2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 2x−1=0B. 1x2−1=0C. x2−x=0D. 2x−y=0
2.一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为
( )
A. 3B. 4C. 9D. 12
3.如图，点C在⊙O上，OC平分弦AB，连接OA，BC，若∠A=40∘，则∠C的度数是
( )
A. 50∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘
4.“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4：2：2：1：1计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是
( )
A. 80B. 82C. 84D. 86
5.以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是( )
A. ①B. ②③C. ③④D. ②③④
6.图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去(阴影部分为4个完全相同的小矩形)并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为
( )
A. 28−2x16−2x=80B. 28−2×2x16−2x=80
C. 12×28−2x16−2x=80D. 1228−2x16−2x=80
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.方程x2=4的解是_____．
8.一组数据7，10，7，2，7的极差是_______．
9.若将一元二次方程x2+16x=16化为x+m2=n的形式，则m+n=_______．
10.如图，在▵ABC中，∠A=92∘，则点A在以线段BC为直径的圆_______.(填“上”“内”或“外”)
11.如图，在⊙O中，弦AB的长度是弦CD长度的两倍，连接OA，OB，OC，OD，则∠AOB_______2∠COD.(填“>”“<”或“=”)
12.小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：
那么他成绩的中位数是_______环．
13.某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为x，根据题意可列方程为_______．
14.如图，四边形ABCD的各边都与⊙O相切，若AB=2CD=8cm，则四边形ABCD的周长为_______cm．
15.如图，⊙O的半径为2，AB是弦，点C在优弧AB上．将⊙O沿AB折叠后，连接CB，CB交AB⌢于点D.若∠ADB=108∘，则ADB⌢的长是_______(结果保留π).
16.在▵ABC中，∠A=135∘，AB=3，AC= 2，则其外接圆的半径是_______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解方程x2−4x+1=0．
18.解方程：3x(x−2)=x−2．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0,c≠0．
(1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；
(2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．
20.(本小题8分)
如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB=2，连接DG．

(1)求证DG/​/AB；
(2)DG的长为_____．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2+(2m−1)x+m2=0．
(1)当该方程有实数根时，求m的范围；
(2)若该方程的两个根x1,x2满足x1+x2=x1⋅x2，求m的值．
22.(本小题8分)
某工厂对新建的两条生产线A，B进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品(每个批次各100个).其中每个批次产品的合格数量如图．

(1)哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？
(2)经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A，B的合格产品数量如下表：
本次调试的效果如何？说明理由．
23.(本小题8分)
如图，已知直线l和点A，B.在直线l上确定点C，使以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C.)
24.(本小题8分)
某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价．
25.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，⊙O是它的外接圆，点D在AC⌢上且CD⌢=CB⌢，连接AD，BD，CD，BD与AC交于点E．

(1)判断▵AED的形状，并证明；
(2)当AD=BE时，求∠BAC的度数．
26.(本小题8分)
如图①，C，D分别是半圆O的直径AB上的点，点E，F在AB⌢上，且四边形CDEF是正方形．

(1)若AB=4 5，则正方形CDEF的面积为____；
(2)如图②，点G，H，M分别在AB，AB⌢，DE上，连接HG，HM，四边形DGHM是正方形，且其面积为16
①求AB的值；
②如图③，点N，P，Q分别在HM，AB⌢，EM上，连接PN，PQ，四边形MNPQ是正方形．直接写出正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比．
27.(本小题8分)
我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．

(1)如图，已知▵ABC.求作：▵ABC的一个准切圆；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；
(3)在Rt▵ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，直接写出它的准切圆的半径长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
【详解】解：A、2x−1=0，是一元一次方程，故 A不符合题意；
B、1x2−1=0，是分式方程，故 B不符合题意；
C、x2−x=0，是一元二次方程，故 C符合题意；
D、2x−y=0，是二元一次方程，故 D不符合题意；
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等圆锥的母线长是解题的关键，设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面积公式S=πrl得到方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得S=πrl
π×4×l=36π，
解得l=9，
即该圆锥的母线长是9．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂径定理，根据等边对等角可得∠B=40∘，由，OC平分弦AB，可得OC⊥AB，从而得到∠BOC=50∘，最有由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】∵OA=OB，∠A=40∘，
∴∠B=40∘，
∵OC平分弦AB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC=90∘−40∘=50∘，
∵OC=OB，
∴∠OCB=180∘−50∘2=65∘，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应学科的分数乘以对应的权重求出每一科的分数，再求和，最后除以10即可得到答案，熟知加权平均数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，平均成绩为4×80+2×100+2×60+100+8010=82，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了四边形有外接圆的条件，根据题意得四边形必须对角互补才有外接圆是解决问题的关键．
【详解】解：根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补，
∴只有矩形、正方形有外接圆，
故③④一定有外接圆．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该盒子的高为xcm，则纸盒底面的长为1228−2xcm，宽为16−2xcm，根据“纸盒的底面(图中阴影部分)面积是80cm2”即可列出方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设该盒子的高为xcm，则纸盒底面的长为1228−2xcm，宽为16−2xcm，
∵纸盒的底面(图中阴影部分)面积是80cm2，
∴1228−2x16−2x=80，
故选：D．
7.【答案】x=±2
【解析】【分析】直接运用开平方法解答即可．
【详解】解：∵x2=4
∴x=± 4=±2．
故答案为x=±2．
【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．
8.【答案】8
【解析】【分析】本题考查极差，熟练掌握极差的定义：“一组数据中最大值与最小值的差”，根据极差的定义计算即可．
【详解】解：极差为：10−2=8．
故答案为：8．
9.【答案】88
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的配方应用，先把x2+16x=16配成完全平方式，得(x+8)2=80，即可得m和n的值，再代入m+n，即可计算．
【详解】解：依题意，
因为x2+16x=16，
所以x2+16x+64=16+64，
即(x+8)2=80，
因为x+m2=n
所以m=8，n=80，
所以m+n=8+80=88．
故答案为：88．
10.【答案】内
【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，根据点与圆的位置关系可得出结论，熟知直径所对的圆周角是直角是解此题的关键．
【详解】解：∵直径所对的圆周角是直角，∠A=92∘>90∘，
∴点A在以线段BC为直径的圆内，
故答案为：内．
11.【答案】>
【解析】【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点O作OE⊥AB交AB于点F，先根据垂径定理证明AF=BF=12AB，AE⌢=BE⌢，根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOE=∠BOE=12∠AOB，再证BE>CD，可得∠BOE>∠COD，进而推出∠AOB>2∠COD．
【详解】解：过点O作OE⊥AB交AB于点F，连接BE．
∴AF=BF=12AB，AE⌢=BE⌢，
∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB，
又∵AB=2CD，
∴BF=CD，
在Rt△BEF中，BE>BF，
∴BE>CD，
∴∠BOE>∠COD，
∴12∠AOB>∠COD，
即∠AOB>2∠COD，
故答案为：>．
12.【答案】8
【解析】【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或最中间的两数的平均数即可，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键．
【详解】解：总次数为2+3+4+5+5+1=20，
所以中位数取第10与第11的平均数，
所以中位数为8+82=8，
故答案为：8．
13.【答案】201+x2=24
【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，熟练找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，利用公式：增长后的量=增长前的量1+平均增长率增长次数列出一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，
增长前：八月份营业额20万元，
增长后：十月份营业额24万元，
从八月份到十月份共增长2次，
则由题意列方程为：201+x2=24，
故答案为：201+x2=24．
14.【答案】24
【解析】【分析】本题考查了切线长定理，关键是由切线长定理推出AB+CD=AD+BC.由切线长定理推出AH=AE，DH=DG，CG=CF，BE=BF，然后根据周长公式即可求解．
【详解】如图，E，F，G，H是切点

∵四边形ABCD各边与⊙O相切
∴AH=AE，DH=DG，CG=CF，BE=BF
∴AD+BC=AH+DH+CF+BF=AE+DG+CG+BE=CD+AB
∵AB=2CD=8cm
∴四边形ABCD的周长为(8+4)×2=24cm
故答案为：24．
15.【答案】【答案】8π5
【解析】【分析】本题考查了弧长的计算，圆的折叠的性质，圆内接四边形的性质，补全圆，取D′与D关于AB对称，连接OA，OB，AC，先求出∠ACB=72∘，再求出∠AOB=2∠ACB=144∘，根据求弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，补全圆，取D′与D关于AB对称，连接OA，OB，AC，
∵∠ADB=108∘，
∴∠AD′B=∠ADB=108∘，
由内接四边形定理可得：∠ACB=180∘−∠AD′B=180∘−108∘=72∘，
∴∠AOB=2∠ACB=144∘，
∴ADB⌢的长=144π⋅2180=85π，
故答案为：8π5．
16.【答案】 342
【解析】【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，关键是构造▵ABC的外接圆，作CD⊥AB，在Rt▵ACD中，AC= 2，∠CAD=45∘，求出CD=AD=1，由勾股定理求出BC的长，由等腰直角三角形的性质求出BO的长即可．
【详解】解：作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠A=135∘，
∴∠CAD=45∘，

在Rt▵ACD中，AC= 2，∠CAD=45∘，
∴CD=AD=1，
∵AB=3，
∴BD=1+3=4，
在Rt▵BCD中，
BC= 42+12= 17，
∵∠A=135∘，
∴弦BC在优弧上所对的圆周角为：180∘−135∘=45∘，
∴∠BOC=90∘，
在Rt▵BOC中，BC= 17，OB=OC，
∴OB=OC= 342，
即r= 342．
故答案为： 342．
17.【答案】解：移项得，x2−4x=−1，
配方得，x2−4x+4=−1+4，
∴(x−2)2=3，
∴x−2=± 3，
∴x1=2+ 3，x2=2− 3．

【解析】【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可．
18.【答案】解：3x(x−2)=x−2，
移项得：3x(x−2)−(x−2)=0
整理得：(x−2)(3x−1)=0
x−2=0或3x−1=0
解得：x1=2或x2=13

【解析】【分析】移项后提取公因式x−2后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以x−2，这样会漏根．
19.【答案】【小问1详解】
证明：∵二次项系数和常数项的符号不同，
∴ac<0，
∴−ac>0，b2≥0，
∴Δ=b2−4ac=b2+(−4ac)>0
∴该方程一定有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：不是，反例x2−4x+3=0(答案不唯一)，
理由如下：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，满足b2>4ac即可，
反例：b2=16，ac=3，
即x2−4x+3=0，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同．

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根．
(1)由二次项系数和常数项的符号不同，可得ac<0，再由Δ=b2−4ac>0即可得出结论；
(2)由一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2−4ac>0，举出一个反例即可得到答案．
20.【答案】【小问1详解】
证明：连接AD，正八边形ABCDEFGH，
∴AB⌢=BC⌢=CD⌢=DE⌢=EF⌢=FG⌢=GH⌢=AH⌢，

∵∠BAD=180∘8×2=45∘，∠ADG=180∘8×2=45∘，
∴∠BAD=∠ADG，
∴DG//AB．
【小问2详解】
∵DE=EF=FG=AB=2，同理可证：EF/​/DG，EF/​/AB，
∴四边形DGFE为等腰梯形，
∴∠GFE=∠DEF=135∘，
作EP⊥DG，FQ⊥DG，

∵EF//DG，
∴∠DGF=180∘−135∘=45∘，
在Rt▵QGF中，∠DGF=45∘，GF=2，
∴QG=QF= 2，
同理可得DP=EP= 2，
∵EF//DG，EP⊥DG，FQ⊥DG，
∴四边形PQFE是矩形，
∴PQ=EF=2，
∴DG= 2+ 2+2=2 2+2．

【解析】【分析】(1)连接AD，先证明AB⌢=BC⌢=CD⌢=DE⌢=EF⌢=FG⌢=GH⌢=AH⌢，可得∠BAD=∠ADG，从而可得结论；
(2)作EP⊥DG，FQ⊥DG，证明QG=QF= 2，DP=EP= 2，四边形PQFE是矩形，从而可得答案．
【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
解：∵关于x的方程x2+(2m−1)x+m2=0有实数根，
∴Δ=(2m−1)2−4m2≥0，
解得：m≤14．
故m的取值范围是m≤14．
【小问2详解】
解：∵x2+(2m−1)x+m2=0
∴x1+x2=−(2m−1)，x1⋅x2=m2，
∵x1+x2=x1⋅x2，
∴−(2m−1)=m2，
解得m1=−1+ 2，m2=−1− 2，
又m≤14，
∴m=−1− 2．

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
(1)根据Δ≥0，解不等式即可；
(2)由根与系数的关系得出x1+x2和x1⋅x2的值，再代入求解即可．
22.【答案】【小问1详解】
xA=82+91+88+83+865=86，
S 2A=16+25+4+9+05=10.8，
xB=85+88+86+89+825=86，
S 2B=1+4+0+9+165=6，
∴xA=xB，S 2A>S 2B，
∴B比较稳定．
【小问2详解】
xA=85+86+86+86+875=86
S 2A=1+0+0+0+15=0.4，
xB=92+94+94+98+925=94，
S 2B=4+0+0+16+45=4.8，
综上，经过本次调试，A，B生产线的合格产品数量均变得更加稳定，B生产线合格产品数量有提升．

【解析】【分析】此题考查了平均数和方差，
(1)首先求出两条生产线的平均数和方差，然后根据平均数和方差的意义求解即可；
(2)首先求出两条生产线的 平均数和方差，然后根据平均数和方差的意义求解即可．
解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算方法以及意义．
23.【答案】即C1,C2,C3,C4为所求


【解析】【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”和“有一个是直角的三角形是直角三角形”作图．本题考查了复杂作图，掌握圆的性质和直角三角形的性质解题的关键．
24.【答案】解：设月饼每盒降了x元．根据题意，得：
20+2x120−80−x=1200，
解得：x1=20或x2=10，
∴120−x=100或110，
答：降价后该月饼每盒的售价为100元或110元．

【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意并找出题目中的等量关系列出方程．设月饼每盒降了x元，根据降价后的销量×每件的利润=1200，根据等量关系列出方程并求解即可．
25.【答案】【小问1详解】
解：▵AED为等腰三角形，
证明：设∠BDC=α，∠ACD=β，
∴∠AED=α+β，
∵CD⌢=CB⌢，
∴CD=CB，
∴∠DBC=∠BDC=α，
∵AD⌢=AD⌢，
∴∠ABD=∠ACD=β，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=α+β，
∵AB⌢=AB⌢，
∴∠ADB=∠ACB=α+β，
∴∠ADB=∠AED，
∴AD=AE，
∴▵AED为等腰三角形；
【小问2详解】
解：∵AD=BE，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠EBA=β，
又∵BC⌢=BC⌢，
∴∠BAE=∠BDC，
∴α=β，
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=5α=180∘，
∴α=36∘，
∴∠BAC=36∘．

【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
(1)利用圆周角定理以及三角形的外角性质证明∠ADB=∠AED，推出AD=AE，即可证明▵AED为等腰三角形；
(2)利用三角形内角和定理列式计算即可求解．
26.【答案】【小问1详解】
解：连接OF，

∵四边形CDEF是正方形，
∴FC=2CO，
∵FC2+CO2=OF2=2 52
解得：CO=2，FC=4
∴正方形的边长为4，
∴正方形CDEF的面积为16．
【小问2详解】
解：①连接OE，ON，

∵四边形DGHM是正方形，且其面积为16，
∴NG=DG=4，
设OD=x，则DE=2x，
在Rt△ODE中，OE2=x2+(2x)2=5x2，
在Rt▵ONG中，ON2=42+(x+4)2，
∴42+(x+4)2=5x2，
解得x1=4,x2=−2(舍)
∴OE=4 5，
∴AB=8 5．
②连接OM，PM，DH，

∵MD=OD=4，且∠MDO=90∘，
∴∠MOD=∠OMD=45∘，OM= OD2+DM2=4 2，
又∵∠PMN=45∘，
∴∠OMD=∠DMH+∠PMN=180∘，
∴O,M,P共线，
∴MP=4 5−4 2，
∴S正MNPQS正DGHM=12MP2DG2=12×4 5−4 2242=7−2 102．

【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是：
(1)连接OF，根据正方形和圆的性质得出OC=12CD=12FC，然后根据勾股定理求解即可；
(2)①连接OE，ON，设OD=x，分别在Rt△ODE、Rt▵ONG中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可；
②连接OM，PM，DH，先证明O,M,P共线，然后求出MP，最后根据正方形面积公式求解即可．
27.【答案】【小问1详解】
解：解：①作出∠ABC的平分线BE，
②过点A作AF⊥AB，交BE于点O，
③以点O为圆心，OA为半径作圆，
则⊙O为所求作的▵ABC的一个准切圆(答案不唯一)；
【小问2详解】
已知：等边▵ABC，它的外接圆为⊙O，等边▵ABC的一个准切圆为⊙O′，如图，
求证：⊙O和⊙O′为等圆．

证明：由(1)在作法可知：点A，O，O′在一条直线上，
∵⊙O是等边▵ABC 的 外接圆，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBC=12∠ABC=30∘．
∵⊙O′是等边▵ABC 的 一个准切圆，
∴O′C⊥BC，O′C为这个准切圆的半径，
∴∠BCO′=90∘，
∴O′在⊙O上，
即BO′为⊙O的直径，
∴BO=12BO′．
∵O′C⊥BC，∠O′BC=30∘，
∴O′C=12BO′，
∴OB=O′C．
∴⊙O和⊙O′为半径相等的圆，
∴等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；
【小问3详解】
解：①▵ABC的准切圆与AC，BC边相切时，O，O′为准切圆的圆心，如图，

∵O为准切圆的圆心，此时⊙O过点A，OE⊥BC，AO⊥AC，OE=AO
∴CO平分∠ACB，
∵∠ACB=90∘，
∴四边形ACEO是矩形，
∴∠ACO=∠BCO=45∘．
此时四边形ACEO是正方形，
所以半径OE=AO=AC=3；
∵O′为准切圆的圆心，
由题意：此时⊙O′过点B，O′B⊥BC，FO′⊥直线AC，
∵O′B=FO′
∴CO′平分∠ACB，
∴∠ACO′=∠BCO′=45∘．
∵∠ACB=90∘，O′B⊥BC，FO′⊥直线AC，
∴四边形FCBO′是矩形，
∵∠ACO′=∠BCO′=45∘．
此时四边形FCBO′是正方形，
所以半径O′F=BO′=BC=4；
∴▵ABC的准切圆与直线AC，直线BC边相切时，它的准切圆的半径长为3或4；
②▵ABC的准切圆与直线AC，直线AB边相切时，O，O′为准切圆的圆心，过点O作OD⊥AB于点D，如图，

AB= AC2+BC2=5
∵O为准切圆的圆心，此时CO=DO，且CO⊥AC，OD⊥AD
∴AO平分∠CAB，
设OC=OD=x，则OB=4−x
∵∠ODB=∠C=90∘，∠OBD=∠ABC，
∴▵OBD∽▵ABC，
∴ODAC=OBAB，
∴x3=4−x5，
∴x=32．
∴OC=32．
∵O′为准切圆的圆心，此时FO′=BO′，且O′B⊥AB，FO′⊥直线AC，
∴AO平分∠CAB，
设O′F=O′B=x，则OB=4−x
因为OC=OD=32．
∵tan∠ABC=ODBD=ACBC=34
则32BD=34
故BD=2，
∴AD=AB−BD=3．
∵OD⊥AB，O′B⊥AB，
∴OD//O′B，
∴▵AOD∽▵AO′B，
∴ODO′B=ADAB，
∴32O′B=35．
∴O′B=52．
∴▵ABC的准切圆与AC，AB边相切时，它的准切圆的半径长为32或52；
③▵ABC的准切圆与AB，BC边相切时，O，O′为准切圆的圆心，过点O作OD⊥AB于点D，如图，

AB= AC2+BC2=5
∵O为准切圆的 圆心，
∴BO平分∠CBA，
∵OC⊥BC，OD⊥AB，
∴OC=OD．
设OC=OD=y，则OA=3−y
∵∠ODA=∠C=90∘，∠OAD=∠BAC，
∴▵OAD∽▵BAC，
∴ODBC=OAAB，
∴y4=3−y5，
∴y=43．
∴OC=OD=43．
同理可求：AD=1，
∴BD=AB−AD=4，
∵OD⊥AB，O′A⊥AB，
∴OD//O′A，
∴▵DOB∽▵AO′B，
∴ODO′A=BDAB，
∴43O′A=45，
∴O′A=53．
∴▵ABC的准切圆与直线BC，直线AB边相切时，它的准切圆的半径长为43或53．
综上，满足条件的圆半径有r1=3，r2=4，r3=53，r4=43r5=32,r6=52．

【解析】【分析】(1)利用准切圆的定义作出△ABC的一个准切圆即可；
(2)分别作出等边三角形的准切圆与它的外接圆，依据图形写出已知，求证，在证明一项里写出推理过程：利用等边三角形的性质，三角形的内接圆的性质，三角形的准切圆的定义和圆的切线的性质，分别求得两圆的半径即可得出结论；
(3)利用分类讨论的思想方法，利用直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的性质，三角形的外接圆，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图，本题是新定义型，准确理解新定义并熟练应用是解题的关键．
环数
5
6
7
8
9
10
次数
2
3
4
5
5
1
批次
6
7
8
9
10
生产线A的合格产品数量/个
85
86
86
86
87
生产线B的合格产品数量/个
92
94
94
98
92