2024年中考数学复习专项训练---09 弧长、阴影部分面积的相关计算（菁讲）

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热点突破
热点1 与弧长有关的计算
【例1】 （2024•碑林区校级三模）如图，在扇形中，，点关于的对称点刚好落在上，则的长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，，由轴对称的性质得到垂直平分，得到，而，判定是等边三角形，得到，同理：，因此，由弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接，，
和关于对称，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
同理：，
，
，
的长．
故选：．
【例2】 （2024•广东一模）如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点，则的长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】取的中点，连接，根据菱形的性质得，，根据圆周角定理得，，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，取的中点，连接，
菱形中，，，
，，
，，
的长是．
故选：．
【例3】 （2023•拱墅区校级模拟）如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接、，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接、，
，
，
，，
，，
，
，
的长为：，
故选：．
【例4】 （2024•永修县一模）如图，半径为2的经过原点和点，是轴左侧上的一点，且，则的长为 ．
【答案】．
【分析】连接，，根据圆周角定理得，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接，，
，
，
的长为．
故答案为：．
【例5】 （2024•湖州一模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为0.8米，圆心角，则长度为 ．
【答案】米．
【分析】由弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，即可计算．
【解答】解：圆心角，
的长，
米，
（米，
的长（米，
故答案为：米．
热点2 有阴影部分面积有关的计算
【例1】 （2024•项城市校级二模）如图，扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接，，证明为等边三角形，根据，求出扇形的半径，然后求出，，，即可得出答案．
【解答】解：连接，，如图所示：
根据折叠可知，，，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【例2】 （2024•柘城县校级一模）如图，是半圆的直径，点，分别是的中点和三等分点，连接，，若半径，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接，设与交于点，过点作于点，由题意易得，是等腰直角三角形；设，则．由建立方程求出的值，即可求得的值，由即可求解．
【解答】解：连接，设与交于点，过点作于点，如图所示．
点，分别是的中点和三等分点，
，．
，
．
是等腰直角三角形．
．
在中，，
，
，
由勾股定理得：．
设，则．
，
，
解得．
．
．
故答案为：．
【例3】 （2024•安徽模拟）是以为直径的的一条弦，，，若的半径为，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】根据，推出，再根据阴影部分的面积扇形的面积，即可解题．
【解答】解，如图所示，连接、，
，
，
又，
，
阴影部分的面积扇形的面积，
故答案为：．
【例4】 （2024•西山区校级模拟）如图，在矩形中，，，为的中点，连接，．以为圆心，长为半径画弧，分别与，交于点，．则图中阴影部分的面积和是 （结果保留．
【答案】．
【分析】根据矩形的性质以及三角形内角和定理求出，的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：四边形是矩形，，，点是的中点，
，，
，
同理，
．
故答案为：．
【例5】 （2024•郑州模拟）如图所示，是半圆的直径，将直径绕点顺时针旋转得对应线段，若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】．
【分析】根据旋转的性质以及圆周角定理求得，然后根据阴影部分的面积求得即可．
【解答】解：连接．由旋转的性质得：，
，
，
，
，，，
阴影部分的面积．
故答案为：．
热点考题
一、选择题（共12小题）
1．（2023•鼎湖区二模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质得到，由弧长公式求出的长，即可求出“莱洛三角形”的周长．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，
的长，
该“莱洛三角形”的周长是．
故选：．
2．（2023•莲池区校级三模）如图，矩形的外接圆与水平地面相切于点，已知圆的半径为4，且．若在没有滑动的情况下，将圆向右滚动，使得点向右移动了，则此时与地面相切的弧为
A．B．C．D．
【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长以及圆转动的周数，根据题意分别求出和的长，比较即可得到答案．
【解答】解：圆半径为4，
圆的周长为：，
将圆向右滚动，使得点向右移动了，
，
即圆滚动8周后，又向右滚动了，
矩形的外接圆与水平地面相切于点，，
，，
此时与地面相切的弧为，
故选：．
3．（2023•五华区校级四模）如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【解答】解：如图，连接、．
，是以为直径的半圆周的三等分点，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
．
故选：．
4．（2023•邗江区校级模拟）如图，是的直径，是上一点，，，平分交于点，则劣弧的长为
A．B．C．D．
【分析】求得半径和弧所对的圆心角，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接，
是的直径，
，
在中，，，由勾股定理得，
，
平分，
，
由圆周角定理得，
劣弧的长为．
故选：．
5．（2023•晋安区校级模拟）已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：半径为6，圆心角为所对的弧长为．
故选：．
6．（2023•长汀县一模）如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，且满足，，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由圆周角定理求出，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
的长为，
故选：．
7．（2023•乐至县校级模拟）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点沿逆时针方向旋转，使点恰好落在斜边上，则点运动路径的长度为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意确定为等边三角形，从而得出的度数，结合，代入弧长运算公式即可得出答案．
【解答】解：，
，
又，
为等边三角形，
，
，
则运动路径的长度．
故选：．
8．（2023•黄石模拟）如图，在中，点在优弧上，将沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，，，，作于点，作于点，由垂定理可知于点，由勾股定理可得，再利用折叠性质判断，利用等腰三角形性质得到，再证明四边形为正方形，得到为等腰直角三角形，计算出弧所对圆周角度数，进而得弧所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【解答】解：连接，，，，作于点，作于点，
由垂定理可知于点，．
又，
，
、所对的圆周角为、，且，
，为等腰三角形．
，
，
又四边形为矩形且，
四边形为正方形．
，
，
，
故为等腰直角三角形，，
所对的圆心角为，
．
故选：．
9．（2023•江城区三模）如图，已知平行四边形，以为圆心，为半径作交于，然后以为圆心，为半径作交于，若，，，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设，，根据平行四边形的性质对边相等，可得，即可算出，的值，即可得出，的值，根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：设，，
根据题意可得，
，
解得：，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：．
10．（2023•紫金县二模）如图，中，，，为的中点以为圆心，为半径画弧交于点．若为的中点，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接、、，根据平行四边形的性质可得，，结合中点的定义可得，进而可判断四边形、四边形是平行四边形，进而可得的度数，，即可得，也能得出，利用扇形面积公式计算即可得出答案．
【解答】解：如图，连接、、，
四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，
四边形、四边形是平行四边形，
，，
，
．
故选：．
11．（2023•青岛二模）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧的点处，点的对应点为点，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，过作于，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可．
【解答】解：连接，过作于，则，如图，
将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，使点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，
扇形和扇形的面积相等，，
是等边三角形，
，
，
，由勾股定理得：，
阴影部分的面积
，
故选：．
12．（2023•原平市模拟）如图，是等边三角形，是边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧分别交，于点，，过点作于点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用是边上的中线得到，，，则，易证得是等边三角形，是等边三角形的重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去的面积可得到图中阴影部分的面积．
【解答】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
是等边三角形，
于点，
是的角平分线，，
是的重心，
，
图中阴影部分的面积．
故选：．
二、填空题（共6小题）
13．（2024•唐河县模拟）如图，扇形中，，点为上一个动点，将沿折叠，当点的对应点落在上时，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接交于点，根据轴对称性质可得，，从而求得，利用勾股定理求得的长度，然后再利用扇形面积公式及三角形面积公式求得扇形与的面积，将它们作差即可．
【解答】解：如图，连接交于点，
将沿折叠得，且点落在，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
14．（2024•杭锦后旗模拟）如图，等边的边长是4，是的中心，连接，，把绕着点旋转到△的位置，在这个旋转过程中，线段所扫过的图形的面积是 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：等边的边长是4，是的中心，
，
线段所扫过的图形的面积，
故答案为：．
15．（2024•涧西区校级一模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点处，若，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接，用扇形面积加上直角三角形的面积再减去扇形的面积即可解决问题．
【解答】解：连接，
因为四边形是矩形，
所以，．
由题知，
，
所以是等腰直角三角形，
所以，
则．
由勾股定理得，
，
所以，
，
，
则．
故答案为：．
16．（2024•潼南区一模）如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接，则，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
17．（2024•两江新区校级模拟）如图，在边长为2的正方形中，为对角线，以点为圆心，为半径画弧，再以为直径画半圆，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接，根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，根据面积差可得答案．
【解答】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，
是直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
阴影部分的面积
．
故答案为：．
18．（2024•重庆一模）如图，在扇形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于弧点，得扇形，若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】连接，过作于，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可．
【解答】解：连接，过作于，
，
是等边三角形，
，，，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
三、解答题（共2小题）
19．（2023•石狮市模拟）如图，是的直径，、为上两点，于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：点是的中点；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由，，，得到，即可证明；
（2）连接，由，，推出是等边三角形，得到，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】（1）证明：，，，
，
，
点是的中点；
（2）解：连接，
，，
是等边三角形，
，
扇形的面积，的面积，
阴影部分的面积扇形的面积的面积．
20．（2023•如皋市一模）如图，的直径，为上一点，在的延长线上取一点，连接交于点，，．
（1）求的长；
（2）计算图中阴影部分的面积．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）作于点，连接，，根据垂径定理得，再根据，，得，再根据勾股定理计算即可；
（2）根据阴影部分的面积为扇形的面积减去的面积即可．
【解答】解：（1）作于点，连接，，
，
，，
，
直径，
，
，
；
（2），
，
，
阴影部分的面积为专题热度
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命题热点
1．与弧长有关的计算
2．有阴影部分面积有关的计算
热门方法
割补法求图形的面积，等积变形法求图形的面积，数形结合思想
热点题型
选择题、填空题
名师点拨
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
名师点拨
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．