2024年中考数学复习专项训练---01 数与式

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热点突破
热点1 实数
考向1 实数的大小比较
【例1】 （2023•绵阳）在实数0，，，中，最小的数是
A．B．0C．D．
【答案】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：，
所以在实数0，，，中，最小的数是．
故选：．
【例2】 （2023•潍坊）在实数1，，0，中，最大的数是
A．1B．C．0D．
【答案】
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：，
在实数1，，0，中，最大的数是，
故选：．
【例3】 （2023•长春）实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据数轴上表示某个数的点与原点的距离的大小确定结论．
【解答】解：由图可知：实数在数轴上的对应点到原点的距离最小，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是．
故选：．
【例4】 （2023•甘孜州）比较大小： 2．（填“”或“”
【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
【解答】解：，
又，
，
故答案为：．
【例5】 （2023•巴中）在0，，，四个数中，最小的实数是 ．
【答案】．
【分析】先计算，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．
【解答】解：，
，
即，
最小的实数是，
故答案为：．
考向2 科学记数法
【例1】 （2023•连云港）2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕．会场所在地园博园分为“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米．其中数据“2370000”用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：，
故选：．
【例2】 （2023•新疆）我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载240000吨的货物．数字240000用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：，
故选：．
【例3】 （2023•大连）2023年5月10日“大连1号——连理卫星”搭乘天舟六号货运飞船飞向太空，它的质量为．数17000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：将17000用科学记数法表示为．
故选：．
【例4】 （2023•日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
【例5】 （2023•绥化）纳米是非常小的长度单位，，把0.000000001用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】本题主要根据科学记数法的定义和负指数的知识来解答．
【解答】解：
故选：．
考向3 平方根、算术平方根、立方根
【例1】 （2021•广安）16的平方根是
A．8B．C．D．4
【答案】
【分析】依据平方根的定义解答即可．
【解答】解：，
的平方根是．
故选：．
【例2】 （2023•无锡）实数9的算术平方根是
A．3B．C．D．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：实数9的算术平方根是3，
故选：．
【例3】 （2023•广安）的平方根是 ．
【答案】．
【分析】利用算术平方根与平方根的意义解答即可．
【解答】解：，4的平方根为，
的平方根为．
故答案为：．
【例4】 （2023•郴州）计算 ．
【答案】3．
【分析】如果，那么叫做的立方根．记作：，由此即可得到答案．
【解答】解：．
故答案为：3．
【例5】 （2023•邵阳）的立方根是 ．
【答案】2．
【分析】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：，
．
故答案为：2．
考向4 实数的运算
【例1】 （2023•衢州）计算： ．
【分析】先计算，再进行计算即可．
【解答】解：．
故答案为：1．
【例2】 （2023•威海）计算： ．
【答案】8．
【分析】分别根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则、数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：8．
【例3】 （2023•常州）计算： ．
【答案】．
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再合并即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【例4】 （2023•西宁）计算：．
【答案】．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
【例5】 （2023•湖州）计算：．
【答案】．
【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可．
【解答】解：原式
．
热点2 二次根式
【例1】 （2023•西宁）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：．无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
【例2】 （2023•无锡）若二次根式有意义，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
【例3】 （2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．
【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是，，
故选：．
【例4】 （2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】，且．
【分析】要使代数式有意义，则根式里面需要大于等于0，且分母不能为0．
【解答】解：由题可知，
，
即，
又知分母不能等于0，
即，
则．
故答案为：，且．
【例5】 （2023•聊城）计算： ．
【答案】3．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
热点3 整式
【例1】 （2023•镇江）下列运算中，结果正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据整式的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
【例2】 （2023•济宁）下列各式运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】本题考查整式的乘法，同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识．
【解答】解：，故选项错误，
，故选项错误，
，故选项错误，
．
故选：．
【例3】 （2023•泰州）若，则的值为 ．
【答案】．
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
【解答】解：
，
，
，
原式．
故答案为：．
【例4】 （2023•内蒙古）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，45．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当，时，原式．
【例5】 （2023•山西）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）根据绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可；
（2）根据指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
热点4 分式
【例1】 （2023•凉山州）分式的值为0，则的值是
A．0B．C．1D．0或1
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：，
故选：．
【例2】 （2023•常州）若代数式的值是0，则实数的值是
A．B．0C．1D．2
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
．
故选：．
【例3】 （2023•武汉）已知，计算的值是
A．1B．C．2D．
【答案】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，继而可得答案．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
故选：．
【例4】 （2023•深圳）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【例5】 （2023•眉山）先化简：，再从，，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，1．
【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．
【解答】解：
，
且，
当时，原式．
热点考题
1．（2024•义乌市模拟）下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将各式因式分解后进行判断即可．
【解答】解：，则符合题意；
，则不符合题意；
无法因式分解，则不符合题意；
无法因式分解，则不符合题意；
故选：．
2．（2024•临汾一模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：不能合并，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
3．（2024•五华区校级模拟）估算的结果
A．在5和6之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
【答案】
【分析】先求出第二个根式被开方数，然后利用二次根式的乘法法则进行计算，再判断的大小，最后进行解答即可．
【解答】解：
，
，
，
的结果在4和5之间，
故选：．
4．（2024•南海区一模）如图，数轴上的点，，，表示的数与互为相反数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据相反数的定义和数轴的定义即可得出答案．
【解答】解：的相反数是，
表示的数与互为相反数的是点．
故选：．
5．（2024•高平市一模）中国能源经济研究院公布了2023“中国能源企业（集团）500强”榜单．作为能源大省，山西共有52家能源企业上榜，企业数量与江苏并列第一．2023年的榜单数据显示，中国能源企业（集团）500强营收总额达32.47万亿元，较上年增加了60万亿元，同比增长，高于近五年平均增速．其中数据“32.47万亿元”用科学记数法表示为
A．元B．元
C．元D．元
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：32.47万亿，
故选：．
二．填空题（共3小题）
6．（2024•潮州模拟）把数0.00024用科学记数法表示为 ．
【答案】．
【分析】根据将一个数写成的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
7．（2024•曲阜市校级一模）化简分式的结果是 ．
【答案】．
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
8．（2024•河南一模）请写出一个大于且小于的整数： 2（或 ．
【分析】根据无理数的估算，找出在与的整数，任选一个即可．
【解答】解：因为，，
所以大于且小于的整数有2，3．
故答案为：2（或．
三．解答题（共2小题）
9．（2024•遂平县一模）（1）计算；
（2）化简：．
【答案】（1）5；
（2）．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、二次根式以及去绝对值，然后计算加减法；
（2）利用平方差公式和单项式乘多项式的计算法则作答．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
10．（2024•望城区一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再把，代入化简后的代数式进行计算即可．
【解答】解：
；
当，时，
原式专题热度
★★★★★
命题热点
1．实数
（1）实数的大小比较
（2）科学记数法
（3）平方根、算术平方根、立方根
（4）实数的运算
2．二次根式
3．整式
4．分式
热门方法
数轴法、作差法、平方法
热点题型
选择题、填空题
名师点拨
1．实数的大小比较
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小．
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据a>0,b>0时，可由a2>b2得到a>b来比较大小．
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小．
（5）差值比较法．
2．科学记数法
（1）用科学记数法来表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2）用科学记数法来表示较小的数，科学记数法的表示形式为a×10-n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，当用科学记数法表示较小的数时，n等于原数从左边起第一位不是零的数字前面的所有零的个数，确定n的值即可正确作答．
（3）近似数
①表示数据时，有时很难取得准确值，或者不必使用准确值时，我们可以用近似数来表示．
②中考中对有效数字的考查属于低频考点，牢记有效数字的概念是解答的关键：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字；用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
③用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
3．平方根、算术平方根、立方根
（1）一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数，即和为0；
（2）被开方数是非负数，即负数没有平方根．
（3）立方根：
①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；
②；
③=a．
（4）平方根和立方根的区别和联系
①被开方数的取值范围不同
在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．
②运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
4．实数的运算
（1）有理数的运算法则可以推广到实数中．
（2）有理数的运算律可以推广到实数中．
（3）做实数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
①先乘方、开方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
名师点拨
1．二次根式的运算和性质：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
【拓展】（1）若，则a=0，b=0；
（2）若，则a=0，b=0；
（3）若，则a=0，b=0；
（4）若，则a=0，b=0，c=0．
2．二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来．
名师点拨
1．单项式与多项式
单独的一个数或一个字母也是单项式．
2．合并同类项
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x2y和4x2y为3x2y+4x2y=（3+4）x2y=7x2y．
3．整式的运算
（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．
（2）整式的乘法：．
（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
（4）乘法公式
①平方差公式：．
②完全平方公式：．
4．幂的运算性质
（1）同底数幂相乘法则：（为整数，）
（2）幂的乘方法则：（为整数，）
（3）积的乘方法则：（为整数，）
（4）同底数幂相除法则：（为整数，）
名师点拨
1．分式的概念
（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．分式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；最后的结果能约分的要约分，化为最简．
4．分式的化简求值
（1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．
（2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
（3）分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意．总的来说有以下两类：
①当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；
②当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．