山西省长治市第二中学校2024届高三高考模拟考试一模数学试题及答案

这是一份山西省长治市第二中学校2024届高三高考模拟考试一模数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
2．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（ ）

A．－8B．－4C．0D．4
5．研究人员用Gmpertz数学模型表示治疗时长（月）与肿瘤细胞含量的关系，其函数解析式为，其中为参数．经过测算，发现（为自然对数的底数）．记表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
6．小李买了新手机后下载了个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，若每排都有这4个中的APP，且和放在同一排，则不同的排列方式有（ ）
A．288种B．336种C．384种D．672种
7．已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78
B．若一组数据的方差为0.2，则的方差为1
C．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D．若变量，则
10．如图，已知圆台的下底面直径，母线，且，P是下底面圆周上一动点，则（ ）
A．圆台的表面积为B．圆台的体积为
C．三棱锥体积的最大值为D．的最大值为6
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则
B．若，则
C．
D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题
12．已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为 ．
13．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 ，点D在边AC上，且，则 ．
14．已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且．若线段PF，QF分别交C于点A，B，记的面积为的面积为，当时，直线AB的方程为
四、解答题
15．已知正项等比数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，设其前n项和为，求证：．
16．2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；
(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值．
附：
参考公式：
，其中．
17．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
18．如图，在三棱锥中，底面ABC为等边三角形，D，E，F，M分别在AC，BC，AB，PB上，，，AE，BD，CF交于点O，PD⊥底面ABC．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求平面BMF与平面夹角的余弦值．
19．已知双曲线的右焦点为，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，．
(1)求C的标准方程；
(2)经过点F的直线交C于P，Q两点，直线，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简计算即得.
【详解】由，得.
故选：B
2．A
【分析】解一元二次不等式及绝对值不等式求集合，结合韦恩图，根据集合的交集及补集运算可得结果.
【详解】因为，
图中阴影部分表示的集合为：
或，
故选：A.
3．B
【分析】写出二项式展开式的通项，求出常数项为60时的值，即可判断结果.
【详解】的展开式的通项为．
令，得，则的常数项为，则，
∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.
故选:B．
4．A
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：，
，
，
故选:A．

5．D
【分析】根据给定信息，列出方程并求解即得.
【详解】依题意，，而，则，即，
又，解得，所以.
故选：D
6．D
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排列应用问题，列式计算即得.
【详解】选定一排放和的不同方法数是，另一排放的不同方法数是，
不同的排列方式有；
从中取一个与同排，不同的排列方式有，
所以不同的排列方式有（种）.
故选：D
7．B
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再分析在上的图象性质即可得解.
【详解】观察图象知，，函数的周期，，
由，得，而，则，
于是，当时，，
当，即，函数单调递减，函数值从减小到，
当，即时，函数单调递增，函数值从增大到，
显然函数的上的图象关于直线对称，
方程在上有两个不相等的实数根，即直线与函数在上的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
故选：B
8．C
【分析】构造函数，求导得到函数单调性，得到，求出，构造，求导得到函数单调性，得到，故，得到答案.
【详解】设，
则，
∴时，，在上单调递增．
∴，即，
∴，．
设，则，
∴当时，，即在上单调递增．
∴，，
∴，即．
综上，.
故选：C．
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.
9．CD
【分析】根据百分位数的定义、方差的性质，结合相关系数的性质、正态分布的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，
又，第8位数字是78，第9位数字是81，
故这组数据的第80百分位数是，故A错误；
对于B，的方差为，故B错误；
对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；
对于D，∵，
∴，
故D正确，
故选：CD
10．BD
【分析】作出圆台轴截面等腰梯形及其高，求出圆台的高及上底面圆半径，分析计算判断ABC；求出的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】圆台中，作出圆过点的直径，则四边形是等腰梯形，作于，
在中，由，得，则，
对于A，圆台的表面积，A错误；
对于B，圆台的体积，B正确；
对于C，由P是下底面圆周上一动点，得点到直线距离的最大值为2，
则面积最大值为，三棱锥体积的最大值为，C错误；
对于D，连接，当与点都不重合时，设，
则，在中，由余弦定理得，
于是，，
求导得，显然，则，
函数在上单调递增，，当与重合时，，
当与重合时，，因此的最大值为6，D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】根据三点共线可得直线过原点，联立直线与曲线的方程，求解，即可根据弦长公式求解AB，根据三角函数的性质即可求解C，利用换元法，结合判别式，即可求解方程的整数根.
【详解】依题意，心形线C的直角坐标方程为，
过原点,由，可知三点共线，
可设直线，由
消去y，得．
不妨设，
则．
∴，故A正确；
，
当时，，故B错误；
设点在心形线C上，，角以x轴非负半轴为起始边，
则心形线C的方程转化为，
即，
∴，又，
∴，故C正确；
由，可知．
令，则心形线C的方程可化为：，
∴，
当，或，进而可得或0，
当时，方程无整数解；
当时，，故
∴C上有4个整点，故D正确，
故选:ACD．
【点睛】方法点睛：对于给定的曲线方程，要研究该曲线的性质，往往需要结合曲线方程的特征合理换元（如平方和转化为距离等）.
12．/
【分析】利用复数的除法运算求出，再求出共轭复数即得.
【详解】依题意，，因此，
所以的虚部为.
故答案为：
13． /0.5
【分析】利用正、余弦定理进行边角转化求得B；利用图形中的向量关系，有，由向量数量积和余弦定理化简得结果.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
整理得，由余弦定理可得，
而，所以；
由，得，
则，
则，即，
整理得，又，因此，
所以.
故答案为：；
14．
【分析】设直线AB方程及其坐标，将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可.
【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去x得：，，
则，由得：，
即，而，于是，
直线的方程为，则点纵坐标，同理点纵坐标，
又，
由，得，则，，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积之比问题，通常利用线段之比来转化，然后设线设点将线段之比化为坐标关系，联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可.
15．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等比数列的定义求出公比及首项即得.
（2）由（1）的结论，求出，再利用错位相减法求和即得.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，由，得，
两式相除得，则，又，即，而，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，
则，
于是，
两式相减得，
因此，而恒成立，则.
所以.
16．(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联
(2)
【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，利用公式求，与临界值对比后下结论；
（2）依题意，随机变量，由不等式组，求取得最大值时的值.
【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：
零假设为
：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．
，
∴依据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．
（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，
∴随机变量，
∴．
要使取得最大值，则需，
解得，
∵，∴当时，取得最大值．
17．(1)0；
(2).
【分析】（1）当时，利用导数探讨单调性，求出最小值.
（2）由（1）的信息，利用不等式性质可得当时，不等式恒成立，当时，利用导数探讨存在实数使得得解.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
显然函数在上单调递增，而，
则当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
（2）函数的定义域为，
当时，，，则，
由（1）知，，，而，即有，
因此恒成立，此时；
当时，，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而恒成立，不等式不恒成立，
所以实数a的取值范围是.
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为坐标原点，取上靠近点的三等分点，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量证明，即，再由PD⊥，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明；
（2）求出平面BMF与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）因为PD⊥底面ABC，底面ABC为等边三角形，
所以以为坐标原点，取上靠近点的三等分点，连接，，
则建立如图所示的空间直角坐标系，
设等边三角形ABC的边长为，所以，，
因为，所以设，则，，
则，所以，，所以，
设，
，，因为三点共线，
所以，解得：，所以，
设，，则，，
所以，，设,
设，，,
所以，，所以，
所以，因为三点共线，
所以，解得：，所以，
，，
，所以，
又因为PD⊥底面ABC，底面ABC，所以PD⊥，
，平面，所以平面，
平面，所以平面平面.
（2）因为，所以，
若，则，，
设,则，
，解得：，
所以，，
可得.
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，
.
则，
取，可得，所以，
所以，
故平面BMF与平面夹角的余弦值为.
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出直线的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求出即可求得解.
（2）当直线不垂直于坐标轴时，设出其方程，联立双曲线方程求出坐标，表示出直线的方程，推出直线过定点，再验证直线垂直于坐标轴的情况即可.
【详解】（1）依题意，设，当直线l的斜率为1时，直线的方程为，
由消去y得：，而，显然，
则，由，得，
即，又，于是，
解得，所以C的标准方程是.
（2）当直线和斜率均存在时，
设直线的方程为，由（1）知，设其中点，
由，消去，得，显然，，
则，，点；
设直线的方程为且，同理得，
由，得，有，，
当，即时，直线的方程为，
当时，直线MN的斜率，
直线的方程为，即过定点，
因此直线过定点；
当直线和中一条直线的斜率不存在时，所在直线为x轴，也过点，
所以直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200