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5.3平行线的性质
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5.3平行线的性质
一．选择题（共8小题）
1．下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．锐角的补角一定是钝角
C．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠C＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD
4．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．105° B．75° C．60° D．45°
6．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是（ ）
A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′
7．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．30° C．25° D．20°
8．如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
二．填空题（共8小题）
9．一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即AB∥CD，如图），如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么，∠C应是 度．
10．如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝ ．
11．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于 ．
12．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，垂足分别为D，F，∠DGC＝105°，∠BCG＝75°，则∠1+∠2＝ 度．
13．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，∠BAC＝125°，则∠EFD的度数 ．
14．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是 ．
15．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ ．
16．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．如图，AB∥DE，BC∥DF，求证：∠ABC+∠EDF＝180°．
18．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD∥BE．
19．如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．
20．直线AB、CD交于点O，OE为∠BOD的平分线，OF⊥OE，CG∥OE，且∠C＝30°．
（1）求∠AOE为多少度；
（2）判断∠FOA与∠FOD的大小关系，并说明理由．
21．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．
22．如图，已知∠EAC＝90°，∠1+∠2＝90°，∠1＝∠3，DE∥BC．试说明：∠2＝∠4．
23．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（作辅助线提示：过点G、P作平行线）
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度数．
24．已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，
（1）问题提出：如图1，∠A＝120°，∠C＝130°．求∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题应用：如图3，∠EAH：∠HAB＝1：3，∠ECH＝20°，∠DCH＝60°，求的值．
5.3平行线的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．锐角的补角一定是钝角
C．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行线的性质，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线，平行公理及推论，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、对顶角相等，故A不符合题意；
B、锐角的补角一定是钝角，故B不符合题意；
C、平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
2．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠C＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC＝∠C，再根据角平分线的定义求出∠ABD，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C＝35°，
∵CB平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝2×35°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
3．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD
【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠2，再由∠1＝∠DFE，得出∠2＝∠DFE，由内错角相等，两直线平行即可得出DF∥BC．
【解答】解：要使DF∥BC，只需再有条件∠1＝∠DFE；理由如下：
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠DFE，
∴∠2＝∠DFE，
∴DF∥BC；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
4．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
【分析】由两锐角互余的性质可求∠DAC度数，由平行线的性质可求解．
【解答】解：如图，标注字母，
由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠DAC＝62°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．105° B．75° C．60° D．45°
【分析】由a∥b，得到∠1+∠CAB＝180°，又∠CAB＝45°+∠60°＝105°，即可求出∠1＝75°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠CAB＝180°，
∵∠CAB＝45°+∠60°＝105°，
∴∠1＝75°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
6．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是（ ）
A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′
【分析】先根据AB∥CD求出∠C的度数，再由BC∥DE即可求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝72°28′，
∴∠C＝∠B＝72°28′，
∵BC∥DE，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝107°32′，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
7．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．30° C．25° D．20°
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝45°，再根据平行线的性质可知∠ACE＝∠1＝25°，然后由∠2＝∠ACB﹣∠ACE即可求出答案．
【解答】解：如图，
由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴，
由题意可知，AD∥CE，∠1＝25°，
∴∠ACE＝∠1＝25°，
∴∠2＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣25°＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
8．如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝40°，再根据折叠的性质求解即可．
【解答】解：如图，
根据题意得，∠3＝∠1＝40°，
由折叠的性质得，∠3+2∠2＝180°，
∴∠2＝×（180°﹣∠3）＝×140°＝70°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的基础．
二．填空题（共8小题）
9．一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即AB∥CD，如图），如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么，∠C应是 140 度．
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝140°．
【点评】本题主要考查了两直线平行内错角相等，比较简单．
10．如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝ 30° ．
【分析】由平角的定义求出∠CAE，根据平行线的性质即可求出∠C．
【解答】解：∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，
∴∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和平角的定义，熟记两直线平行内错角相等是解决问题的关键．
11．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于 20° ．
【分析】先根据AB∥CD求出∠BCD的度数，再由EF∥CD求出∠ECD的度数，由∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝46°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，
∵EF∥CD，∠CEF＝154°，
∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝180°﹣154°＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝46°﹣26°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等；同旁内角互补是解答此题的关键．
12．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，垂足分别为D，F，∠DGC＝105°，∠BCG＝75°，则∠1+∠2＝ 180 度．
【分析】由∠DGC＝105°，∠BCG＝75°，得出∠DGC+∠BCG＝180°，判断DG∥BC，得出∠1＝∠DCB，由CD⊥AB，EF⊥AB，判断CD∥EF，得出∠DCB+∠2＝180°，等量代换即可．
【解答】解：∵∠DGC＝105°，∠BCG＝75°（已知），
∴∠DGC+∠BCG＝180°，
∴DG∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），
∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴CD∥EF（平面内，垂直于同一直线的两直线平行），
∴∠DCB+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1+∠2＝180°（等量代换），
故答案为：180．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的正确运用．
13．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，∠BAC＝125°，则∠EFD的度数 125° ．
【分析】先根据AB∥CD，∠BAC＝125°求出∠C的度数，再由AC∥DF求出∠D的度数，根据CD∥EF即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BAC＝125°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣125°＝55°．
∵AC∥DF，
∴∠D＝∠C＝55°，
∵CD∥EF，
∴∠EFD＝180°﹣∠D＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
14．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是 38° ．
【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD＝∠1＝22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【解答】解：如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD＝∠1＝22°，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．
故答案为：38°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
15．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ 16° ．
【分析】先利用平行线的性质得∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠GEF＝49°，所以∠2＝98°，接着利用互补计算出∠1，然后计算∠2﹣∠1．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案为16°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
16．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
②DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
三．解答题（共8小题）
17．如图，AB∥DE，BC∥DF，求证：∠ABC+∠EDF＝180°．
【分析】延长BC到N，CD到G，作AB∥CM，根据平行线的性质证得∠ABC＝∠BCM，∠MCN＝∠EDF，进而证得结论．
【解答】证明：如图，延长BC到N，CD到G，作AB∥CM，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠MCD＝∠EDG，
∵BC∥DF，
∴∠NCD＝∠FDG，
∵∠EDF＝∠EDG+∠FDG，∠MCN＝∠MCD+∠NCD，
∴∠MCN＝∠EDF，
∵∠BCM+∠MCN＝180°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
18．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD∥BE．
【分析】先根据AB∥CD得到∠1＝∠6，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得到∠3+∠6＝∠4+∠2，根据对顶角相等及三角形内角和定理可得到∠BCD+∠D＝180°，由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠6，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠3+∠6＝∠4+∠2，
∵∠4＝∠5，
∴∠3+∠6＝∠2+∠5，
∵∠2+∠5+∠D＝180°，
∴∠3+∠6+∠D＝180°，
即∠BCD+∠D＝180°，
∴AD∥BE．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质、三角形内角和定理及对顶角相等的有关知识，熟知以上各知识点是解答此题的关键．
19．如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．
【分析】（1）利用平行线性质可得∠ADE＝∠B，从而可求得∠3＝∠ADE，可判定EF∥AB，则有∠2＝∠DFE，再结合∠1+∠DFE＝180°，从而可求证；
（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠3＝∠B，
∴∠3＝∠ADE，
∴EF∥AB，
∴∠2＝∠DFE，
∵∠1+∠DFE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADC＝180°，
∴2∠B+2∠B＝180°，
解得：∠B＝45°，
由（1）得AB∥EF，
∴∠1＝∠ADC＝2∠B＝90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．直线AB、CD交于点O，OE为∠BOD的平分线，OF⊥OE，CG∥OE，且∠C＝30°．
（1）求∠AOE为多少度；
（2）判断∠FOA与∠FOD的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠DOE＝∠C，再结合角平分线定义可得∠BOE＝∠DOE＝30°，根据邻补角互补可得答案；
（2）利用垂线定义，邻补角的性质分别计算出∠FOA与∠FOD的度数即可．
【解答】解：（1）∵CG∥OE，
∴∠DOE＝∠C＝30°，
∵OE为∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠DOE＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°；
（2）∠AOF＝∠DOF，
理由：∵∠BOE＝∠DOE＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠AOF＝∠DOF．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是理清图中角之间的关系．
21．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．
【分析】首先根据∠1＝∠2，可得AD∥BF，进而得到∠D＝∠DBF，再由∠3＝∠D，可以推出∠3＝∠DBF，进而根据平行线的判定可得DB∥CF．
【解答】解：BD∥CF，
理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DBF，
∵∠3＝∠D，
∴∠3＝∠DBF，
∴BD∥CF．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理．
22．如图，已知∠EAC＝90°，∠1+∠2＝90°，∠1＝∠3，DE∥BC．试说明：∠2＝∠4．
【分析】先延长FA，CB交于点G，根据同角的余角相等，得出∠2＝∠5，再根据等角的余角相等，得出∠5＝∠G，进而得出∠2＝∠G，最后根据平行线的性质，得到∠4＝∠G，即可得到∠2＝∠4．
【解答】证明：如图，延长FA，CB交于点G，
∵∠EAC＝90°，
∴∠1+∠5＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠5，
∵∠CAG＝90°，
∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠G＝90°，
又∵∠1＝∠3，
∴∠5＝∠G，
∴∠2＝∠G，
∵DE∥BC，
∴∠4＝∠G，
∴∠2＝∠4．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及余角的定义的运用，解决问题的关键是作辅助线构造三角形，运用同角（等角）的余角相等进行推导．
23．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（作辅助线提示：过点G、P作平行线）
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度数．
【分析】（1）过G作GH∥AB，则GH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，根据平行线的性质可得∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，结合角平分线的定义∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，进而可求解．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝90°，
∴∠AMG+∠CNG＝∠HGM+∠HGN＝∠MGN＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝32°，
∴∠MGK＝∠BMG＝32°，
∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝32°，
即∠BMP＝64°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝64°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD PQ∥AB
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
24．已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，
（1）问题提出：如图1，∠A＝120°，∠C＝130°．求∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题应用：如图3，∠EAH：∠HAB＝1：3，∠ECH＝20°，∠DCH＝60°，求的值．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，由平行线的性质可得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，即可求出∠APC；
（2）过点P作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质可得∠APC＝∠A﹣∠C；
（3）过点E作EM∥AB，过点H作HN∥AB，易得EM∥CD，HN∥CD，根据平行线的性质可得∠CEA＝∠BAE﹣∠DCE，∠CHA＝∠BAH﹣∠DCH，再由已知等量代换，即可求得的值．
【解答】解：（1）如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°．
∵∠C＝130°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；
（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：
如图2，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ＝180°﹣∠A，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C，
∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，
∴∠APC＝180°﹣∠C﹣（180°﹣∠A）＝∠A﹣∠C；
（3）如图3，过点E作EM∥AB，过点H作HN∥AB，
∵AB∥CD，∴EM∥CD，HN∥CD，
∴∠CEA＝∠CEM﹣∠AEM＝180°﹣∠DCE﹣（180°﹣∠BAE）＝∠BAE﹣∠DCE，
∠CHA＝∠CHN﹣∠AHN＝180°﹣∠DCH﹣（180°﹣∠BAH）＝∠BAH﹣∠DCH，
∵∠EAH：∠HAB＝1：3，∠ECH＝20°，∠DCH＝60°，
∴∠CEA＝∠BAE﹣∠DCE＝4∠EAH﹣80°，∠CHA＝∠BAH﹣∠DCH＝3∠EAH﹣60°，
∴．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
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