2023-2024学年福建省莆田市擢英中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田市擢英中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知平面向量a=(1,m),b=(−2,4)，且a/​/b，则m=( )
A. 2B. 12C. −12D. −2
2.已知i为虚数单位，复数z满足z(2−i)=i2020，则下列说法正确的是( )
A. 复数z的模为15B. 复数z的共轭复数为−25−15i
C. 复数z的虚部为15iD. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
3.已知a与b为两个不共线的单位向量，则( )
A. (a+b)//a
B. a⊥(a−b)
C. 若〈a,b〉=π3，则〈a−b,b〉=π3
D. 若〈a+b,a〉=π4，则〈a,b〉=π2
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a=2，4S=b2+c2−4，则△ABC外接圆的面积为( )
A. 4πB. 2πC. πD. π2
5.O是△ABC所在的平面内的一点，且满足(OB−OC)⋅(OB+OC−2OA)=0，则△ABC的形状一定为( )
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 斜三角形
6.“0A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.若α∈(−π2,π2),tanα=csα3−sinα，则sin(2α−π3)=( )
A. −4 6+718B. 4 6−718C. −4 2+7 318D. 4 2−7 318
8.在△ABC中，AB⋅BC5=BC⋅CA4=CA⋅AB3，则sinA：sinB：sinC=( )
A. 9：7：8B. 9： 7： 8C. 6：8：7D. 6： 8： 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若z满足z+z−=6，|z|=|z−2i|，则( )
A. z的实部为3
B. z的虚部为1
C. z3−i=1−3i2
D. z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3
10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且AE=EB，AD=2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅CE=−1B. OE+OC=0
C. |OA+OB+OC|= 32D. ED在BC上的投影向量的模为76
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a2+bc，a= 3，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是( )
A. 1B. 3C. 2D. 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足(1+ 3i)z=| 3−i|，则z的虚部为______．
13.若平面向量a，b满足2a+b=(1,6)，a+2b=(−4,9)，则a⋅b=______
14.在△ABC中，csA=−17,AB=7,BC=8，则BC边上的高为______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知：复数z=(1+i)2+2i1+i，其中i为虚数单位．
(1)求z及|z|；
(2)若z2+az−+b=2+3i，求实数a，b的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(4,−3)．
(1)若向量c//a，且|c|=2 5，求c的坐标；
(2)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求实数k的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[−π4,π2]上的最大值和最小值．
(3)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
18.(本小题17分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，点D在边AC上，且满足3sinA=tan∠ABCcsC+sinC，csinC=3BDsin∠BDC．
(1)求ba的值；
(2)若AD=3DC，求sin∠ABD．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：平面向量a=(1,m),b=(−2,4)，且a/​/b，
则−2m=4，解得m=−2．
故选：D．
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为z(2−i)=i2020=(i4)505=1，所以z=12−i=(2+i)(2−i)(2+i)=25+15i，
对于A，复数z的模为|z|= (25)2+(15)2= 55，故错误；
对于B，复数z的共轭复数为z−=25−15i，故错误；
对于C，复数z的虚部为15，故错误；
对于D，复数z在复平面内对应的点为(25,15)，所以在第一象限，故正确．
故选：D．
利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z，再逐项判断．
本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
由题意，设a=(1,0)，b=(0,1)，由此判断选项A、B错误；
由〈a,b〉=π3，求出cs⟨a−b,b⟩的值，判断选项C错误；
由〈a+b,a〉=π4，求出a⋅b=0，判断选项D正确．
【解答】
解：对于AB，因为a与b为两个不共线的单位向量，
不妨设a=(1,0)，b=(0,1)，
则a+b=(1,1)，显然a+b与a不平行，选项A错误；
a−b=(1,−1)，a⋅(a−b)=1，
所以a与a−b不垂直，选项B错误；
对于C，若〈a,b〉=π3，
则cs⟨a−b,b⟩=(a−b)⋅b|a−b||b|
=a⋅b−b2 a2−2a⋅b+b2× b2
=1×1×csπ3−1 1−2×1×1×csπ3+1×1=−12，
由两向量夹角的取值范围知，⟨a−b,b⟩=2π3，选项C错误；
对于D，若〈a+b,a〉=π4，
则(a+b)⋅a=a2+a⋅b
= a2+2a⋅b+b2×|a|×cs⟨a+b,a⟩，
即1+a⋅b= 2+2a⋅b×1× 22，解得a⋅b=0或a⋅b=−1(不合题意，舍去)，
所以a⊥b，选项D正确．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：∵△ABC的面积为S，且4S=b2+c2−4，a=2，
∴可得：4S=b2+c2−a2，
∴4×12bcsinA=2bccsA，可得：tanA=1，
∵A∈(0,π)，
∴A=π4，
∴则△ABC外接圆的半径R=a2sinA=22× 22= 2，
∴则△ABC外接圆的面积S=πR2=2π．
故选：B．
由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanA=1，结合范围A∈(0,π)，可求A=π4，利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径即可求△ABC外接圆的面积．
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵(OB−OC)⋅(OB+OC−2OA)
=(OB−OC)[(OB−OA)+(OC−OA)]
=(OB−OC)⋅(AB+AC)=CB⋅(AB+AC)
=(AB−AC)⋅(AB+AC)=|AB|2−|AC|2=0，
∴|AB|=|AC|
∴△ABC为等腰三角形．
故选：C．
利用向量的运算法则将等式中的向量OA,OB,OC用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．
此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，向量模的计算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：复数Z=(3m−2)+(m−1)i在复平面内对应的点位于第四象限，
则3m−2>0m−1<0，解得23(23,1)⫋(0,43)，
则“0故选：B．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：若α∈(−π2,π2),tanα=csα3−sinα=sinαcsα，
则3sinα−sin2α=cs2α=1−sin2α，
解得sinα=13，csα=2 23
所以sin2α=2sinαcsα=2×13×2 23=4 29，cs2α=2cs2α−1=79，
sin(2α−π3)=12sin2α− 32cs2α=12×4 29− 32×79=4 2−7 318．
故选：D．
由已知结合同角基本关系先求出sinα，csα，然后结合二倍角公式及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，设△ABC中，ABC的对边分别为a、b、c，且AB⋅BC5=BC⋅CA4=CA⋅AB3=−t，
则AB⋅BC=accs(π−B)=−5t，即accsB=5t，则有c2+a2−b2=10t；
同理可得：b2+a2−c2=8t，c2+b2−a2=6t，
解可得：a= 9t，b= 7t，c= 8t，
则sinA：sinB：sinC= 9： 7： 8，
故选：B．
根据题意，设△ABC中，ABC的对边分别为a、b、c，且AB⋅BC5=BC⋅CA4=CA⋅AB3=−t，由数量积的计算公式可得AB⋅BC=accs(π−B)=−5t，即accsB=5t，则有c2+a2−b2=10t；同理可得：b2+a2−c2=8t，c2+b2−a2=6t，解三个式子可得a、b、c的值，由正弦定理分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算以及余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z−=a−bi，
因为z+z−=6，所以a+bi+a−bi=6，即a=3，故选项A正确；
因为|z|=|z−2i|=|a+(b−2)i|，所以 a2+b2= a2+(b−2)2，
所以 9+b2= 9+(b−2)2，解得b=1，故选项B正确；
由上可知，z=3+i，
所以z3−i=3+i3−i=(3+i)(3+i)(3−i)(3+i)=9+6i−110=4+3i5，即选项C错误；
设z对应的向量为OZ=(3,1)，其与实轴正方向夹角为θ，
则tanθ=13，
所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为13，即选项D错误．
故选：AB．
设z=a+bi(a,b∈R)，由z+z−=6，求得a=3，可判断A；根据复数模的计算方法，求得b=1，可判断B；由复数的除法运算法则，可判断C；根据复数的几何意义，可判断D．
本题考查复数的定义与几何意义，复数的四则运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：如图，
连接AO，E，O，C三点共线，设AO=λAE+(1−λ)AC，
∴AO=λ2AB+3(1−λ)2AD，且B，O，D三点共线，
∴λ2+3(1−λ)2=1，解得λ=12，
∴AO=12(AE+AC)，
∴O为EC的中点，∴OE+OC=0，B正确；
取BC的中点O′为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0, 3),B(−1,0),E(−12, 32),C(1,0)，D(23, 33)，O(14, 34)，
∴OA+OB+OC=(−14,3 34)+(−54,− 34)+(34,− 34)=(−34, 34)，
∴|OA+OB+OC|= 32，C正确；
ED=(76,− 36),BC=(2,0)，
∴ED在BC上的投影向量的模为ED⋅BC|BC|=76，D正确；
∵AB⊥CE，
∴AB⋅CE=0，A错误．
故选：BCD．
连接AO，根据E，O，C三点共线即可得出AO=λAE+(1−λ)AC，从而得出AO=λ2AB+3(1−λ)2AD，然后根据B，O，D三点共线即可得出λ=12，从而得出O为EC的中点，从而得出选项B正确，选项A显然错误．可取BC的中点O′，然后可求出A，B，C，O，E，D的坐标，从而可得出|OA+OB+OC|的值，并可求出ED在BC上的投影向量的模．
本题考查了三点A，B，C共线，且OB=λOA+μOC时，λ+μ=1，向量垂直的充要条件，通过建立直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：由csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又0得A=π3，
若满足要求的△ABC有且只有1个，
则a=bsinA或a≥b，
即 3= 32b或 3≥b，
解得b=2或0故选：ABC．
根据条件求出A，若满足要求的△ABC有且只有1个，则a=bsinA或a≥b，运算可得b的取值范围．
本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形解的个数问题，属于基础题．
12.【答案】− 32
【解析】解：(1+ 3i)z=| 3−i|= ( 3)2+(−1)2=2，
z=21+ 3i=12− 32i
所以复数z的虚部为− 32，
故答案为：− 32．
对复数进行化简计算，得到其标准形式，然后得到答案．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式的应用，还考查了复数的基本概念，属于基础题．
13.【答案】−2
【解析】【解析】
本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于基础题．
根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．
【解答】
解：∵平面向量a，b满足2a+b=(1,6)，a+2b=(−4,9)，
∴a=(2,1)，b=(−3,4)，
∴a⋅b=2×(−3)+1×4=−2，
故答案为：−2．
14.【答案】3 32
【解析】解：△ABC中，csA=−17,AB=7,BC=8，
所以sinA= 1−cs2A=4 37，
由正弦定理可得：ABsinC=BCsinA，
即sinC=AB⋅sinABC=7×4 37×18= 32，
由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcsA，
即64=AC2+49−2AC⋅7⋅(−17)，
即AC2+2AC−15=0，解得AC=3，
设BC边上的高为h，
则h=ACsinC=3 32．
故答案为：3 32．
由正弦定理可得sinC的值，进而可得BC边上的高的值．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)z=(1+i)2+2i1+i=2i+2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+i−i2=1+3i，
则|z|= 12+32= 10．
(2)由(1)得：(1+3i)2+a(1−3i)+b=−8+6i+a−3ai+b=(a+b−8)+(6−3a)i=2+3i，
∴a+b−8=26−3a=3，解得a=1b=9．
【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数相等的条件，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵向量a=(1,2)，b=(4,−3)，若向量c//a，则c=(λ,2λ)，
再根据|c|=2 5，可得 λ2+(2λ)2=2 5，求得λ=±2，∴c=(2,4)，或c=(−2,−4)．
(2)若向量a+kb与a−kb互相垂直，则(a+kb)⋅(a−kb)=0．
而(a+kb)=(1+4k,2−3k)，(a−kb)=(1−4k,2+3k)，
∴(1+4k,2−3k)⋅(1−4k,2+3k)=1−16k2+4−9k2，求得k=± 55．
【解析】(1)由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得c的坐标．
(2)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出k的值．
本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由图可得，A=2，又T=2⋅(5π6−π3)=π，得ω=2，
又当x=712π时f(x)取得最大值，
所以2⋅7π12+φ=π2+2kπ,k∈Z，得φ=−23π+2kπ,k∈Z，
又|φ|<π，得φ=−23π，所以f(x)=2sin(2x−2π3)；
(2)x∈[−π4,π2]，2x−2π3∈[−7π6,π3]，当2x−2π3=−π2，即x=π12时，f(x)取得最小值−2，
当2x−2π3=π3，即x=π2时，f(x)= 3，当2x−2π3=−7π6，
即x=−π4时，f(x)=1，则f(x)取得最大值 3；
(3)y=f(x)的图象向左平移π6个单位后，得到y=2sin(2x−π3)，
y=2sin(2x−π3)横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2sin(x2−π3)，
所以g(x)=2sin(x2−π3)，
令π2+2kπ≤x2−π3≤3π2+2kπ,k∈Z，得5π3+4kπ≤x≤11π3+4kπ,k∈Z，
所以g(x)的单调递减区间为[4kπ+5π3,4kπ+11π3](k∈Z)．
【解析】(1)直接利用函数的图象求出函数的关系式．
(2)利用整体法思想，根据正弦函数的性质即可得．
(3)利用(1)的结论，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调递减区间．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)方法1：如图，在△BCD中，由正弦定理知BDsinC=BCsin∠BDC，
所以BDsin∠BDC=asinC，
所以csinC=3asinC，
因为C∈(0,π)，
所以sinC≠0，
则c=3a①，
由3sinA=tan∠ABCcsC+sinC，
则3sinAcs∠ABC=sin∠ABCcsC+sinCcs∠ABC=sinA，
因为A∈(0,π)，
所以sinA≠0，
则cs∠ABC=13，
在△ABC中，由余弦定理知cs∠ABC=a2+c2−b22ac，
则a2+c2−b2−23ac=0②，
由①②得ba=2 2；
方法2：在△ABD中，由正弦定理知BDsinA=ABsin∠BDA，
所以BDsin∠BDA=csinA，
又因为sin∠BDA=sin∠BDC，
所以sinC=3sinA，
由3sinA=tan∠ABCcsC+sinC，
则tan∠ABCcsC=0，
因为tan∠ABC≠0，
所以csC=0，
因为C∈(0,π)，
所以C=π2，
由3sinA=tan∠ABCcsC+sinC，
则3sinAcs∠ABC=sin∠ABCcsC+sinCcs∠ABC=sinA，
因为A∈(0,π)，
所以sin A≠0，
则cs∠ABC=13，
由正弦定理知ba=sin∠ABCsinA=sin∠ABCsin(∠ABC+C)=tan∠ABC，
由cs∠ABC=13，
所以sin∠ABC=2 23，
则ba=2 2；
(2)方法1：因为AD=3DC，
所以AD=34b，DC=14b，
在△BCD中，由余弦定理知cs∠BDC=BD2+DC2−BC22BD⋅DC=BD2+(b4)2−a22BD·(b4)，
同理在△BAD中，cs∠BDA=BD2+AD2−AB22BD⋅AD=BD2+(3b4)2−c22BD⋅(3b4)，
因为∠BDC+∠BDA=π，
所以cs∠BDC+cs∠BDA=0，
则4BD2+3b24−3a2−c2=0，
由(1)知c=3a，ba=2 2，
所以BD= 6a2，
在△BAD中，由余弦定理知cs∠ABD=BD2+AB2−AD22BD⋅AB=( 6a2)2+c2−(3b4)22( 6a2)c= 63，
所以sin∠ABD= 33；
方法2：因为AD=3DC，
所以AD=34b，DC=14b，
因为S△ABDS△CBD=12AB⋅BDsin∠ABD12BD⋅ABsin∠CBD=3sin∠ABDsin∠CBD，
又因为S△ABDS△CBD=ADCD=3，
所以sin∠ABD=sin∠CBD，
因为∠ABD，∠CBD均为锐角，
所以∠ABD=∠CBD，
则cs∠ABC=cs(2∠ABD)=1−2sin2∠ABD，
所以sin∠ABD= 33，
方法3；因为AD=3DC，
所以AD=34b，DC=14b，
所以BD=34BC+14BA，
所以|BD|= (34BC)2+(14BA)2+2⋅|34BC||14BA|cs∠ABC，
由(1)知c=3a，ba=2 2|BD|= 62a，
在△BAD中，由余弦定理知cs∠ABD=BD2+AB2−AD22BD⋅AB=( 6a2)2+c2−(3b4)22( 6a2)·c= 63，
所以sin∠ABD= 33．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)方法1：由题意利用正弦定理可得c=3a，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cs∠ABC=13，在△ABC中，由余弦定理可得a2+c2−b2−23ac=0，联立方程即可求解；
方法2：由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求C=π2，可求cs∠ABC=13，由正弦定理知ba=sin∠ABCsinA=sin∠ABCsin(∠ABC+C)=tan∠ABC，利用同角三角函数基本关系式即可求解；
(2)方法1：由题意可得AD=34b，DC=14b，由余弦定理，三角形内角和定理可求4BD2+3b24−3a2−c2=0，可求BD= 6a2，在△BAD中，由余弦定理即可求解；
方法2：由题意可得AD=34b，DC=14b，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用即可求解；
方法3；由题意可得AD=34b，DC=14b，BD=34BC+14BA，利用平面向量数量积的运算以及余弦定理即可求解．