ADB=20°，当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB=20°，∴∠ADB的度数为100°或40°或20°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题．5．【问题发现】（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 　 　；②线段BD、CE之间的数量关系为 　 　；【类比探究】（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数列关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，则OC2的值为　 　．【答案】（1）60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，得到∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，即可求解；（3）由“AAS”可证△ACF≌△CBE，可得BE=CF，AF=CE，可求OF=CF=，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，故答案为：60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°，∵BE=BD+DE，∴BE=CE+DE；（3）如图，过点C作CF⊥AO交AO延长线于F，过点B作BE⊥CF于E，∵∠ACB=90°=∠E=∠AFC，∴∠BCE+∠ACF=90°=∠BCE+∠CBE，∴∠ACF=∠CBE，又∵AC=BC，∠AFC=∠E，∴△ACF≌△CBE（AAS），∴BE=CF，AF=CE，∵OA=3，OB=6，∴EC+CF=BO=6，OA=AF-OF=CE-BE=CE-CF=3，∴EC=，CF==OF，∴OC2=CF2+OF2=()2+()2=．故答案为：．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．如图，是等边三角形，D是BC边上一点，以AD为边向右作等边，连接CE．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由三角形ADE与三角形ABC都为等边三角形，得到两对边相等，一对角相等为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）利用全等三角形的对应边相等得到∠ACE=∠B=60°，再由∠BAC=60°，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD，即∠CAE=∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴（SAS）；（2）∵△CAE≌△BAD，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边，连接DC，以DC为边作等边，使点B和点E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE．（1）根据题中给定的条件，补全图形；（2）求证：；（3）求证：BD垂直平分CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的定义作图连线即可；（2）根据等边三角形及等腰直角三角形的定义，利用SSS证明；（3）证明△BED≌△ACD，推出BE=BC，得到点B在CE的垂直平分线上，根据ED=CD，得到点D在CE的垂直平分线上，即可得到结论．【详解】（1）解：补图如下：（2）证明：∵△ABD和△DCE是等边三角形，∴BD=AD，ED=CD，∠ADF=∠CDE=60°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（SSS）．（3）解：由（2）得△ACD≌△BCD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BDE=60°-30°=30°．在△BED和△ACD中，∴△BED≌△ACD（SAS）．∴BE=AC．∴BE=BC．∴点B在CE的垂直平分线上．又ED=CD，∴点D在CE的垂直平分线上．∴BD垂直平分CE．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，作图能力，掌握各知识点、逻辑推理能力是解题的关键．8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．【详解】解：（1）是等边三角形，．线段为边上的中线，，．故答案为：30°；（2）与都是等边三角形，，，，，．在和中，，；（3）是定值，，理由如下：①当点在线段上时，如图1，由（2）可知，则，又，，是等边三角形，线段为边上的中线，平分，即，．②当点在线段的延长线上时，如图2，与都是等边三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，．③当点在线段的延长线上时，如图3，与都是等边三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，，，．综上，当动点在直线上时，是定值，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求证：∠B＝∠DEF；（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．【答案】（1）见解析；（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形．【解析】【分析】（1）首先证明△DBE≌△ECF，推出∠BDE=∠CEF，由在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB=180°推出∠B=180°-∠BDE-∠DEB由∠CEF+∠DEF+∠DEB=180°推出∠DEF=180°-∠CEF-∠DEB可得∠B=∠DEF；（2）当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE与△ECF中，∵BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠CEF，∵在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB∵∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°∴∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB∴∠B＝∠DEF．（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，理由如下∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，即∠DEF＝60°，∵△DBE≌△ECF∴ED＝EF，∵ED＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．10．如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、DF、EF．求证：△DEF为等边三角形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半证明DF=DE，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，即可得出∠BDE+∠CDF=120°，根据等边三角形的判定定理证明结论．【详解】证明： ∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF⊥AC，CE⊥AB，点D是BC的中点，∴DB=DE，DC=DF，DE=BC，DF=BC，∴∠DEB=∠ABC，∠DFC=∠ACB，DF=DE，∴∠DEB+∠ABC+∠DFC+∠ACB=240°，∴∠BDE+∠CDF=120°，∴∠FDE=60°，又DF=DE，∴△DFE是等边三角形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．（1）求证：EF＝CF；（2）若∠BAC=30°，连接EC，试判断△EFC 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）△EFC是等边三角形．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据斜边中线等于斜边的一半证明即可；（2）利用外角的性质得出∠EFC=2∠BAC=60°，再根据等边三角形的判定证明即可．【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵点F是斜边AD的中点，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）△EFC是等边三角形，由（1）得EF＝AF＝CF，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC=2∠BAC=60°，∵EF＝CF，∴△EFC是等边三角形．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练运用相关性质进行证明．12．如图，在中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BG⊥AE于点G，连接FD并延长，交BG于点H（1）求证：；（2）若∠CFD=120°，求证：为等边三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据，，可证，利用点为边的中点，根据ASA可证明；（2）首先根据角的和差关系可以计算出，再由可得，再根据直角三角形的性质可得，，进而得到结论．【详解】证明：（1）如图示，，，，，，，点为边的中点，，在和中，，；（2），，，，，是直角三角形，，，为等边三角形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是掌握全等三角形的判定定理．13．如图，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：是等边三角形．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差即可得；（2）先根据三角形的外角性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得证．【详解】（1）在中，，，，，；（2）由（1）可知，，，点D为线段EC的中点，即AD为斜边EC上的中线，，是等边三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定等知识点，较难的是题（2），熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．14．已知点C和点F在线段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于点G．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）当∠AGF＝120°，猜想△GFC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）△GFC是等边三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF；（2）由全等三角形的性质可得∠GFC=∠GCF，由外角性质可得∠GFC=∠GCF =60°，可证△GFC是等边三角形．【详解】证明：（1）∵AB=DE，且∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△GFC是等边三角形，理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠GFC=∠GCF，∵∠AGF=∠GFC+∠GCF =120°，∴∠GFC=∠GCF =60°，∴△GFC是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，证明△ABC≌△DEF是本题的关键．15．已知是等边三角形，．（1）如图1，点在线段上从点出发沿射线以的速度运动，过点作交线段于点，同时点从点出发沿的延长线以的速度运动，连接、．设点的运动时间为秒．①求证：是等边三角形；②当点不与点、重合时，求证：．（2）如图2，点为的中点，作直线，点为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则点在直线上运动的过程中，的最小值是多少？请说明理由．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）的最小值为4，理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质证明两个角是，可得结论；②根据条件得，由证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）以AC为边作等边三角形ACD，连接SD，如图2所示．证明△ACT≌△DCS，可得AT=DS，可得AT的最小值为4．连接，证得，证明，可得，即点在直线上，的最小值为4．【详解】解：（1）①是等边三角形，．，．．是等边三角形．②如图1，是等边三角形，，．是等边三角形，，．，．．，．．．（2）解：以AC为边作等边三角形ACD，连接SD，如图2所示．∵△ABC为等边三角形，且AK为△ABC的对称轴，∴∠ACK=60°，∠CAK=30°，∴∠DAS=90°，∵∠SCT=60°，∴∠SCD=∠ACT．∵AC＝CD，∠ACT＝∠SCD，CT＝CS，∴△ACT≌△DCS（SAS），∴AT=SD，∴AT的最小值为AD的长=4．【点睛】本题是运动型几何综合题，考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定及分类讨论的数学思想，解题关键是深刻理解图形的运动过程，熟练掌握等边三角形的性质．16．如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A．点B同时出发,沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M、N运动_________秒后，△AMN是等边三角形?(2)点M、N在BC边上运动时，运动_______秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN?(3)M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由.【答案】（1）4；（2）16；（3）M、N同时运动3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；（2）由△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值；（3）分点N在AB，AC，BC上运动的三种情况，再分别就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得．【详解】解：（1）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM=t，AN=12-2t，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠A=60°，当AM=AN时，△AMN是等边三角形∴t=12-2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，△AMN是等边三角形；（2）设当点M、N在BC边上运动时，运动t秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN，由题意知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设△AMN是等腰三角形，∴AM=AN，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC =∠ANB，∠C=∠B，AC=AB∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，∴t-12=36-2t，解得t=16，符合题意．所以点M、N在BC边上运动时，运动16秒后能得到以MN为底的等腰三角形；（3）①当点N在AB上运动时，如图3，若∠AMN=90°，∵BN=2t，AM=t，∴AN=12-2t，∵∠A=60°，∴2AM=AN，即2t=12-2t，解得t=3；如图4，若∠ANM=90°，由2AN=AM得2（12-2t）=t，解得t=；②当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；③当点N在BC上运动时，如图5，当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，则2t-24=6，解得t=15；如图6，当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，则t-12=6解得t=18；综上， M、N同时运动3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形；故答案为3，，15，18．【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．17．如图1所示，在边长为6 cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动设点P的运动时间为t（s），t＞0(1)当t＝ 时，△PAC是直角三角形；(2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，那么当t取何值时，△PAQ是直角三角形？请说明理由；(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E，试问线段DE的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．【答案】(1)3(2)2或4，理由见解析(3)不变化，【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，当，即为的中点时，△PAC是直角三角形，据此分析即可；（2）分①当时，②当时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程解方求解即可；（3）过作，进而证明，可得(1)解：依题意，当△PAC是直角三角形时，，是等边三角形则此时为的中点时，故答案为：3(2)解：①当时，如图，是等边三角形，则在中，,即解得②当时，如图，同理可得即解得综上所述，当t为或时，△PAQ是直角三角形(3)如图，过点作，是等边三角形是等边三角形∴，的速度相等∴，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．18．如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠B＝30°．【解析】【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案．【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，DA＝DB，∵DB＝DE，∴DA＝DE，∵AD＝EA，   ∴DA＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE是△ADB的外角，∴∠ADE＝∠B+∠BAD，∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD＝30°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．19．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD．【解析】【分析】（1）先证明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS证明△AEC≌△CDB；（2）在直线l上位于C点左侧去一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后证明△FAE≌△HFG得到GH=EF，则CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N，先证明△BDM是等边三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后证明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS证明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后证明△AEF≌△FGH得到HG=EF，则EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案为：CF=EF-BD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．20．在△ABC中，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，若∠BAC＝40°，则∠ABD＝　 　；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，设∠BAC＝α（0°＜α＜60°），求α的值．【答案】（1）∠ABD＝10°；（2）△ABE是等边三角形，见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ABC，根据∠ABD＝∠ABC−∠DBC计算即可．（2）于△ABD≌△ACD（SSS），推出∠ADB＝∠ADC＝150°，再证明△ABD≌△EBC（AAS），推出AB＝BE即可解决问题．（3）只要证明△DEC是等腰直角三角形，即可推出BC＝CE，∠CBE＝∠CEB＝15°，即可求解．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣60°＝10°．（2）结论：△ABE是等边三角形，理由：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，且△BCD为等边三角形，∴BD=CD，∵ ∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC＝150°，∵∠BCE＝150°，∴∠ADB＝∠BCE，∵∠ABD＝∠EBC，BD＝BC，∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形．（3）如图2中，由（2）可知，∠BCD＝60°，∵∠BCE＝150°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝45°，∴∠CDE＝∠DEC＝45°，∴CD＝CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝15°，∵∠BAD＝∠DAC＝∠BEC，∴∠BAD＝∠DAC＝15°，∴∠BAC＝30°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．21．问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是 ．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）思路见（2）（2）① 过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【详解】（1）BD（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC∵EF//BC   ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB∵又∠A＝60°   ∴△AEF是等边三角形∴AE＝AF＝EF ，∠EFC＝∠DBE＝120°， ∴CF＝BE∵ED＝EC∴∠D＝∠ECB∴∠D＝∠FEC∴∠FCE＝∠BED在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS）∴BD＝EF∴BD＝AE②小明思路：∵DE＝EC   ∴∠ECB＝∠D∵∠ABC＝∠DEB+∠D，∠ACB＝∠ACE+∠ECB∴∠DEB＝∠ACE∵△EBD翻折到△EBF∴△EBD≌△EBF   ∴∠DEB＝∠FEB，DE＝EF∴∠DEB＝∠ACE＝∠FEB∵∠CEB＝∠CEF+∠FEB＝∠A+∠ACE ∴∠CEF＝∠A＝60°∵DE＝EF＝CE ∴△ECF为等边三角形∴CE＝CF，∠ECF＝60°∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCF∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝BD【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．22．已知是边长为4，面积是的等边三角形，点起线上的一个动点，向的右侧作，且，连接．（1）在图2中画出点在延长线上时的图形，并证明：；（2）①当 时，；（直接写出结果）②点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请直接写出周长的最小值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）2或8；（3）存在 4+【解析】【分析】（1）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．（2）①分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据△ABD≌△ACE得到CE＝BD，根据垂线段最短解答．【详解】（1）点D在BC延长线上时的图形如图所示：证明：∵，且∴△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD．即∠CAE＝∠BAD．∴△CAE≌△BAD．∴EC＝DB．（2）①BD为2或8时，∠DEC＝30°，当点D在线段BC上，BD＝2时，如图2﹣1中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC＝2，∠B＝∠ACE＝60°∵BC＝4，∴CD＝EC＝2，∵∠ACB＝∠ACE＝60°，∴∠DCE＝120°，∴∠DEC＝∠CDE＝30°．当点D在线段BC的延长线上，BD＝8时，如图2﹣2中，∵CA＝CB＝CD＝4，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACB＝∠CAD+∠CDA＝60°，∴∠ADC＝30°，∵∠B＝∠ACE＝60°∴∠ADE＝∠ECD＝60°，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝30°，∴BD为2或8时，∠DEC＝30°．故答案为：2或8．②点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴CE＝BD，则△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC+DE，当点D在线段BC的延长线上时，△DEC的周长＝BD+CD+DE＞BC+DE，∴△DEC的周长≥BC+DE，∴当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，∵△ADE为等边三角形，∴DE＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，∵三角形面积是∴AD=∴△DEC的周长的最小值为4+2．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23．已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，连接OB．证明：（1）∠APO+∠DCO＝30°；（2）△OPC是等边三角形；（3）AB＝AO+AP．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；（2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；（3）首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．【详解】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°．（2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形．（3）如图，在AC上截取AE=PA，连接PE，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．24．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为　 　°；②线段AD、BE之间的数量关系是　 　．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【答案】（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°【解析】【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．【详解】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，故答案为：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案为：AD=BE；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°-120°=60°，如图4，同理求得∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．