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初中数学沪科版八年级下册19.1 多边形内角和教学设计
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这是一份初中数学沪科版八年级下册19.1 多边形内角和教学设计，共16页。教案主要包含了例5－1，例5－2，例6－1，例6－2等内容，欢迎下载使用。
1．多边形及正多边形
(1)多边形的定义
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相接，二者缺一不可．
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形．
(2)多边形的有关概念
多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同．
边：组成多边形的线段叫做多边形的边．
顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．
如图1所示．
图1
多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似，可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图1，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA.
(3)正多边形
①多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．如图2中的多边形分别为：正三角形、正四边形(即正方形)、正五边形、正六边形、正八边形．
图2
正多边形必须具备“各边相等、各角也相等”这两个条件，缺一不可．如各角相等的四边形是长方形，不是正方形；各边相等的四边形是菱形(20．3节讲到)，也不是正方形．只有各角相等，各边也相等的四边形才是正方形．
②正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形(20．4节讲到)．
(4)多边形的对角线的条数
根据多边形的对角线的定义，从四边形的一个顶点可以引一条对角线；从五边形的一个顶点可以引两条对角线，那么从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线．n边形共有n个顶点，共有n(n－3)条对角线，但每条对角线都算两遍，所以n边形共有eq \f(n(n－3),2)条对角线．
【例1】说出图中各多边形的名称，指出每个多边形的边和角，并画出其外角．
(1)
(2)
解：(1)四边形ABCD，边有AB，BC，CD，DA；角有∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA，如图(1)中，四边形ABCD的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，共8个．
(2)五边形ABCDE，边有AB，BC，CD，DE，EA；角有∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA，如图(2)中，五边形ABCDE的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，∠9，∠10，共10个．
多边形的内角与多边形的外角要严格区分，内角在多边形内部，由相邻的两边组成，多边形的内角的个数与多边形的边数相同；而外角在多边形的外部，是在顶点处由多边形的一边与另一边的延长线所形成的角，故在同一顶点处有两个外角，它们是对顶角，故多边形的外角个数是边数的2倍．应注意的是由两条边的延长线所构成的角不是多边形的外角，如图(1)中的∠EAF不是四边形ABCD的外角．
2．多边形的内角和
(1)n边形的内角和公式
n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
由多边形内角和定理可知，多边形的内角和一定是180°的倍数，在解有关题目时，要注意应用．
(2)推导方法
多边形的内角和公式的推导方法有很多，但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的，即利用多边形对角线或对角线的一部分，可以把多边形分割成若干个小三角形，再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和．这种转化是化归思想的体现，也是解决多边形问题的基本思想．下面提供三种常见的方法：
方法一：如图①所示，以多边形的某一个顶点为端点，与其他顶点相连接构成多边形的对角线，把多边形分割成(n－2)个小三角形．n边形的内角和恰好等于(n－2)个三角形的内角和(n－2)·180°.
方法二：如图②所示，在n边形中，取某边上一点(非顶点)为端点，与其他顶点相连，把多边形分割成(n－1)个小三角形．n边形的内角和等于(n－1)个三角形的内角和减去点P处的一个平角，即(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.
方法三：如图③所示，在n边形的内部任取一点，与多边形的各顶点相连，把多边形分割成n个小三角形．n边形的内角和等于n个三角形的内角和n·180°减去以O为公共顶点的n个角之和360°，即n·180°－360°＝(n－2)·180°.
(3)内角和定理的作用
①已知边数，求内角和；
②已知内角和，求边数．
【例2】一个多边形共有27条对角线，则这个多边形是几边形？该多边形的内角和为多少度？
分析：题目给出多边形的对角线的条数，由n边形对角线的总条数为eq \f(n(n－3),2)可求边数，再根据多边形内角和定理可求出内角和．
解：设这个多边形的边数为n，
则eq \f(n(n－3),2)＝27，
解得n1＝9，n2＝－6.
∵n＞0，∴n＝9，∴该多边形的内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
答：这个多边形是九边形，其内角和为1 260°.
3．多边形的外角、外角和
(1)多边形的外角以及外角和的定义
①多边形中在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．
②在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角．
(2)多边形外角和性质
①内容：多边形的外角和都等于360°.
多边形的外角和与边数n无关．
②推导过程：
∵多边形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，
∴n边形的外角和加内角和等于n·180°.
又∵内角和为(n－2)·180°，
∴外角和为n·180°－(n－2)·180°＝360°.
(3)外角和定理的作用
①已知各相等外角度数，求多边形边数；
②已知多边形边数，求各相等外角的度数．
(4)多边形中锐角、钝角的个数
多边形中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角(如长方形)；多边形外角中最多有三个钝角，最少没有钝角．
【例3】若一个多边形的内角和与外角和之和是1 800°，则此多边形是( )．
A．八边形 B．十边形
C．十二边形 D．十四边形
解析：设此多边形的边数为n，则(n－2)·180°＋360°＝1 800°，解得n＝10，故选B.
答案：B
熟记多边形的内角和公式与外角和是解决本题的关键．n边形的外角和是一个定值，而内角和只与边数n有关．
4．利用多边形内角和公式或外角和求多边形的角或边
多边形内角和公式(n－2)·180°与边数n有关系，当已知多边形的边数n，就可以求得多边形的内角和．同理，当多边形的内角和已知时，多边形的边数也是确定的．
根据n边形的一个内角与和它相邻的外角互为补角，我们可以得到多边形外角和都为360°.利用多边形的外角和为360°，常常能使问题的解决变得更为简单．
【例4】一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数．
分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出每个外角的度数，就可以知道是几边形了．
解：设这个正多边形的一个外角为x°，则一个内角是x°＋36°，
由题意得x＋x＋36＝180，
解得x＝72,360÷72＝5，故它是正五边形，即这个正多边形的边数是5.
(1)多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角和的问题转化为外角和问题来处理．
(2)多边形的一个内角与相邻外角互补．
(3)多边形的外角的个数等于多边形的边数的2倍．,
5．多边形的内角与外角的关系
(1)对于n边形的内角和为(n－2)·180°，在学习中要明确以下几点应用：
①已知边数n，可求得其内角和．
如：十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°.
②边数每增加1，内角和就增加180°，如：九十七边形内角和比九十五边形的内角和大360°.
③如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n.如：已知一个多边形的内角和等于1 080°，求它的边数n.首先我们可以运用公式列出方程(n－2)×180°＝1 080°，解这个方程，得n＝8.
(2)对于多边形的外角和为360°，应明确两点：
①多边形的外角和与边数n无关．
②将多边形内角问题转化为外角问题，常常有化难为易的效果．
(3)多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°，多边形的外角和是定值，与边数无关．,
【例5－1】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2 030°，求这个多边形的边数和这个被去掉的内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为x°，则0＜x＜180.根据题意得：(n－2)·180＝x＋2 030，解得x＝180n－2 390.因为0＜x＜180，所以0＜180n－2 390＜180，解得13eq \f(5,18)＜n＜14eq \f(5,18).因为多边形的边数n为正整数，所以n＝14，x＝180×14－2 390＝130.
答：这个多边形的边数是14，所求内角的度数为130°.
本题根据多边形的内角和公式可以得出关于n，x的二元一次方程，用常规解法无法得出n与x的确定值．而此题的解法巧妙地运用了多边形内角的度数x°的取值范围0°＜x°＜180°，以及多边形的边数为正整数这两个条件，顺利地求出n的值及x的值．
【例5－2】已知：四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
分析：利用多边形的外角和为360°求解．
解：设四边形的最小外角度数为x，则其他三个角度数分别为2x,3x,4x.
则x＋2x＋3x＋4x＝360°.
∴x＝36°，2x＝72°，3x＝108°，4x＝144°.
∴四边形各个外角度数分别为36°，72°，108°，144°.
6．多边形的内角和与外角和在方程中的应用
很多数学问题是通过用方程来解决的，即将已知条件与所求问题用方程联系起来．在几何计算问题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解，往往可使计算更加简便．
(1)根据多边形的内角和求边数．根据边数求多边形的内角和主要依据是多边形的内角和公式，有时需要列方程解决问题．应注意掌握公式和方程思想的应用．
(2)解决正多边形问题注意借助多边形的外角解决问题．
(3)当问题中涉及内角和外角的关系时，一般通过内角和外角的关系构造方程解决．
【例6－1】一个多边形的对角线条数比边数多3，试求该多边形的边数与内角和．
解：设该多边形的边数为n，根据题意得：eq \f(1,2)n(n－3)＝n＋3，整理得n2－5n－6＝0，解得n1＝6，n2＝－1(舍去)．所以该多边形的内角和为(6－2)×180°＝4×180°＝720°.
答：该多边形的边数为6，内角和为720°.
【例6－2】已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比其相邻的外角大60°，求这个多边形的边数．
解：(方法一)设这个多边形是n边形，则它的内角和为(n－2)·180°，每个内角度数为(n－2)·eq \f(180°,n)，外角和为360°，每个外角度数为eq \f(360°,n).由题意，得(n－2)·eq \f(180°,n)－eq \f(360°,n)＝60°，解得n＝6.∴这个多边形的边数是6.
(方法二)设这个多边形每个内角度数是x，则与它们相邻的外角度数是180°－x，由题意x－(180°－x)＝60°，x＝120°.于是外角度数为180°－120°＝60°.又外角和为360°，360°÷60°＝6，∴这个多边形的边数是6.
19.1 多边形内角和课堂练习
基础巩固
1．下列角度中，是多边形内角和的只有( )．
A．270° B．560° C．630° D．1 440°
2．多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有( )．
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
3．若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝__________.
5．小华从A点出发向前直走50 m，向左转18°，继续向前走50 m，再左转18°，他以同样走法回到A点时，共走了__________m.
6．一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．
7．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1个单位为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为__________个平方单位．
8．已知一个多边形的每个内角都为钝角，则这样的多边形有多少个？边数最少的一个是几边形？
9．已知：四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠C＝90°，BC＝CD，AB＝AD.求∠A的度数．
10．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
参考答案
1. 答案：D 点拨：要判断四个选项中哪个是多边形的内角和，我们需要知道多边形内角和的特点．由多边形的内角和公式(n－2)·180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，观察验算四个选项知选D.
2. 答案：C 点拨：由每一内角都等于150°得每一外角为30°，得边数为.而从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，即可引出12－3＝9条对角线．
3. 答案：C
4. 答案：360° 点拨：把多个角的和转化为一个多边形的内角和或外角和．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，
又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.
5. 答案：1 000 点拨：转回原方向转过的角度和为360°，即多边形外角和为360°，所以边数为20，小华共走了20×50＝1 000(m)．
6. 答案：9
7. 答案：π 点拨：阴影部分的角是n边形的外角，其和为360°，故所有的阴影组成一个圆，其面积为π个平方单位．
8. 解：设多边形的边数为n，则每一个内角为.由题意，得.
∴n＞4.∴内角都为钝角的多边形有无数个．
∵n＞4，∴n的最小值为5，即边数最少的一个是五边形．
点拨：根据内角和表示出一个内角，确定它的范围是大于90°且小于180°，从而求出边数n的范围．
9. 解：方法一：如图1，连接BD.∵Rt△BCD中，∠C＝90°，BC＝CD，∴∠DBC＝45°.
又∵∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝70°－45°＝25°.
∵△ABD中，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∴∠A＝180°－∠ABD－ADB＝130°.(三角形内角和为180°)
方法二：如图2，连接AC.
在△ABC和△ADC中，
∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°.
∴∠BAD＝360°－∠B－∠D－∠BCD＝360°－70°－70°－90°＝130°.
点拨：当题目中有线段长度时，一般利用勾股定理的逆定理判定某三角形是否为直角三角形．四边形问题通常转化为三角形问题来解决，在构造三角形时必须同已知条件结合起来，不要随意连线．本题认真分析条件，很容易想到构造等腰三角形或全等三角形．
10. 解：如图，连接BE，在四边形ABEF中，∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝360°.
∵∠1＋∠2＝∠C＋∠D，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠ABC＋∠1＋∠2＋∠DEF＋∠F
＝360°.
点拨：此题的关键是将不规则图形中的角转移到常见图形中，把多个角的和转化为一个多边形的内角和或外角和．
19.1 多边形内角和课后练习
一、选择题
1.八边形的内角和为( )
A.180°B.360°C.1080°D.1440°
2.正十边形的每个外角都等于( )
A.18°B.36°C.45°D.60°
3.[2018·乌鲁木齐] 一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( )
A.4B.5C.6D.7
4.从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个n边形分割成6个三角形,则n的值是( )
A.6B.7C.8D.9
5.若一个多边形有9条对角线,则这个多边形的边数是( )
A.6B.7C.8D.9
6.从一个多边形的一个顶点出发可以引7条对角线,那么这个多边形对角线的总条数为( )
A.70B.35C.45D.50
7.[2018·济宁] 如图1,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数为( )
图1
A.50°B.55°
C.60°D.65°
8.如图2所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°……照这样走下去,她第一次回到出发地A点时,一共走的路程是( )
图2
A.140米B.150米C.160米D.240米
9.一个多边形切去一个角后,形成的新多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )
A.7B.7或8
C.8或9D.7或8或9
二、填空题
10.学校门口的电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有 .
11.[2019·益阳] 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是 .
12.若n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引出对角线的条数是 .
13.如图3,∠1是五边形ABCDE的一个外角.若∠1=60°,则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为 .
图3
14.如图4,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN.若MF∥AD,FN∥DC,则∠B= °.
图4
15.如图5,在正八边形ABCDEFGH中,连接AG,HE交于点M,则∠GME= °.
图5
三、解答题
16.在四边形ABCD中,∠D=60°,∠B比∠A大20°,∠C是∠A的2倍,求∠A,∠B,∠C的度数.
17.若一个多边形的外角和与内角和之比为2∶9,求这个多边形的边数及内角和.
18.如图6,五边形ABCDE的每个内角都相等,DF⊥AB于点F,求∠CDF的度数.
图6
19.粗心的小明在计算一个多边形的内角和时,误把一个外角也加进去了,得其和为1180°.请帮他求出这个多加的外角度数及多边形的边数.
20.已知n边形的内角和θ=(n-2)·180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
21 如果一个多边形的各边都相等,且各内角也都相等,那么这个多边形就叫做正多边形,如图7就是一组正多边形.观察每个正多边形中∠α的变化情况,解答下列问题.
图7
(1)将下面的表格补充完整:
(2)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=20°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.
(3)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=21°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.
详解详析
1.[解析] C 根据多边形的内角和公式(n-2)·180°,将n=8代入公式,可知C选项正确.
2.[解析] B 360°÷10=36°,所以正十边形的每个外角都等于36°.故选B.
3.[答案] C
4.[解析] C 由题意,得n-2=6,解得n=8.故选C.
5.[解析] A 设这个多边形有n条边,则n(n-3)2=9,解得n1=6,n2=-3(舍去),故这个多边形的边数为6.故选A.
6.[解析] B ∵从一个多边形的一个顶点出发可以引7条对角线,∴n-3=7,∴n=10,∴这个多边形对角线的总条数为10×(10-3)2=35.故选B.
7.[解析] C ∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°.
又∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,
∴∠PDC+∠PCD=120°,
∴在△CDP中,∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.
故选C.
8.[解析] B ∵多边形的外角和为360°,而每一个外角均为24°,∴多边形的边数为360°÷24°=15,∴小华一共走了15×10=150(米).故选B.
9.[解析] D 设切去一个角后的多边形为n边形,根据题意,有(n-2)·180°=1080°,解得n=8.而一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能(如图):比原多边形边数多1、与原多边形边数相等、比原多边形边数少1,故原多边形的边数可能为8-1=7,8,8+1=9.故选D.
10.[答案] 不稳定性
11.[答案] 5
[解析] ∵多边形的内角和与外角和的总和为900°,多边形的外角和是360°,∴多边形的内角和是900°-360°=540°,∴多边形的边数是540°÷180°+2=3+2=5.
12.[答案] 6
[解析] 由多边形内角和公式知(n-2)·180°=1260°,解得n=9.所以从一个顶点出发引出的对角线条数是n-3=6.
13.[答案] 420°
[解析] ∵∠1=60°,
∴∠AED=120°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°-∠AED=420°.
14.[答案] 95
[解析] ∵MF∥AD,FN∥DC,
∴∠BMF=∠A=100°,∠BNF=∠C=70°.
∵△BMN沿MN翻折得△FMN,
∴∠BMN=12∠BMF=12×100°=50°,∠BNM=12∠BNF=12×70°=35°.
在△BMN中,∠B=180°-(∠BMN+∠BNM)=180°-(50°+35°)=180°-85°=95°.故答案为95.
15.[答案] 67.5
[解析] ∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AHG=(8-2)×180°÷8=135°,AH=HG,∠AHE=90°,∴∠HAG=(180°-135°)÷2=22.5°,∴∠GME=∠AMH=90°-∠HAG=67.5°.故答案为67.5.
16.解: 设∠A=x,则∠B=x+20°,∠C=2x.
由四边形的内角和为360°,得x+(x+20°)+2x+60°=360°,解得x=70°.
∴∠A=70°,∠B=90°,∠C=140°.
17.解:∵任何一个多边形的外角和都等于360°,
这个多边形外角和与内角和之比为2∶9,
∴这个多边形的内角和等于360°÷2×9=1620°.
设这个多边形的边数是n,
则(n-2)×180°=1620°,
∴n=11.
故这个多边形的边数为11,内角和为1620°.
18.解:∵五边形ABCDE的每个内角都相等,
∴∠C=∠B=180°×(5-2)÷5=108°.
∵DF⊥AB,
∴∠DFB=90°,
∴∠CDF=360°-90°-108°-108°=54°.
19.解:设多边形的边数为n,多加的外角度数为α,则(n-2)·180°=1180°-α,
∵1180°=6×180°+100°,内角和应是180°的倍数,
∴小明多加的一个外角为100°,
∴这是6+2=8边形的内角和.
∴这个多加的外角度数是100°,该多边形的边数是8.
20.解:(1)甲的说法对.
∵θ=360°,∴(n-2)·180°=360°,解得n=4,即内角和为360°的多边形的边数为4.
乙的说法不对.理由:∵θ=630°,∴(n-2)·180°=630°,解得n=112.∵n为整数,∴θ不能取630°.
(2)依题意,得(n-2)·180°+360°=(n+x-2)·180°,解得x=2.
21解:(1)填表如下:
(2)存在,n=9.
(3)不存在.理由如下:
假设存在正n边形,使其中的∠α=21°,则21°=180n°,解得n=847.
又∵n是正整数,∴不存在正n边形,使其中的∠α=21°.
正多边形的边数
3
4
5
6
…
18
∠α的度数
…
正多边形的边数
3
4
5
6
…
18
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
10°
1．多边形及正多边形
(1)多边形的定义
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相接，二者缺一不可．
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形．
(2)多边形的有关概念
多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同．
边：组成多边形的线段叫做多边形的边．
顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．
如图1所示．
图1
多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似，可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图1，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA.
(3)正多边形
①多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．如图2中的多边形分别为：正三角形、正四边形(即正方形)、正五边形、正六边形、正八边形．
图2
正多边形必须具备“各边相等、各角也相等”这两个条件，缺一不可．如各角相等的四边形是长方形，不是正方形；各边相等的四边形是菱形(20．3节讲到)，也不是正方形．只有各角相等，各边也相等的四边形才是正方形．
②正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形(20．4节讲到)．
(4)多边形的对角线的条数
根据多边形的对角线的定义，从四边形的一个顶点可以引一条对角线；从五边形的一个顶点可以引两条对角线，那么从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线．n边形共有n个顶点，共有n(n－3)条对角线，但每条对角线都算两遍，所以n边形共有eq \f(n(n－3),2)条对角线．
【例1】说出图中各多边形的名称，指出每个多边形的边和角，并画出其外角．
(1)
(2)
解：(1)四边形ABCD，边有AB，BC，CD，DA；角有∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA，如图(1)中，四边形ABCD的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，共8个．
(2)五边形ABCDE，边有AB，BC，CD，DE，EA；角有∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA，如图(2)中，五边形ABCDE的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，∠9，∠10，共10个．
多边形的内角与多边形的外角要严格区分，内角在多边形内部，由相邻的两边组成，多边形的内角的个数与多边形的边数相同；而外角在多边形的外部，是在顶点处由多边形的一边与另一边的延长线所形成的角，故在同一顶点处有两个外角，它们是对顶角，故多边形的外角个数是边数的2倍．应注意的是由两条边的延长线所构成的角不是多边形的外角，如图(1)中的∠EAF不是四边形ABCD的外角．
2．多边形的内角和
(1)n边形的内角和公式
n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
由多边形内角和定理可知，多边形的内角和一定是180°的倍数，在解有关题目时，要注意应用．
(2)推导方法
多边形的内角和公式的推导方法有很多，但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的，即利用多边形对角线或对角线的一部分，可以把多边形分割成若干个小三角形，再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和．这种转化是化归思想的体现，也是解决多边形问题的基本思想．下面提供三种常见的方法：
方法一：如图①所示，以多边形的某一个顶点为端点，与其他顶点相连接构成多边形的对角线，把多边形分割成(n－2)个小三角形．n边形的内角和恰好等于(n－2)个三角形的内角和(n－2)·180°.
方法二：如图②所示，在n边形中，取某边上一点(非顶点)为端点，与其他顶点相连，把多边形分割成(n－1)个小三角形．n边形的内角和等于(n－1)个三角形的内角和减去点P处的一个平角，即(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.
方法三：如图③所示，在n边形的内部任取一点，与多边形的各顶点相连，把多边形分割成n个小三角形．n边形的内角和等于n个三角形的内角和n·180°减去以O为公共顶点的n个角之和360°，即n·180°－360°＝(n－2)·180°.
(3)内角和定理的作用
①已知边数，求内角和；
②已知内角和，求边数．
【例2】一个多边形共有27条对角线，则这个多边形是几边形？该多边形的内角和为多少度？
分析：题目给出多边形的对角线的条数，由n边形对角线的总条数为eq \f(n(n－3),2)可求边数，再根据多边形内角和定理可求出内角和．
解：设这个多边形的边数为n，
则eq \f(n(n－3),2)＝27，
解得n1＝9，n2＝－6.
∵n＞0，∴n＝9，∴该多边形的内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
答：这个多边形是九边形，其内角和为1 260°.
3．多边形的外角、外角和
(1)多边形的外角以及外角和的定义
①多边形中在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．
②在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角．
(2)多边形外角和性质
①内容：多边形的外角和都等于360°.
多边形的外角和与边数n无关．
②推导过程：
∵多边形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，
∴n边形的外角和加内角和等于n·180°.
又∵内角和为(n－2)·180°，
∴外角和为n·180°－(n－2)·180°＝360°.
(3)外角和定理的作用
①已知各相等外角度数，求多边形边数；
②已知多边形边数，求各相等外角的度数．
(4)多边形中锐角、钝角的个数
多边形中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角(如长方形)；多边形外角中最多有三个钝角，最少没有钝角．
【例3】若一个多边形的内角和与外角和之和是1 800°，则此多边形是( )．
A．八边形 B．十边形
C．十二边形 D．十四边形
解析：设此多边形的边数为n，则(n－2)·180°＋360°＝1 800°，解得n＝10，故选B.
答案：B
熟记多边形的内角和公式与外角和是解决本题的关键．n边形的外角和是一个定值，而内角和只与边数n有关．
4．利用多边形内角和公式或外角和求多边形的角或边
多边形内角和公式(n－2)·180°与边数n有关系，当已知多边形的边数n，就可以求得多边形的内角和．同理，当多边形的内角和已知时，多边形的边数也是确定的．
根据n边形的一个内角与和它相邻的外角互为补角，我们可以得到多边形外角和都为360°.利用多边形的外角和为360°，常常能使问题的解决变得更为简单．
【例4】一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数．
分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出每个外角的度数，就可以知道是几边形了．
解：设这个正多边形的一个外角为x°，则一个内角是x°＋36°，
由题意得x＋x＋36＝180，
解得x＝72,360÷72＝5，故它是正五边形，即这个正多边形的边数是5.
(1)多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角和的问题转化为外角和问题来处理．
(2)多边形的一个内角与相邻外角互补．
(3)多边形的外角的个数等于多边形的边数的2倍．,
5．多边形的内角与外角的关系
(1)对于n边形的内角和为(n－2)·180°，在学习中要明确以下几点应用：
①已知边数n，可求得其内角和．
如：十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°.
②边数每增加1，内角和就增加180°，如：九十七边形内角和比九十五边形的内角和大360°.
③如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n.如：已知一个多边形的内角和等于1 080°，求它的边数n.首先我们可以运用公式列出方程(n－2)×180°＝1 080°，解这个方程，得n＝8.
(2)对于多边形的外角和为360°，应明确两点：
①多边形的外角和与边数n无关．
②将多边形内角问题转化为外角问题，常常有化难为易的效果．
(3)多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°，多边形的外角和是定值，与边数无关．,
【例5－1】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2 030°，求这个多边形的边数和这个被去掉的内角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为x°，则0＜x＜180.根据题意得：(n－2)·180＝x＋2 030，解得x＝180n－2 390.因为0＜x＜180，所以0＜180n－2 390＜180，解得13eq \f(5,18)＜n＜14eq \f(5,18).因为多边形的边数n为正整数，所以n＝14，x＝180×14－2 390＝130.
答：这个多边形的边数是14，所求内角的度数为130°.
本题根据多边形的内角和公式可以得出关于n，x的二元一次方程，用常规解法无法得出n与x的确定值．而此题的解法巧妙地运用了多边形内角的度数x°的取值范围0°＜x°＜180°，以及多边形的边数为正整数这两个条件，顺利地求出n的值及x的值．
【例5－2】已知：四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
分析：利用多边形的外角和为360°求解．
解：设四边形的最小外角度数为x，则其他三个角度数分别为2x,3x,4x.
则x＋2x＋3x＋4x＝360°.
∴x＝36°，2x＝72°，3x＝108°，4x＝144°.
∴四边形各个外角度数分别为36°，72°，108°，144°.
6．多边形的内角和与外角和在方程中的应用
很多数学问题是通过用方程来解决的，即将已知条件与所求问题用方程联系起来．在几何计算问题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解，往往可使计算更加简便．
(1)根据多边形的内角和求边数．根据边数求多边形的内角和主要依据是多边形的内角和公式，有时需要列方程解决问题．应注意掌握公式和方程思想的应用．
(2)解决正多边形问题注意借助多边形的外角解决问题．
(3)当问题中涉及内角和外角的关系时，一般通过内角和外角的关系构造方程解决．
【例6－1】一个多边形的对角线条数比边数多3，试求该多边形的边数与内角和．
解：设该多边形的边数为n，根据题意得：eq \f(1,2)n(n－3)＝n＋3，整理得n2－5n－6＝0，解得n1＝6，n2＝－1(舍去)．所以该多边形的内角和为(6－2)×180°＝4×180°＝720°.
答：该多边形的边数为6，内角和为720°.
【例6－2】已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比其相邻的外角大60°，求这个多边形的边数．
解：(方法一)设这个多边形是n边形，则它的内角和为(n－2)·180°，每个内角度数为(n－2)·eq \f(180°,n)，外角和为360°，每个外角度数为eq \f(360°,n).由题意，得(n－2)·eq \f(180°,n)－eq \f(360°,n)＝60°，解得n＝6.∴这个多边形的边数是6.
(方法二)设这个多边形每个内角度数是x，则与它们相邻的外角度数是180°－x，由题意x－(180°－x)＝60°，x＝120°.于是外角度数为180°－120°＝60°.又外角和为360°，360°÷60°＝6，∴这个多边形的边数是6.
19.1 多边形内角和课堂练习
基础巩固
1．下列角度中，是多边形内角和的只有( )．
A．270° B．560° C．630° D．1 440°
2．多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有( )．
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
3．若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝__________.
5．小华从A点出发向前直走50 m，向左转18°，继续向前走50 m，再左转18°，他以同样走法回到A点时，共走了__________m.
6．一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．
7．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1个单位为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为__________个平方单位．
8．已知一个多边形的每个内角都为钝角，则这样的多边形有多少个？边数最少的一个是几边形？
9．已知：四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠C＝90°，BC＝CD，AB＝AD.求∠A的度数．
10．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
参考答案
1. 答案：D 点拨：要判断四个选项中哪个是多边形的内角和，我们需要知道多边形内角和的特点．由多边形的内角和公式(n－2)·180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，观察验算四个选项知选D.
2. 答案：C 点拨：由每一内角都等于150°得每一外角为30°，得边数为.而从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，即可引出12－3＝9条对角线．
3. 答案：C
4. 答案：360° 点拨：把多个角的和转化为一个多边形的内角和或外角和．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，
又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.
5. 答案：1 000 点拨：转回原方向转过的角度和为360°，即多边形外角和为360°，所以边数为20，小华共走了20×50＝1 000(m)．
6. 答案：9
7. 答案：π 点拨：阴影部分的角是n边形的外角，其和为360°，故所有的阴影组成一个圆，其面积为π个平方单位．
8. 解：设多边形的边数为n，则每一个内角为.由题意，得.
∴n＞4.∴内角都为钝角的多边形有无数个．
∵n＞4，∴n的最小值为5，即边数最少的一个是五边形．
点拨：根据内角和表示出一个内角，确定它的范围是大于90°且小于180°，从而求出边数n的范围．
9. 解：方法一：如图1，连接BD.∵Rt△BCD中，∠C＝90°，BC＝CD，∴∠DBC＝45°.
又∵∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝70°－45°＝25°.
∵△ABD中，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∴∠A＝180°－∠ABD－ADB＝130°.(三角形内角和为180°)
方法二：如图2，连接AC.
在△ABC和△ADC中，
∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°.
∴∠BAD＝360°－∠B－∠D－∠BCD＝360°－70°－70°－90°＝130°.
点拨：当题目中有线段长度时，一般利用勾股定理的逆定理判定某三角形是否为直角三角形．四边形问题通常转化为三角形问题来解决，在构造三角形时必须同已知条件结合起来，不要随意连线．本题认真分析条件，很容易想到构造等腰三角形或全等三角形．
10. 解：如图，连接BE，在四边形ABEF中，∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝360°.
∵∠1＋∠2＝∠C＋∠D，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠ABC＋∠1＋∠2＋∠DEF＋∠F
＝360°.
点拨：此题的关键是将不规则图形中的角转移到常见图形中，把多个角的和转化为一个多边形的内角和或外角和．
19.1 多边形内角和课后练习
一、选择题
1.八边形的内角和为( )
A.180°B.360°C.1080°D.1440°
2.正十边形的每个外角都等于( )
A.18°B.36°C.45°D.60°
3.[2018·乌鲁木齐] 一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( )
A.4B.5C.6D.7
4.从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个n边形分割成6个三角形,则n的值是( )
A.6B.7C.8D.9
5.若一个多边形有9条对角线,则这个多边形的边数是( )
A.6B.7C.8D.9
6.从一个多边形的一个顶点出发可以引7条对角线,那么这个多边形对角线的总条数为( )
A.70B.35C.45D.50
7.[2018·济宁] 如图1,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数为( )
图1
A.50°B.55°
C.60°D.65°
8.如图2所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°……照这样走下去,她第一次回到出发地A点时,一共走的路程是( )
图2
A.140米B.150米C.160米D.240米
9.一个多边形切去一个角后,形成的新多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )
A.7B.7或8
C.8或9D.7或8或9
二、填空题
10.学校门口的电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有 .
11.[2019·益阳] 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是 .
12.若n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引出对角线的条数是 .
13.如图3,∠1是五边形ABCDE的一个外角.若∠1=60°,则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为 .
图3
14.如图4,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN.若MF∥AD,FN∥DC,则∠B= °.
图4
15.如图5,在正八边形ABCDEFGH中,连接AG,HE交于点M,则∠GME= °.
图5
三、解答题
16.在四边形ABCD中,∠D=60°,∠B比∠A大20°,∠C是∠A的2倍,求∠A,∠B,∠C的度数.
17.若一个多边形的外角和与内角和之比为2∶9,求这个多边形的边数及内角和.
18.如图6,五边形ABCDE的每个内角都相等,DF⊥AB于点F,求∠CDF的度数.
图6
19.粗心的小明在计算一个多边形的内角和时,误把一个外角也加进去了,得其和为1180°.请帮他求出这个多加的外角度数及多边形的边数.
20.已知n边形的内角和θ=(n-2)·180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
21 如果一个多边形的各边都相等,且各内角也都相等,那么这个多边形就叫做正多边形,如图7就是一组正多边形.观察每个正多边形中∠α的变化情况,解答下列问题.
图7
(1)将下面的表格补充完整:
(2)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=20°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.
(3)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=21°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.
详解详析
1.[解析] C 根据多边形的内角和公式(n-2)·180°,将n=8代入公式,可知C选项正确.
2.[解析] B 360°÷10=36°,所以正十边形的每个外角都等于36°.故选B.
3.[答案] C
4.[解析] C 由题意,得n-2=6,解得n=8.故选C.
5.[解析] A 设这个多边形有n条边,则n(n-3)2=9,解得n1=6,n2=-3(舍去),故这个多边形的边数为6.故选A.
6.[解析] B ∵从一个多边形的一个顶点出发可以引7条对角线,∴n-3=7,∴n=10,∴这个多边形对角线的总条数为10×(10-3)2=35.故选B.
7.[解析] C ∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°.
又∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,
∴∠PDC+∠PCD=120°,
∴在△CDP中,∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.
故选C.
8.[解析] B ∵多边形的外角和为360°,而每一个外角均为24°,∴多边形的边数为360°÷24°=15,∴小华一共走了15×10=150(米).故选B.
9.[解析] D 设切去一个角后的多边形为n边形,根据题意,有(n-2)·180°=1080°,解得n=8.而一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能(如图):比原多边形边数多1、与原多边形边数相等、比原多边形边数少1,故原多边形的边数可能为8-1=7,8,8+1=9.故选D.
10.[答案] 不稳定性
11.[答案] 5
[解析] ∵多边形的内角和与外角和的总和为900°,多边形的外角和是360°,∴多边形的内角和是900°-360°=540°,∴多边形的边数是540°÷180°+2=3+2=5.
12.[答案] 6
[解析] 由多边形内角和公式知(n-2)·180°=1260°,解得n=9.所以从一个顶点出发引出的对角线条数是n-3=6.
13.[答案] 420°
[解析] ∵∠1=60°,
∴∠AED=120°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°-∠AED=420°.
14.[答案] 95
[解析] ∵MF∥AD,FN∥DC,
∴∠BMF=∠A=100°,∠BNF=∠C=70°.
∵△BMN沿MN翻折得△FMN,
∴∠BMN=12∠BMF=12×100°=50°,∠BNM=12∠BNF=12×70°=35°.
在△BMN中,∠B=180°-(∠BMN+∠BNM)=180°-(50°+35°)=180°-85°=95°.故答案为95.
15.[答案] 67.5
[解析] ∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AHG=(8-2)×180°÷8=135°,AH=HG,∠AHE=90°,∴∠HAG=(180°-135°)÷2=22.5°,∴∠GME=∠AMH=90°-∠HAG=67.5°.故答案为67.5.
16.解: 设∠A=x,则∠B=x+20°,∠C=2x.
由四边形的内角和为360°,得x+(x+20°)+2x+60°=360°,解得x=70°.
∴∠A=70°,∠B=90°,∠C=140°.
17.解:∵任何一个多边形的外角和都等于360°,
这个多边形外角和与内角和之比为2∶9,
∴这个多边形的内角和等于360°÷2×9=1620°.
设这个多边形的边数是n,
则(n-2)×180°=1620°,
∴n=11.
故这个多边形的边数为11,内角和为1620°.
18.解:∵五边形ABCDE的每个内角都相等,
∴∠C=∠B=180°×(5-2)÷5=108°.
∵DF⊥AB,
∴∠DFB=90°,
∴∠CDF=360°-90°-108°-108°=54°.
19.解:设多边形的边数为n,多加的外角度数为α,则(n-2)·180°=1180°-α,
∵1180°=6×180°+100°,内角和应是180°的倍数,
∴小明多加的一个外角为100°,
∴这是6+2=8边形的内角和.
∴这个多加的外角度数是100°,该多边形的边数是8.
20.解:(1)甲的说法对.
∵θ=360°,∴(n-2)·180°=360°,解得n=4,即内角和为360°的多边形的边数为4.
乙的说法不对.理由:∵θ=630°,∴(n-2)·180°=630°,解得n=112.∵n为整数,∴θ不能取630°.
(2)依题意,得(n-2)·180°+360°=(n+x-2)·180°,解得x=2.
21解:(1)填表如下:
(2)存在,n=9.
(3)不存在.理由如下:
假设存在正n边形,使其中的∠α=21°,则21°=180n°,解得n=847.
又∵n是正整数,∴不存在正n边形,使其中的∠α=21°.
正多边形的边数
3
4
5
6
…
18
∠α的度数
…
正多边形的边数
3
4
5
6
…
18
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
10°
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