2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为( )
A. 14B. 12C. 10D. 10或14
2.将点A(−3,−1)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′，则点A′在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边长的高为( )
A. 302
B. 85 5
C. 132
D. 45 5
4.把多项式m2(a−2)+m(2−a)分解因式等于( )
A. (a−2)(m2+m)B. (a−2)(m2−m)C. m(a−2)(m−1)D. m(a−2)(m+1)
5.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.△ABC的面积为12，AB=7，DE=2，则BC的长为( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
6.将不等式组x<1x≥2的解集表示在数轴上，下列正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，将一块含有30°的直角三角板ABC(假定∠C=90°，∠B=30°)绕顶点A逆时针旋转100°得到△AB′C′，则∠BB′C′等于( )
A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
8.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( )
A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边中垂线的交点D. 三边上高的交点
9.若关于x的不等式组3−(x−1)≥25x−a>4x有且只有3个整数解，则a的取值范围是( )
A. −1≤a<0B. −110.已知实数n满足n2−n+1=0，则4n3−5n2+5n+11的值为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某种药品的说明书上的部分内容是“用法用量：每天40～60mg，分3～4次服用”，是一次服用这种药品的剂量x(mg)的取值范围是______．
12.如图所示，将三个现状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置，∠BAD=30°，∠GAE=15°，则∠CAF= ______．
13.不等式组2(x+1)<3x−6x<4m无解，则m的取值范围是______．
14.如图，函数y=−2x和y=kx+4的图象相交于点A(m,3)，则关于的x不等式kx+4+2x≥0的解集为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，AB=20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD.设点D运动时间为t秒.当△ABF是等腰三角形时，则t= 秒.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
计算：
(1)分解因式：
①3a2−6ab+3b2．
②x2(m−2)+y2(2−m)．
(2)解不等式组：4x≤−2(1−x)3x+14>−2．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,1)，C(3,3)．
(1)将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为(______，______)；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为(______，______)；
(3)求第(2)问中线段AC旋转时扫过的面积．
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
(1)求证：BD=CE．
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线．
19.(本小题8分)
超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
20.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，则称点Q是点P的“a阶派生点”(其中a为常数，且a≠0).例如：点P(1,4)的“2阶派生点”为点Q(2×1+4,1+2×4)，即点Q(6,9)．
(1)若点P的坐标为(−1,5)，则它的“3阶派生点”的坐标为______；
(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为(−9,3)，求点P的坐标；
(3)若点P(c+1,2c−1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1.点P1的“−4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
21.(本小题10分)
阅读理解并解答：
我们把多项式a2+2ab+b2，a2−2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值问题．
(1)例如：①=(x+1)2+2，
∵(x+1)2是非负数，即(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，
则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是−1；
②3x2−12x+5=3(x2−4x)+5=3(x2−4x+4−4)+5=3(x−2)2−12+5=3(x−2)2−7，
∵(x−2)2是非负数，即(x−2)2≥0，∴3(x−2)2−7≥−7，
则这个代数式3x2−12x+5的最小值是______，这时相应的x的值是______；
(2)知识再现：当x= ______时，代数式x2−6x+12的最小值是______；
(3)知识运用：若y=−x2+2x−3，当x= ______时，y有最______值(填“大”或“小”)，这个值是______；
(4)知识拓展：若−x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值．
22.(本小题10分)
如图所示，在同一个坐标系中一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C.已知点A坐标为(−1,0)，点B坐标为(2,0)，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是______；关于x的不等式kx+b<0的解集是______；
(2)直接写出关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0解集是______；
(3)若点C坐标为(1,3)，
①关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集是______；
②△ABC的面积为______；
③在y轴上找一点P，使得PB−PC的值最大，则P点坐标为______．
23.(本小题12分)
图形操作
(1)如图①，△ABC为等边三角形，P为其内一点，请将△BPC绕点B逆时针旋转60°，P的对应点为P′，画出旋转后的三角形．

问题探究
(2)如图②，等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，D，E为AB上两点且BD=3，AE=4，∠DCE=45°，试求△ABC的面积．
问题解决
(3)“五一”假期期间，八年级学生小明与爸爸回郊区老家看望爷爷.空闲时帮爷爷整理出一片四边形的菜园如图③所示.在四边形ABCD中，经测量∠BAD=45°，∠BCD=90°，CA刚好平分∠BCD，BC=8 6米，CD=6 6米，其中AC段准备布设一条水管用来灌溉(不计面积)，四边形ABCD四周用篱笆围成．
请你通过计算说明爷爷需要多长的水管？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：①当2为底时，其它两边都为6，
2、6、6可以构成三角形，
则周长为14；
②当2为腰时，
其它两边为2和6，
∵2+2<6，
∴不能构成三角形，故舍去，
故此等腰三角形的周长为14．
故选：A．
因为已知长度为2和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵点A(−3,−1)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′(−3−2,−1+4)，即A′(−5,3)，
∵−5<0，3>0，
∴点A′在第二象限．
故选：B．
先根据平移的性质得出A′的坐标，再由各象限内点的坐标特点即可得出结论．
本题考查的是坐标与图形变化−平移，根据平移的性质得出A′的坐标是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得：AC= 22+12= 5，
设AC边长的高为h，
∵S△ABC=3×4−12×2×3−12×1×2−12×2×4=4，S△ABC=12AC×h，
∴12AC×h=4，
∴h=412AC=412× 5=85 5，
故选：B．
先由勾股定理求出AC= 5，设AC边长的高为h，再由面积法得出12AC×h=4，然后求出h即可．
本题考查了勾股定理、矩形面积和三角形面积的计算，由面积法列出关于AC边长的高h的方程是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：m2(a−2)+m(2−a)，
=m2(a−2)−m(a−2)，
=m(a−2)(m−1)．
故选C．
先把(2−a)转化为(a−2)，然后提取公因式m(a−2)，整理即可．
本题主要考查了提公因式法分解因式，整理出公因式m(a−2)是解题的关键，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴12×AB×DE+12×BC×DF=12，
∴12×7×2+12×BC×2=12，
∴BC=5，
故选：C．
作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：不等式组x<1x≥2的解集为无解，
在数轴上表示为：
故选：B．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：依题意得△ABC≌△AB′C′，
∴∠C′B′A=∠ABC=30°，AB′=AB，∠BAB′=100°，
∴∠BB′A=∠B′BA=40°，
∴∠BB′C′=∠BB′A−∠C′B′A=40°−30°=10°．
故选：B．
根据题意得到△ABC≌△AB′C′，得到∠C′B′A=∠ABC=30°，AB′=AB，即可得到答案．
本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：3−(x−1)≥2①5x−a>4x②，
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x>a，
∴该不等式组的解集是a∴关于x的不等式组3−(x−1)≥25x−a>4x有且只有3个整数解，
∴这三个整数解是0，1，2，
∴−1≤a<0，
故选：A．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组3−(x−1)≥25x−a>4x有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
10.【答案】A
【解析】解：4n3−5n2+5n+11
=4n3−4n2−n2+5n+11
=4n(n2−n)−n2+5n+11
=−4n−n2+5n+11
=n−n2+11
=−(n2−n)+11
=1+11
=12．
故选：A．
由n2−n+1=0，可得n2−n=−1，把所给代数式整理成4n3−4n2−n2+5n+11，把前两项提取4n，得到含n2−n的式子，把n2−n=−1整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可．
本题考查因式分解的应用．关键是把等式中含字母的项看成一个整体，得到这个整体的值．难点是把所给等式整理成和等式中含字母的项有关的式子．
11.【答案】10≤x≤20
【解析】解：由题意，当每日用量40mg，分4次服用时，一次服用的剂量最小为10mg；当每日用量60mg，分3次服用时，一次服用的剂量最大为20mg．
根据依题意列出不等式组：
x≥10x≤20，
解得10≤x≤20，
∴一次服用这种药品的剂量x的范围是10≤x≤20mg．
故答案为：10≤x≤20．
用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数，可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用．由实际问题中的不等关系列出不等式，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
12.【答案】15°
【解析】解：∵△ABC，△ADE，△AFG是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠FAG=60°，
∵∠BAD=30°，∠GAE=15°，
∴∠EAF=∠FAG−∠EAG=45°，∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD=30°，
∴∠CAF=∠EAF−∠CAE=15°．
故答案为：15°．
根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=∠FAG=60°，从而得到∠EAF=∠FAG−∠EAG=45°，∠CAE=∠BAD=30°，即可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】m≤2
【解析】解：不等式组整理得：x>8x<4m，
由不等式组无解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
则m的取值范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
14.【答案】x≥−1.5
【解析】解：将点A(m,3)代入y=−2x得，−2m=3，
解得，m=−32，
所以点A的坐标为(−1.5,3)，
由图可知，不等式kx+4+2x≥0的解集为x≥−1.5．
故答案为x≥−1.5．
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式kx+4+2x≥0的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．
15.【答案】5或145或4
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，AB=20，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 202−162=12，
当FA=FB时，DF⊥AB，
∴AD=12AB=12×20=10，
∴t=10÷2=5；
当AF=AB=20时，∠ACB=90°，
则BF=2BC=24，
∴12AB⋅DF=12BF⋅AC，即12×20×DF=12×24×16，
解得：DF=965，
由勾股定理得：AD= AF2−DF2= 202−(965)2=285，
∴t=285÷2=145；
当BF=AB=20时，
∵BF=20，BC=12，
∴CF=BF−BC=8，
由勾股定理得：AF= AC2+CF2= 162+82=8 5，
∵BF=BA，FD⊥AB，AC⊥BF，
∴DF=AC=16，
∴AD= AF2−DF2= (8 5)2−162=8，
∴t=8÷2=4；
综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或145或4，
故答案为：5或145或4．
本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
先根据勾股定理求出BC，再分FA=FB、AF=AB、BF=AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
16.【答案】解：(1)①3a2−6ab+3b2
=3(a2−2ab+b2)
=3(a−b)2；
②x2(m−2)+y2(2−m)
=(m−2)(x2−y2)
=(m−2)(x+y)(x−y)．
(2)4x≤−2(1−x)①3x+14>−2②，
由①得x≤−1，
由②得x>−3，
∴不等式组的解集为：−3【解析】(1)①先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
②先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
此题考查了因式分解的方法，解一元一次不等式组，解(1)的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．解(2)的关键是熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
17.【答案】−2 3 1 −4
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标为(−2,3)；
故答案为：−2，3；
(2)如图，△A1B1C1即为所求；
B1的坐标为(1,−4)；
故答案为：1，−4；
(3)∵OC2=32+32=18，OA2=12+12=2，
∴线段AC旋转时扫过的面积=14π⋅OC2−14π⋅OA2=14π×18−14π×2=4π．
(1)根据平移的性质即可将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，进而可得C′的坐标；
(2)根据旋转的性质即可将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，进而写出B1的坐标；
(3)首先求出OC2=32+32=18，OA2=12+12=2，然后用扇形OCC1的面积减去扇形OAA1的面积求解即可．
本题考查了作图−旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18.【答案】证明：(1)如图所示：

∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△CBE中，
∠2=∠1BA=CB∠BAD=∠CBE=90°，
∴△BAD≌△CBE(ASA)，
∴BD=CE；
(2)∵E是AB中点，
∴EB=EA，
∵△BAD≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AE=AD，
∴△AED是等腰三角形
∵AD/​/BC，
∴∠DAM=∠ACB=45°，∠DAE=90°，
∴∠EAM=45°=∠DAM，
∴AC是线段ED的垂直平分线．
【解析】(1)证△BAD≌△CBE即可；
(2)证△AED是等腰三角形，再证∠EAM=45°=∠DAM即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟记全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
19.【答案】(1)设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元，
根据题意，得5y−4x=1020x+10y=160，解得：x=5y=6，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
(2)设A种商品购进a件，则乙种商品(200−a)件，
根据题意，得10(a−30)+0.8×10[200−(a−30)]−5a−6(200−a)≥640，
解得：a≥100，
答：至少购进A种商品100件．
【解析】(1)根据“购进4件甲种商品比购进5件乙种商品少用10元，购进20件甲种商品和10件乙种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
(2)设购进甲种商品a件，则乙种商品(200−a) 件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等或等量关系．
20.【答案】解：(1)(2,14)；
(2)设点P的坐标为(a,b)，
由题意可知5a+b=−9a+5b=3，
解得：a=−2b=1，
∴点P的坐标为(−2,1)；
(3)由题意，P1(c−1.2c)，
∴P1的“−4阶派生点“P2为：(−4(c−1)+2c,c−1−8c)，即(−2c+4,−7c−1)，
∵P2在正半轴上，
∴−2c+4=0或−7c−1=0，
∴c=2或c=−17，
∴P2(0,−15)或(307,0)．
【解析】解：(1)3×(−1)+5=2；−1+3×5=14，
∴点P的坐标为(−1,5)，则它的“3级关联点”的坐标为(2,14)．
故答案为：(2,14)；
(2)(3)见答案．
(1)根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
(2)根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
(3)判断出P2的坐标，构建方程求出c即可．
本题考查点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】−7 2 3 3 1 大 −2
【解析】解：(1)∵(x−2)2是非负数，即(x−2)2≥0，∴3(x−2)2−7≥−7，
则这个代数式3x2−12x+5的最小值是−7，这时相应的x的值是2，
故答案为：−7，2；
(2)x2−6x+12=(x−3)2+3，
∵(x−3)2是非负数，即(x−3)2≥0，
∴(x−3)2+3≥3，
当x=3时，代数式x2−6x+12的最小值是3，
故答案为：3，3；
(3)∵y=−x2+2x−3=−(x2−2x+3)=−(x−1)2−2，
∵(x−1)2是非负数，即(x−1)2≥0，
∴−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2−2≤−2，
∴当x=1时，y有最大值，这个值是−2，
故答案为：1；大；−2
(4)∵−x2+3x+y+5=0，
∴y=x2−3x−5，
∴x+y=x2−2x−5=(x−1)2−6，
∵(x−1)2是非负数，即(x−1)2≥0，
∴(x−1)2−6≥−6，
即：y+x的最小值为−6．
(1)根据解答过程即可求解；
(2)根据x2−6x+12=(x−3)2+3即可求解；
(3)根据y=−x2+2x−3=−(x2−2x+3)=−(x−1)2−2即可求解；
(4)由题意得y=x2−3x−5，则x+y=x2−2x−5=(x−1)2−6，即可求解．
本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式形式是解题关键．
22.【答案】x=−1 x>2 −11 92 (0,2)
【解析】解：(1)∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=−1，关于x的不等式kx+b<0的解集为x>2，
故答案为x=−1，x>2；
(2)根据图象可以得到关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集−1(3)点C(1,3)，
①由图象可知，不等式k1x+b1>kx+b的解集是x>1；
②∵AB=3，
∴S△ABC=12AB⋅yC=12×3×3=92；
③∵C(1,3)，
∴点C关于y轴的对称点C′为(−1,3)，连接BC′，直线BC′与y轴的交点即为P点，
设直线BC′为y=mx+n，
∴−m+n=32m+n=0，解得m=−1n=2，
∴直线BC′为y=−x+2，
令x=0，则y=2，
∴P(0,2)，
故答案为：x>1；92；(0,2)．
(1)利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
(2)利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
(3)①利用图象即可求解；
②利用三角形面积公式求得即可；
③作点C关于y轴的对称点C′，连接BC′，直线BC′与y轴的交点即为P点．
此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，轴对称−最短路线问题，正确利用数形结合解题是解题关键．
23.【答案】解：(1)根据题意作出图形如下，

(2)将△CBD绕点C顺时针旋转90°，得△CAE，连接EF，如图，

∴AF=BD=3，CD=CF，∠CAF=∠B，∠BCD=∠ACF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∴∠CAF=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF= AE2+AF2= 42+32=5，
∵∠DCE=45°，
∴∠BCD+∠ACE=45°，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠BCD+∠ACE=45°，
∴∠ECF=∠ECD，
在△ECF和△ECD中，
CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE，
∴△ECF≌△ECD(SA)，
∴EF=ED=5，
∴AB=AE+ED+BD=4+5+3=12，
∴AC=BC= 22AB=6 2，
∴△ABC的面积为12AC⋅BC=12×6 2×6 2=36；
(3)如图，将△ADC顺时针旋转90°到△AC′D′，连接C′C，BD，

则△AC′C是等腰直角三角形，C′D=6 6米，
∵∠C′=∠ACB=45°，
∴C′，D′，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D′AB中，
AD=AD′∠DAB=∠D′ABAB=AB，
∴△DAB≌△D′AB(SAS)，
∴DB=D′B，
在Rt△BCD中，
∵BC=8 6米，CD=6 6米，
∴DB=10 6米，
∴CC′=6 6+10 6+8 6=24 6(米)，
∴AC= 22CC′=24 3(米)．
∴爷爷需要24 3米的水管．
【解析】(1)根据题意作出图形便可；
(2)将△CBD绕点C顺时针旋转90°，得△CAE，连接EF，证得∠EAF=90°，求得EF的长度，再证明△ECF≌△ECD(SA)，得EF=ED，便可求得AB，进而求得AC与BC，最后根据三角形的面积公式求得结果；
(3))将△ADC顺时针旋转90°到△AC′D′，连接C′C，BD，证明C′，D′，B，C均在同一直线上，再证明△DAB≌△D′AB(SAS)，得DB=D′B，由勾股定理求得DB的长度，进而得CC′的长度，由等腰直角三角形的性质求得AC的长度．
本题是四边形综合题，考查了基本作图，旋转的性质，三角形的全等的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形与直角三角形．