微重点10 离心率的范围问题（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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知识导图
考点分类讲解
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
【例1】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】(2023·亳州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为__________．
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．
【例2】（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线：，椭圆与抛物线相交于不同的两点，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点P，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1,1＋eq \r(2)) B．(1,1＋eq \r(3))
C．(1,1＋eq \r(2)] D．(1,1＋eq \r(3)]
考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围
规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．
【例3】(2023·无锡模拟)已知点P在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d2≤eq \f(1,2)|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
【变式1】（2022高三上·河南·专题练习）已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高三上·广东·阶段练习）过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点为坐标原点，若，又直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知两动点，在椭圆：上，动点P在直线上，若恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
强化训练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川攀枝花·三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
1．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6D．的离心率的取值范围为
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．的最小值为4
C．不存在点，使得
D．当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为1
3．（2023·广东汕头·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为2
C．椭圆的离心率等于D．的取值范围为
三、填空题
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）抛物线的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 .
2．（2023·广东·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 .
3．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为 .
四、解答题
1．（21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且.
(1)用a表示；
(2)若是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.
2．（2023·上海奉贤·三模）已知双曲线T：离心率为e，圆O：．
(1)若e=2，双曲线T的右焦点为，求双曲线方程；
(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求的值；
(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有，求离心率e的取值范围．
3．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于A，B两点.
(1)若，求的离心率的取值范围；
(2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围.
4．（2023·上海徐汇·一模）已知双曲线的离心率为．
(1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
(2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
(3)设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．
5．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知坐标平面上左、右焦点为，的双曲线和圆．
(1)若的实轴恰为的一条直径，求的方程；
(2)若的一条渐近线为，且与恰有两个公共点，求a的值；
(3)设，若存在上的点，使得直线与恰有一个公共点，求的离心率的取值范围．