易错04 三角形（八大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2024中考数学考试易错题

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易错点一：忽略三角形构成条件
三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
易错提醒： 在解题时，要根据三角形存在的条件，验证求得的解，否则容易造成多解．
例1．一个三角形的三边长都是整数，它的周长为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识点，设最长边为x，另外两边之和为，则；根据题意求出的取值范围是解题关键．
【详解】解：设最长边为x，另外两边之和为，则
由三角形的三边关系得：，
∴，即：
∵三角形的三边长都是整数，
∴，即，
∴
∴x可以取4或5，
当时，三边只能是4，4，4，为等边三角形；
当时，三边有两种情况：①3，4，5，为直角三角形，②5，5，2，为等腰三角形．
故选：D
易错警示：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法。
例2．已知等腰的底边长为5．其腰长恰好是方程的根，则m的值是（ ）
A．2B．4C．1D．3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系．根据一元二次方程根的判别式，求得或，再将的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，即可确定m的值．
【详解】解：，
，，，
，
解得：或，
当时，，解得：，
，不满足三角形的三边关系，
（舍去）；
当时，，解得：，
，满足三角形的三边关系，
即m的值是3，
故选：D．
变式1．若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（ ）
A．24B．12C．20D．12或20
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．
【详解】解：如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∵
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，
∴菱形的周长．
故选：C
变式2．定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰是“3倍长三角形”，底边的长为3，则等腰的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“3倍长三角形”是解本题的关键．由等腰是“3倍长三角形”，可知或，若，可得的长为9；若，因为，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；再根据周长的多余即可得答案．
【详解】解：等腰是“3倍长三角形”，
或，
若，则三边分别是9、9、3，符合题意，
等腰三角形的周长为；
若，则，三边分别是1、1、3，
，
此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形的周长为
故答案为：
变式3．等腰三角形的两边长为，当每取一个值时，该等腰三角形都只有一个，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两腰相等，以及三角形的三边关系．根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案
【详解】解：若是腰长，则，即；
若是底边长，则．
因为不能既是腰长又是底边长，所以．
故答案为：.
变式4．已知关于x的方程，．
(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件：
（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）分当等腰三角形的腰长为1时，则是方程的一个根，当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，两种情况求出k的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴无论k为任意实数值方程，总有实数根；
（2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则是方程的一个根，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得或，
∴底边长为2，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴的周长为．
1．等腰三角形中，底边，且，则 ．
【答案】13或7/7或13
【分析】本题考查等腰三角形的定义，绝对值，三角形三边关系的应用，先根据计算出的值，再判断是否符合三角形三边关系即可．
【详解】解：，
，
，
或7，
当时，三条边长为13，13，10；当时，三条边长为7，7，10，
均符合三角形三边关系，满足题意，
故答案为：13或7．
2．已知，是等腰三角形的两边，且，则这个三角形周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形性质，二次根式和完全平方的非负性，构成三角形三边关系．根据题意先求出的值，再利用等腰三角形定义分类讨论三角形边的情况即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∵是等腰三角形的两边，
①当为腰时，则为底，三角形为：，
∵不符合构成三角形三边关系，
∴此种情况舍去；
②当为底时，则为腰，三角形为：，
∴此时符合构成三角形三边关系，即周长为：，
故答案为：．
3．等腰三角形的周长为，，则的长为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形性质和三角形三边关系，根据题干可以分为三种情况：①当为底边时、②当为底边时、③当为底边时，根据以上三种情况讨论边的取值即可解题．
【详解】解：等腰三角形的周长为，，
分以下三种情况：
①当为底边时，
()，
此时三边长为别为、、，满足三角形三边关系；
②当为底边时，
，
()，
此时三边长为别为、、，满足三角形三边关系；
③当为底边时，
，
()，
此时三边长为别为、、，满足三角形三边关系；
故答案为或或．
4．如果是等腰三角形，且，则的周长为（ ）．
A．13B．17C．17或22D．22
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，构成三角形的条件，等腰三角形的性质；由绝对值非负性可求，，分类讨论①当时，②当时，即可求解；理解非负性，能个根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：，
，，
，，
是等腰三角形，
①当时，
三边长为：4，4，9，
，
不能构成三角形；
②当时，
三边长为：4，9，9，
能构成三角形，
故三角形的周长为；
综上所述：三角形的周长为；
故选：D.
5．已知a、b、c是的三边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．已知等式变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，得到，即可确定出三角形形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵a、b、c是的三边，
∴，
∴不成立，只能是，
∴一定是等腰三角形．
故选：C．
6．已知三角形中两边边长值分别是的两根，设其剩下的边边长值为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程以及三角形三边关系，先利用因式分解法解方程，再根据三角形三边关系可得答案．
【详解】解：，
，
则或，
解得，，
则该三角形第三边的取值范围是，即，
故答案为：．
7．一个等腰三角形的周长为．
(1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
(2)已知其中一边的长为．求其它两边的长．
【答案】(1)这个等腰三角形的各边的长为，，；
(2)另外两边的长为，．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．
（1）设底边长为，则腰长为，根据等腰三角形的周长为列方程求出x，即可得出答案；
（2）分情况讨论：①当底边长为时，②当腰长为时，分别根据等腰三角形的周长为列式计算即可．
【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，
∵三角形的周长是，
∴，
解得：，则，
∴这个等腰三角形的各边的长为，，；
（2）解：①当底边长为时，
则腰长为：，
所以另外两边的长为，，且符合三角形三边关系定理；
②当腰长为时，
则底边长为：，
所以另外两边长为，，，不符合三角形三边关系定理．
综上，另外两边的长为，．
易错点二：混淆各种线的概念及画法
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段；
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段；
三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段
垂直平分线（中垂线）：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线
易错提醒：一是要对各种线的概念进行熟记；二是能够根据题意画出规范图形
例3．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，A选项正确，不符合题意；
∵是的角平分线，、
∴，B选项正确，不符合题意；
∵是的中线，
∴，C选项错误，符合题意；
∵是的高，
∴，D选项正确，不符合题意；
故选D．
易错警示：注意三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。
例4．在中，已知，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边上；②在的角平分线上；③在直角边的垂直平分线上，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用以及角平分线的性质，能求出是解此题的关键，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵平分 ，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
故选：B．
变式1．如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线B．是的角平分线
C．D．是的高
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，这样就很容易判断出C选项的错误；由于，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出是否是的高，这样也能得出D选项的正误．
【详解】A、由图可知：是的中线，正确，不符合题意；
B、由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意；
C、是的角平分线，
，
是中线，
，
不正确，符合题意．
D、由图可知∶
是的高，正确，不符合题意；
故选C．
变式2．如图，已知，按下列要求画图：
(1)画出的平分线，并指出相等的角；
(2)画出BC边上的中线，并指出相等的线段；
(3)画出BC边上的高，并指出图中所有的直角三角形．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，图中的直角三角形有，和
【详解】（1）BD是的平分线．．
（2）AE是BC边上的中线．．
（3）AF是BC边上的高．∵，∴，∴图中的直角三角形有，和．
变式3．如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．将经过一次对称后得到，图中标出了点A的对应点．
(1)补全；
(2)画出边上的中线；
(3)画出边上的高线；
(4)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)8
【分析】（1）连接，作利用格点找出的垂线，即为对称轴，再作出点B，点C的对称点，顺次连接即可得到；
（2）利用格点找出的中点D，连接即可；
（3）利用格点作，使得，交于点E，利用全等三角形的性质可证，即为所求；
（4）利用格点和三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如下图所示；
（2）解：边上的中线如下图所示；
（3）解：边上的高线如下图所示；
理由如下：
由格点可知，，
又，
，
，
，
，
，
为边上的高线；
（4）解：,
即的面积为8．
【点睛】本题考查格点作图，涉及作轴对称图形、作三角形的中线、高线、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题的关键是利用格点构造．
变式4．如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数．
【答案】
【分析】首先根据三角形高的定义可知，再结合三角形内角和定理解得的值，结合为的角平分线，可得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由求解即可．
【详解】解：∵为的高，
∴，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
1．如图，A、B、C分别为某经济开发区中的三地，每两地之间都修建了一条笔直的公路，现在要在A、B、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（ ）．
A．AC、BC两边高线的交点处B．两内角平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处D．AC、BC两边垂直平分线的交点处
【答案】B
【分析】本题考查角平分线性质．角平分线上的点到线段两端的距离相等，利用性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵要在A、B、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，
∴将加油站建在两内角平分线的交点处即可到三边的距离相等，
故选：B．
2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在、两边高线的交点处B．在、两内角平分线的交点处
C．在、两边中线的交点处D．在、两边垂直平分线的交点处
【答案】B
【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择．
【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键．
3．如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6B．7C．10D．12
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间连线段最短等；连接，由三角形面积得 ，由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，由两点之间连线段最短当、、三点共线时，最小，
此时，即可求解；掌握相关的性质，“将军饮马”典型问题的解法是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，的面积为12，，
，
，
解得：，
，
，
直线垂直平分交于点E，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，
的最小值为，
的周长的最小值为：
；
故选：B．
4．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．
【详解】解： 是的中线

的面积等于的面积
故正确；
，是的高
，
是的角平分线
∴
又

故正确；




故正确；


故错误；
故答案为：①②③．
5．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

(1)如图，请画出的高和中线；
(2)如图，是的角平分线，请画出的角平分线，并在射线上画点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，与相交于点，即为的高，连接，与相交于点，连接，即为中线；
（2）找到格点，连接交于点，连接并延长交于点，即为的角平分线；找到格点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）解：如图所示，找到格点，连接交于点，连接并延长交于点，即为的角平分线；
找到格点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求；

理由如下：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，则，
则是的角平分线，
∴是角平分线的交点，
则是的角平分线；
∵是的角平分线，
∴
∴
又是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴
∵关于对称，
∴
∴，
∴，
∵，分别是的中点，
∴
∴，即
∴，
∴
在中，
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，作三角形的中线，高线，角平分线，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．如图，在中，为边上的高，的平分线交于点，交于点．若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，平分，
，
为边上的高，
，
，
，
．
7．如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
(1)若，求的大小．
(2)若的面积为40，，求的长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
为高，
，
；
（2）解：为中线，
，
，
．
易错点三：讨论不全面，需分类讨论
易错提醒： 不同的三角形，高的位置也不同，所以要分类讨论，可以按照锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，以免漏解．
例5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【详解】解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与另一边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，三角形顶角为50°
②当为钝角三角形时可以画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，
则三角形的顶角为130°．
综上，等腰三角形顶角度数为或
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
例6．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．或B．C．D．和
【答案】A
【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时，分别进行计算即可．
【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
这个等腰三角形的底角是；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图：
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
这个等腰三角形的底角是；
综上所述：这个等腰三角形的底角是或，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
变式1．已知在中，，高和高所在的直线交于P点，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形高的定义，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理，熟练掌握三角形高的定义，直角三角形两锐角互余，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．根据题意进行分类讨论：①当点P在内时，②当点P在外时，即可求解．
【详解】解：①当点P在内时，如图1：
∵、为的高，，
∴，，
∴；
②当点P在外时，如图2：
∵、为的高，，
∴，，
∴；
故答案为：或．
变式2．在中，是边上的高，，求的度数．
【答案】的度数为或．
【分析】分是锐角和是钝角两种情况进行讨论，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：当是锐角时，如图（1），
∵是高，
∴；
当是钝角时，如图（2），
∴，
则．
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，正确分两种情况进行讨论是关键．
变式3．在中，，，高，则的长是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，分当高在的内部时当高在的外部时，然后由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及分类讨论思想．
【详解】当高在的内部时，如图，
∵边上的高，，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
在中，，根据勾股定理得， ，
∴；
当高在的外部时，如图，
∵边上的高,
∴，
在中，，根据勾股定理得， ，
在中，，根据勾股定理得，
∴，
综上所述，的长为或，
故选：．
变式4．在中，为边上的高，，，则的度数是 度．
【答案】或
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角的和差，分位于内部和外部两种情况讨论，进行运算即可求解，掌握分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，当位于内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当位于外部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数是或，
故答案为：或．
1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图(1)，当是锐角三角形时，
，，
，
，
；
如图(2)，当是钝角三角形时，
，，
，
，
，；
综上所述，它的顶角度数为：或，
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
2．若等腰三角形一腰上的高与另一个腰的夹角为60°,则这个等腰三角形的底角是 （ ）
A．75°或15°B．75°C．15°D．75°或30°
【答案】A
【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案.
【详解】
根据题意得：AB=AC，BD⊥AC
如图（1），∠ABD=60°
则∠A=30°
∴∠ABC=∠C=75°
如图（2），∠ABD=60°
∴∠BAD=30°
∠ABC=∠C=∠BAD=15°
故这个等腰三角形的底角是75°或15°
故选A
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是本题的关键.
3．直角三角形的两边分别为2和3，则斜边上的高为
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高的长，设斜边上的高为h，分当长为3的边为斜边时，当长为3的边为直角边时，两种情况利用勾股定理求出第三边的长，再利用等面积法求出h的长即可得到答案．
【详解】解：设斜边上的高为h，
当长为3的边为斜边时，则第三边长为，
由三角形面积公式可得，
∴；
当长为3的边为直角边时，则第三边的长为，
由三角形面积公式可得，
∴；
综上所述，斜边上的高为或，
故答案为：或．
4．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为 ；已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边BC的长为 ．
【答案】 40°或140° 11cm或7cm
【分析】（1）分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．
（2）分两种情况讨论：当AB+AD＝12，BC+DC＝15或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8，8，11或10，10，7．所以BC的长为7cm或11cm．
【详解】（1）当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴三角形的顶角为40°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝140°
∴三角形的顶角为140°；
综上，三角形的顶角为40°或140°；
（2）如图3，
设AD＝xcm，则当2x+x＝12时，x＝4，即AB＝AC＝8cm，
∵周长是12+15＝27cm，
∴BC＝11cm；
当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10cm，
∵周长是12+15＝27cm，
∴BC＝7cm，
综上可知，底边BC的长为7cm或11cm．
故答案为40°或140°；7cm或11cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
5．在中，已知边上的高，，，则的面积为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形的高，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①在内部；②在外部，分别求出的长，即可求出的面积．
【详解】解：①如图，当在内部时，，
；
②如图，当在外部时，，
；
综上可知，的面积为或，
答案：或．
6．已知△ABC的面积为20cm2，AD为BC边上的高，且AD＝8cm，CD＝2cm，求BD的长度．
【答案】BD的长度为3或7
【分析】分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．
【详解】解：如图1，
∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝（BD+CD）•AD，
∴20＝（BD+2）×8，
∴BD＝3；
如图2，
∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝（BD﹣CD）•AD，
∴20＝（BD﹣2）×8，
∴BD＝7；
故BD的长度为3或7．
【点睛】本题考查了三角形的面积，注意分类讨论．
易错点四：比例关系混淆
三角形的重心：三角形三条边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
易错提醒： 比例关系要记熟，线段位置容易写相反导致比例出错
例7．如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（ ）
A．12B．14C．18D．24
【答案】C
【分析】本题考查了三角形重心的性质和相似三角形的判定与性质，连接，根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知，根据平行证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵点P是的重心，点D是边的中点，
∴P在上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
∵四边形的面积为6，
∴，
∴，
∴的面积为9，
∴的面积是18．
故选：C．
例8．如图，点D是的重心，，，，的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了重心的性质，先根据三角形面积公式求出，再由重心的性质得到，则，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接并延长交于F，连接，
∵，，，
∴，
∵点D是的重心，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
变式1．已知点G是等腰直角三角形的重心，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，重心性质的应用，化为最简二次根式，先求解，，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接并延长交于点，
∴是等腰直角三角形斜边的中线
∴
∵点是等腰直角三角形的重心，
∴，且
在中，根据勾股定理得：
；
故答案为：
变式2．如图，在中，中线，相交于点．，交于点，则与的比为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键；
由三角形重心的性质推出，令，，得到，由平行线等分线段定理推出求出，，即可得到，
【详解】，是的中线，
是的重心，
令，，
，
，，
，
，
．
故答案为．
变式3．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到，然后根据平行得到，进而得到计算是解题的关键．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
又∵为的重心，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
变式4．如图，是的重心，且，，，求中边上的高．

【答案】
【分析】延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，根据勾股定理的逆定理证明，继而求得的面积，最后根据的面积求得边上的高即可．
【详解】解：延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，如图，

是的重心，
，，，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设中边上的高为，
则，
．
故中边上的高为．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
1．如图，F是的重心，连接并延长交于D，连接并延长交于E．若的面积是4，则四边形的面积是（ ）

A．2B．5C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了重心的概念：重心是三角形三边中线的交点，三角形中线的性质；
根据重心的概念，得到是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答．
【详解】解：是的重心，
是的中线，
，
四边形的面积，
故选：D．
2．点是的重心，，如果，那么的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的中线的定义，根据点是的重心，得出，进而可得，即可求解．
【详解】解：如图，为边上的中线，

点是的重心，
，
，
，
．
故答案为．
3．如图，点P是矩形边上的任意一点（不包括点），点分别是的重心，若矩形的面积是8，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键．
连接并延长交于点，连接并延长交于点，交于点，双向延长，分别交于点，根据三角形的重心的性质得出：的底为，高为，进而即可求解．
【详解】解：连接并延长交于点，，连接并延长交于点，交于点，双向延长，分别交于点，如图，
∵点分别是的重心，
同理可得：，
∴的底为，高为，
设，
∵矩形的面积是8，
∴．
∴的面积．
故答案为：．
4．如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为 ．
【答案】
【分析】延长交于F，过G作于G，直线交于E，证明，得，同理可得，即有，根据G为的重心，，得，设，根据勾股定理列式计算可得答案．
【详解】解：过G作于G，延长交于点，如图：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵G为的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
则在直角三角形中，，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
5．如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的重心、三角形的中位线、相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，连接，由是的重心，可得是的中位线，从而得到，利用三角形重心的定义和性质得出，，再证明，得到即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，延长交于点，连接，
是的重心，
分别是的中点，
是的中位线，
，
点是的重心，
点为的中点，，
点的重心，
点在中点上，，
，，
，
，
，
故答案为：．
6．已知中，，中线交于点，，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意利用三角形重心的性质求出，再利用相似三角形判定得到，再利用相似三角形性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵中，，中线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形重心问题，相似三角形判定及性质，直接开方法解一元二次方程．
7．如图，G为的重心，，求的值．

【答案】24
【分析】G为的重心，判断出点是边的中点，即可判断出；即可得出，求出即可得出结论．
【详解】解： 点为的重心，
，
∴
，
，
点为的重心，
点是边的中点，
；
点为的重心，
，
，
，
∴．
【点睛】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
易错点五：讨论不全面，需分类讨论
易错提醒：在等腰三角形中，涉及到腰上的垂直平分线、中线，某边是底边还是腰等问题时，易错点在于忘记分情况讨论，导致漏解
例9．已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰顶角的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的定义、三角形内角和定理，分两种情况：当是锐角三角形时；当是钝角三角形时；分别画出图形，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，当是锐角三角形时，
，
垂直平分，，
；
如图，当是钝角三角形时，
，
垂直平分，，
，
；
综上所述，等腰顶角的度数为或，
故选：D．
易错警示：等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，需注意分类讨论思想的渗入。
例10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为( )
A．70°B．20°C．70°或20°D．40°或140°
【答案】C
【详解】解：①当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角=（90°-50°）=20°，
②当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= [180°-（90°-50°）]=70°．
故选C．
变式1．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是50°，则底角的度数为 ．
【答案】
【分析】分两种情况讨论，①三角形为锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可；②三角形为钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可．
【详解】解：由题意，分两种情况讨论，
①如图1，三角形为锐角三角形时，
，
底角为：；
②三角形为钝角三角形时，，
底角为：，
综上，底角的度数为．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键是分类讨论．
变式2．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数．
【答案】或
【分析】分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案．
【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：

∵垂直平分，，
∴，
∴；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：

∵垂直平分，，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：等腰三形的顶角的度数为或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略的是考虑该等腰三角形为钝角三角形．
变式3．在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分（中线将的周长分成和两部分，（注意不是和两部分），由于没有指明哪部分为12，哪部分为6，故应分两种情况讨论），求这个等腰三角形的腰长及底边长．
【答案】等腰三角形ABC的腰长为8，底边长为2．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，三角形中线，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，则，分两种情况讨论即可．
【详解】解：设，则，
①当，时，
则，
解得：，，
∴，；
（2）当，时，
则，
解得：，，
∴，，
∵，
∴此时不能构成三角形，
综上所述，等腰三角形ABC的腰长为8，底边长为2．
变式4．若等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角的度数分别为 ．
【答案】，或，．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．注意：遇到求等腰三角形的角时，常常要进行分类讨论．分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可．
【详解】解：若角为顶角，则另外两个底角为：；
若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：．
故答案为：，或，．
1．如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质．利用手拉手模型证明，可得①②正确，根据全等推导出是的平分线可得④正确；利用反证法证明③不成立即可．
【详解】解：设、相交于点，过点作，垂足为，作，垂足为，

，
，即，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，，
平分，
，
，
，故④正确；
假设③正确，则一定有，又，则会有，
，，
，则，假设不成立，③错误．
综上，①②④正确；
故选：C．
2．如图，为线段上任意一点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定．①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，①正确；④先证明，即可判断出，，即可得④正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．③没有条件证出，得出③错误；⑤，⑤正确；即可得出结论．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，，
，
，
∴结论①正确，符合题意；
，
，即，
又，
，
，
，，，
，
，
又，
为等边三角形，
∴结论④正确，符合题意；
，
∴，
∴结论②正确，符合题意；
，
，
，
∴结论⑤正确，符合题意；
没有条件证出，
∴③错误，不符合题意；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故选：B．
3．如图，在中，平分，，于点E，若，，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点D作延长线于点，由角平分线的性质定理，易证，得到，再证，得到，进而得出，然后由，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D作延长线于点，
∵平分，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：21．
4．如图，，，．
(1)求证：；
(2)请用无刻度的直尺作出边的中点（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂线的作法等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）直接证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由，根据根据等腰三角形三线合一的性质过A作的垂线，垂足F即可所求．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图：点F即为所求．
5．如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．

(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)求的长度．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据翻折变换的对应关系及矩形的性质，易得，和，从而证明；
（2）根据翻折变换的对应关系及矩形的性质，易得，，在中，利用勾股定理求出长度，从而求出长度．
【详解】（1）解：，理由如下：
四边形是长方形，
，，，
，
沿折叠后为，
，
，，
在与中，
，
；
（2）解：四边形是长方形，
，，
，
，
在中，由勾股定理有，
．
【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用相关知识，找准对应边、对应角是解题关键．
6．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点坐标为，过点作轴，且为等腰直角三角形．
(1)如图，当，时，求证：；
(2)当为直角边时，请给出相应图形分别求出所有可能的值，并直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)当为直角边时,所有可能的b值为或3或．
【分析】本题考查一次函数的图像性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
（1）通过题意可得，再根据互余的性质求出，然后利用即可证明结论；
（2）根据点A、B、C的位置分分三类情况，分别运用全等三角形的性质以及坐标与图形进行分析解答即可．
【详解】（1）证明：∵,
∴,
∵轴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴，
在和中,,
∴．
（2）解：①如图1：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上时，
∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴,
∴,
∵点P坐标为,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴；
②如图2：当B在y轴正半轴上，A在x负半轴上时，作轴于M,则,
∵,
∴,
∴；
③如图3：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上且P在的延长线上时，
∵,
∴,
∵,
∴,
∴．
综上所述,当为直角边时,所有可能的b值为或3或．
7．已知A，C，B在同一条直线上，，都是等边三角形，交于点N，交于点M，，垂足为点G．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及三线合一，根据等边三角形的性质证得，有，进一步证得，得到，可得为等边三角形，即可证明结论．
【详解】证明：∵和为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴．
易错点六：错用SSA证明
全等三角形的判定方法：①边边边(SSS)；②边角边(SAS)；③角边角(ASA)；④角角边代(AAS)；⑤斜边、直角边(HL)
易错提醒： 要注意两条边和一角的关系，应该是两边夹一角，即SAS，而不是SSA．
例11．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2B．1或1.5C．2或3D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可．
【详解】解：根据题意得，，，则，
，
当，时，，
即，，
解得：，；
当，时，，
即，，
解得：，，
综上所述，当与全等时，的值是2或3．
故选：C．
例12．如图，点，在直线的两侧，点是上一点，且，，点是上异于点的一点，则（ ）．
A．B．
C．D．以上都有可能
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．
作交的延长线于点，交于点，连接，通过证明，得到是的垂直平分线，进而得到，，利用三角形三边关系，得到答案．
【详解】解：如图，作交的延长线于点，交于点，连接，
在和中，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，，
，
．
故选：．
变式1．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案．
【详解】解：连接，，如图所示，
∵，，
∴，
∵，分别是，的中垂线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点O逆时针方向旋转得到．则点B的坐标为 ．（用字母a，b表示）
【答案】
【分析】本题考查坐标系下的旋转．熟练掌握旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．作轴于，作轴于，可证得，进一步得出结果；
【详解】解：如图1，
作轴于，作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
故答案为：
变式3．如图，是等边三角形，点D、E分别是边、上的点，、交于点M．，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，作于点G，则，根据是等边三角形得，，利用证明，则，即可得，根据三角形内角和定理得，则，根据得，根据，得，利用证明，则，即可得；掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】证明：如图所示，作于点G，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中 ，
∴，
∴，
即．
变式4．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据证明即可；
（2）根据，得出，，根据等腰三角形的性质求出，再求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
1．如图，正方形的边长为5，对角线交于点，点、为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的性质可得，，，根据三等分点可得，再根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵点是的三等分点，
∴，则
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
同理，，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故选：．
2．如图，为边长为7cm的等边三角形，，，为上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为秒，当 秒时，与相似．
【答案】12或16或21
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，先根据等边三角形的性质得，再分和两种情况求出答案即可．
【详解】∵是等边三角形，
∴，，
∴，．
当时，，
即，
解得或；
当时，，
即，
解得．
∴或16或21．
故答案为：12或16或21．
3．如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴与的面积比为，
∵的面积为5，
∴的面积是20，
故选C．
4．如图交于点，作交于点，设，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出面积比等于相似比的平方，列出方程即可．
【详解】设，
∵
∴与以为底的高相等
∴
∵
∴，
，
解得．
故答案为：
5．如图，路灯下竖立的一根木杆（用线段表示）的影子，小明（用线段表示）的影子是．
(1)请在图中画出路灯的位置（用点P表示）；
(2)若此路灯距地面高8米，小红的身高1.6米在距离灯的底部左侧6米N处，此时小红沿方向向左直走，求当小红的影长是5米时，她所走的路程．
【答案】(1)见解析
(2)14米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用：
（1）连接，并延长交于点P，即可；
（2）过点P作于点H，设当小红的影长是5米时，到达点， 表示小红的身高，表示此时的影长，则米，米，，可得，从而得到米，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）解：如图，过点P作于点H，设当小红的影长是5米时，到达点， 表示小红的身高，表示此时的影长，则米，米，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
即当小红的影长是5米时，她所走的路程14米．
6．如图，在中，，是边上的中线，点E在上，．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，三角形的中线；
（1）根据两个角对应相等即可证明；
（2）利用（1）的结论得出，再根据是边上的中线，得出，进一步证明即可．
【详解】（1）解：在和中，
，，
；
（2）解：由（1），
，
在和中，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
．
7．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），点是边上的一个动点，且．
(1)求证：；
(2)当点为中点时，求的长；
(3)当为等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)或
【分析】本题考查相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，重点要运用对应边成比例进行计算，第三问关键在于能够对等腰三角形进行分类．
（1）由，，得到，再根据三角形的外角性质得，进而即可证明；
（2）由中点定义得，进而根据相似三角形的性质即可得解；
（3）为等腰三角形有三种情况，、、分别利用相似三角形性质计算即可
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，点为中点时，
∴，
∵．
∴即，
∴
（3）解：如图，当时
∵，
∴，
∴．
如图，当时，
∵，
∴即点与点重合．
∵不与点、重合，
∴舍去．
如图，当时，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，即，
∴．
易错点七：书写要注意字母对应
易错提醒： 在证明三角形相似时，易错点在于找准对应边和对应角，所以在证明两个三角形相似的时候一定要注意字母的书写顺序，以方便找准对应关系．
例13．已知，且的周长为10，则的周长为（ ）
A．5B．10C．20D．30
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．
根据“相似三角形周长比等于相似比”列比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴相似比为，
∴，即，解得：．
故选C．
例14．如图，在四边形中，，对角线，过点作于点，若，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，先求出,证得，，得到，根据相似三角形的判定即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴
在中，,，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
变式1．如图，为等腰直角三角形，，点D为上一点，点E为延长线上一点，且，连接交的延长线于点F，点G为的中点，连接．下列四个结论：①；②；③；④．
其中正确的结论个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及等积问题，灵活运用相似三角形是解题的关键．
根据可以证明得故①正确，由得所以推出得故③正确，点D是上任意一点，由与不一定相等，故②错误，因为，所以与不平行，所以，因为，所以，故④错误．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，故①正确，
，
，
，
，
，
，
，
，
故③正确，
∵点D是上任意一点，
与不一定相等，故②错误，
，
与不平行，
，
，
，故④错误．
故选：B．
变式2．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：过点作于点延长交于点，
∴
由题意得
∴，
∴，，
∴即，
∴，
故答案为：．
变式3．如图，在中，为边上一点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求对角线的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，则有，再结合即可证明结论；
（2）由线段的和差可得，再根据平行四边形的性质可得，再结合（1），运用相似三角形的性质列比例式求得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
解得：，
∴．
变式4．如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题关键．
【详解】证明：∵平分，
∴
∵，
∴，
∴．．
∴．
1．等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【详解】如图1，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图2，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
等腰三角形的顶角大小为或，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°,则等腰三角形的顶角度数为( )
A．20°B．40°C．20°或160°D．40°或140°
【答案】C
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD=70°，BD⊥AC，∴∠A=90°﹣70°=20°，∴三角形的顶角为20°；
②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAD=90°﹣70°=20°，∵∠BAD+∠BAC=180°，∴∠BAC=160°，∴三角形的顶角为160°．故选C．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
3．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数为
【答案】65° 或25°/25°或65°
【分析】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】解：①如图1，三角形是锐角三角形时，∠A=90°-40°=50°，
底角为：×（180°-50°）=65°；
②如图2，三角形是钝角三角形时，∠BAC=90°+40°=130°，
底角为：×（180°-130°）=25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
4． 等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，求此三角形的腰和底边的长．
【答案】腰和底边长分别为8cm，11cm或10cm，7cm
【分析】根据等腰三角形的性质，可设腰长是x，底边长是y，然后根据已知条件得出方程，求出腰长和底长，再根据三角形的三边关系验证是否构成三角形，最后得出结论．
【详解】解：设腰长为，分两种情况：
.①腰长与腰长的一半是时，，解得，
所以，底边，所以，，能组成三角形；
②腰长与腰长的一半是时，，解得，
所以，底边，
所以，三角形的三边为，，能组成三角形，
综上所述，此三角形的腰和底边的长分别为，或，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；此题由于没有明确哪部分的长是15和6，所以一定要分情况进行讨论．最后还要注意看是否符合三角形的三边关系．
5．已知分别是等腰的高线与角平分线，且相交于点F，若，则的度数不会是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键．
由题意知，等腰分；；；三种情况，利用等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理计算求解即可．
【详解】解：由题意知，等腰分；；；三种情况求解；
如图1，当时，
∴，，
∵分别是等腰的高线与角平分线，
∴，，
∴；
如图2，当时，
∴，
同理，，，
∴；
如图3，当时，
∴，
同理，，，
∴；
综上所述，的度数为或或；
故选：C
6．【问题情景】
小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题：
（1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点．
求证：与都是等腰三角形；

【初步应用】
小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？
（2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同的分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．

【灵活应用】
小明进一步思考：
（3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系．
【答案】（）见解析；（）见解析；（）或或或，为小于的任意锐角．
【分析】（1）利用等腰三角形的判定即可求解；
（2）根据题意画图即可；
（3）分若是顶角，则；若是底角，第一种情况：当时，第二种情况，当时讨论即可；
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定及分类讨论思想．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴与都是等腰三角形；
（2）解：如图所示：

（3）解：设，，过点的直线交边于，

在中，若是顶角，
如图，则，，
而，此时只能有，即，
即，即；
∴；
若是底角，
第一种情况：如图，当时，则，
中，，，
由，得，此时有，即，
∴；
由，得，此时，即，
∴，
由，得，此时，
∴，为小于的任意锐角．
第二种情况，如图，当时，，，此时只能有．
从而，这与题设是最小角矛盾．
∴当是底角时，不成立．
综上，与之间的关系：或或或，为小于的任意锐角．
7．如图，在中，．将绕点A顺时针旋转得到．与交于点F．
(1)求证：．
(2)设，直接写出当m、n满足什么条件时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)当或时，是等腰三角形
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等，注意进行分类讨论．
（1）根据旋转性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，，即可证明结论；
（2）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
，
∴．
（2）解：当时，
则，
∵，
∴，
∴；
当时，
则，
∵，
∴，
∴；
当时，点F在的延长线上，不符合题意；
综上分析可知，当或时，是等腰三角形．
易错点八：混淆角的专业术语
仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).
方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
坡度(坡比)：坡面的铅垂高度和水平宽度的比
易错提醒：要分清是仰角还是俯角，分清仰视和俯视的站立点，分清涉及到游船航行方向的确认等，才能避免出错
例15．如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ）
A．400米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案．
【详解】解：点作于点，
，
由题意可得：，，
∴，，
在中，米，
∴米，
米，
∴米，
∵，
∴（米），
故选：B．
例16．如图，在外力作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，是解答本题的关键．
根据题意设滑块沿斜坡向上移动了时，上升的高度为，利用坡度的定义，由勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：根据题意设：
滑块沿斜坡向上移动了时，上升的高度为，
斜坡的坡度为，
滑块水平距离为，
由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
滑块上升的高度为，
故答案为：．
变式1．如图，一艘轮船位于灯塔O的南偏东方向，距离灯塔海里的点P处，轮船沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔O的北偏东方向上的点Q处，此时灯塔O位于轮船Q的南偏西 °方向上，且距离点Q 海里．
【答案】 30 80
【分析】本题考查了方位角，解直角三角形的应用；灯塔O对于轮船Q的方向与Q对于灯塔O的方向是相反的，即可确定灯塔O对于Q的方向；过点O作于E，分别解直角三角形即可求出的长，确定灯塔O对于Q的位置．
【详解】解：∵灯塔O对于轮船Q的方向与Q对于灯塔O的方向是相反的，
∴灯塔O对于轮船Q的方向是南偏西方向；
过点O作于E，如图，
由题意知，，
则，
∴（海里），
∴（海里）
故答案为：30；80．
变式2．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬1米耗能，若某人爬坡时，其垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，则他耗能 ．（参考数据：，）

【答案】
【分析】本题考查了斜坡的计算，运用正弦函数计算即可．
【详解】设斜坡爬行x米，
∵垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，
∴，
解得(米)，
∵每爬1米耗能，
∴耗能为
故答案为：．
变式3．如图，希望中学的教学楼和综合楼之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树，且其底端，，在同一直线上，米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶处测得点的仰角为，点的俯角为．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）
【答案】小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，综合楼的高度约是37.00米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到三角函数的定义及矩形性质和应用，准确作出辅助线是解答此题的关键．作，垂足为，作，垂足为，由题意知，米，米，，，在中，有，（米），即得米，在中，有，得（米），故（米）．
【详解】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：
作，垂足为，作，垂足为，如图：
由题意知，米，米，，，
在中，
，
，即，
（米），
（米），
米，
在中，米，
，
，即，
（米），
（米），
答：综合楼的高度约是37.00米．
变式4．某会展中心截面如图所示，背面AB的倾斜角为，大门高6米，大门底端D点距背面点B的距离米，在大门顶端C点测得背面顶端A的仰角为，求屋顶A距地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，
【答案】约28米
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义列出关于的方程．过作于，过作于，过作于，设米，判定四边形是矩形，得到米，，米，由锐角的正切定义得到，求出（米），得到米，因此米，由，得到，求出，即可得到米，于是得到答案．
【详解】解：过作于，过作于，过作于，
设米，
，
四边形是矩形，
米，，
米，
，
（米），
米，
米，
，
，
，
米，
（米），
答：屋顶距地面的高度约是28米．
1．董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库，如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求出，熟记坡度的概念是解题的关键．
【详解】解：∵水坡的坡度，
∴，
∵坡高，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为 海里．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
，
在中，海里，
（海里），（海里），
在中，（海里），
海里，
轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为海里，
故答案为：．
3．小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，）
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切的定义得，由相似的判定方法可证 ，由相似的性质得，即可求解；掌握解法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
米，
设米，
在中：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：；
答：该古树的高为米．
4．龙文塔是漳州古城的标志性建筑之一，它建立在一座平台上．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量龙文塔的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：如图，在距离塔底点的处用激光投线角度仪测得塔的最高点的仰角．已知塔底直径，请你求出龙文塔的高度约多少米？（参考数据，，）
【答案】龙文塔的高度约米
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的应用—俯角仰角问题，先根据等腰三角形的性质得出，从而得出，再根据，即可得出的长，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
龙文塔的高度约米．
5．如图，小林一家准备乘船去小岛上游玩，他们从地出发，沿北偏西方向行驶10千米至先到达景点地参观，再沿北偏东方向行驶一段距离到达小岛，这时测得在地的北偏东方向．求景点距离小岛的距离是多少?（结果保留到千米，参考数据：，，）

【答案】千米．
【分析】如图所示，过点B作于D，由题意得，，利用三角形内角和定理求出，再求出，得到千米，即可利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、解直角三角形在方位角中的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点B作于D，

由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴千米，
∴千米．
6．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向．
(1)求线段的长度；
(2)若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【答案】(1)线段的长度是20海里．
(2)如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
（1）过作于点，求出、的度数，求出和，根据等边对等角得出；
（2）根据含30度角的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）过点作，垂足为，
根据题意可知，，
，
，
海里；
（2）如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：
在中，，，，
，
（海里）（海里），
航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
7．如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方有一斜坡，坡长，坡比，李东在A点处测得楼顶端C的仰角为，在B点处测得楼顶端C的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：）
【答案】教学楼的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
过点A作，垂足为F，过点A作，垂足为E，根据矩形的性质得到，，设，根据勾股定理得到，，在中，，设，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：过点A作，垂足为F，过点A作，垂足为E，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，，
设，
，
，
，，
在中，，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
答：教学楼的高度约为．