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2023-2024学年福建省泉州市惠南中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省泉州市惠南中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,2)，b//a，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
2.已知a与b为非零向量，OA=a+b,OB=2a−b,OC=λa+μb，若A，B，C三点共线，则2λ+μ=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.若向量a=(x,2)，b=(2,3)，c=(2,−4)，且a//c，则a在b上的投影向量为( )
A. (813,1213)B. (−813,1213)C. (8,12)D. 4 1313
4.三个数60.7，0.76，lg0.76的大小顺序是( )
A. lg0.76<0.76<60.7B. 0.76<60.7C. 0.765.在△ABC中，若A=60°，BC=3 6，AC=6，则角B的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 135°D. 45°或135°
6.已知函数f(x)=x+14x(x>0)−x2−4x−1(x≤0)则方程f(x)−a=0有四个实根的充要条件为( )
A. a≥1B. a≤3C. 1≤a≤3D. 17.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ+bcsθ|.已知向量a为单位向量，|b|= 2，|a−b|=1，则a⊕b=( )
A. 22B. 2C. 102D. 2 3
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论中错误的是( )
A. φ=π3
B. 的数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
C. 函数f(x)在[−5π12,π12]上单调递增
D. 将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+π4)的图象
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则t的值为−2
B. 若a//b，则t的值为12
C. 若0D. 若(a+b)⊥(a−b)，则|a+b|=|a−b|
10.在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC的形状可能为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不存在
11.已知函数f(x)=lg( 1+x2−x)+1，则( )
A. f(x)的定义域为R
B. f(ln2)+f(ln12)=2
C. 当x>0时，f(x)∈(0,1]
D. 对定义域内的任意两个不相等的实数x1,x2,f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sinα=45(0<α<π2)，则tan2α= ______．
13.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b⋅csC=2a+c.若b=4，则△ABC的外接圆半径为______．
14.如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得点A的俯角β=45°，已知铁塔BC部分高36米，则山高CD= ______米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|x2−(2m−1)x−2m<0}．
(1)当m=1时，求A∪B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若向量m=( 3,−sin A) ，n=(a,2c) ，且m→⊥n→ ．
(1)求C ；
(2)若c=2 3 ，且a+b=6 ，求a ，b 的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcsA+ 3bsinA=a+c．
(1)求B；
(2)若△ABC的中线BD长为2 3，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cs2x−1,x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；
(2)解关于x的不等式f(x)≥1；
(3)将函数f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到g(x)的图象，求函数y=g(x)+2csx在[0,π2]上的值域．
19.(本小题17分)
在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AR；
(2)若|a|=2,|b|=1,=60°，求∠ARB的余弦值；
(3)若H在BC上，且RH⊥BC，设|a|=2,|b|=1,θ=，若θ∈[π3,2π3]，求|CH||CB|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设向量b=(x,y)，
由b//a，得2x−y=0，
∴y=2x，
∴向量b可以是(−1,−2)．
故选：C．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量b满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：OA=a+b，OB=2a−b，
则AB=a−2b,AC=(λ−1)a+(μ−1)b，
因为A，B，C三点共线，所以−2(λ−1)=μ−1，解得2λ+μ=3．
故选：D．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a//c，
所以x2=2−4，解得x=−1，
所以a=(−1,2)，
又b=(2,3)，
所以b|b|=1 13(2,3)，
cs=a⋅b|a||b|=−2+6 5× 13=4 65，
所以a在b上的投影向量为|a|cs⋅b|b|= 5×4 65×1 13(2,3)=413(2,3)=(813,1213).
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵60.7>1，0<0.76<1，lg0.76<0，
∴lg0.76<0.76<60.7．
故选：A．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由正弦定理，得BCsinA=ACsinB，
所以3 6 32=6sinB，所以sinB= 22，
因为BC>AC，所以A>B，
故B为锐角，所以B=45°．
故选：B．
由已知结合正弦定理先求出sinB，然后结合三角形的大边对大角求解即可．
本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在求解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：当x>0时，f(x)=x+14x≥2 x⋅14x=1，
(当且仅当x=14x，即x=12时，等号成立)；
当x≤0时，f(x)=−(x+2)2+3≤3；
图象如右图所示，
要使方程f(x)−a=0有四个实根，
a需满足1故选D．
由题意，求分段函数的极值，从而作出其简图，从而得到答案．
本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：已知向量a为单位向量，
则|a|=1，
又|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 12−2×1× 2csθ+( 2)2=1，
解得csθ= 22，
又∵θ∈[0,π]，
∴sinθ= 1−( 22)2= 22，
∴a⊕b=| 22a+ 22b|= 12a2+a⋅b+12b2= 12+1+12×2= 102，
故选：C．
先阅读题意，然后结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：根据函数的图象，A=1，T4=7π12−π3=π4，即T=π，
所以ω=2πT=2，
当x=π3时，f(π3)=sin(2π3+φ)=0，
所以2π3+φ=kπ，k∈Z，
由于|φ|<π2，所以φ=π3，
故函数f(x)=sin(2x+π3)，故A正确；
当2x+π3=kπ(k∈Z)时，x=kπ2−π6(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心为(kπ2−π6,0)(k∈Z)，
k=0时，对称中心为(−π6,0)，故B正确；
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得x∈[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，
k=0时，单调递增区间[−5π12,π12]，故C正确；
将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数g(x)=f(x−π12)=sin[2(x−π12)+π3]=sin(2x+π6)的图象，故D错误．
故选：D．
由函数图象可得A和函数周期T，进而可求得ω，由五点法作图求出φ的值，得f(x)的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及性质，逐项判断可得结论．
本题考查正弦型函数的性质，根据三角函数的图象确定三角函数解析式是解题关键，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A：若a⊥b，则a⋅b=−2×(−1)+1×t=0，解得t=−2，故A正确；
对于B：若a//b，则−2t=−1×1，解得t=12，故B正确；
对于C：当t=12时，a与b同向，此时a与b的夹角为0°，故C错误；
对于D：若(a+b)⊥(a−b)，则(a+b)⋅(a−b)=0，即a2−b2=0，即(−2)2+12=(−1)2+t2，解得t=±2，
当t=2时，a=(−2,1)，b=(−1,2)，a+b=(−3,3)，a−b=(−1,−1)，显然|a+b|≠|a−b|，
当t=−2时，a=(−2,1)，b=(−1,−2)，a+b=(−3,−1)，a−b=(−1,3)，此时|a+b|=|a−b|，故D错误．
故选：AB．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为acsA=bcsB，
所以a×b2+c2−a22bc=b×a2+c2−b22ac，整理得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，解得a=b或a2+b2=c2，
当a=b时，△ABC是等腰三角形，
当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形，
当a=b且a2+b2=c2时，△ABC是等腰直角三角形．
故选：ABC．
利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为1+x2>x2，所以 1+x2>|x|≥x，即 1+x2−x>0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R，故选项A正确；
f(x)+f(−x)=lg( 1+x2−x)+1+lg( 1+x2+x)+1=lg(1+x2−x2)+2=2，
所以f(ln2)+f(ln12)=f(ln2)+f(−ln2)=2，故选项B正确；
因为f(x)=lg( 1+x2−x)+1=lg1 1+x2+x+1=−lg( 1+x2+x)+1，
且函数y= 1+x2+x在(0,+∞)上单调递增，又有y=−lgx+1在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=lg( 1+x2−x)+1在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)且x无限趋向于正无穷大时，f(x)无限趋向于负无穷，所以f(x)∈(−∞,1)，故选项C错误；
记函数g(x)=f(x)−1=lg( 1+x2−x)，由选项A知g(x)的定义域为R，
且g(x)+g(−x)=lg( 1+x2−x)+lg( 1+x2+x)=lg(1+x2−x2)=0，所以g(x)是奇函数，
因为g(x)=lg1 1+x2+x=−lg( 1+x2+x)，且函数y= 1+x2+x在[0,+∞)上单调递增，
又有y=−lgx在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，
因为g(x)是奇函数，所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，
所以g(x)在R上单调递减，且g(x)>g(0)=0，所以f(x)在R上单调递减，
所以对定义域内的任意两个不相等的实数x1，x2，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立，故选项D正确．
故选：ABD．
判断 1+x2−x的正负即可判断A；判断f(x)+f(−x)与2的关系即可判断B；通过f(x)=lg1 1+x2+x+1=−lg( 1+x2+x)+1，判断y= 1+x2+x及y=−lgx的单调性；根据复合函数单调性即可判断f(x)在(0,+∞)上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及f(x)在(0,+∞)上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D．
本题主要考查函数的性质的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】−247
【解析】解：由题意知α∈(0,π2)，sinα=45，
所以csα=35，
所以sin2α=2sinαcsα=2425，cs2α=cs2α−sin2α=−725，
所以tan2α=sin2αcs2α=−247．
故答案为：−247．
根据倍角公式及α的取值范围从而可求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了二倍角公式，属中档题．
13.【答案】4 33
【解析】解：根据余弦定理由2b⋅csC=2a+c⇒2b⋅a2+b2−c22ab=2a+c⇒b2=a2+c2+ac，
而b2=a2+c2−2accsB，因此有csB=−12，
因为B∈(0,π)，所以B=2π3，
由正弦定理可知△ABC的外接圆半径为12×bsinB=12×4 32=4 33．
故答案为：4 33．
运用余弦定理和正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】18( 3+1)
【解析】解：由题意可得BC=36m，∠CBA=90°−60=30°，∠ACB=90°+45°=135°，
所以∠BAC=180°−∠CBA−∠ACB=15°，sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cs30°−cs45°sin30°= 22( 32−12)= 6− 24，
∠CAD=45°，
在△ABC中，由正弦定理可得ACsin∠CBA=BCsin∠BAC，
即AC12=36 6− 24，可得AC=18( 6+ 2)m，
在Rt△ACD中，CD= 22AC=18( 3+1)m．
故答案为：18( 3+1)．
由题意可得△ABC中，∠CBA=30°，∠ACB=135°，BC=36，由正弦定理可得AB的大小，再在Rt△ACD中，∠CAD=45°，可得CD的值．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由x2−2x−3<0，解得−1所以A={x|−1当m=1时，由x2−(2m−1)x−2m<0，得x2−x−2<0，
解得−1所以B={x|−1所以A∪B={x|−1(2)因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A⫋B，
由(1)知A={x|−1而B={x|x2−(2m−1)x−2m<0}={x|(x+1)(x−2m)<0}，
当2m<−1，即m<−12时，B={x|2m当2m=−1，即m=−12时，B=⌀，显然不满足题意，
当2m>−1，即m>−12时，B={x|−1此时2m>3，即m>32，
综上所述，实数m的取值范围为{m|m>32}.
【解析】(1)解一元二次不等式化简集合A，B，再利用集合的并集运算即可得解；
(2)根据充分不必要关系得到A真包含于B，再分类讨论m的取值范围即可得解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵m⊥n，
∴m⋅n= 3a−2csinA=0，由正弦定理得 3sinA−2sinCsinA=0，
∵sinA≠0，
∴sinC= 32，
∴C=π3或C=2π3．
(2)由(1)知当C=π3时，由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，得12=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab．
解得：ab=8，即a=2，b=4或a=4，b=2，
当C=2π3时，由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，得12=a2+b2+ab=(a+b)2−ab．
解得：ab=24，故a，b无解，
综上a=2，b=4或a=4，b=2．
【解析】(1)利用向量的数量积以及余弦定理求解即可．
(2)利用角的大小，通过余弦定理，以及已知条件求解即可．
本题考查余弦定理以及向量的数量积，三角形的解法，考查计算能力．
17.【答案】解：(1)因为bcsA+ 3bsinA=a+c，由正弦定理可得sinBcsA+ 3sinBsinA=sinA+sinC，
在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，sinA≠0，
可得 3sinB−csB=2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12
即B−π6=π6或5π6，而B∈(0,π)，
解得B=π3；
(2)因为△ABC的中线BD长为2 3，B=π3，
可得BD=12(BA+BC)，
可得|BD|2=14(BA2+BC2+2BA⋅BC)=14(c2+a2+2accsB)=14(a2+c2+ac)
即12≥14(2ac+ac)，可得ac≤16，当且仅当a=c=4时取等号，
所以△ABC面积的S=12acsinB≤12×16× 32=4 3，
所以△ABC面积的最大值4 3．
【解析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式的应用，可得B角的大小；
(2)由中线的向量性质，及基本不等式的性质，可得ac的最大值，进而求出面积的最大值．
本题考查正弦定理，余弦定理及向量的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cs2x−1
=sin2xcsπ3+cs2xsinπ3+sin2xcsπ3−cs2xsinπ3+cs2x
=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
函数f(x)的最小正周期T=2πω=π．
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z．
令2x+π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=kπ2+π8(k∈Z)．
所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k∈Z)．
(2)f(x)≥1即 2sin(2x+π4)≥1,sin(2x+π4)≥ 22，
所以π4+2kπ≤2x+π4≤3π4+2kπ,k∈Z，解得x∈[kπ,π4+kπ],k∈Z．
(3)由题知g(x)= 2sin[2(x−3π8)+π4]= 2sin(2x−π2)=− 2cs2x，
则y=− 2cs2x+2csx=− 2(2cs2x−1)+2csx
=−2 2cs2x+2csx+ 2，
令t=csx∈[0,1]，则y=−2 2t2+2t+ 2=−2 2(t− 24)2+5 24，
当t= 24时，ymax=5 24；当t=1时，ymin=2− 2．
综上可知所求值域为[2− 2,5 24]．
【解析】(1)应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得f(x)= 2sin(2x+π4)，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；
(2)结合函数图像解不等式；
(3)应用换元法求值域；
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，
∴AR−AP=λ(AC−AP)，整理得：AR=(1−λ)AP+λAC=1−λ2a+λb，
由B、R、O共线，则存在μ使BR=μBO，
∴AR−AB=μ(AO−AB)，整理得：AR=(1−μ)AB+μAO=(1−μ)a+2μ3b，
∴根据平面向量基本定理：1−λ2=1−μλ=2μ3，解得λ=12，
∴AR=14a+12b；
(2)AR=14a+12b，BR=12b−34a，
AR⋅BR=−34，|AR|= 32，|BR|= 72，
∴cs=AR⋅BR|AR||BR|=− 217，
故∠ARB的余弦值是− 217；
(3)由(1)知：PR=12PC，则RC=12PC=12(b−12a)=12b−14a，
由CH，CB共线，设CH=kCB=ka−kb,k>0，
而RH⊥BC，有RH⋅BC=(RC+CH)⋅BC=[(12−k)b+(k−14)a]⋅(b−a)=0，
∴−5k+32+2(k−34)csθ=0，
可得csθ=5k−334k−32，
∵θ∈[π3,2π3]，∴−12≤csθ≤12，即−12≤5k−324k−32≤12，
解得14≤k≤928，
∴|CH||CB|的取值范围为[14,928]．
【解析】本题考查平面向量及其应用，属于中档题．
(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，由B、R、O共线，则存在μ使BR=μBO，根据平面向量基本定理求出λ=12，再表示AR即可；
(2)由(1)得AR=14a+12b，BR=12b−34a，根据向量的余弦公式，计算即可；
(3)PR=12PC，则RC=12b−14a，设CH=kCB=ka−kb,k>0，得到csθ=5k−334k−32，结合θ∈[π3,2π3]计算|CH||CB|的取值范围即可．
1.已知向量a=(1,2)，b//a，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
2.已知a与b为非零向量，OA=a+b,OB=2a−b,OC=λa+μb，若A，B，C三点共线，则2λ+μ=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.若向量a=(x,2)，b=(2,3)，c=(2,−4)，且a//c，则a在b上的投影向量为( )
A. (813,1213)B. (−813,1213)C. (8,12)D. 4 1313
4.三个数60.7，0.76，lg0.76的大小顺序是( )
A. lg0.76<0.76<60.7B. 0.76<60.7
A. 30°B. 45°C. 135°D. 45°或135°
6.已知函数f(x)=x+14x(x>0)−x2−4x−1(x≤0)则方程f(x)−a=0有四个实根的充要条件为( )
A. a≥1B. a≤3C. 1≤a≤3D. 1
A. 22B. 2C. 102D. 2 3
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论中错误的是( )
A. φ=π3
B. 的数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
C. 函数f(x)在[−5π12,π12]上单调递增
D. 将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+π4)的图象
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则t的值为−2
B. 若a//b，则t的值为12
C. 若0
10.在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC的形状可能为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不存在
11.已知函数f(x)=lg( 1+x2−x)+1，则( )
A. f(x)的定义域为R
B. f(ln2)+f(ln12)=2
C. 当x>0时，f(x)∈(0,1]
D. 对定义域内的任意两个不相等的实数x1,x2,f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sinα=45(0<α<π2)，则tan2α= ______．
13.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b⋅csC=2a+c.若b=4，则△ABC的外接圆半径为______．
14.如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得点A的俯角β=45°，已知铁塔BC部分高36米，则山高CD= ______米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|x2−(2m−1)x−2m<0}．
(1)当m=1时，求A∪B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若向量m=( 3,−sin A) ，n=(a,2c) ，且m→⊥n→ ．
(1)求C ；
(2)若c=2 3 ，且a+b=6 ，求a ，b 的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcsA+ 3bsinA=a+c．
(1)求B；
(2)若△ABC的中线BD长为2 3，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cs2x−1,x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；
(2)解关于x的不等式f(x)≥1；
(3)将函数f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到g(x)的图象，求函数y=g(x)+2csx在[0,π2]上的值域．
19.(本小题17分)
在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AR；
(2)若|a|=2,|b|=1,
(3)若H在BC上，且RH⊥BC，设|a|=2,|b|=1,θ=
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设向量b=(x,y)，
由b//a，得2x−y=0，
∴y=2x，
∴向量b可以是(−1,−2)．
故选：C．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量b满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：OA=a+b，OB=2a−b，
则AB=a−2b,AC=(λ−1)a+(μ−1)b，
因为A，B，C三点共线，所以−2(λ−1)=μ−1，解得2λ+μ=3．
故选：D．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a//c，
所以x2=2−4，解得x=−1，
所以a=(−1,2)，
又b=(2,3)，
所以b|b|=1 13(2,3)，
cs
所以a在b上的投影向量为|a|cs
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵60.7>1，0<0.76<1，lg0.76<0，
∴lg0.76<0.76<60.7．
故选：A．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由正弦定理，得BCsinA=ACsinB，
所以3 6 32=6sinB，所以sinB= 22，
因为BC>AC，所以A>B，
故B为锐角，所以B=45°．
故选：B．
由已知结合正弦定理先求出sinB，然后结合三角形的大边对大角求解即可．
本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在求解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：当x>0时，f(x)=x+14x≥2 x⋅14x=1，
(当且仅当x=14x，即x=12时，等号成立)；
当x≤0时，f(x)=−(x+2)2+3≤3；
图象如右图所示，
要使方程f(x)−a=0有四个实根，
a需满足1
由题意，求分段函数的极值，从而作出其简图，从而得到答案．
本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：已知向量a为单位向量，
则|a|=1，
又|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 12−2×1× 2csθ+( 2)2=1，
解得csθ= 22，
又∵θ∈[0,π]，
∴sinθ= 1−( 22)2= 22，
∴a⊕b=| 22a+ 22b|= 12a2+a⋅b+12b2= 12+1+12×2= 102，
故选：C．
先阅读题意，然后结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：根据函数的图象，A=1，T4=7π12−π3=π4，即T=π，
所以ω=2πT=2，
当x=π3时，f(π3)=sin(2π3+φ)=0，
所以2π3+φ=kπ，k∈Z，
由于|φ|<π2，所以φ=π3，
故函数f(x)=sin(2x+π3)，故A正确；
当2x+π3=kπ(k∈Z)时，x=kπ2−π6(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心为(kπ2−π6,0)(k∈Z)，
k=0时，对称中心为(−π6,0)，故B正确；
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得x∈[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，
k=0时，单调递增区间[−5π12,π12]，故C正确；
将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数g(x)=f(x−π12)=sin[2(x−π12)+π3]=sin(2x+π6)的图象，故D错误．
故选：D．
由函数图象可得A和函数周期T，进而可求得ω，由五点法作图求出φ的值，得f(x)的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及性质，逐项判断可得结论．
本题考查正弦型函数的性质，根据三角函数的图象确定三角函数解析式是解题关键，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A：若a⊥b，则a⋅b=−2×(−1)+1×t=0，解得t=−2，故A正确；
对于B：若a//b，则−2t=−1×1，解得t=12，故B正确；
对于C：当t=12时，a与b同向，此时a与b的夹角为0°，故C错误；
对于D：若(a+b)⊥(a−b)，则(a+b)⋅(a−b)=0，即a2−b2=0，即(−2)2+12=(−1)2+t2，解得t=±2，
当t=2时，a=(−2,1)，b=(−1,2)，a+b=(−3,3)，a−b=(−1,−1)，显然|a+b|≠|a−b|，
当t=−2时，a=(−2,1)，b=(−1,−2)，a+b=(−3,−1)，a−b=(−1,3)，此时|a+b|=|a−b|，故D错误．
故选：AB．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为acsA=bcsB，
所以a×b2+c2−a22bc=b×a2+c2−b22ac，整理得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，解得a=b或a2+b2=c2，
当a=b时，△ABC是等腰三角形，
当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形，
当a=b且a2+b2=c2时，△ABC是等腰直角三角形．
故选：ABC．
利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为1+x2>x2，所以 1+x2>|x|≥x，即 1+x2−x>0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R，故选项A正确；
f(x)+f(−x)=lg( 1+x2−x)+1+lg( 1+x2+x)+1=lg(1+x2−x2)+2=2，
所以f(ln2)+f(ln12)=f(ln2)+f(−ln2)=2，故选项B正确；
因为f(x)=lg( 1+x2−x)+1=lg1 1+x2+x+1=−lg( 1+x2+x)+1，
且函数y= 1+x2+x在(0,+∞)上单调递增，又有y=−lgx+1在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=lg( 1+x2−x)+1在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)
记函数g(x)=f(x)−1=lg( 1+x2−x)，由选项A知g(x)的定义域为R，
且g(x)+g(−x)=lg( 1+x2−x)+lg( 1+x2+x)=lg(1+x2−x2)=0，所以g(x)是奇函数，
因为g(x)=lg1 1+x2+x=−lg( 1+x2+x)，且函数y= 1+x2+x在[0,+∞)上单调递增，
又有y=−lgx在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，
因为g(x)是奇函数，所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，
所以g(x)在R上单调递减，且g(x)>g(0)=0，所以f(x)在R上单调递减，
所以对定义域内的任意两个不相等的实数x1，x2，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立，故选项D正确．
故选：ABD．
判断 1+x2−x的正负即可判断A；判断f(x)+f(−x)与2的关系即可判断B；通过f(x)=lg1 1+x2+x+1=−lg( 1+x2+x)+1，判断y= 1+x2+x及y=−lgx的单调性；根据复合函数单调性即可判断f(x)在(0,+∞)上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及f(x)在(0,+∞)上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D．
本题主要考查函数的性质的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】−247
【解析】解：由题意知α∈(0,π2)，sinα=45，
所以csα=35，
所以sin2α=2sinαcsα=2425，cs2α=cs2α−sin2α=−725，
所以tan2α=sin2αcs2α=−247．
故答案为：−247．
根据倍角公式及α的取值范围从而可求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了二倍角公式，属中档题．
13.【答案】4 33
【解析】解：根据余弦定理由2b⋅csC=2a+c⇒2b⋅a2+b2−c22ab=2a+c⇒b2=a2+c2+ac，
而b2=a2+c2−2accsB，因此有csB=−12，
因为B∈(0,π)，所以B=2π3，
由正弦定理可知△ABC的外接圆半径为12×bsinB=12×4 32=4 33．
故答案为：4 33．
运用余弦定理和正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】18( 3+1)
【解析】解：由题意可得BC=36m，∠CBA=90°−60=30°，∠ACB=90°+45°=135°，
所以∠BAC=180°−∠CBA−∠ACB=15°，sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cs30°−cs45°sin30°= 22( 32−12)= 6− 24，
∠CAD=45°，
在△ABC中，由正弦定理可得ACsin∠CBA=BCsin∠BAC，
即AC12=36 6− 24，可得AC=18( 6+ 2)m，
在Rt△ACD中，CD= 22AC=18( 3+1)m．
故答案为：18( 3+1)．
由题意可得△ABC中，∠CBA=30°，∠ACB=135°，BC=36，由正弦定理可得AB的大小，再在Rt△ACD中，∠CAD=45°，可得CD的值．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由x2−2x−3<0，解得−1
解得−1
由(1)知A={x|−1
当2m<−1，即m<−12时，B={x|2m
当2m>−1，即m>−12时，B={x|−1
综上所述，实数m的取值范围为{m|m>32}.
【解析】(1)解一元二次不等式化简集合A，B，再利用集合的并集运算即可得解；
(2)根据充分不必要关系得到A真包含于B，再分类讨论m的取值范围即可得解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵m⊥n，
∴m⋅n= 3a−2csinA=0，由正弦定理得 3sinA−2sinCsinA=0，
∵sinA≠0，
∴sinC= 32，
∴C=π3或C=2π3．
(2)由(1)知当C=π3时，由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，得12=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab．
解得：ab=8，即a=2，b=4或a=4，b=2，
当C=2π3时，由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，得12=a2+b2+ab=(a+b)2−ab．
解得：ab=24，故a，b无解，
综上a=2，b=4或a=4，b=2．
【解析】(1)利用向量的数量积以及余弦定理求解即可．
(2)利用角的大小，通过余弦定理，以及已知条件求解即可．
本题考查余弦定理以及向量的数量积，三角形的解法，考查计算能力．
17.【答案】解：(1)因为bcsA+ 3bsinA=a+c，由正弦定理可得sinBcsA+ 3sinBsinA=sinA+sinC，
在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，sinA≠0，
可得 3sinB−csB=2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12
即B−π6=π6或5π6，而B∈(0,π)，
解得B=π3；
(2)因为△ABC的中线BD长为2 3，B=π3，
可得BD=12(BA+BC)，
可得|BD|2=14(BA2+BC2+2BA⋅BC)=14(c2+a2+2accsB)=14(a2+c2+ac)
即12≥14(2ac+ac)，可得ac≤16，当且仅当a=c=4时取等号，
所以△ABC面积的S=12acsinB≤12×16× 32=4 3，
所以△ABC面积的最大值4 3．
【解析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式的应用，可得B角的大小；
(2)由中线的向量性质，及基本不等式的性质，可得ac的最大值，进而求出面积的最大值．
本题考查正弦定理，余弦定理及向量的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cs2x−1
=sin2xcsπ3+cs2xsinπ3+sin2xcsπ3−cs2xsinπ3+cs2x
=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
函数f(x)的最小正周期T=2πω=π．
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z．
令2x+π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=kπ2+π8(k∈Z)．
所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k∈Z)．
(2)f(x)≥1即 2sin(2x+π4)≥1,sin(2x+π4)≥ 22，
所以π4+2kπ≤2x+π4≤3π4+2kπ,k∈Z，解得x∈[kπ,π4+kπ],k∈Z．
(3)由题知g(x)= 2sin[2(x−3π8)+π4]= 2sin(2x−π2)=− 2cs2x，
则y=− 2cs2x+2csx=− 2(2cs2x−1)+2csx
=−2 2cs2x+2csx+ 2，
令t=csx∈[0,1]，则y=−2 2t2+2t+ 2=−2 2(t− 24)2+5 24，
当t= 24时，ymax=5 24；当t=1时，ymin=2− 2．
综上可知所求值域为[2− 2,5 24]．
【解析】(1)应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得f(x)= 2sin(2x+π4)，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；
(2)结合函数图像解不等式；
(3)应用换元法求值域；
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，
∴AR−AP=λ(AC−AP)，整理得：AR=(1−λ)AP+λAC=1−λ2a+λb，
由B、R、O共线，则存在μ使BR=μBO，
∴AR−AB=μ(AO−AB)，整理得：AR=(1−μ)AB+μAO=(1−μ)a+2μ3b，
∴根据平面向量基本定理：1−λ2=1−μλ=2μ3，解得λ=12，
∴AR=14a+12b；
(2)AR=14a+12b，BR=12b−34a，
AR⋅BR=−34，|AR|= 32，|BR|= 72，
∴cs
故∠ARB的余弦值是− 217；
(3)由(1)知：PR=12PC，则RC=12PC=12(b−12a)=12b−14a，
由CH，CB共线，设CH=kCB=ka−kb,k>0，
而RH⊥BC，有RH⋅BC=(RC+CH)⋅BC=[(12−k)b+(k−14)a]⋅(b−a)=0，
∴−5k+32+2(k−34)csθ=0，
可得csθ=5k−334k−32，
∵θ∈[π3,2π3]，∴−12≤csθ≤12，即−12≤5k−324k−32≤12，
解得14≤k≤928，
∴|CH||CB|的取值范围为[14,928]．
【解析】本题考查平面向量及其应用，属于中档题．
(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，由B、R、O共线，则存在μ使BR=μBO，根据平面向量基本定理求出λ=12，再表示AR即可；
(2)由(1)得AR=14a+12b，BR=12b−34a，根据向量的余弦公式，计算即可；
(3)PR=12PC，则RC=12b−14a，设CH=kCB=ka−kb,k>0，得到csθ=5k−334k−32，结合θ∈[π3,2π3]计算|CH||CB|的取值范围即可．
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