初中数学北师大版七年级下册3 平行线的性质同步测试题

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4 必考：平行线的证明和通过变量间的图象获取信息
一、解答题
1．完成下面的证明：
看图填空：已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求证：∠E=∠3．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（ ），
∴∠ADC=90°，∠EGC=90°（ ）．
∴∠ADC=∠EGC（ ）．
∴AD∥EG（ ）．
∴∠1=∠ ▲ （ ），∠2=∠ ▲ （ ）．
又∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠1=∠2（ ），
∴∠E=∠3（ ）．
【答案】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC=90°，∠EGC=90°（垂直定义）．
∴∠ADC=∠EGC（等量代换）．
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），∠2=∠E（两直线平行，同位角相等）．
∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠E=∠3（等量代换）．
2．完成下面的证明．如图，三角形ABC，D是边BC延长线上一点，过点C作射线CE，∠1＝∠A．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．
证明：∵∠1＝∠A，
∴AB∥ ▲ （ ），
∴∠2＝ ▲ （ ）．
∵∠ACB+ ▲ + ▲ ＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
【答案】证明：∵∠1＝∠A，
∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB+∠1+∠2＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
3．完成证明并写出推理根据：如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD(已知)
∴∠2= ▲ （ ）
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3（ ）
∴AB∥ ▲ （ ）
∴∠BAC+ ▲ =180°（ ）
∵∠BAC=70°(已知)
∴∠AGD= ▲ ．
【答案】解：∵EF∥AD(已知
)∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1=∠2(已知)∴∠1=∠3(等量代换)
∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)
∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠BAC=70°(已知)
∴∠AGD=110°．
4．完成下面的解题过程．
已知：如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠BME，求∠3．
解：∵∠1=∠AME（ ）
又∵∠1=∠2=40°
∴∠2=∠AME
∴AB∥CD（ ）
∴∠ ▲ +3=180°（ ）
∵∠1+∠BME=180°
∴∠BME=140°
∵MN平分∠BME
∴∠BMN=12∠BME=70°
∴∠3= ▲ °．
【答案】解：∠1=∠AME（对顶角相等），
又∵∠1=∠2=40°，
∴∠2=∠AME，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠BMN+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠BME=180°，
∴∠BME=140°，
∵MN平分∠BME，
∴∠BMN=12∠BME=70°，
∴∠3=110°．
5．完成下面证明．
已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，求证：∠C=∠D．
证明：∵∠1=∠2（已知）
且∠2=∠3（ ），
∴∠1=∠3（等量代换）．
∴BD∥ ▲ （同位角相等，两直线平行）．
∴∠C=∠ABD（ ）．
∵∠A=∠F（已知），
∴AC∥DF（ ）．
∴∠D= ▲ （两直线平行，内错角相等）．
∴∠C=∠D（等量代换）．
【答案】证明：∵∠1=∠2（已知）
且∠2=∠3（对顶角相等）．
∴∠1=∠3（等量代换）．
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A=∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠D=∠ABD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠C=∠D（等量代换）．
6．请将下列证明过程补充完整：已知：如图，AC∥DF，直线AF分别直线BD、CE相交于点G，H，∠1=∠2．
求证： ∠C=∠D．
证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1=∠DGH（ ），
∴∠2=∠DGH（ ），
∴ ▲ ∥ ▲ （同位角相等，两直线平行），
∴∠C= ▲ （两直线平行，同位角相等）
又∵AC∥DF（已知），
∴∠D=∠ABG（ ），
∴∠C=∠D（等量代换）．
【答案】证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1=∠DGH（对顶角相等），
∴∠2=∠DGH（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠ABG（两直线平行，同位角相等）
又∵AC∥DF（已知），
∴∠D=∠ABG（两直线平行，内错角相等），
∴∠C=∠D（等量代换）．
7．完成证明并写出推理根据
如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证∠DEC+∠ACB=180°，
证明：∵∠1+∠2=180°（已知），
又∵∠1+∠4=180°，（ ）
∴∠2= ▲ ，（ ）
∴AB∥EF，（ ）
∴∠3= ▲ ，（ ）
∵∠3=∠B，（ ）
∴∠B=∠ADE，（ ）
∴DE∥ ▲ ，（同位角相等，两直线平行），
∴∠DEC+∠ACB=180°（ ）
【答案】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），
又∵∠1+∠4=180°，（邻补角互补）
∴∠2=∠4，（同角的补角相等），
∴AB∥EF，（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE，（两直线平行，内错角相等），
∵∠3=∠B，（已知）
∴∠B=∠ADE，（等量代换）
∴DE∥BC，（同位角相等，两直线平行），
∴∠DEC+∠ACB=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
8．完成下面推理过程．如图：已知∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2（已知）
∵∠1=∠3（ ）
∴∠2=∠（ ）（等量代换）
∴AE∥FD（ ）
∴∠A=∠ ▲ （ ）
∵∠A=∠D（ ）
∴∠D=∠BFD （ ）
∴ ▲ ∥CD（ ）
∴∠B=∠C（ ）．
【答案】证明：∵∠1=∠2（已知）
∵∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠D（已知）
∴∠D=∠BFD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
9．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：AB∥CD．
【答案】解：证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠BAE＝∠CEA，
∴AB∥CD．
10．如图，AB⊥BC，∠1与∠2互余，∠2=∠3．试说明BE与DF的位置关系，并证明你的结论．
【答案】解：BE∥DF，证明如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠3+∠4=90∘，
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BE∥DF．
11．如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：DE∥BC．
【答案】证明：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠ADC=180°，
∴∠1=∠ADC，
∴EF∥AB，
∴∠3=∠ADE，
∵∠3=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
12．如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠B+∠CDE=180°，求证：∠AFC=∠EDH．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠B= ▲ （两直线平行，内错角相等）
∵∠B+∠CDE=180°（已知）
∴∠BCD+∠CDE=180°（等量代换）
∴BC∥ ▲ （同旁内角互补，两直线平行）
∴ ▲ =∠EDH（ ）
∵ ▲ =∠BFD（对顶角相等．）
∴∠AFC=∠EDH（等量代换）
【答案】证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠BCD （两直线平行，内错角相等），
∵∠B+∠CDE＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDE＝180°（等量代换），
∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BFD＝∠EDH（两直线平行，同位角相等），
∵∠AFC＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AFC＝∠EDH（等量代换）．
13．如图，直线AB∥CD，∠1=70°， ∠D=110°，求∠B的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵AB∥CD （已知），
∴∠1= （两直线平行，内错角相等）
又∵∠1=70°， ∠D=110° （已知），
∴∠1+∠D=180° （等式的性质）．
∴∠C+∠D=180°（ ）
∴AC∥BD（ ）
∴∠B=∠1（ ）
∴∠B=70°
【答案】解：∵AB∥CD （已知），
∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1=70°， ∠D=110° （已知），
∴∠1+∠D=180° （等式的性质）．
∴∠C+∠D=180°（等量代换）
∴AC∥BD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等）
∴∠B=70°
14．中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
【答案】解：（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量；
（2）由题意可得：y=0.36x；
（3）当x=25时，y=0.36×25=9（元），即如果打电话超出25分钟，需付186+9=195（元）的电话费；
（4）当y=54时，x=540.36=150（分钟）．
答：小明的爸爸打电话超出150分钟．
二、综合题
15．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值：
（1）在这个表格中反映的是 和 两个变量之间的关系： 是自变量， 是因变量；
（2）弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)的关系式是 ；
（3）若弹簧的长度为27cm时，此时所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内）
【答案】（1）所挂物体质量；弹簧长度；所挂物体质量；弹簧长度
（2）y=2x+16
（3）解：把y=27代入y=2x+16，
得2x+16=27，
解得：x=5.5．
因此，此时所挂重物的质量是5.5kg．
16．在日常生活中，我们经常要烧开水，下表是对烧水的时间与水的温度的记录：
根据表格中的数据解答下列问题：
（1）第5分钟，水的温度是 ℃ ，从第 分钟开始，水的温度升高到 100℃ ；
（2）从第 4 分钟到第 9 分钟，水的温度升高了多少？
（3）继续加热，请你估计在第 15 分钟时，水的温度是多少？随着加热时间的增加，水的温度是否会一直上升？
【答案】（1）52；11
（2）解： 90−43=47 （ ℃ ），所以从第 4 分钟到第 9 分钟，水的温度升高了 47℃ ．
（3）解：根据表格中的数据可知11分钟以后水的温度都是100℃，
所以在第15分钟时，水的温度是100℃．
随着加热时间的增加，水的温度不会一直上升．
17．如图，反映了小明从家出发到超市购物以及从超市返回家的过程中，小明离家的距离与时间之间的关系：
（1）小明在超市购物用了 分钟；
（2）小明往返途中一共用了多长时间？
（3）小明从家到超市的平均速度是多少？
【答案】（1）10
（2）解：由图可知，小明往返途中共花了 45−(30−20)=35 （分钟）．
所以小明往返途中一共用了35分钟
（3）解：根据图象可得，小明从家到超市时路程为900米，时间为20分钟，
所以小明从家到超市时速度为： V=90020=45 （米/分钟)，
答：小明从家到超市时的平均速度是45米/分钟．
18．如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：
（1）自变量是 ，因变量是 ．
（2）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度．
（3）他在这天12时的体温是 摄氏度．
【答案】（1）时间；温度
（2）39.8；36.8
（3）38
19．小王周末骑电动车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小王在新华书店停留了多长时间？
（2）买到书后，小王从新华书店到商场的骑车速度是多少米/秒？
【答案】（1）解：由函数图象可知小王在新华书店停留（30-20）=10分钟．
（2）解：（6250－4000）÷（35－30）÷60＝7.5（米/秒），
即小王从新华书店到商场的速度是7.5米/秒．
20．小南一家到度假村度假，小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村，（取东西的时间忽略不计），如下图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ，小南家到该度假村的距离是 km
（2）小南出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 km/ℎ
（3）小南从家里到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离是多少km？
【答案】（1）时间；离家的距离；60
（2）1；60
（3）解：①从图象可知，小南从家去度假村途中第一次和爸爸相遇时离家距离为30km；
②设第二次相遇的时间为x小时，根据题意得，
60−60(x−2)=20x
解得：x=94
∴小南从家去度假村途中第二次和爸爸相遇时离家距离为20×94=45km；
综上，小南从家去度假村途中和爸爸相遇时离家距离为30km或45km.
21．小峰周末骑自行车到图书馆，他骑行一段时间后，发现钥匙丢了，于是原路返回．在等红绿灯的路口处找到了钥匙，便继续前往图书馆．小峰离家距离与所用时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中自变量是 ；
（2）小峰本次去图书馆一共用了 分钟；在骑行过程中最快的速度 米/分；
（3）求小峰本次去图书馆骑过的所有路程和是多少米？
【答案】（1）自变量是离家的时间
（2）14；300
（3）解：1200+600+900=2700（米）．
故本次去图书馆的行程中，小峰一共骑行了2700米．
22．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止（车速不超过140km/ℎ），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
（1）自变量是 ，因变量是 ．
（2）当刹车时车速为40km/ℎ时，刹车距离是 m．
（3）该种型号汽车的刹车距离用y(m)表示，刹车时车速用x(km/ℎ)，根据上表反映的规律写出y与x之间的关系式．
（4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/ℎ的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由．
【答案】（1）刹车时车速；刹车距离
（2）10
（3）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/ℎ，刹车距离增加2.5m，
∴刹车时车速每增加1km/ℎ，刹车距离增加0.25m，
∴y与x之间的关系式为：y=0.25x(x≥0)；
（4）解：当x=110时，y=110×0.25=27.5，
∵27.5<31，
∴该汽车不会和前车追尾．
23．如图，长方形ABCD中，宽AB=4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）直接写出长方形的长＝ ，长方形的宽＝ ；
（2）直接写出m= ，a= ，b= ；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当2≤x≤4时，y与x之间的关系式．
【答案】（1）6；4
（2）1；4；9
（3）解：根据题意，
得点P运动在CD上，且速度为每秒2个单位，设运动了x秒，
∴PQ=x−2(x−2)=4−x，
∴y=12BC·PQ=12×6×(4−x)=12−3x．
24．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度 为米/分；
（4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
（5）图中点A表示 ．
【答案】（1）时间（或t）；高度（或h）
（2）5
（3）25
（4）2；15
（5）在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米
25．如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程中，小明高家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
（1）食堂离小明家的距离是 ，小明从家到食堂用了 分钟；
（2）小明吃早餐用了 分钟，小明读报用了 分钟；
（3）小明从图书馆回家的平均速度是多少？
（4）小明从家到食堂和从食堂到图书馆哪段距离走得快？
【答案】（1）0.6km；8
（2）17；30
（3）解：0.868−58=0.08km/min，
答：小明从图书馆回家的平均速度是0.08km/min.
（4）解：∵小明从家到食堂的速度为0.68=340=9120km/min
小明从食堂到图书馆的速度为0.23=115=8120km/min
∵9120>8120
∴小明从家到食堂走得快．
26．疫情期间，全民检测，人人有责．安安小区某时段进行核酸检测，居民有序排队入场，医务人员开始检测后，现场排队等待检测人数y(人)与时间x(分钟)之间的关系式为y=10x+b，用表格表示为：
医务人员已检测的总人数(人)与时间(分钟)之间的关系如图所示：
（1）如图所表示的关系中，自变量是 ，因变量 ；
（2）图中点A表示的含义是 ；
（3）关系式y=10x+b中，b的值为 ；
（4）医务人员开始检测 分钟后，现场排队等待检测人数与医务人员已检测的总人数相同；
（5）如果该小区共有居民800人，那么医务人员全部检测完该小区居民共需 分钟．
【答案】（1）时间；总人数
（2）检测5分钟后，已检测的总人数为80人
（3）50
（4）7
（5）41
27．如图，是反映一辆出租车从甲地到乙地的速度与时间的关系图；根据图形，回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？
（2）汽车从出发到最后停止共经过了多长时间？它的最高时速是多少？
（3）汽车在哪段时间保持匀速行驶？速度是多少？
【答案】（1）解：自变量是时间，因变量是速度．
（2）解：根据速度与时间图象的横坐标可知：汽车从出发到最后停止共经过了60分钟时间，最高时速是85千米/时．
（3）解：汽车在出发后35分钟到50分钟之间保持匀速，速度是85千米/时．
28．如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况．到十点时，甲大约走了13千米．根据图象回答：
（1）甲的出发时间是 点．
（2）到十点时，乙大约走了 千米．
（3）到十点为止， （甲、乙）的速度快．
（4）两人最终相遇时间是 点．
（5）你能将图象中得到信息，编个故事吗？
【答案】（1）8
（2）13
（3）乙
（4）12
（5）解：甲8时骑车从家出发，3小时后改乘汽车；乙骑摩托车9时开始追赶，12时追上甲．
29．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度与碗的数量的关系如下表：
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）若把6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是多少？
（3）用x（个）表示这摞碗的数量，用y（cm）表示这摞碗的高度，请表示出y与x的关系式；
（4）这摞碗的高度是否可以为18.6cm，如果可以，求这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知，图表中反映了碗的数量与高度之间的关系，碗的数量是自变量，高度是因变量；
（2）解：由表格可知，4个碗时高度为12.6cm，每增加一个碗，高度增加1.2cm，
∴6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是12.6+1.2+1.2=15cm；
（3）解：由表格可知，1个碗的高度为10.2−1.2=9cm，
y与x的关系式为：y=9+1.2(x−1)=1.2x+7.8；
（4）解：由题意可知，1.2x+7.8=18.6，
解得：x=9，
答：这摞碗的高度可以为18.6cm，此时这摞碗为9个．
30．如图①，在△ABE中，AD是三角形的高，且AD=6cm，E是一个动点，从点B向终点C运动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知BC=6cm．
（1）在点E的运动过程中，求△ABE的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的关系式；
（2）当点E运动停止后，求△ABE的面积．
【答案】（1）解：由图②得
E的运动速度是3cm/s，
∴BE=3x，
∴y=12BE·AD
=12×3x×6
=9x，
∴y=9x；
（2）解：由图②得：E点运动了2s停止了运动，
∴当x=2时，
y=2×9=18，
∴此时△ABE的面积为18cm2．时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
弹簧长度y/cm
16
18
20
22
24
时间（分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
温度（ ℃ ）
25
29
32
43
52
61
72
81
90
98
100
100
100
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
时间x/分钟
0
1
2
3
4
5
6
…
等待检测人数y/人
50
60
70
80
90
100
110
…
碗的数量（个）
2
3
4
...
高度（cm）
10.2
11.4
12.6
...