2023-2024学年江苏省苏州市震泽中学小杨班八年级（下）数学三月份学情调研试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市震泽中学小杨班八年级（下）数学三月份学情调研试卷(含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某同学为了解扬州火车站今年“春运”期间每天乘车人数，随机抽查了其中5天的乘车人数．所抽查的这5天的乘车人数是这个问题的( )
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本容量
2.在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”.这个事件是
( )
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定性事件
3.下列说法正确的是( )
A. 成中心对称的两个图形全等
B. 全等的两个图形成中心对称
C. 成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称
D. 关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称
4.某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
5.如图，在▵ABC中，点D是边BC上的点(与B、C两点不重合)，过点D作DE//AC,DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是
( )
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B. 若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
C. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
6.如图，在▵ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，▵ABD，△ACE，▵BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE=150°；④S四边形AEFD=8.正确的个数是
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如图，正方形ABCD的边长为1，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG，设DE=m1，点F、G与点C的距离分别为m2，m3，则m1+m2+m3的最小值为
( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
8.如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C、D，若点D的横坐标为1，BE=3DE.则k的值为
( )
A. 52B. 3C. 154D. 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______(填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”)．
10.在一次调查中，出现A种情况的 频率为0.3，其余情况出现的频数之和为63，这次调查的总数为________
11.已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数关系式是_____．
12.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A2,3，Bm,−2，则不等式ax+b>kx的解集是________．
13.如图，点A是双曲线y=4x在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．
14.菱形ABCD的周长为8，∠ABC+∠ADC=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABE，连接CE，则CE的长是______．
15.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是3,3，点E、F分别在边BC、BA上，CE=1，若∠EOF=45∘，则F点的纵坐标是________．
16.边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y=k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y=k2x的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则SΔOCD=__________．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：
(1)本次一共调查了__________名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)求扇形统计统计图中A部分所对应的圆心角度数；
(4)该校共有学生2000人，大约多少学生喜欢读《三国演义》？
18.(本小题8分)
世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环(每个队都与该小组的其他队比赛一场)比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
(1)求每小组共比赛多少场？
(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？
19.(本小题8分)
如图，已知▵ABC的三个顶点的坐标分别为A−2,3，B−6,0，C−1,0，将▵ABC绕原点O顺时针旋转90∘得到▵A′B′C′．
(1)画出▵A′B′C′，并直接写出点A的对应点A′的坐标；
(2)请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
20.(本小题8分)
已知反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A2,3．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)判断点B−1,6是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
(3)点Cx1,y1，Dx2,y2是图象上的两点，若x121.(本小题8分)
如图，在等腰▵ABC中，AB=BC，∠BAC=α，将▵ABC绕点A逆时针旋转2α，得到▵ADE，连接BE．
(1)求证：BE=BC．
(2)四边形ABED是什么形状的四边形？并说明理由．
(3)直接写出：当α分别是多少度时，①BE⊥AC；②BE//AC．
22.(本小题8分)
如图，点E在正方形ABCD的AD边上(不与点A，D重合)，连接EC，将▵DEC沿EC翻折，使点D落在点F处，作射线DF交CE于点M，交AB于点N，连接BF．
(1)求证：▵ADN≌▵DCE；
(2)过点A作AH//BF交射线DN于点H．
①求∠AHF的度数；
②直接写出线段AH与FM之间的数量关系．
23.(本小题8分)
在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x(cm)(0
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．

(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A(−3,0)，B(0,1)，C(m，n).
(1)请直接写出C点坐标．
(2)将△ABC 沿x轴的正方向平移t个单位，B′、C′两点的对应点、正好落在反比例函数y=kx在第一象限内图象上．请求出t，k的值．
(3)在(2)的条件下，问是否存x轴上的点M和反比例函数y=kx图象上的点N，使得以B′、C′、M、N为顶点的四边形构成平行四边形?如果存在，请求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？
代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试．
(1)性质：反比例函数y=3x的图像是中心对称图形，对称中心是原点．
证明：在函数上任取一点Ax,3x，
则点A关于原点对称的点B为(_____，______)，
∵______________________，
∴点B也在反比例函数y=3x的图像上
∵点A是反比例函数y=3x上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数y=3x的图像上
∴反比例函数y=3x的 图像是中心对称图形，对称中心是原点
(2)性质：反比例函数y=3x的图像关于直线y=x对称，关于直线y=−x对称．
运用代数推理进行证明
(3)证明：对于反比例函数y=3x，当x>0时，y随x的增大而减小．
26.(本小题8分)
定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．

【尝试初探】
(1)点C2,3______“美好点”(填“是”或“不是”)；
【深入探究】
(2)①若“美好点”Em,6(m>0)在双曲线y=kx(k≠0，且k为常数)上，则k=______；
②在①的条件下，F2,n在双曲线y=kx上，求S▵EOF的值；
【拓展延伸】
(3)我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点Px,y是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点x,y，代数式2−x⋅y−2是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
27.(本小题8分)
如图1，四边形ABCD是矩形，动点P从B出发，沿射线BC方向移动，作▵PAB关于直线PA的对称△PAB′．

(1)若四边形ABCD是正方形，直线PB′与直线CD相交于点M，连接AM．
①如图2，当点P在线段BC上(不包括B和C)，说明结论“∠PAM=45∘”成立的理由；
②当点P在线段BC延长线上，试探究：结论“∠PAM=45∘”是否总是成立？请说明理由；
(2)在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，当点P在线段BC延长线上，当△PCB′为直角三角形时，直接写出PB的长_______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查样本的定义，熟知样本是总体所抽取的一部分个体是解题的关键．
根据样本的定义即可求解．
【详解】解：某同学为了解扬州火车站今年“春运”期间每天乘车人数，随机抽查了其中5天的乘车人数．所抽查的这5天的乘车人数是这个问题的样本，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：对方出“剪刀”.这个事件是是随机事件，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据中心对称图形，中心对称的概念和性质和轴对称图形以及全等图形的概念对各选项进行判断．
【详解】解：A.成中心对称的两个图形全等，故本选项正确；
B.全等的两个图形不一定成中心对称，故本选项错误；
C.成中心对称的两个图形不一定关于某条直线对称，故本选项错误；
D.关于某条直线成轴对称的两个图形不一定关于某一点成中心对称，故本选项错误；
故选A．
4.【答案】C
【解析】【详解】解：由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=100x，
然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定．
由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【详解】解：A、若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形，原说法错误；
B、若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形，原说法错误；
C、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形，原说法错误；
D、若AD平分∠BAC，∠EAD=∠FAD，由DE/​/AC得∠EDA=∠FAD，则∠EDA=∠EAD，故有AE=ED，四边形AEDF是平行四边形，则四边形AEDF是菱形，原说法正确；
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据AB2+AC2=BC2判断出AB⊥AC，用等边三角形的性质计算∠DFE=150°，再通过证明▵ABC≌▵DBF、▵ABC≌▵EFC证明四边形AEFD是平行四边形，作出DF边上的高求面积．
详解∵AB=3，AC=4，BC=5，3 2+42=52，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90∘，
∴AB⊥AC，
故①正确；
∵▵ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠CAE=60∘，
∴∠DAE=360∘−(∠DAB−∠BAC−∠CAE)
=360∘−(60∘−90∘−60∘)
=150∘
故③正确；
∵▵ABD，▵BCF都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，
∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60∘，
∴∠DBF=∠ABC
在▵ABC与▵DBF中，
BD=BA∠DBF=∠ABCBF=BC
∴▵ABC≌▵DBF
∴AC=DF=AE=4
∵▵ABD，△ACE都是等边三角形，
∴CA=CE，BC=FC，
∠ACB+∠ACF=∠ECF+∠ACF=60∘，
∴∠ACB=∠ECF
在▵ABC与▵EFC中，
BC=FC∠ACB=∠ECFCA=CE
∴▵ABC≌▵EFC
∴AB=EF=AD=3
∴四边形AEFD是平行四边形；
故②正确．
如图所示，过A作AG⊥DF于点G，则∠AGD=90∘，
∠FDA=180∘−∠DEF=180∘−150∘=30∘，
∴AG=12AD=32，
∴S▱AEFD=DF⋅AG=4×32=6；
故④错误．
综上所述，正确的选项为3个．
故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】连接AC、AE、CF、CG，证▵ADE≌▵CDG得，AE=CG，则m1+m2+m3=DE+CF+CG=EF+CF+AE，故当A、E、F、C四点共线有最小值，最小值为线段AC长，求解即可求出答案．
【详解】解：连接AC、AE、CF、CG，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=CD，DE=DG=EF，∠ADC=∠EDC=90∘，
∴∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDG，
在▵ADE和▵CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG,
∴▵ADE≌▵CDG，
∴AE=CG，
∴m1+m2+m3=DE+CF+CG=EF+CF+AE，
当点A、E、F、C在同一直线上时(此时点F与点C重合)，
DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，
在Rt▵ABC中，
AC= AB2+BC2= 12+12= 2
∴m1+m2+m3的最小值为： 2．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】过点D作DF⊥BC于点F，设BC=x，在Rt△DFC中利用勾股定理列方程即可求出x，然后设OB=a，即可表示出C，D的坐标，再代入y=kx可求出a，k的值．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵点D的横坐标为1，
∴BF=DE=1，
∴DF=BE=3DE=3，
设BC=x，则CD=x，CF=x−1，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2=CD2，
∴32+(x−1)2=x2，
解得：x=5．
设OB=a，
则点D坐标为(1,a+3)，点C坐标为(5,a)，
∵点D、C在双曲线上
∴1×(a+3)=5a
∴a=34，
∴点C坐标为(5,34)，
∴k=154．
故选：C．
9.【答案】随机事件
【解析】【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，
意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．
故答案为：随机事件．
10.【答案】90
【解析】【分析】本题考查频数与频率，掌握频率=频数÷总数是正确解答的前提，求出“其余情况出现的频率”是解决问题的关键．
求出“其余情况出现的频率”再利用频率=频数÷总数进行计算即可．
【详解】解：63÷1−0.3=90，
故答案为：90．
11.【答案】h=r5(r>0)
【解析】【详解】解：由题意得2πrh=10π，
所以h=5r．
故答案为：h=r5(r>0)
12.【答案】−32
【解析】【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
先求得m的值，然后观察函数图象即可求解．
【详解】解：由题意可得−2m=2×3，解得m=−3
∴B−3,−2，
观察图像可得，当−32时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式ax+b>kx的解集为−32，
故答案为：−32．
13.【答案】y=−4x
【解析】【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，设A点坐标为a,4a，再证明△COD≌△OAE(AAS)，表示C点坐标为−4a,a，从而可得答案．
【详解】解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
设A点坐标为a,4a，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=4x的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中
∠CDO=∠OEA∠DCO=∠EOACO=OA
∴△COD≌△OAE(AAS)，
∴OD=AE=4a，CD=OE=a，
∴C点坐标为−4a,a，
∵−4a•a=−4，
∴点C在反比例函数y=−4x图象上．
故答案为：y=−4x
14.【答案】 6或2− 2
【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①如图，当点E在AB上方时，求出∠EBC=90°，然后利用勾股定理求出CE即可；②如图，当点E在AB下方时，过点A作AE⊥BC交BC于E，则△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，根据CE=BC−BE求解即可．
【详解】解：①如图，当点E在AB上方时，连接CE，则∠ABE=45°，
∵菱形ABCD的周长为8，∠ABC+∠ADC=90°，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠ADC=45°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°，
∵AE2+BE2=AB2，AE=BE，
∴2BE2=4，即BE2=2，
∴CE= BE2+BC2= 2+4= 6；
②如图，当点E在AB下方时，过点A作AE⊥BC交BC于E，则△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，
由①可知BE2=2，BC=2，
∴BE= 2，
∴CE=BC−BE=2− 2，
故答案为： 6或2− 2．
15.【答案】32
【解析】【分析】该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
延长BE到G，使CG=AE，连接OG，EF.由▵OAF≌▵OCGSAS，推出∠AOF=∠COG，OF=OG，由▵OFE≌▵OGESAS，推出EF=GE=AF+CE，设AF=x，则EF=1+x，BF=3−x，在Rt△EBF中，根据BE2+BF2=EF2，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图，延长BE到G，使CG=AF，连接OG，EF．
∵四边形OABC为正方形，且点B坐标为3,3，
∴OA=OC=3，∠A=∠OCG=90∘；
在△OAF与▵OCG中，
OA=OC∠OAF=∠OCGAF=CG,
∴▵OAF≌▵OCGSAS，
∴∠AOF=∠COG，OF=OG，
∴∠EOG=∠EOC+∠AOF=90∘−45∘=45∘；
在▵OFE与▵OGE中，
OF=OG∠EOF=∠GOEOE=OE,
∴▵OFE≌▵OGESAS，
∴EF=GE=CG+CE=AF+CE，
设AF=x，则EF=1+x，BF=3−x，
在Rt△EBF中，根据勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∴22+3−x2=1+x2，
∴x=32，
∴AF=32，
∴F点的纵坐标是32，
故答案为：32．
16.【答案】11948
【解析】【分析】设A4,t，利用面积法得到12×4×t=4+1，求出A点，再求出直线解析式，求出B点，再求出双曲线的解析式，求出D，C的两点，然后用矩形面积减去三个三角形面积即可．
【详解】解：设A4,t，
∵直线y=k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，
∴12×4×t=4+1，解得t=52，
∴A4,52，
把A4,52代入直线y=k1x得4k1=52，解得k1=58，
∴直线解析式为y=58x，
当x=2时，y=58x=54，则B2,54，
∵双曲线y=k2x经过点B，
∴k2=2×54=52，
∴双曲线的解析式为y=52x=52x，
当y=2时，52x=2，解得x=54，则C54,2；
当x=3时，y=52x=56，则D3,56，
∴SΔOCD=3×2−12×3×56−12×2×54−122−56×3−54=11948．
故答案为11948．
17.【答案】【详解】解：(1)本次一共调查：15÷30%=50(人)；
故答案为：50；
(2)B对应的人数为：50−16−15−7=12，
如图所示：
(3)1650×360∘=115.2∘
答：扇形统计图中A部分所对应的圆心角度数为115.2∘；
(4)2000×1650=640(人)
答：大约有640名学生喜欢读《三国演义》

【解析】【分析】(1)依据C部分的数据，即可得到本次一共调查的人数；
(2)依据总人数以及其余各部分的人数，即可得到B对应的人数；
(3)求出A所占百分比再乘以360°即可；
(4)用样本估计总体即可求解．
18.【答案】【小问1详解】
4×3÷2=6(场)
答：每小组共比赛6场．
【小问2详解】
因为总共有6场比赛，
每场比赛最多可得3分，
则6场比赛最多共有3×6=18分，
现有一队得6分，
还剩下12分，
则还有可能有2个队同时得6分，
故不能确保该队出线，因此该队出线是一个不确定事件．

【解析】【分析】(1)每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛4×3场，而每两队之间只比赛一场，因此再除以2可完成解答；
(2)结合(1)的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概念进行判断，即可完成解答．
19.【答案】小问1详解
解：如图所示▵A′B′C′为所求，
由图可知，点A′的坐标为3,2．
【小问2详解】
如图，
若AB是对角线，则点D−7,3，
若BC是对角线，则点D−5,−3，
若AC是对角线，则点D3,3，
∴第四个顶点D的坐标为−7,3或3,3或−5,−3．

【解析】【分析】本题考查了根据旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键；
(1)根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90∘对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据平行四边形的对边平行且相等，分AB、BC、AC是对角线三种情况分别写出即可．
20.【答案】【小问1详解】
解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，
∴k=2×3=6，
∴该反比例函数的表达式为y=6x．
【小问2详解】
解：点B(−1,6)不在该函数图象上，理由如下：
当x=−1时，y=6−1=−6≠6，
∴点B(−1,6)不在这个函数的图象上．
【小问3详解】
解：由k>0可知在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
①当x1y2；
②当x1<00，此时y1
【解析】【分析】(1)将点A(2,3)代入y=kx(k≠0)求k，即可得该反比例函数的表达式；
(2)当x=−1时，验证y=6是否成立；
(3)对x1与x2的正负进行分类讨论，然后根据反比例函数的图象比较y1和y2的大小．
21.【答案】【小问1详解】
证明：∵将▵ABC绕点A逆时针旋转2α，
∴∠EAC=2α，∠DAE=∠BAC=α，AD=AB，
∵∠BAC=α，
∴∠BAE=∠EAC−∠BAC=2α−α=α，
∴∠BAE=∠BAC．
∵AE=AC，AB=AB，
∴▵ABE≌▵ABCSAS，
∴BE=BC；
【小问2详解】
答：四边形ABED是菱形．
理由如下：
∵将▵ABC绕点A逆时针旋转2α，
∴AD=AB，BC=DE，
∵AB=BC，BE=BC，
∴AD=AB=BE=DE．
∴四边形ABED是菱形；
【小问3详解】
①α=30∘时BE⊥AC；
如图，当BE⊥AC时，延长EB交AC于H，
∵四边形ABED是菱形，
∴AD//BE，
∵BE⊥AC，
∴AD⊥AC，
∴∠DAC=90∘，
∵∠DAE=∠BAC=α，∠EAC=2α，
∴α+2α=90∘，
∴α=30∘；
②α=60∘时BE/​/AC
如图，当BE/​/AC，
∵四边形ABED是菱形，
∴AD//BE，
又∵BE//AC，
∴AD与AC共线，
∴∠DAE+∠EAC=180∘，
∴α+2α=180∘，
∴α=60∘．

【解析】【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
(1)由旋转的性质可得∠EAC=2α，∠DAE=∠BAC=α，由“SAS”可证▵ABE≌▵ABC，可得BE=BC；
(2)由旋转的性质可得AD=AB，BC=DE，且AB=BC，BE=BC，可证四边形ABED是菱形；
(3)由菱形的性质可求解．
22.【答案】【小问1详解】
证明：∵▵DEC沿EC翻折，点D落在点F处，
∴EF=ED，CF=CD，
∴CE垂直平分DF，
∴在Rt▵EMD中，∠DEM+∠EDM=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠DAB=90∘，AD=DC，
∴在Rt▵ECD中，∠DEC+∠ECD=90∘，
∴∠EDM=∠ECD，
∴▵ADN≌▵DCEASA；
【小问2详解】
解：①由翻折知，CD=CF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCB=90∘，
∴CD=CF=CB，
∴∠CDF=∠CFD，∠CFB=∠CBF，
∴∠DCF=180∘−(∠CDF+∠CFD)=180∘−2∠CFD，∠FCB=180∘−(∠CFB+∠CBF)=180∘−2∠CFB，
∵∠DCF+∠FCB=∠DCB=90∘，
∴180∘−2∠CFD+180∘−2∠CFB=90∘，
∴∠CFD+∠CFB=135∘，
∴∠BFN=180∘−135∘=45∘，
∵AH//BF，
∴∠AHF=∠BFN=45∘；
②连接HB，BD，
∵∠AHD=∠ABD=45∘，
∴A、H、B、D四点共圆，
∴∠BHD=∠BAD=90∘，
∴▵BHF是等腰直角三角形，
∴∠HBF=45∘，
∵∠ABD=45∘，
∴∠HBF=∠ABD，
∴∠HBA=∠FBD，
∵BFHB=BDAB= 2，
∴▵BHA∽▵BFD，
∴DFAH= 2，
∴2FMAH= 2，
∴AH= 2FM．

【解析】【分析】(1)在▵ADN与△DCE中找对应的边和角相等；
(2)①猜想∠AHF=45∘，根据AH//BF，只要说明∠BFN=45∘，再寻求角角关系；
②由∠BFN=45∘猜想▵BHF是等腰直角三角形，正方形中也可构造等腰直角三角形，利用手拉手模型证明三角形相似．
23.【答案】【小问1详解】
解∶函数图象如图所示，
【小问2详解】
解：①观察图象可知，y1可能是x反比例函数，设y1=kx(k≠0)，
把(30,10)的坐标代入y1=kx，得k=300，
经检验，其余各个点坐标均满足y1=300x，
∴y1关于x的函数表达式y1=300x；
②观察表格以及①可知，y2+5可能与x成反比例，设y2+5=mx(k≠0)，
把(30,5)的坐标代入y2+5=mx，得m=300，
经检验，其余各个点坐标均满足y2+5=300x，
∴y2关于x的函数表达式y2=300x−5；
③由图图像可知，当0故答案为：减小，减小，下；
【小问3详解】
解：当y2=19时，19=300x−5解得x=252，
当y2=45时，45=300x−5解得x=6，
∴托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围6≤x≤252．

【解析】【分析】(1)将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；
(2)①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设y=kx(k≠0)，把(30,10)的坐标代入，得k=300，再检验其余各个点是否满足即可；②根据y2+5可能与x成反比例，设y2+5=mx(k≠0)，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可．
(3)利用反比例函数的性质即可解决问题．
24.【答案】(1)如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=∠AOB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
∠ADC=∠BOA∠ACD=∠BAOAC=AB,
∴△ADC≌△BOA(AAS)，
∴AD=OB=1，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C点坐标为：(−4,3)；
(2)设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为(t,1)、C′的坐标为(t−4,3)，
∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上，
∴t=3(t−4)，
解得：t=6，
∴B′(6,1)，C′(2,3)，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x；
(3)存在，如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，
由平行四边形的对角线互相平分，可知B′C′，MN的中点为同一个点，
即3+12=yN+02，
∴yN=4代入y=6x得xN=1.5，
∴N(1.5,4)；
∵2+62=xM+1.52，
∴xM=6.5，
∴M(6.5,0)；
如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M(7,0)，N(3,2)；
如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M(−7,0)，N(−3,2)；
综上所述：存在M(6.5,0)，N(1.5,4)或M(7,0)，N(3,2)或M(−7,0)，N(−3,2)，使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形．

【解析】【分析】(1)由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标；
(2)首先设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为(t，1)、C′的坐标为(t−4，3)，由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得t=3(t−4)，继而求得m的值，则可求得各点的坐标，于是得到结论；
(3)如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，根据中点坐标公式即可得到结论．
25.【答案】【小问1详解】
性质：反比例函数y=3x的图像是中心对称图形，对称中心是原点．
证明：在函数上任取一点Ax,3x，
则点A关于原点对称的点B为−x,−3x，
∵y=3−x=−3x
∴点B也在反比例函数y=3x的图像上
∵点A是反比例函数y=3x上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数y=3x的图像上
∴反比例函数y=3x的图像是中心对称图形，对称中心是原点，
故答案为：−x,−3x，y=3−x=−3x；
【小问2详解】
证明：在y=3x任取一点Ax,3x，
则点A关于直线y=x对称的点B为3x,x，
∵y=33x=x，
∴点B也在反比例函数y=3x的图像上，
∵点A是反比例函数y=3x上的任意一点，它关于直线y=x对称的点都在反比例函数y=3x的图像上，
∴反比例函数y=3x的图像关于直线y=x对称；
在y=3x上任取一点Ax,3x，
则点A关于直线y=−x对称的点C为−3x,−x，
∵y=3−3x=−x，
∴点C也在反比例函数y=3x的图像上，
∵点A是反比例函数y=3x上的任意一点，它关于直线y=−x对称的点都在反比例函数y=3x的图像上，
∴反比例函数y=3x的图像关于直线y=−x对称．
【小问3详解】
在y=3x上任取两点Ax1,3x1,Bx2,3x20∵3x2−3x1=3x1−x2x1x2<0,
∴当x>0时，y随x的增大而减小

【解析】【分析】(1)依据证明过程补全条件即可；
(2)根据坐标中点的对称性及反比例函数的对称性及性质进行证明即可；
(2)根据反比例函数性质进行证明即可；
26.【答案】解：(1)∵2+3×2=10≠2×3=6，
∴点C2,3不是“美好点”，
故答案为：不是；
(2)①∵Em,6(m>0)是“美好点”，
∴2×m+6=6m，
解得：m=3，
∴E3,6，
将E3,6代入双曲线y=kx，
得k=18，
故答案为：18；
②∵k=18，
∴双曲线的解析式是：y=18x．
∵F(2,n)在双曲线y=kx上，
∴n=182=9，
∴F2,9，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
∴2a+b=93a+b=6,
解得a=−3b=15,
∴直线EF的解析式为：y=−3x+15，
令直线EF与x轴交于点G，
当y=0时，−3x+15=0，
解得：x=5，
∴G5,0，
画出图如图所示：

∴S▵EOF=S▵FOG−S▵EOG=12×5×9−12×5×6=152；
(3)①∵点Px,y是第一象限内的“美好点”，
∴2x+y=xy，
化简得：y=2xx−2=4x−2+2，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴x>02xx−2>0x−2≠0,
解得：x>2，
∴y关于x的函数表达式为：y=4x−2+2(x>2)；
②“对于图象上任意一点x,y，代数式2−x⋅y−2为定值．”
∵y=4x−2+2，
∴2−xy−2=2−x4x−2+2−2=−4，
∴对于图象上任意一点x,y，代数式2−x⋅y−2是为定值，定值为−4．

【解析】【分析】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
(1)验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；
(2)①根点E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；
②根据“F2,n在双曲线y=kx上”求出n，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用S▵EOF=S▵FOG−S▵EOG求S▵EOF即可；
(3)①根据点Px,y是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；
②将①中的关系式代入2−x⋅y−2得出定值，从而得解．
27.【答案】【小问1详解】
解：①∵△PAB和△PAB′关于直线PA，
∴∠AB′P=∠MB′A=∠D=∠B=90∘，AB=AB′=AD，∠B′AP=∠PAB=α，
∵AM=AM，
∴Rt▵ADM≌Rt▵AB′MHL，
∴∠DAM=∠B′AM=β，
∵∠DAB=∠DAM+∠B′AM+∠B′AP+∠BAP=2α+2β=90∘，
∴α+β=45∘，
则∠PAM=45∘=∠MAB′+∠PAB′=α+β=45∘；
②∠PAM=45∘成立，理由：
如图，

同理可得：Rt▵AMB′≌Rt▵AMDHL，
∴∠MAB′=∠MAD=β，
设∠PAB=∠PAB′=α，
则∠DAP=∠PAB′−∠B′AD=α−2β，
则∠DAB=∠DAP+∠PAB=α+α−2β=90∘，
∴α−β=45∘，
∴∠PAM=45∘；
【小问2详解】
解：如图，当∠PCB′=90∘，B′在CD的延长线上时，

在Rt▵ADB′中，DB′= AB′2−AD2= 102−62=8，
∴CB′=10+8=18，
在Rt▵PCB′中，则有：182+(BP−6)2=BP2，
解得BP=30；
如图，当∠CPB′=90∘时，

∵∠B=∠B′=∠BPB′=90∘，AB=AB′，
∴四边形AB′PB为正方形，
∴BP=AB=10，
综上所述，PB=10或30．
故答案为：10或30．

【解析】【分析】(1)证明Rt▵APB≌Rt▵APB′HL，得到∠DAM=∠B′AM=β，而∠DAB=∠DAM+∠B′AM+∠B′AP+∠BAP=2α+2β=90∘，则α+β=45∘，即可求解；
②同理可得：Rt▵AMB′≌Rt▵AMDHL，则∠DAB=∠DAP+∠PAB=α+α−2β=90∘，即α−β=45∘，即可求解；
(2)当∠PB′C为直角时，由PC2=B′C2+PB2，即可求解；当∠PCB′=90∘、∠CPB′=90∘同理可解．
托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25