山西省长治市第二中学校2024届高三高考模拟考试一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（ ）

A. －8B. －4C. 0D. 4
5. 研究人员用Gmpertz数学模型表示治疗时长（月）与肿瘤细胞含量的关系，其函数解析式为，其中为参数．经过测算，发现（为自然对数的底数）．记表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 小李买了新手机后下载了个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，若每排都有这4个中的APP，且和放在同一排，则不同的排列方式有（ ）
A. 288种B. 336种C. 384种D. 672种
7. 已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78
B. 若一组数据方差为0.2，则的方差为1
C. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D. 若变量，则
10. 如图，已知圆台的下底面直径，母线，且，P是下底面圆周上一动点，则（ ）
A. 圆台的表面积为B. 圆台的体积为
C. 三棱锥体积的最大值为D. 的最大值为6
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（ ）

A. 若，则
B. 若，则
C.
D. C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为___________．
13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则________，点D在边AC上，且，则________．
14. 已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且．若线段PF，QF分别交C于点A，B，记的面积为的面积为，当时，直线AB的方程为___________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知正项等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设其前n项和为，求证：．
16. 2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．
（1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；
（2）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值．
附：
参考公式：
，其中．
17. 已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
18. 如图，在三棱锥中，底面ABC为等边三角形，D，E，F，M分别在AC，BC，AB，PB上，，，AE，BD，CF交于点O，PD⊥底面ABC．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面BMF与平面夹角的余弦值．
19. 已知双曲线的右焦点为，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，．
（1）求C的标准方程；
（2）经过点F的直线交C于P，Q两点，直线，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828