2023-2024学年湖南省娄底市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省娄底市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3的算术平方根是( )
A. 3B. −3C. 9D. 3
2.下列运算中，正确的是( )
A. 3a2−a2=2B. (2a2)2=2a4C. a6÷a3=a2D. a3⋅a2=a5
3.下列各式中，是分式的是( )
A. 2πB. 3x−1C. b3D. y2+1
4.分式x+5x−2的值是零，则x的值为( )
A. 2B. 5
C. −2D. −5
5.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为( )
A. 8.23×10−6B. 8.23×10−7C. 8.23×106D. 8.23×107
6.已知a>b，则下列结论正确的是( )
A. −2a>−2bB. a+c>b+cC. 3a<3bD. ac>bc
7.等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A. 3cmB. 4.5cmC. 5cmD. 6cm
8.如果分式aa+b中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值( )
A. 不变B. 缩小2倍C. 扩大2倍D. 扩大4倍
9.如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集( )
A. x≥−5x>−3B. x>−5x≥−3C. x<5x<−3D. x<5x>−3
10.不一定在三角形内部的线段是( )
A. 三角形的角平分线B. 三角形的中线C. 三角形的高D. 三角形的高和中线
11.已知y= x−1+ 1−x+x−2，则 10x+y的值为( )
A. 5B. 3C. −3D. −5
12.若关于x的分式方程mx−3=1−x3−x−2有增根，则实数m的值是( )
A. 2B. −2C. 1D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.比较大小：6 3______7 2(填>，<，=).
14.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：
______.
15.如图，已知△ABC≌△ADE，∠B=25∘，∠E=98∘，∠EAB=20∘，则∠BAD的度数为______.
16.如图，△ABC中，∠C=100∘，∠B=30∘，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是______.
17.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=______.
18.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，∠ABC的平分线BD与△ABC的外角平分线CD交于点D，则∠D=______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解方程：xx−2−1=3x(x−2).
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
解不等式组4(x+1)≤7x+7x−12−x−44<1.
21.(本小题8分)
计算：
(1)(π− 2)0−(12)−2+3−8−|1− 2|；
(2)(3+2 2)(3−2 2)− 54÷ 6.
22.(本小题8分)
先化简，再求值：(x2−4x2−4x+4−1x−2)⋅x2−2xx+1，其中x=5.
23.(本小题9分)
为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
24.(本小题9分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C作CD⊥AB，垂足为D.在射线CD上截取CE=CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.
(1)求证：△ABC≌△CFE；
(2)若AB=9，EF=4，求BF的长.
25.(本小题10分)
阅读材料，回答问题：
观察下列各式
1+112+122=1+11−12=112；
1+122+132=1+12−13=116；
1+132+142=1+13−14=1112.
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： 1+172+182=______=______；
(2)归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n(n为正整数)表示的等式：______；
(3)应用：用上述规律计算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+192+1102.
26.(本小题10分)
如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：3的算术平方根是 3.
故选：D.
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，即可得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、3a2−a2=2a2，故此选项错误；
B、(2a2)2=4a4，故此选项错误；
C、a6÷a3=a3，故此选项错误；
D、a3⋅a2=a5，正确．
故选：D.
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】B
【解析】根据分式的定义即可得出答案．
解：A：π2是整式，不符合题意；
B：3x−1是分式，符合题意；
C：b3 是整式，不符合题意；
D：y2+1是整式，不符合题意；
故选：B.
本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键，注意π是数字．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．利用分式值为零的条件可得x+5=0，且x−2≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：x+5=0，且x−2≠0，
解得：x=−5，
故选：D.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可.
【解答】
解：0.000000823=8.23×10−7.
故选B.
6.【答案】B
【解析】解：根据在不等式两边加上同一个数，不等号方向不变知B正确．
根据在不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，乘以同一个负数不等号方向改变知A，C，D错误．
故选：B.
根据不等式的性质判断．
本题考查不等式的性质，正确运用不等式性质是求解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3cm时，
∵等腰三角形的周长为12cm，
∴等腰三角形的底边长=12−3×2=6(cm)，
∴3+3=6，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为3cm时，
∵等腰三角形的周长为12cm，
∴等腰三角形的腰长=12×(12−3)=4.5(cm)，
综上所述：该等腰三角形的底边长为3cm，
故选：A.
分两种情况：当等腰三角形的腰长为3cm时，当等腰三角形的底边长为3cm时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：分别用2a和2b去代换原分式中的a和b得：
2a2a+2b=2a2(a+b)=aa+b，
可见该分式的值不变．
故选：A.
依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
9.【答案】B
【解析】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥−3，
A、不等式组x≥−5x>−3的解集为x>−3，故A错误；
B、不等式组x>−5x≥−3的解集为x≥−3，故B正确；
C、不等式组x<5x<−3的解集为x<−3，故C错误；
D、不等式组x<5x>−3的解集为−3故选：B.
根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．
故选：C.
根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意得：1−x≥0x−1≥0，
解得：x=1.
则y=−1.
则 10x+y= 10×1−1=3.
故选：B.
首先根据二次根式有意义的条件，即可求得x的值，进而得到y的值，然后代入代数式即可求解．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】
解：去分母得：m=x−1−2(x−3)，
去括号得：m=x−1−2x+6，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=2，
故选：A.
13.【答案】>
【解析】解：(6 3)2=108，(7 2)2=98，
∵108>98，
∴6 3>7 2.
故答案为：>.
先比较两数的平方的大小，然后即可作出判断．
本题考查实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
14.【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
【解析】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
15.【答案】77∘
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠B=25∘，
∴∠D=∠B=25∘，
∵∠E=98∘，
∴∠EAD=180∘−∠D−∠E=57∘，
∵∠EAB=20∘，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=20∘+57∘=77∘，
故答案为：77∘.
根据全等三角形的性质得出∠D=∠B=25∘，根据三角形的内角和定理求出∠EAD，再求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
16.【答案】20∘
【解析】解：在△ABC中，∵∠B=30∘，∠C=100∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=50∘，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30∘，
∴∠CAD=∠BAC−∠DAB=50∘−30∘=20∘，
故答案为：20∘.
根据内角和定理求得∠BAC=60∘，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30∘，从而得出答案．
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=12AC，∠DBC=12∠ABC=30∘，
∵CE=CD，
∴CE=12AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9.
故答案为：9.
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60∘，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC=30∘，AD=CD=12AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE.
本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=12AC是正确解答本题的关键．
18.【答案】45∘
【解析】解：∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠DCE=12∠ACE，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=12∠ABC，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE−∠ABC=∠A=90∘，
∵∠DCE是△DBC的外角，
∴∠D=∠DCE−∠DBC=12(∠ACE−∠ABC)=45∘，
故答案为：45∘.
根据角平分线的定义得到∠DCE=12∠ACE，∠DBC=12∠ABC，根据三角形的外角性质得到∠ACE−∠ABC=90∘，计算即可．
本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
19.【答案】解：方程两边乘x(x−2)，得x2−x2+2x=3，
解得，x=32，
检验：x=32时，x(x−2)≠0，
x=32是分式方程的解．
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
20.【答案】解：{4(x+1)⩽7x+7①x−12−x−44<1②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为−1≤x<2.
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=1−4−2−( 2−1)
=1−4−2− 2+1
=−4− 2；
(2)原式=9−8−3
=−2.
【解析】(1)先计算零指数幂、负整数指数幂、立方根和绝对值，再根据实数的运算法则进行计算即可；
(2)根据平方差公式和二次根式的除法法则计算即可．
本题考查的是实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、立方根、绝对值的性质和平方差公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：原式=[(x+2)(x−2)(x−2)2−1x−2]⋅x(x−2)x+1
=(x+2x−2−1x−2)⋅x(x−2)x+1
=x+1x−2⋅x(x−2)x+1
=x，
当x=5时，
原式=5.
【解析】根据分式的加减运算法则、乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则、乘除运算法则，本题属于基础题型．
23.【答案】解：(1)设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是(x+10)元，
依题意得：120x=180x+10，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=20+10=30.
答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元．
(2)设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品(100−m)件，
依题意得：20(100−m)+30m≤2800，
解得：m≤80.
答：最多购买B型学习用品80件．
【解析】(1)设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是(x+10)元，利用数量=总价÷单价，结合用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出A型学习用品的单价，再将其代入(x+10)中即可求出B型学习用品的单价；
(2)设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品(100−m)件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1)证明：∵EF⊥CE，
∴∠E=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A=∠ECF=90∘−∠ACE，
在△ABC和△CFE中，
∠A=∠ECFCA=CE∠ACB=∠E=90∘，
∴△ABC≌△CFE(ASA)；
(2)解：∵△ABC≌△CFE，
∴CF=AB=9，CB=EF=4，
∴BF=CF−CB=5.
【解析】(1)由同角的余角相等得到∠A=∠ECF，根据“ASA”定理即可证得△ABC≌△CFE；
(2)根据全等三角形的性质即可求得答案．
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)1+17−18 ，1156 ；
(2) 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1);
(3) 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+192+1102
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋅⋅⋅+1+19−110
=10−110
=9910.
【解析】解：(1)根据题意可得： 1+172+182=1+17−18=1156；
故答案为：1+17−18，1156；
(2)根据题意可得： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1)；
故答案为： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1)；
(3) 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+192+1102
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋅⋅⋅+1+19−110
=10−110
=9910.
(1)根据题目所给的例题可知 1+172+182可化为1+17−18，计算即可得出答案；
(2)根据题意可知规律为 1+1n2+1(n+1)2，可化为1+1n−1n+1，计算即可得出答案；
(3)根据题意可化为1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋅⋅⋅+1+19−110，根据有理数加法计算即可得出答案．
本题主要考查了数字的变化类规律型及二次根式的性质与化简，根据题意理解题目所给的规律应用二次根式的性质进行计算是解决本题的关键．
26.【答案】解：(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12；
(2)设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB−BN=12−2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12−2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.
(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵AC=AB∠C=∠B∠AMC=∠ANB，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y−12，NB=36−2y，CM=NB，
y−12=36−2y，
解得：y=16.故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【解析】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
(1)首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
(2)根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60∘，所以只要AM=AN，三角形ANM就是等边三角形；
(3)首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．