微重点11圆锥曲线中二级结论的应用（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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知识导图
考点分类讲解
考点一 焦点弦问题
1．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与椭圆(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2＝α，e为椭圆的离心率，p为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p＝eq \f(a2,c)－c＝eq \f(b2,c).
(1)椭圆焦半径公式：|AF1|＝eq \f(ep,1－e·cs α)，|BF1|＝eq \f(ep,1＋e·cs α)，eq \f(1,|AF1|)＋eq \f(1,|BF1|)＝eq \f(2,ep).
(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq \f(2ep,1－e2·cs2α).
(3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝b2·tan eq \f(θ,2).
2．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与双曲线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2＝α，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p＝c－eq \f(a2,c)＝eq \f(b2,c).
图1 图2
(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|＝eq \f(ep,1＋e·cs α)，|BF1|＝eq \f(ep,1－e·cs α)，eq \f(1,|AF1|)＋eq \f(1,|BF1|)＝eq \f(2,ep).
若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|＝eq \f(ep,e·cs α＋1)，|BF1|＝eq \f(ep,e·cs α－1)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq \f(2,ep).
(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq \f(2ep,1－e2·cs2α).
若直线与双曲线交于两支，则|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq \f(2ep,e2·cs2α－1).
(3)焦点三角形的面积公式：P为双曲线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
3.已知直线 l过焦点F与抛物线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离．
(1)抛物线焦半径公式：|AF|＝eq \f(ep,1－e·cs α)＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(ep,1＋e·cs α)＝eq \f(p,1＋cs α)，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,ep)＝eq \f(2,p).
(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2ep,1－e2·cs2α)＝eq \f(2p,sin2α).
4．焦点弦定理
已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为α，eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，则曲线的离心率满足等式|ecs α|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1))).
易错提醒 (1)要注意公式中α的含义．
(2)公式中的加减符号易混淆．
(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．
【例1】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（ ）
A．，B．，2C．，D．，2
【变式1】（22-23高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·江苏·一模）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（ ）
A．B．
C．D．面积的最小值为16
【变式3】已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．2 B．2eq \r(2) C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
考点二 等角的性质
1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过长轴上任意一点 N(t,0)的弦的端点A，B与对应的点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA＝∠OGB(如图1)．
图1 图2 图3
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的弦的端点 A，B与对应点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB(如图2)．
3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过抛物线对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦的端点 A，B与对应点G(－a,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA＝∠OGB(如图3)．
规律方法 根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．
【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
【变式1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【变式2】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：；
(3)是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．
【变式3】椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2eq \r(6).
(1)求椭圆C的方程；
(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三 切线、切点弦方程
1．已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
2．若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
规律方法 运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．
【例3】（2024·湖北·二模）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

(1)若直线与轴的交点为，求证：；
(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知点是抛物线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的最小值为 ．
【变式2】(2023·锦州模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(2)))，且离心率为eq \f(\r(6),3).F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF.
(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程．
【变式3】过点Q(－1，－1)作已知直线l：y＝eq \f(1,4)x＋1的平行线，交双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1于点M，N.
(1)证明：Q是线段MN的中点；
(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；
(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．
强化训练
一、单选题
1．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2022·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·二模）已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论：
①C的离心率为2；
②C的焦点弦最短为6；
③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；
④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2024·全国·一模）新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两相交线）的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
附：椭圆上一点处的切线方程为．
A．B．
C．D．和的大小关系无法确定
6．（23-24高二上·北京东城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高三下·重庆·开学考试）设为抛物线的焦点，为上一点且在第一象限，在点处的切线交轴于，交轴于，若，则直线的斜率为（ ）
A．－2B．C．D．
8．（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（ ）个．
①
②
③若点与点关于轴对称，则的面积为
④当时，内切圆的面积为
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
1．（2024·河南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（ ）
A．的渐近线方程为B．
C．直线的斜率为D．的坐标为或
2．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则（ ）
A．双曲线的实轴长为B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为D．双曲线在点处切线的斜率为
3．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知，是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（ ）
A．的最小值为1
B．
C．若直线与曲线有公共点，则
D．对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在，两点处的切线垂直
三、填空题
1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 .
3．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
四、解答题
1．（2023高三·全国·专题练习）设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，求双曲线的离心率．
2．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
3．（2024·福建·模拟预测）在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.
(1)求直线CD与平面所成角的大小；
(2)设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
4．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点．