【期中讲练测】北师大版八年级下册数学压轴真题必刷02 一元一次不等式和一元一次不等式组 （压轴专练）.zip

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压轴一：解一元一次不等式压轴二：一元一次不等式的应用
压轴三：解一元一次不等式组压轴四：一元一次不等式组的实际应用
压轴五：一元一次不等式与一次函数压轴六：一元一次不等式（组）的综合物体
【题型归纳】
题型一：解一元一次不等式
1．（21-22八年级下·湖北·期末）定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，代入原方程可得，解方程并由题意可得，即可建立不等式并求解可知，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题．
【详解】解：令，代入原方程可得，
解得，
由题意可得，
∴，解得，
∵n为整数，
∴n=1或2，
当n=1时，，
当n=2时，，
则方程所有解的和为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键．
2．（20-21七年级下·四川南充·期末）已知，则代数式最大值与最小值的差是 ．
【答案】
【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.
故答案为：.
【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．
3．（17-18八年级下·全国·期中）解不等式（组）：
（1）．
（2）
【答案】(1) x＞-4.5．(2)无解．
【分析】（1）利用一元一次不等式的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解不等式即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】（1）去分母，得2（2x+1）-（2-x）＞3（x-1）-6，
去括号，得4x+2-2+x＞3x-3-6，
移项，得4x+x-3x＞-3-6-2+2，
合并同类项，得2x＞-9，
系数化为1，得x＞-4.5．
（2）解：
由①得y＞3，由②得y≤-1．
故原不等式组无解．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型二：一元一次不等式的应用
4．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出打折后售价以及结合利润与进价之间的关系得出不等式即可．
【详解】解：∵商品标价为500元，打x折销售，
∴商品售价为元，
∵利润率不低于，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确的不等关系是解题关键．
5．（22-23八年级下·福建宁德·期中）某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设商品的定价为元，小明妈妈根据信息列出不等式，那么小明告诉妈妈的信息是（ ）
A．买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后不超过1300元
B．买两件等值的商品可打九折，再减150元，最后不超过1300元
C．买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后不到1300元
D．买件等值的商品可打九折，再减150元，最后不到1300元
【答案】C
【分析】根据，可以理解为买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后得出总价小于1300元．
【详解】解：由关系式可知：
由，得出两件商品减150元，以及由得出买两件打9折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减150元，再打9折，最后不到1300元．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打8折是解题关键．
6．（22-23八年级下·广东深圳·期中）小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板．爸爸的体重为75千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于（ ）

A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克
【答案】D
【分析】先设小明的体重为，则小明妈妈的体重为，，再根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：设小明的体重为，则小明妈妈的体重为，
由题意得
解得，
∴小明的体重应小于25千克．
故选D．
【点睛】此题重点考查学生对一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）2023年杭州成功举办亚运会，吉祥物的周边产品深受群众欢迎．宸宸打算去官方旗舰店购买钥匙扣做纪念，钥匙扣一个元，快递费元，满元包邮．
(1)设购买钥匙扣个时，满足包邮条件，根据题意，列出不等式：______；
(2)买7个钥匙扣，能满足包邮吗？买个呢？请说明理由．
【答案】(1)（或）；
(2)买个钥匙扣，不能包邮；买个钥匙扣，能包邮．理由见解析．
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用
（1）根据题意，列出不等式即可；
（2）当和8时，分别进行计算即可判断．
【详解】（1）解：根据题意可列不等式为：，
故答案为：（或）．
（2）解：当时，，，故不能包邮，
当时，，，故能包邮．
8．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）某水果店准备购进秋月梨、红心柚进行销售，有关信息如下表：
已知若购进10箱秋月梨和8箱红心柚需要1180元；若购进15箱秋月梨和20箱红心柚需要2250元．
(1)求表中a，b的值；
(2)经统计，该水果店第一次共购进秋月梨75箱，红心抽100箱，并全部销售，第二次该水果店购进的秋月梨数量比第一次购进的秋月梨的数量增加了，购进的红心柚数量比第一次购进的红心柚数量增加了，两种水果的进价均与第一次进价相同，恰逢店铺周年庆，老板决定将第二次购进的秋月梨的售价在第一次秋月梨售价的基础上打8折，第二次购进的红心柚的售价在第一次红心柚售价的基础上降低元，为使第二次购进的秋月梨和红心全部销售完后至少获利4940元，求m的最大值．
【答案】(1)a的值为70，b的值为60
(2)m的最大值为40
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）根据“购进10箱秋月梨和8箱红心柚需要1180元；购进15箱秋月梨和20箱红心柚需要2250元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润每箱的销售利润销售数量（购进数量），可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
答：a的值为70，b的值为60；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∴m的最大值为40．
答：m的最大值为40．
题型三：解一元一次不等式组
9．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有5个整数解，即可求得m的取值范围，再根据的解为整数，即可写出符合条件的m的值．
【详解】解：解不等式组得：，
∵不等式组至多有5个整数解，
，
解得，
∴整数的值为，
解方程得：，
又为整数，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
符合条件的整数的个数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
10．（2018·湖北襄阳·一模）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：
解不等式①得，解不等式②得，
由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是．
若三个整数解为，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．
11．（2018·山东泰安·一模）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
【详解】解：由不等式，可得：，
由不等式，可得：，
由以上可得不等式组的解集为：，
因为不等式组恰好只有四个整数解，
即整数解为，
所以可得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式是解答本题的关键．
12．（2021·重庆沙坪坝·模拟预测）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（ ）
A．15B．14C．8D．7
【答案】D
【分析】解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a,相加即可.
【详解】
解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7
∴
∴
∵
∴
∴
∴，a为整数
又∵为整数
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故选：D
【点睛】本题考查解不等式组求整数解、解分式方程、正确解不等式组是关键，利用不等式组的解集求参数是中考的常考题型.
13．（22-23八年级下·四川达州·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为多少？
【答案】13
【分析】求解不等式组，由整数解的情况，得，由方程解的情况得，所以符合条件的k的整数值为6，7，相加即可．
【详解】解：，
解得，
∵关于x的不等式组最多有2个整数解，
∴，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，
∴，
解得；
解，
得，
∵方程的解为非正数，
∴，
解得，
综上：，
符合条件的k的整数值为6，7，和为；
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用；根据题意建立构建不等式组求解是解题的关键．
题型四：一元一次不等式组的实际应用
14．（20-21八年级下·重庆渝中·期中）为响应国家号召，筑牢健康防线，重庆市民积极接种新冠疫苗，日前疫苗主要有三类：类（腺病毒载体疫苗）、类（灭活疫苗）、类（重组亚单位疫苗）．甲、乙、丙三个接种点分别向市防疫站申请调拨了三类疫苗（其中每个接种点调拨的每一类疫苗剂数均为正整数），调拨一剂类疫苗的费用是调拨一剂类疫苗费用的3倍．甲接种点分别申请类80剂、类80剂、类40剂；丙接种点分别申请类80剂、类50剂、类80剂，丙调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等．乙接种点申请的疫苗总数量比甲的总数量少20剂，其中类疫苗的剂数为9的整数倍，乙调拨的总费用不高于甲总费用的68.7%，但不低于甲总费用的68%．则乙接种点申请调拨类疫苗的最多数量是 剂．
【答案】126
【分析】此题的关系量较多，需要逐步分析：（1）设B型x元每支，C型y元每支，则A型3x元每支，根据“丙拨疫苗的总费用与甲的总费用相等”，可以解得y=x；（2）设B类疫苗的剂数为9n支（n正整数），C疫苗的剂数是m支，（m是正整数），可以得到A疫苗的剂数是（180-9n-m）支．再根据总费用建立不等式组，讨论取得m、n的值．
【详解】解：（1）设B型x元每支，C型y元每支，则A型3x元每支，
根据“丙调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等”，得到方程：80×3x+80×x+40×y=80×3x+50×x+80y，得到y=x．
（2）设在乙接种点，B类疫苗的剂数为9n支（n正整数），C疫苗的剂数是m支，（m是正整数），可以得到A疫苗的剂数是（180-9n-m）支．
根据条件（1）可以得到甲的总费用=80×3x+80×x+40×y=350x．
根据题意得到不等式组
∴299.55-18n≤m≤302-18n．
要m最大，需要n最小，取n=1，得到m=126．
本题答案是：126．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用及不等式的应用，此题数量关系较复杂，需要分布罗列条件、将问题转化为方程、不等式．
15．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
【答案】(1)甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元
(2)四种方案：方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
(3)
【分析】（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y的值；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出进货方案．
（3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，列出关系式，再求利润相同时，W与a的取值无关，据此解答即可．
【详解】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元；
（2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得： ，
解得：，
为整数，
取或或或，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
（3）解：设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
；
当时，W的值与a的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，能根据题意列出不等式组及利润表达式是解题的关键．
16．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元?
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值．
【答案】(1)
(2)当时取最大值4500元
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由题意得：，
∴，
∵中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，(元)．
（3）解：∵，
∴，
由题意得：
．
∵，
∴当时，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴，符合题意．
当时，， 不合题意．
当时，， y随x的增大而减小．
∴当时，， ∴，不合题意，舍去．
综上，．
17．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；
(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
【答案】(1)每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元
(2)3种方案；购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大，为元
(3)见解析
【分析】（1）设每台空调的进价为元，根据每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等，列出分式方程进行求解即可；
（2）根据购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，列出不等式组，进行求解，得到方案，求出关于的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可；
（3）列出关于的一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．读懂题意，正确的列出分式方程，一元一次不等式组，一次函数的解析式，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解；
∴；
答：每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；
（2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，共3种方案；
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值为元，
即：购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大，为元．
（3）由题意，得：，
当，即：，随的增大而增大，
∴当购买电冰箱36台，购进空调台，利润最大，
当，即：，随的增大而减小，
∴当购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大，
当，即：，每种方案的总利润相同，均为元．
18．（20-21八年级下·江西景德镇·期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．
(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
(2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个；
(3)购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案；
（2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案；
（3）根据（2）代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
（2）解：由题意可得，
且m为整数，
解得：，且m为整数，
∴m为：或，
∴该校共有两种购买方案，
方案一：购买甲种个，乙种个；
方案二：购买甲种个，乙种个；
（3）解：由（2）得，
方案一费用为：（元），
方案二费用为： （元），
∵，
∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式．
题型五：一元一次不等式与一次函数
19．（22-23八年级下·四川巴中·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
20．（22-23八年级下·北京东城·期中）如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，B点的横坐标为1．
(1)求一次函数的解析式；
(2)请直接写出时自变量x的取值范围；
(3)若点P在y轴上，且满足的面积是面积的一半，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数的解析式；
（2）图象法进行求解即可；
（3）分点在轴正半轴和负半轴，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵B点的横坐标为1，点在正比例函数的图象上，
∴时，，即：，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可知，
当时，直线在直线的下方，
∴时自变量x的取值范围为：；
（3）解：∵，，
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴；
设直线与轴的交点为点，当时，，
∴，
设，
当点在轴正半轴上，①点在之间时：
则
，
∴，即点坐标为；
②点在点上方时，
则
，
∴，即：点坐标为；
当点在轴负半轴上时，
则：
，
∴（不合题意，舍掉）
综上：点坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
21．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象交轴和轴于点和；另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点
(1)当，为何值时，和的图象重合；
(2)当，且在时，则成立，求的取值范围；
(3)当的面积为时，求线段的长．
【答案】(1)当时，和的图象重合；
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入求得，得到，于是得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意，需要分成两种情况进行分析：第一种情况，如图2，第二种情况，如图3，根据函数解析式得到，求得的长度，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵的图象过点，
∴，
∴，
∴，
∵和的图象重合，
∴，
∴；
即当时，和的图象重合；
（2）解：∵，如图1，
∴，
∴，，
∵且时，成立，
∴由图象得，
∴；
（3）解：∵
中，令得，
令，，
中，令得，
令得
∴
第一种情况，如图2，
根据题意得：
∴，
∵
∴
解得：或；
经检验，，是原分式方程的解；
∴，，，，
∴，；
第二种情况，如图3：
∵，
∴，
∴
解得：或，
经检验，，是原分式方程的解；
∴，，，，
∴，；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程，坐标与图形，以及三角形面积的计算，正确的理解题意，求出各点的坐标是解题的关键．注意利用数形结合的思想进行解题．
22．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线AB：与坐标轴的交点分别为，，直线与坐标轴交于C，D两点．
(1)求直线AB与直线的交点E的坐标．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）把点A，B的坐标代入即可求得直线的解析式，然后与直线联立即可解答；
（2）直接根据函数图像和点E的坐标即可写出的解集；
（3）根据可得C，D两点的坐标，进而可得、，然后根据、E 可得、点E到BD的距离是2，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：把点A，B的坐标代入得，解得，
∴直线AB的解析式是．
解方程组，得，
∴点E的坐标是．
（2）解：由（1）可得点E的坐标是
由函数图像可得不等式的解集为．
（3）解：∵，
∴，，
∴，，
∵，E ，
∴，点E到BD的距离是2，
∴．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、两直线交点问题、根据函数图像确定不等式解集、一次函数图像与坐标轴围成图形面积问题等知识点，掌握一次函数的相关性质是解答本题的关键．
23．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．
(1)求n和k的值；
(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；
(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)P
(3)
【分析】（1）把点C代入解析式中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入中，即可求出k的值；
（2）先根据解析式可求出点A和点B的值，进而可求出的面积，则可求出的面积和的面积，过点P作x轴的垂线，表示出的面积，建立方程即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）把点C代入解析式中，得，
∴C，
把点C的坐标代入中，则，解得；
（2）∵直线分别与x，y轴交于点A、B，
∴A，B，
过点C作轴于点M，
∴，
∴，
∴，
∵点P在射线上，
∴，
过点P作轴于点N，
∴，
∴，
∴，
令，则，
解得，
∴P；
（3）由图象可知，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是运用数形结合思想．
24．（20-21八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图像相交于点C，点C的横坐标为1．

(1)求一次函数的解析式．
(2)请直接写出不等式的解集．
(3)若在x轴上存在一点D，且是以为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)， ，
【分析】（1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案；
（2）根据图像找到一次函数图像在上方的部分即可得到答案；
（3）根据勾股定理求出，分，两类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵函数与函数的图像交于点C，且点C的横坐标为1，
∴，
∴，
将点与点代入得，
，
解得：，
∴；
（2）解：由图像可得，
当时，函数的图像在函数的图像的上方，
∴的解集是；
（3）解：由勾股定理可得，
，
当时，
∵点D在x轴上，
∴点D的坐标为：，；
当时，直线是的垂直平分线，
∴,
∴点D的坐标为：；
综上所述点D的坐标为：， ，．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图像交点问题，利用函数图像解不等式，动点组成等腰三角形问题，解题的关键是求出点C的坐标及分类讨论．
25．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）数学中，定义符号表示两个数中的最大值，如，，现有函数，请回答如下问题：
(1)①当时，函数的函数值________；
②当时，函数的函数值________；
③当时，函数的函数值________；
(2)求函数的解析式．
(3)在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点,点的坐标为（1，0），函数（为常数，且）与函数相交于不同两点B（0，1）、，分别记△，△的面积为、，且有，求k的值．
【答案】(1)①2；②0；③4；
(2)
(3)k=
【分析】（1）定义符号的意义即可得到结论；
（2）分两种情况：当-x+1≥2x-2时， max{-x+l， 2x-2}=-x+1 ；当-x+1<2x-2时max{-x+l， 2x-2}=2x-2 ；
（3）根据题意点C在射线y=2x-2 (x>1)上，与y=kx+ 1联立成方程组，解方程组求得点C的坐标为： (， )，，然后根据三角形面积公式得到 ，，由，得到关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①∵当x=−1时，，，
∴函数值y=2，
故答案为：2；
②∵当x=1时，，，
∴函数值y=0，
故答案为：0；
③∵当x=3时，，，
∴函数值y=4，
故答案为：4；
（2）解：函数y=max{-x+l， 2x- 2}的解析式为：
（3）解：∵函数y=kx+1 ( k为常数，且0∴点C在射线y=2x-2 (x>1 )上，
联立，得 ，解得 ，
∴点C的坐标为： (， )，
，，
∵，
∴，
解得．
题型六：一元一次不等式（组）的综合物体
26．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状．
【答案】是等腰直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，求不等组的最大整数解，非负数的性质，先根据非负数的性质求出；再解不等式组求出，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到是等腰直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为5，即，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴是等腰直角三角形．
27．（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）“一盔一带”安全守护行动在我县开展以来，市场上头盔出现了热销，某商场购进了一批头盔．已知购进6个A型头盔和4个B型头盔需要440元，购进4个A型头盔和6个B型头盔需要510元．
(1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，那么最多可购买B型头盔多少个？
(3)在（2）的条件下，若该商场分别以售价为58元/个、98元/个的售价销售完A、B两类型号的头盔共200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)购进1个A型头盔30元，1个B型头盔65元；
(2)最多可购买B型头盔120个；
(3)三种购买方案，具体见解析．
【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数．
（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设B型头盔b个，根据所需费用数量单价，计算A，B头盔总费用列不等式，求得B型头盔b的最大值；
（3）根据利润单件利润数量，列不等式，求出B型头盔m的取值范围，结合（2）中答案确定m的取值范围，即可得出可选方案．
【详解】（1）解：设购进1个A型头盔需要元，购进1个B型头盔需要元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个A型头盔需要30元，购进1个B型头盔需要65元；
（2）解：设购买B型头盔个．
由题意可得
解之得
答：最多可购买B型头盔120个．
（3）解∶能，理由如下：
设购进B型头盔个，则购进A型头盔个
根据题意，得：；
解得：；
；
为整数，
可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80；
因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：
①A型头盔82个，B型头盔118个
②A型头盔81个，B型头盔119个
③A型头盔80个，B型头盔120个
28．（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）如图，直线 的解析式为，直线 与 轴交于点，直线与 轴交于点，且经过点，直线 ，交于点 ．
(1)求的值；
(2)求直线的解析式；
(3)根据图象，直接写出的解集．
【答案】(1)；
(2)直线的解析式为；
(3)解集为．
【分析】本题考查的知识点是求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是熟练掌握一次函数的相关知识点．
把点的坐标代入直线的解析式即可求出的值；
根据、的坐标，利用待定系数法列出二元一次方程组即可求解；
根据图象解答即可．
【详解】（1）解：直线经过点，
，
解得．
（2）解：由得，，
直线经过，，
，
解得：，
直线的解析式为．
（3）解：由图得：即的解集为．
29．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题：
(1)＝ ，若，则的范围为 ；
(2)①如果，求；
②根据①，你发现了结论“如果，那么 （填，，的大小关系）”；
③运用②的结论，填空：
若，则 ．
【答案】(1)，
(2)①；②；③
【分析】（1）根据的定义，由，即可得出关于的不等式组，解出的范围即可，
（2）①由，，可得出为三个数中的最小的数，列不等式组，即可求出的范围，
②当时，根据①的方法，可得出，当最小或时同理，
③应用②的结论可得到关于、的二元一次不等式组，解出、的值即可求解，
【详解】（1）解： ，
，
，解得： ，
故答案为：，，
（2）解：①，
又，
，
，解得：，
②当时，，即：，
又，即：，
，即：，
，
当时，和时，同理可证：，
③，
，即：，解得：，
，
故答案为：①；②；③．
30．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)填空：______．正比例函数的表达式为______；当时，x的取值范围______．
(2)若点M是直线上一动点，连接．当的面积是面积的时，请求出符合条件的点M的坐标；
(3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
【答案】(1)；；
(2)点M的坐标为或
(3)或2或
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，以及三角形面积的求解，熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．
（1）把代入中求得m的值；运用待定系数法即可得到的解析式；再利用函数图象可得不等式的解集．
（2）根据题意得点M坐标，根据的面积可得x的根，即可求出点M的坐标．
（3）不能围成三角形，即，，即可求k．
【详解】（1）解：∵点在直线上，将其代入得：，解得：
∴点C的坐标为
设直线的解析式为：
将代入得：，解得：
∴直线的解析式．
当时，；
（2）由题意可得：，，,
设，
∵
则有：
解得：，或，
故M的坐标为．
（3）∵一次函数的图像为，且不能围成三角形，
∴当经过点时，；
当平行时，；
当平行时，；
故k的值是或2或．
进价（元/箱）
零售价（元/箱）
秋月梨
a
110
红心柚
b
100