专题06 一元二次方程单元过关（培优版）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（ ）
A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解
C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解
2．（2023春·全国·八年级专题练习）关于x的一元二次方程kx2+4x+4=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k<1B．k<1且k≠0C．k≤1且k≠0D．k≤1
3．（2023春·八年级课时练习）配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：
①用配方法解方程x2−8x−10=0，变形后的结果是x−42=26；
②已知方程x2−8x+q=0可以配成x−42=12，那么x2−8x+q=3可以配成x−42=9；
③若关于x的方程x−22=k有实数根，则k≥0；
④若x2+ax+9可以配成形如x+m2的形式，则a=6；
⑤用配方法可以求得代数式x2−6x+10的最小值是1．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根是x=−1，则2018−a+b的值是（ ）
A．2013B．2016C．2023D．2021
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
6．（2022秋·河北沧州·九年级统考期中）用配方法解一元二次方程x2−4x−3=0，配方正确的是（ ）
A．(x−2)2=7B．(x−2)2=6C．(x−4)2=3D．(x−4)2=9
7．（2023·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数a的取值有关
8．（2023·湖南永州·校考一模）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格六月底是7.5元/升，八月底是8.4元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．7.51＋x2=8.4B．7.51＋x2=8.4
C．8.41－x2=7.5D．7.51＋x＋7.51＋x2=8.4
9．（2023·全国·九年级假期作业）将一个边长为4的正方形ABCD分割成如图所示的9部分，其中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH也全等，中间小正方形EFGH的面积与△ABE面积相等，且△ABE是以AB为底的等腰三角形，则△AEH的面积为（ ）

A．2B．3225C．32D．2
10．（2023春·八年级课时练习）根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）
A．0.59＜x＜0.60B．0.60＜x＜0.61C．0.61＜x＜0.62D．0.62＜x＜0.63
第II卷（非选择题）
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）把一元二次方程xx−1=4x+1化为一般形式是 ．
12．（2022秋·九年级单元测试）二次三项式x2+5x+7的最小值为 ．
13．（2023春·九年级单元测试）现有5张正面分别标有数字−2，−1，0，1，2的同种卡片，将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的方程x2−2a−1x+aa−3=0有实数根，且以x为自变量的函数y=x2−2ax+4a的顶点落在第一象限的概率是 ．
14．（2022秋·全国·九年级专题练习）某生活小区准备在每幢楼房之间，开辟面积为200平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长为 米，宽为 米；
15．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m+2=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1⋅x2=2，则实数m= ．
16．（2023春·云南昆明·九年级专题练习）若实数x、y满足x2+y21−x2−y2+6=0，则x2+y2= ．
17．（2022秋·九年级课时练习）解方程：
(1)2x2﹣3x﹣1＝0
(2)x2﹣7x＝﹣10
18．（2023·全国·九年级假期作业）如果关于x的方程(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)=0 (其中a，b，c均为正数)有两个相等的实数根，证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．
19．（2022秋·全国·九年级专题练习）一元二次方程x2+mx+m−3=0．
(1)当m=4时，求方程的根；
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根．
20．（2023·北京·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0m<0．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为−1，求m的值和方程的另一个根．
21．（2022春·八年级单元测试）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，此时点B到墙底端点C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么点B将向外移动多少米？
(1)请你将下面的解答过程补充完整．
解：设点B将向外移动xm，即BB1=xm，
则B1C=x+0.7m，A1C=AC−AA1=2.52−0.72−0.4=2m，
而A1B1=AB=2.5m，则在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12，
得方程为__________；
解得x1=_________；x2=_______；
∴点B将向外移动________m．
(2)①如果将“下滑0.4m”改为“下滑0.9m”，那么该题的答案会是0.9m吗？为什么？
②梯子的顶端从点A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？
22．（2022秋·全国·九年级专题练习）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件；
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
23．（2023·全国·九年级假期作业）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A，B同时出发，求经过几秒时，
(1)△PBQ的面积等于8平方厘米？
(2)五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？
24．（2022春·湖南长沙·八年级雨花外国语学校校考阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2如(x1(1)若方程为x2−3x=0，求出该方程的衍生点M的坐标；
(2)若关于x的一元二次方程为x2−(5m+1)x+5m=0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+2(k+3)的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
25．（2022秋·全国·九年级专题练习）2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元．
(1)若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
(2)该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加54a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加32a%．
①用含有a的代数式填表（不需化简）：
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加1314a%，求a的值．
评卷人
得分
一、单选题
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x﹣1
﹣0.061
﹣0.04
﹣0.017
0.0044
0.027
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
9月份的售价（元）
9月份销量
“天问一号”模型
90

“嫦娥五号”模型