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2024年安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学中考数学模拟试卷+
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这是一份2024年安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学中考数学模拟试卷+，共22页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3B．﹣3.5C．0D．|﹣5|
2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（ ）
A．115×104B．115×105C．1.15×106D．1.15×107
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a8÷a2＝a6D．（﹣a2）3＝a6
4．（4分）下列四个几何体中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABE＝∠FCBB．∠GAC＝∠GCAC．FG＝GCD．BF＝BH
7．（4分）某超市销售一种袋装大米，在包装袋上标有净重：25±0.25（kg）．一次，主管部门对超市预销售的500袋这种大米进行重量检测，从中随机抽取了10袋，测得他们的重量如下（单位：kg，包装袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．采用的调查方式是全面调查
B．总体中重量的达标率一定是80%
C．样本的中位数是25.2kg
D．样本的平均数是25.1kg
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（ ）
A．62°B．59°C．56°D．45°
9．（4分）已知关于x的函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AB边上的动点，连接OE，DE，DE交AO于点F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，则下列结论中错误的是（ ）
A．DE的最小值是
B．∠DEO总小于60°
C．当点E是AB的中点时，△EOF的面积是
D．△DOE周长的最小值是+3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）代数式有意义时，x应满足的条件为 ．
12．（5分）因式分解：a3﹣a＝ ．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边AB∥x轴，OA＝AB，点B关于直线OA的对称点B′的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AC的中点，点M在BC边上，且满足，MP⊥BD，垂足为N，交AB于点P．
（1）cs∠DBC的值为 ；
（2）的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
18．（8分）如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG＝1米，已知楼AB高25米，求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cs33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；
（2）根据上述等式规律写出第n个等式；
（3）证明（2）中你所写等式的正确性．
20．（10分）已知AB是半径为r的⊙O的直径，C，D分别为⊙O上的两个动点（A，B两点除外，且在直径AB的同侧），CE⊥AB于点E，F是CD的中点．
（1）如图1，若CD∥AB，求证：EF＝r；
（2）如图2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的长的最大值．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校九年级举行了“爱我中华，学习强国”党史知识测试，并把成绩分成A、B、C、D四个等级，学校决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了一个班的成绩进行统计，并绘制了两幅不完整的统计图如图：
根据信息解答：
（1）填空：该班共有 名学生，扇形统计图中，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校九年级一共有600名学生，估计该校九年级需要参加培训的学生有多少名？
（3）该班成绩为D等级的5名同学中，有2名是男生，3名是女生，从中任选两名参加第一批培训，请利用画树状图或列表法，求选中的两名同学恰好都是男生的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝∠BAE．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若AE⊥BC，求证：BD2＝4CD•BE．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（1，0）和点C（3，0），直线l：y＝kx+2k+3经过定点D．
（1）求a和b的值及点D的坐标；
（2）如图1，当k＝﹣1时，位于直线l上方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥y轴交直线l于点M，求PM的最大值；
（3）如图2，连接并延长AB，将射线AB绕点A顺时针旋转45°后，与抛物线相交于点E，求点E的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（4分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3B．﹣3.5C．0D．|﹣5|
【分析】根据两个负数比较，绝对值小的反而大，负数小于0，0小于正数，即可解答．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣3.5|＝3.5，
∴3.5＞3，
∴﹣3.5＜﹣3，
∵|﹣5|＝5，
∴在﹣3，﹣3.5，0，|﹣5|这四个数中，﹣3.5＜﹣3＜0＜|﹣5|，
∴最小的是﹣3.5，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数大小比较，绝对值，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键．
2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（ ）
A．115×104B．115×105C．1.15×106D．1.15×107
【分析】用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【解答】解：1150万＝11500000，用科学记数法表示为1.15×107．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定是关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a8÷a2＝a6D．（﹣a2）3＝a6
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项和幂的乘方与积的乘方法则进行逐项判断即可．
【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故不能进行合并，不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、a8÷a2＝a6，故该项正确，符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（4分）下列四个几何体中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单几何体的主视图的性质结合轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A．圆锥体的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，因此选项A符合题意；
B．正方体的主视图是正方形，正方形既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项B不符合题意；
C．圆柱体的主视图是长方形，长方形既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项C不符合题意；
D．球体的主视图是圆，圆既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体主视图的形状以及中心对称图形、轴对称图形的定义是正确解答的关键．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：
解①得：x＞﹣3，
解②得：x≤2，
故不等式的解集为：﹣3＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．
6．（4分）如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABE＝∠FCBB．∠GAC＝∠GCAC．FG＝GCD．BF＝BH
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可．
【解答】解：A、∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACB＞∠FCB，故本选项说法错误，不符合题意；
B、当△ABC为等腰直角三角形时，AB≠AC，
∵AD是中线，
∴AD不是角平分线，
∴∠GAC≠∠GCA，故本选项说法错误，不符合题意；
C、∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
当FG＝GC时，DG是△CBF的中位线，
则GD∥BF，故本选项说法错误，不符合题意；
D、∵∠ACF＝∠BCF，∠BFC＝90°﹣∠BCF，∠BHF＝∠EHC＝90°﹣∠ACF，
∴∠BFC＝∠BHF，
∴BF＝BH，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念是解题的关键．
7．（4分）某超市销售一种袋装大米，在包装袋上标有净重：25±0.25（kg）．一次，主管部门对超市预销售的500袋这种大米进行重量检测，从中随机抽取了10袋，测得他们的重量如下（单位：kg，包装袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．采用的调查方式是全面调查
B．总体中重量的达标率一定是80%
C．样本的中位数是25.2kg
D．样本的平均数是25.1kg
【分析】根据全面调查与抽样调查、样本估计总体、中位数的概念、平均数的计算公式计算，判断即可．
【解答】解：A、采用的调查方式是抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、总体中重量的达标率大约是80%，而不是一定是80%，故本选项说法错误，不符合题意；
C、样本的中位数是25.15kg，故本选项说法错误，不符合题意；
D、样本的平均数为：（25.1+25.4+24.9+25.2+25.2+25.2+25.0+24.7+25.1+25.2）＝25.1（kg），本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中位数、平均数、全面调查与抽样调查以及样本估计总体，掌握相关的概念是解题的关键．
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（ ）
A．62°B．59°C．56°D．45°
【分析】连接OB，由切线的性质求得∠ABO＝90°，则∠BOC＝∠A+∠ABO＝118°，所以∠D＝∠BOC＝59°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝28°，
∴∠BOC＝∠A+∠ABO＝28°+90°＝118°，
∴∠D＝∠BOC＝×118°＝59°，
故选：B．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（4分）已知关于x的函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，
∴当a＝0时，此时y＝﹣x﹣1与两坐标轴两个交点，
当a≠0时，则或，
解得，a＝或a＝1，
由上可得，a的值是0，或1，共4个．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
10．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AB边上的动点，连接OE，DE，DE交AO于点F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，则下列结论中错误的是（ ）
A．DE的最小值是
B．∠DEO总小于60°
C．当点E是AB的中点时，△EOF的面积是
D．△DOE周长的最小值是+3
【分析】由题可证△ADB是直角三角形，A．当DE⊥AB时，DE取最小值，可得DE的 最小值是3；B．如图1，过点O作OG⊥BD交AB于G，连接DG，易知∠DGO＝60°．以DG为直径画⊙P交AB于点H，当E与G或H重合时，∠DEO＝60°，当点E在线段GH上（不含端点），∠DEO大于 60°；C．易得▱ABCD 的面积为 ，当E是AB的中点时，△AOE的面积为 ，OE∥AD，则，可得△EOF的面积是为 ；D．如图2，作D关于AB 的对称点D′，连接OD′，交AB于E，此时△DOE 的周长取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，则∠ODD'＝60°，推出∠DOD'＝90°，OD'＝DD'•sin60°＝3，此时△DOE 的周长＝．
【解答】解：由题可知△ADB是直角三角形，，
A．当DE⊥AB时，DE取最小值，可得DE的 最小值是3；
B．如图1，过点O作OG⊥BD交AB于G，
连接DG，则∠DGO＝60°．
以DG为直径画⊙P交AB于点H，
当E与G或H重合时，∠DEO＝60°，
当点E在线段GH上（不含端点），∠DEO大于60°；
C．易得▱ABCD的面积为 ，
当E是AB的中点时，△AOE的面积为 ，OE∥AD，
∴，
可得△EOF的面积是为 ；
D．如图2，作D关于AB 的对称点D′，
连接OD′，交AB于E，此时△DOE的周长取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，
∴∠ODD'＝60°，
∴∠DOD'＝90°，OD'＝DD'•sin60°＝3，
此时△DOE 的周长＝．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积．平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）代数式有意义时，x应满足的条件为 x≥0且x≠1 ．
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【解答】解：由题意得，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
12．（5分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边AB∥x轴，OA＝AB，点B关于直线OA的对称点B′的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ．
【分析】过点B作x轴的垂线，根据轴对称的性质求出点B的坐标即可解决问题．
【解答】解：过点B作x轴的垂线，垂足为M，
因为点B和点B′关于OA对称，
所以∠B′OA＝∠BOA，OB＝OB′．
因为AO＝AB，
所以∠AOB＝∠ABO，
又因为AB∥x轴，
所以∠ABO＝∠BOM，
所以∠AOB＝∠BOM，
所以∠B′OA＝∠AOB＝∠BOM＝30°．
因为点B′的坐标为，
所以OB＝OB′＝．
在Rt△BOM中，
sin30°＝，
所以BM＝，
所以OM＝，
则点B的坐标为（3，）．
将点B坐标代入y＝得，
k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化﹣对称，熟知反比例函数的图象和性质及轴对称的性质是解题的关键．
14．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AC的中点，点M在BC边上，且满足，MP⊥BD，垂足为N，交AB于点P．
（1）cs∠DBC的值为 ；
（2）的值为 ．
【分析】（1）设CM＝a，则BM＝5a，根据勾股定理求出BD＝3a，再根据余弦定义求解即可；
（2）延长PM，交AC的延长线于点E，过点A作AF∥BC交MP的延长线于点F，结合直角三角形的性质求出∠DBC＝∠E，∠ECM＝∠BCD＝90°，则△EMC∽△BDC，根据相似三角形的性质得出＝，设CM＝a，则BM＝5a，CD＝3a，根据比例的性质求出CE＝2a，根据平行线的性质推出△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，根据相似三角形的性质等量代换求解即可．
【解答】解：（1）设CM＝a，则BM＝5a，
∴BC＝CM+BM＝6a，
∵AC＝BC，
∴AC＝6a，
∵点D为AC的中点，
∴CD＝3a，
∵∠C＝90°，
∴BD＝＝3a，
∴cs∠DBC＝＝＝，
故答案为：；
（2）如图，延长PM，交AC的延长线于点E，过点A作AF∥BC交MP的延长线于点F，
∵∠ACB＝90°，MP⊥BD于N，
∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠E＝90°，
∴∠DBC＝∠E，
又∵∠ECM＝∠BCD＝90°，
∴△EMC∽△BDC，
∴＝，
设CM＝a，则BM＝5a，CD＝3a，
∴＝，
∴CE＝2a，
∵AF∥BC，
∴△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，
∴＝＝＝，＝，
∴AF＝4a，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】先计算二次根式、负整数指数幂和平方，再计算加减．
【解答】解：
＝﹣4+2+3
＝1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
16．（8分）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
【分析】设“青年志愿团”原计划每小时植树x棵，根据开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设“青年志愿团”原计划每小时植树x棵，
由题意得：﹣＝2，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
答：“青年志愿团”原计划每小时植树20棵．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）利用点平移的规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
18．（8分）如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG＝1米，已知楼AB高25米，求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cs33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）
【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，从而可得∠EAD＝∠ADB＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD长，从而在Rt△CFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ADB＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝25米，
∴BD＝＝25（米），
∴CF＝BD＝25米，
在Rt△CFG中，∠FCG＝33.5°，
∴FG＝CF•tan33.5°≈25×0.66＝16.5（米），
∵BG＝1米，
∴CD＝BF＝BG+FG＝1+16.5≈18（米），
∴楼CD的高度约为18米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；
（2）根据上述等式规律写出第n个等式；
（3）证明（2）中你所写等式的正确性．
【分析】（1）根据前几个等式，可得第5个等式：＝；
（2）第n个等式：＝；
（3）证明等式左边等于等式右边即可．
【解答】解：（1）＝；
（2）＝；
（3）∵左边＝＝＝＝＝右边，
∴等式成立．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键．
20．（10分）已知AB是半径为r的⊙O的直径，C，D分别为⊙O上的两个动点（A，B两点除外，且在直径AB的同侧），CE⊥AB于点E，F是CD的中点．
（1）如图1，若CD∥AB，求证：EF＝r；
（2）如图2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的长的最大值．
【分析】（1）连接OF、OC，证明四边形OECF是矩形即可解答；
（2）延长CE交⊙O于点G，连接DG，首先证明点E是CG的中点，得出EF＝DG，进而在DG取得最大值时求出EF的最大值．
【解答】（ 1）证明：如图1，连接OF，OC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEO＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD＝90°＝∠CEO，
∵F是CD的中点，
∴OF⊥CD，
∴∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴EF＝OC＝r；
（2）解：如图2，延长CE交⊙O于点G，连接DG，
∵AB是半径为r的⊙O的直径，AB⊥CG于点E，
∴E是CG的中点，
又∵F是CD的中点，
∴EF＝DG，
又∵DG的最大值为2r＝10，
∴EF的长的最大值是5．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校九年级举行了“爱我中华，学习强国”党史知识测试，并把成绩分成A、B、C、D四个等级，学校决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了一个班的成绩进行统计，并绘制了两幅不完整的统计图如图：
根据信息解答：
（1）填空：该班共有 40 名学生，扇形统计图中，C等级对应扇形的圆心角的度数为 99° ；
（2）若该校九年级一共有600名学生，估计该校九年级需要参加培训的学生有多少名？
（3）该班成绩为D等级的5名同学中，有2名是男生，3名是女生，从中任选两名参加第一批培训，请利用画树状图或列表法，求选中的两名同学恰好都是男生的概率．
【分析】（1）根据A等级的人数以及占比即可求出参加知识测试的总人数；先求出C等级的人数，然后根据C等级人数得占比即可求出对应的圆心角度数．
（2）用总人数乘以样本中D等级的人数占比即可求出答案．
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该班的学生数为：8÷20%＝40（名），
C等级的人数为：40﹣8﹣16﹣5＝11（名），
C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝99°．
故答案为：40，99°；
（2）600×＝75（名），
估计该校九年级需要参加培训的学生有75名；
（3）根据题意画图如下：
共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好都是男生的结果有2种，
∴被选中的两名学生恰好都是男生的概率为．
【点评】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝∠BAE．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若AE⊥BC，求证：BD2＝4CD•BE．
【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出∠BAE＝∠OBA，等量代换得出∠CBD＝∠OBA，结合平行线的性质求出∠CDB＝∠CBD，根据等腰三角形的判定即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠COD＝90°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△COD∽△OEB，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】证明：（1）∵∠DAB＝90°，O是BD的中点，
∴OA＝OB，
∴∠BAE＝∠OBA，
∵∠CBD＝∠BAE，
∴∠CBD＝∠OBA，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠OBA，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD；
（2）如图，连接OC，
∵BC＝CD，O是BD的中点，
∴OC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠COD＝∠AEB，
由（1）知，∠CDB＝∠CBD，
∴△COD∽△OEB，
∴＝，
∴OD•OB＝CD•BE，
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB＝BD，
∴BD2＝CD•BE，
∴BD2＝4CD•BE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出OA＝OB是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（1，0）和点C（3，0），直线l：y＝kx+2k+3经过定点D．
（1）求a和b的值及点D的坐标；
（2）如图1，当k＝﹣1时，位于直线l上方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥y轴交直线l于点M，求PM的最大值；
（3）如图2，连接并延长AB，将射线AB绕点A顺时针旋转45°后，与抛物线相交于点E，求点E的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，由y＝kx+2k+3＝k（x+2）+3，即可求解；
（2）由PM＝﹣x2+4x﹣3﹣（﹣x+1）＝﹣（x﹣2.5）2+2.25≤2.25，即可求解；
（3）证明△TNB≌△AMT（AAS），则BN＝TM且NT＝AM，求取T（2，﹣2），进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx﹣3，
则3a＝﹣3，
则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
∵y＝kx+2k+3＝k（x+2）+3，
则点D（﹣2，3）；
（2）当k＝﹣1时，直线l的表达式为：y＝﹣x+1，如题干图，
设点P（x，﹣x2+4x﹣3），则点M（x，﹣x+1），
则PM＝﹣x2+4x﹣3﹣（﹣x+1）＝﹣（x﹣2.5）2+2.25≤2.25，
故PM的最大值为2.25；
（3）过点B作BT⊥AE于点T（x，y），
∵∠BAE＝45°，则△ABT为等腰直角三角形，
则AT＝BT，
过点T作x轴的垂线交x轴于点N，交点A和x轴的平行线于点M，
∵∠BTN+∠ATM＝90°，∠ATM+∠MAT＝90°，
∴∠BTN＝∠MAT，
∵∠TNB＝∠AMT＝90°，
∴△TNB≌△AMT（AAS），
则BN＝TM且NT＝AM，
即x﹣1＝y+3且﹣y＝x，
解得：x＝2＝﹣y，
即点T（2，﹣2），
由点A、T的坐标得，直线AT的表达式为：y＝x﹣3，
将上式和抛物线的表达式联立得：﹣x2+4x﹣3＝x﹣3，
解得：x＝0（舍去）或，
则点E（，﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、函数过定点、线段长度的表示方法等，有一定的综合性，难度适中．
1．（4分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3B．﹣3.5C．0D．|﹣5|
2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（ ）
A．115×104B．115×105C．1.15×106D．1.15×107
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a8÷a2＝a6D．（﹣a2）3＝a6
4．（4分）下列四个几何体中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABE＝∠FCBB．∠GAC＝∠GCAC．FG＝GCD．BF＝BH
7．（4分）某超市销售一种袋装大米，在包装袋上标有净重：25±0.25（kg）．一次，主管部门对超市预销售的500袋这种大米进行重量检测，从中随机抽取了10袋，测得他们的重量如下（单位：kg，包装袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．采用的调查方式是全面调查
B．总体中重量的达标率一定是80%
C．样本的中位数是25.2kg
D．样本的平均数是25.1kg
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（ ）
A．62°B．59°C．56°D．45°
9．（4分）已知关于x的函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AB边上的动点，连接OE，DE，DE交AO于点F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，则下列结论中错误的是（ ）
A．DE的最小值是
B．∠DEO总小于60°
C．当点E是AB的中点时，△EOF的面积是
D．△DOE周长的最小值是+3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）代数式有意义时，x应满足的条件为 ．
12．（5分）因式分解：a3﹣a＝ ．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边AB∥x轴，OA＝AB，点B关于直线OA的对称点B′的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AC的中点，点M在BC边上，且满足，MP⊥BD，垂足为N，交AB于点P．
（1）cs∠DBC的值为 ；
（2）的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
18．（8分）如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG＝1米，已知楼AB高25米，求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cs33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；
（2）根据上述等式规律写出第n个等式；
（3）证明（2）中你所写等式的正确性．
20．（10分）已知AB是半径为r的⊙O的直径，C，D分别为⊙O上的两个动点（A，B两点除外，且在直径AB的同侧），CE⊥AB于点E，F是CD的中点．
（1）如图1，若CD∥AB，求证：EF＝r；
（2）如图2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的长的最大值．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校九年级举行了“爱我中华，学习强国”党史知识测试，并把成绩分成A、B、C、D四个等级，学校决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了一个班的成绩进行统计，并绘制了两幅不完整的统计图如图：
根据信息解答：
（1）填空：该班共有 名学生，扇形统计图中，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校九年级一共有600名学生，估计该校九年级需要参加培训的学生有多少名？
（3）该班成绩为D等级的5名同学中，有2名是男生，3名是女生，从中任选两名参加第一批培训，请利用画树状图或列表法，求选中的两名同学恰好都是男生的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝∠BAE．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若AE⊥BC，求证：BD2＝4CD•BE．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（1，0）和点C（3，0），直线l：y＝kx+2k+3经过定点D．
（1）求a和b的值及点D的坐标；
（2）如图1，当k＝﹣1时，位于直线l上方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥y轴交直线l于点M，求PM的最大值；
（3）如图2，连接并延长AB，将射线AB绕点A顺时针旋转45°后，与抛物线相交于点E，求点E的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（4分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3B．﹣3.5C．0D．|﹣5|
【分析】根据两个负数比较，绝对值小的反而大，负数小于0，0小于正数，即可解答．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣3.5|＝3.5，
∴3.5＞3，
∴﹣3.5＜﹣3，
∵|﹣5|＝5，
∴在﹣3，﹣3.5，0，|﹣5|这四个数中，﹣3.5＜﹣3＜0＜|﹣5|，
∴最小的是﹣3.5，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数大小比较，绝对值，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键．
2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（ ）
A．115×104B．115×105C．1.15×106D．1.15×107
【分析】用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【解答】解：1150万＝11500000，用科学记数法表示为1.15×107．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定是关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a8÷a2＝a6D．（﹣a2）3＝a6
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项和幂的乘方与积的乘方法则进行逐项判断即可．
【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故不能进行合并，不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、a8÷a2＝a6，故该项正确，符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（4分）下列四个几何体中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单几何体的主视图的性质结合轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A．圆锥体的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，因此选项A符合题意；
B．正方体的主视图是正方形，正方形既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项B不符合题意；
C．圆柱体的主视图是长方形，长方形既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项C不符合题意；
D．球体的主视图是圆，圆既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体主视图的形状以及中心对称图形、轴对称图形的定义是正确解答的关键．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：
解①得：x＞﹣3，
解②得：x≤2，
故不等式的解集为：﹣3＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．
6．（4分）如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABE＝∠FCBB．∠GAC＝∠GCAC．FG＝GCD．BF＝BH
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可．
【解答】解：A、∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACB＞∠FCB，故本选项说法错误，不符合题意；
B、当△ABC为等腰直角三角形时，AB≠AC，
∵AD是中线，
∴AD不是角平分线，
∴∠GAC≠∠GCA，故本选项说法错误，不符合题意；
C、∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
当FG＝GC时，DG是△CBF的中位线，
则GD∥BF，故本选项说法错误，不符合题意；
D、∵∠ACF＝∠BCF，∠BFC＝90°﹣∠BCF，∠BHF＝∠EHC＝90°﹣∠ACF，
∴∠BFC＝∠BHF，
∴BF＝BH，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念是解题的关键．
7．（4分）某超市销售一种袋装大米，在包装袋上标有净重：25±0.25（kg）．一次，主管部门对超市预销售的500袋这种大米进行重量检测，从中随机抽取了10袋，测得他们的重量如下（单位：kg，包装袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．采用的调查方式是全面调查
B．总体中重量的达标率一定是80%
C．样本的中位数是25.2kg
D．样本的平均数是25.1kg
【分析】根据全面调查与抽样调查、样本估计总体、中位数的概念、平均数的计算公式计算，判断即可．
【解答】解：A、采用的调查方式是抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、总体中重量的达标率大约是80%，而不是一定是80%，故本选项说法错误，不符合题意；
C、样本的中位数是25.15kg，故本选项说法错误，不符合题意；
D、样本的平均数为：（25.1+25.4+24.9+25.2+25.2+25.2+25.0+24.7+25.1+25.2）＝25.1（kg），本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中位数、平均数、全面调查与抽样调查以及样本估计总体，掌握相关的概念是解题的关键．
8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（ ）
A．62°B．59°C．56°D．45°
【分析】连接OB，由切线的性质求得∠ABO＝90°，则∠BOC＝∠A+∠ABO＝118°，所以∠D＝∠BOC＝59°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝28°，
∴∠BOC＝∠A+∠ABO＝28°+90°＝118°，
∴∠D＝∠BOC＝×118°＝59°，
故选：B．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（4分）已知关于x的函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，
∴当a＝0时，此时y＝﹣x﹣1与两坐标轴两个交点，
当a≠0时，则或，
解得，a＝或a＝1，
由上可得，a的值是0，或1，共4个．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
10．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AB边上的动点，连接OE，DE，DE交AO于点F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，则下列结论中错误的是（ ）
A．DE的最小值是
B．∠DEO总小于60°
C．当点E是AB的中点时，△EOF的面积是
D．△DOE周长的最小值是+3
【分析】由题可证△ADB是直角三角形，A．当DE⊥AB时，DE取最小值，可得DE的 最小值是3；B．如图1，过点O作OG⊥BD交AB于G，连接DG，易知∠DGO＝60°．以DG为直径画⊙P交AB于点H，当E与G或H重合时，∠DEO＝60°，当点E在线段GH上（不含端点），∠DEO大于 60°；C．易得▱ABCD 的面积为 ，当E是AB的中点时，△AOE的面积为 ，OE∥AD，则，可得△EOF的面积是为 ；D．如图2，作D关于AB 的对称点D′，连接OD′，交AB于E，此时△DOE 的周长取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，则∠ODD'＝60°，推出∠DOD'＝90°，OD'＝DD'•sin60°＝3，此时△DOE 的周长＝．
【解答】解：由题可知△ADB是直角三角形，，
A．当DE⊥AB时，DE取最小值，可得DE的 最小值是3；
B．如图1，过点O作OG⊥BD交AB于G，
连接DG，则∠DGO＝60°．
以DG为直径画⊙P交AB于点H，
当E与G或H重合时，∠DEO＝60°，
当点E在线段GH上（不含端点），∠DEO大于60°；
C．易得▱ABCD的面积为 ，
当E是AB的中点时，△AOE的面积为 ，OE∥AD，
∴，
可得△EOF的面积是为 ；
D．如图2，作D关于AB 的对称点D′，
连接OD′，交AB于E，此时△DOE的周长取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，
∴∠ODD'＝60°，
∴∠DOD'＝90°，OD'＝DD'•sin60°＝3，
此时△DOE 的周长＝．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积．平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）代数式有意义时，x应满足的条件为 x≥0且x≠1 ．
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【解答】解：由题意得，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
12．（5分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边AB∥x轴，OA＝AB，点B关于直线OA的对称点B′的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ．
【分析】过点B作x轴的垂线，根据轴对称的性质求出点B的坐标即可解决问题．
【解答】解：过点B作x轴的垂线，垂足为M，
因为点B和点B′关于OA对称，
所以∠B′OA＝∠BOA，OB＝OB′．
因为AO＝AB，
所以∠AOB＝∠ABO，
又因为AB∥x轴，
所以∠ABO＝∠BOM，
所以∠AOB＝∠BOM，
所以∠B′OA＝∠AOB＝∠BOM＝30°．
因为点B′的坐标为，
所以OB＝OB′＝．
在Rt△BOM中，
sin30°＝，
所以BM＝，
所以OM＝，
则点B的坐标为（3，）．
将点B坐标代入y＝得，
k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化﹣对称，熟知反比例函数的图象和性质及轴对称的性质是解题的关键．
14．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AC的中点，点M在BC边上，且满足，MP⊥BD，垂足为N，交AB于点P．
（1）cs∠DBC的值为 ；
（2）的值为 ．
【分析】（1）设CM＝a，则BM＝5a，根据勾股定理求出BD＝3a，再根据余弦定义求解即可；
（2）延长PM，交AC的延长线于点E，过点A作AF∥BC交MP的延长线于点F，结合直角三角形的性质求出∠DBC＝∠E，∠ECM＝∠BCD＝90°，则△EMC∽△BDC，根据相似三角形的性质得出＝，设CM＝a，则BM＝5a，CD＝3a，根据比例的性质求出CE＝2a，根据平行线的性质推出△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，根据相似三角形的性质等量代换求解即可．
【解答】解：（1）设CM＝a，则BM＝5a，
∴BC＝CM+BM＝6a，
∵AC＝BC，
∴AC＝6a，
∵点D为AC的中点，
∴CD＝3a，
∵∠C＝90°，
∴BD＝＝3a，
∴cs∠DBC＝＝＝，
故答案为：；
（2）如图，延长PM，交AC的延长线于点E，过点A作AF∥BC交MP的延长线于点F，
∵∠ACB＝90°，MP⊥BD于N，
∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠E＝90°，
∴∠DBC＝∠E，
又∵∠ECM＝∠BCD＝90°，
∴△EMC∽△BDC，
∴＝，
设CM＝a，则BM＝5a，CD＝3a，
∴＝，
∴CE＝2a，
∵AF∥BC，
∴△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，
∴＝＝＝，＝，
∴AF＝4a，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】先计算二次根式、负整数指数幂和平方，再计算加减．
【解答】解：
＝﹣4+2+3
＝1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
16．（8分）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
【分析】设“青年志愿团”原计划每小时植树x棵，根据开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设“青年志愿团”原计划每小时植树x棵，
由题意得：﹣＝2，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
答：“青年志愿团”原计划每小时植树20棵．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）利用点平移的规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
18．（8分）如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG＝1米，已知楼AB高25米，求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cs33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）
【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，从而可得∠EAD＝∠ADB＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD长，从而在Rt△CFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ADB＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝25米，
∴BD＝＝25（米），
∴CF＝BD＝25米，
在Rt△CFG中，∠FCG＝33.5°，
∴FG＝CF•tan33.5°≈25×0.66＝16.5（米），
∵BG＝1米，
∴CD＝BF＝BG+FG＝1+16.5≈18（米），
∴楼CD的高度约为18米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；
（2）根据上述等式规律写出第n个等式；
（3）证明（2）中你所写等式的正确性．
【分析】（1）根据前几个等式，可得第5个等式：＝；
（2）第n个等式：＝；
（3）证明等式左边等于等式右边即可．
【解答】解：（1）＝；
（2）＝；
（3）∵左边＝＝＝＝＝右边，
∴等式成立．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键．
20．（10分）已知AB是半径为r的⊙O的直径，C，D分别为⊙O上的两个动点（A，B两点除外，且在直径AB的同侧），CE⊥AB于点E，F是CD的中点．
（1）如图1，若CD∥AB，求证：EF＝r；
（2）如图2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的长的最大值．
【分析】（1）连接OF、OC，证明四边形OECF是矩形即可解答；
（2）延长CE交⊙O于点G，连接DG，首先证明点E是CG的中点，得出EF＝DG，进而在DG取得最大值时求出EF的最大值．
【解答】（ 1）证明：如图1，连接OF，OC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEO＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD＝90°＝∠CEO，
∵F是CD的中点，
∴OF⊥CD，
∴∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴EF＝OC＝r；
（2）解：如图2，延长CE交⊙O于点G，连接DG，
∵AB是半径为r的⊙O的直径，AB⊥CG于点E，
∴E是CG的中点，
又∵F是CD的中点，
∴EF＝DG，
又∵DG的最大值为2r＝10，
∴EF的长的最大值是5．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校九年级举行了“爱我中华，学习强国”党史知识测试，并把成绩分成A、B、C、D四个等级，学校决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了一个班的成绩进行统计，并绘制了两幅不完整的统计图如图：
根据信息解答：
（1）填空：该班共有 40 名学生，扇形统计图中，C等级对应扇形的圆心角的度数为 99° ；
（2）若该校九年级一共有600名学生，估计该校九年级需要参加培训的学生有多少名？
（3）该班成绩为D等级的5名同学中，有2名是男生，3名是女生，从中任选两名参加第一批培训，请利用画树状图或列表法，求选中的两名同学恰好都是男生的概率．
【分析】（1）根据A等级的人数以及占比即可求出参加知识测试的总人数；先求出C等级的人数，然后根据C等级人数得占比即可求出对应的圆心角度数．
（2）用总人数乘以样本中D等级的人数占比即可求出答案．
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该班的学生数为：8÷20%＝40（名），
C等级的人数为：40﹣8﹣16﹣5＝11（名），
C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝99°．
故答案为：40，99°；
（2）600×＝75（名），
估计该校九年级需要参加培训的学生有75名；
（3）根据题意画图如下：
共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好都是男生的结果有2种，
∴被选中的两名学生恰好都是男生的概率为．
【点评】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝∠BAE．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若AE⊥BC，求证：BD2＝4CD•BE．
【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出∠BAE＝∠OBA，等量代换得出∠CBD＝∠OBA，结合平行线的性质求出∠CDB＝∠CBD，根据等腰三角形的判定即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠COD＝90°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△COD∽△OEB，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】证明：（1）∵∠DAB＝90°，O是BD的中点，
∴OA＝OB，
∴∠BAE＝∠OBA，
∵∠CBD＝∠BAE，
∴∠CBD＝∠OBA，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠OBA，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD；
（2）如图，连接OC，
∵BC＝CD，O是BD的中点，
∴OC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠COD＝∠AEB，
由（1）知，∠CDB＝∠CBD，
∴△COD∽△OEB，
∴＝，
∴OD•OB＝CD•BE，
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB＝BD，
∴BD2＝CD•BE，
∴BD2＝4CD•BE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出OA＝OB是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（1，0）和点C（3，0），直线l：y＝kx+2k+3经过定点D．
（1）求a和b的值及点D的坐标；
（2）如图1，当k＝﹣1时，位于直线l上方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥y轴交直线l于点M，求PM的最大值；
（3）如图2，连接并延长AB，将射线AB绕点A顺时针旋转45°后，与抛物线相交于点E，求点E的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，由y＝kx+2k+3＝k（x+2）+3，即可求解；
（2）由PM＝﹣x2+4x﹣3﹣（﹣x+1）＝﹣（x﹣2.5）2+2.25≤2.25，即可求解；
（3）证明△TNB≌△AMT（AAS），则BN＝TM且NT＝AM，求取T（2，﹣2），进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx﹣3，
则3a＝﹣3，
则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
∵y＝kx+2k+3＝k（x+2）+3，
则点D（﹣2，3）；
（2）当k＝﹣1时，直线l的表达式为：y＝﹣x+1，如题干图，
设点P（x，﹣x2+4x﹣3），则点M（x，﹣x+1），
则PM＝﹣x2+4x﹣3﹣（﹣x+1）＝﹣（x﹣2.5）2+2.25≤2.25，
故PM的最大值为2.25；
（3）过点B作BT⊥AE于点T（x，y），
∵∠BAE＝45°，则△ABT为等腰直角三角形，
则AT＝BT，
过点T作x轴的垂线交x轴于点N，交点A和x轴的平行线于点M，
∵∠BTN+∠ATM＝90°，∠ATM+∠MAT＝90°，
∴∠BTN＝∠MAT，
∵∠TNB＝∠AMT＝90°，
∴△TNB≌△AMT（AAS），
则BN＝TM且NT＝AM，
即x﹣1＝y+3且﹣y＝x，
解得：x＝2＝﹣y，
即点T（2，﹣2），
由点A、T的坐标得，直线AT的表达式为：y＝x﹣3，
将上式和抛物线的表达式联立得：﹣x2+4x﹣3＝x﹣3，
解得：x＝0（舍去）或，
则点E（，﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、函数过定点、线段长度的表示方法等，有一定的综合性，难度适中．
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