专题十一 二次函数——2024届中考一轮复习进阶讲义

这是一份专题十一 二次函数——2024届中考一轮复习进阶讲义，共24页。试卷主要包含了二次函数的性质，二次函数解析式的求解，二次函数的平移等内容，欢迎下载使用。


知识复习
讲解一：二次函数的图象与性质
一、二次函数的性质
二、二次函数的图象与a，b，c之间的关系
三、二次函数解析式的求解
用待定系数法求二次函数的解析式时，注意解析式的设法，常见情况如下：
四、二次函数的平移
图形表示
【提示】（1）平移前，先将解析式用配方法化成的形式.（2）二次函数图象平移时，二次项系数不变
示例
二次函数，将该函数化为顶点式为
（1）向左平移2个单位后的解析式为
（2）向右平移2个单位后的解析式为
（3）向上平移2个单位后的解析式为
（4）向下平移2个单位后的解析式为
知识复习
命题形式1 二次函数的对称性
1.【2023.甘肃兰州】已知二次函数，下列说法正确的是( )
A.对称轴为B.顶点坐标为
C.函数的最大值是D.函数的最小值是
答案：C
解析：抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y有最大值.
2.【2023.河北】已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为( )
A.2B.C.4D.
答案：A
解析：令，则和，解得或或或.不妨设，如图，和关于原点对称，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，与原点关于点对称，，或（舍去）.抛物线的对称轴为直线，拋物线的对称轴为直线，这两个函数图象对称轴之间的距离为2.
3.【2023.浙江杭州】设二次函数(，m，k是实数)，则( )
A.当时，函数y的最小值为B.当时，函数y的最小值为
C.当时，函数y的最小值为D.当时，函数y的最小值为
答案：A
解析：，抛物线开口向上.当时，，抛物线对称轴为直线，当时函数有最小值，最小值为，故A正确，B错误.当时，，抛物线对称轴为直线，当时函数有最小值，最小值为，故C，D错误.故选A.
命题形式2 二次函数的增减性
4.【2023.山东日照】在平面直角坐标系xOy中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：，
，
，
抛物线开口向上,
，
点，，在该抛物线上,
m,n,t的大小关系为:.
故选: C.
5.【2023.江苏扬州】已知二次函数（a为常数，且），给出下列结论：
①函数图象一定经过第一、二、四象限；
②函数图象一定不经过第三象限；
③当时，y随x的增大而减小；
④当时，y随x的增大而增大.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②B.②③C.②D.③④
答案：B
解析：抛物线的对称轴为直线，，该二次函数的图象必经过第一、二象限.令，则.，，故当时，抛物线与x轴无交点，此时二次函数的图象只经过第一、二象限，当时，抛物线与x轴有两个交点，此时二次函数的图象经过第一、二、四象限，故结论①错误，结论②正确.由可知，该抛物线的对称轴在y轴右侧，且该抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y先随x的增大而减小，再随x的增大而增大，故结论③正确，结论④错误.
命题形式3 二次函数的图象共存
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图像是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：A选项，由一次函数的图像可得，，此时二次函数的图像应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故A正确；B选项，由一次函数的图像可得，，此时二次函数的图像应该开口向上，顶点的纵坐标大于零，故B错误；C选项，由一次函数的图像可得，，此时二次函数的图像应该开口向上，故C错误；D选项，由一次函数的图像可得，，此时抛物线的顶点的纵坐标大于零，故D错误.故选A.
命题形式4 二次函数的图象变换
7.【2023.江苏徐州】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B.
8.【2023.西藏】将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是( )
A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
答案：D
解析：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，
所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线.
故选：D.
命题形式5 二次函数的图象与系数
9.【2023.四川乐山】如图，抛物线经过点，，且.给出下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，则.其中，正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
答案：B
解析：根据题意，得，，，，，故①②正确.由题图可知，当时，，，，，，，故③正确.，，，，故④错误.
10.【2023.湖北黄石】已知二次函数的图像经过三点，，对称轴为直线.有以下结论：
①；
②；
③，时，有；
④于任何实数，关于x方程必有两个不相等的实数根.其中结论正确的有( )
A.1B.2C.3D.4
答案：C
解析：二次函数的对称轴为，且图像经过，
，即，
点在抛物线上，
，故结论①正确；
由结论①正确可得，，且，则
，则，故结论②正确；
当，时，
点A离对称轴更近，
当时，；当时，；故结论③错误；
由得，，
结论①正确可得，，结论②正确可得，，
，，
，整理得，，
，，
该方程有两个不相等的实根，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②④，3个，故选C.
命题形式6 二次函数解析式的确定
11.【2023.青海西宁】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
答案：（1）
（2）
（3）的最大值是，此时的P点坐标是
解析：（1）设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
直线l的解析式为；
（2）设抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
.
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3），，
.
在中，
.
轴，，
.
在中，，，
，
.
在中，，，
，
.
设点P的坐标为，则，
.
，
当时，有最大值是，此时最大，
，
当时，，
，
的最大值是，此时的P点坐标是.
知识复习
讲解二：二次函数与方程、不等式的结合
二次函数与一元二次方程
（1）一元二次方程的解是二次函数的图象与轴的交点的横坐标；
（2）判别式决定抛物线与轴的交点个数：
①方程有两个不相等的实数根抛物线与轴有两个交点；
②方程有两个相等的实数根抛物线与轴有一个交点；
③方程没有实数根抛物线与轴没有交点
二次函数与不等式
命题精练
命题形式7 二次函数与方程结合
12.【2023.湖南岳阳】若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数（s，t为常数，）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：由“倍值点”的定义，可得，整理得.关于x的二次函数（s，t为常数，）总有两个不同的“倍值点”，，且对于任意实数s总成立，关于t的一元二次方程没有实数根，，整理，得，，或当时，解得，当时，不等式组无解，.
13.【2023.湖南衡阳】已知，若关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为，，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：B
解析：如图，设直线与抛物线交于A，B两点，直线与抛物线交于C，D两点.，关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为，，，，，分别是点A，B，C，D的横坐标，，故选B.
命题形式8 二次函数与不等式结合
14.【2023.浙江衢州】已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点.若点A，B都在直线的上方，且，则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：，
，
点A，B都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，故选C.
讲解三：二次函数的实际应用
知识复习
建立二次函数模型解决问题
图象信息类问题
命题精练
命题形式9 抛物线形问题
15.【2023.浙江丽水】一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是( )
A.5B.10C.1D.2
答案：D
解析：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是2，故选D.
16.【2023.湖北襄阳】如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是.下列说法正确的是________（填序号）.
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为.
答案：①
解析：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①.
命题形式10 图形面积问题
17.【2023.广西】如图，是边长为4等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足.
（1）求证：；
（2）设AD的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得函数，描述的面积随AD的增大如何变化.
答案：（1）见解析
（2）
（3）当时，的面积随AD的增大而减小，当时，的面积随AD的增大而增大.
解析：（1）证明：是等边三角形，，.
又，.在和中，
.
（2）如图，分别过点C，F作AB的垂线，垂足分别为H，G，
则，.
，则，，
.
同（1）易证，
.
（3）由题意知.
抛物线的对称轴为直线，，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
即当时，的面积随AD的增大而减小，当时，的面积随AD的增大而增大.
命题形式11 利润最值问题
18.【2023.辽宁丹东】某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售.当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价x（元）满足一次函数关系.
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元?
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大?最大利润为多少?
答案：（1）
（2）6元
（3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
解析：（1）根据题意可得，该函数经过点，，
设y与x的函数关系式为，
将，代入得：
，解得：，
y与x的函数关系式为，
（2）根据题意可得：，
，
整理得：，
解得：，，
售价不低于成本价且不超过每千克7元，
每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）设利润为w，
，
，函数开口向下，
当时，w随x的增大而增大，
，
当时，w有最大值，此时，
当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元.命题点
命题形式
命题热度
命题特点
二次函数的图象与性质
1.二次函数的对称性
☆
本专题选择题和填空题多考查二次函数的图象和性质，解答题难度较大，除考查其图象、性质及求解析式等常规题外，二次函数与其他函数、方程、不等式及几何的综合题也是常考题型，近些年来利用二次函数模型解决实际问题成为中考的考查热点之一，体现了函数思想和数形结合的思想
2.二次函数的增减性
☆☆☆
3.二次函数的图象共存
☆☆
4.二次函数的图象变换
☆☆
5.二次函数的图象与系数
☆☆☆
6.二次函数解析式的确定
☆☆☆☆
二次函数与方程、不等式的结合
7.二次函数与方程结合
☆
8.二次函数与不等式结合
☆
二次函数的实际应用
9.抛物线型问题
☆
10.图形面积问题
☆☆
11.利润最值问题
☆☆☆
二次函数
（是常数，）
对称轴
或（其中，为二次函数图象）与轴两个交点的横坐标
顶点坐标
（1）利用顶点坐标公式求解；
（2）用配方法把一般式转化为顶点式求解；
（3）将对称轴代入函数解析式求解
增减性
时，当时，随的增大而减小；当时，取最小值；当时，随的增大而增大
时，当时，随的增大而增大；当时，取最大值；当时，随的增大而减小
决定抛物线开口方向
抛物线开口向上
抛物线开口向下
决定抛物线对称轴的位置
对称轴为轴；
（同号）对称轴在轴左侧；
（异号）对称轴在轴右侧
决定抛物线与轴交点的位置
抛物线过；
抛物线与轴交于正半轴；
抛物线与轴交于负半轴
已知
所设表达式
顶点+其他
顶点在原点处：
顶点在轴上：
顶点在轴上：
与轴的两个交点+其他
（注：与轴的两个交点为）
对称轴+与轴一交点+其他
（1），当对称轴为轴时，
（2）由对称轴与求出抛物线与轴的另一个交点，设解析式
（注：对称轴为直线，与轴的一个交点为）
任意三个点
过原点：
不等式
的图象
观察方法
函数的图象位于轴上方对应的点的横坐标的取值范围
函数的图象位于轴下方对应的点的横坐标的取值范围
解集
或
0
常见类型
关键步骤
【提示】（1）求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端点处取得；
（2）建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式
抛物线形问题
建立方便求解析式的平面直角坐标系，找到图象上三点的坐标，用待定系数法求二次函数的解析式
销售利润问题
理清各个量之间的关系，找出灯亮关系求得解析式，根据要求确定函数的最值或建立方程求解
图形面积问题
利用几何知识用变量表示出图形的面积，根据要求确定函数的最值或建立方程求解
类型
解题策略
表格类
观察点的特征，验证满足条件的二次函数的解析式及其图象，利用二次函数的性质求解
图文类
根据图文，借助图形上的关键点，提取信息，建立二次函数模型解题