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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算学案，文件包含第02讲复数的几何意义教师版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第七章docx、第02讲复数的几何意义学生版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第七章docx等2份学案配套教学资源，其中学案共50页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点
1.复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2.复数的几何意义
3.复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
【微点拨】1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq \(OZ,\s\up6(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq \(OZ,\s\up6(→))相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2)；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
【即学即练1】已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为___________.
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，可直接得出结果.
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为.故答案为：.
【即学即练2】复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________．
【答案】13
【分析】求出复数的坐标，再由模长公式求解即可.
【详解】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)．所以点Z与原点O的距离为.故答案为：.
【即学即练3】若复数z满足，则_______.
【答案】
【分析】设复数，利用复数相等得到方程组，求解，再利用共轭复数的概念求解即可.
【详解】设复数，则，则，
所以，则，所以；故答案为：.
【即学即练4】若复数，，且、在复平面上所对应的点为、，则这两点之间的距离为______．
【答案】
【分析】根据复数，，可得在复平面上所对应的点为、，代入两点间距离公式，即可得答案.
【详解】因为复数，，所以，，
所以这两点之间的距离.故答案为：.
【即学即练5】已知复数，求．
【答案】
【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为，因此，.
【即学即练6】复数，当m取何实数时：
（1）z为实数；（2）z为纯虚数；（3）z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
【答案】
（1）或；（2）；（3）或.
【分析】
（1）由虚部为0可得；（2）由实部为0，虚部不为0可得；（3）由虚部大于0可得．
（1）因为z为实数，所以，解得或
（2）由z为纯虚数，则解得
（3）由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或.
能力拓展
考法01
复数与复平面内的点的关系：按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
【典例1】在复平面内，描出表示下列复数的点：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）5；（6）．
【答案】答案见解析
【分析】
（1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（1）对应点为，
（2）对应点为（－3,2），
（3）对应点，
（4）对应点
（5）对应点，
（6）对应点，
【典例2】实数取什么值时，复平面内表示复数的点：
（1）位于第三象限；（2）位于第四象限；（3）位于直线上．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
依题意表示出复数在复平面内点的坐标，
（1）位于第三象限即横、纵坐标均小于零，得到不等式组，解得即可；
（2）位于第四象限即横坐标大于零，纵坐标小于零，得到不等式组，解得即可；
（3）将坐标代入直线，求出未知数即可；
【详解】
解：因为是实数，所以，也是实数．复数在复平面内的点坐标为
（1）当实数满足即时，点位于第三象限．
（2）当实数满足即时，点位于第四象限．
（3）当实数满足，即，时，
点位于直线上．
【点睛】
本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
【典例3】已知复数z满足实部为，虚部为，则复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．
【答案】＃＃
【分析】
由题可得，结合条件即得.
【详解】
由题可得，
∴复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为.
故答案为：.
考法02
复数的模：利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
【典例4】______.
【答案】5
【分析】利用复数的模长公式，即得解
【详解】由题意，.故答案为：5.
【典例5】若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________
【答案】1＋2i或－1－2i
【分析】设复数z＝a＋2ai(a∈R)，利用|z|＝，求出，即可得出结果.
【详解】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝，得＝，
解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
故答案为：1＋2i或－1－2i.
【典例6】已知复数 的模为3，且，则__________．
【答案】
【分析】
设复数，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设复数，
因为复数 的模为3，且，可得，解得，
所以.
故答案为：
【即学即练7】已知0A．(1，eq \r(10)) B．(1，eq \r(3))
C．(1,3) D．(1,10)
【答案】 A
【解析】 0则|z|＝eq \r(a2＋1)∈(1，eq \r(10))．
【即学即练8】设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a2＋b2)＝1，,\r(a＋12＋b2)＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,a＋12＋b2＝1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,a2＋b2＋2a＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b2＝\f(3,4)，))
∴|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝eq \r(a－12＋b2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))2＋\f(3,4))＝eq \r(3).
【即学即练9】设，，，求的最小值．
【答案】
【分析】
结合已知条件表示出，利用二次函数性质求解即可.
【详解】
，
因为，所以由二次函数性质可知，当时，有最小值10，
即的最小值为.
【即学即练10】设复数，当取何实数时：
（1）复数z为纯虚数；
（2）在复平面上表示z的点位于第三象限；
（3）表示z的点在直线上．
【答案】
（1）复数不可能为纯虚数
（2）
（3）
【分析】
（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；
（2）由实部小于0，虚部小于0可得；
（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．
（1）
由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；
（2）
由表示的点位于第三象限，则解得；
（3）
由表示的点在直线上，则，解得．
考法03
复数与复平面内的向量的关系： (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【典例7】复数在复平面上对应的向量的坐标为__________．
【答案】
【分析】
利用复数的几何意义求解.
【详解】
由复数的几何意义知：复数在复平面上对应的向量的坐标为，
故答案为：
【典例8】复数，，，它们在复平面上对应的点是一个正方形的三个顶点，该正方形第四个顶点对应的复数是______.
【答案】
【分析】
写出复数所对应点A，B，C的坐标，设正方形第四个顶点D坐标，判断正方形并用一组对边所对向量相等即可作答.
【详解】
在复平面上，记复数，，所对应点，
于是得，显然，即，又，则点A，B，C是正方形的顺次三个顶点，
设正方形第四个顶点，则有，且，即，
从而有，解得，点，点D所对复数为，
所以正方形第四个顶点对应的复数是.故答案为：
【典例9】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为，，2，O为复平面的坐标原点.
（1）求向量和对应的复数；
（2）求平行四边形的顶点D对应的复数.
【答案】（1）对应的复数为，对应的复数为（2）
【分析】
（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数；
（2）可利用与互相平分，结合中点坐标公式求出点坐标，然后可得对应复数．
【详解】
（1）由已知得所对应的复数分别为，，2，
则，，，
因此，，
故对应的复数为，对应的复数为.
（2）由已知得点A，B，C的坐标分别为，则的中点为，由平行四边形的性质知的中点也，若设，则有，
解得，故.所以D对应的复数为.
【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数的几何意义是解题关键．在复平面上对应点，对应向量．
【即学即练11】复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）
A．=(1，2)B．=(-3，0)
C．D．=(-1，-2)
【答案】C
【分析】结合纯虚数概念判断即可
【详解】向量对应的复数为i，是纯虚数.故选：C
分层提分
题组A 基础过关练
1．在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】
根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可.
【详解】
复数对应的点的坐标为
由题干得到
故选：D.
2. 当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】
利用的范围求出、的范围即可确定答案.
【详解】
∵，
∴，，
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D.
3. 下列命题中，真命题是（ ）．
A．虚数所对应的点在虚轴上
B．“”是“复数是纯虚数”的充分非必要条件
C．若，则
D．“”是“”的必要非充分条件
【答案】D
【分析】
根据复数的定义，复数的几何意义，复数相等的定义，充分必要条件的定义判断．
【详解】
复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错；
表示纯虚数的条件是且，因此B错；
时，也有，C错；
时有，但时也有，D正确．
故选：D．
4. 设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】
先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.
【详解】
因为，
所以，解得，
所以.
故选：B.
5. 复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
作出复数在复平面对应的点，写出点的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】
复数在复平面内对应的点为，因为，则，
将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，
因此，所求复数为.
故选：C.
6. 向量对应的复数是，向量对应的复数是，则＋对应的复数是（ ）
A．B．
C．0D．
【答案】C
【分析】
由复数的代数形式写出对应复平面上的点坐标，应用向量坐标的线性运算求＋，即可知其对应的复数.
【详解】
由题意可知：，，
∴＋＝＋=(0,0)．
∴＋对应的复数是0.
故选：C
7. 设复数满足，则的虚部为( )
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
设复数，结合已知条件，利用复数相等求出即可．
【详解】
设复数，，，
由，得，
即，
解得，，故的虚部为1.
故选：D．
8. 复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（ ）
A．﹣3﹣4iB．4+3iC．﹣4﹣3iD．﹣3+4i
【答案】A
【分析】
根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果．
【详解】
解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）
∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）
对应的向量＝﹣3﹣4i
故选：A．
9. 若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】
设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
10. 已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
11. 关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（ ）
A．3+4iB．4+3i
C．+3iD．3+i
【答案】B
【分析】
根据条件可得，再利用复数相等可得，解方程组，即可得到答案；
【详解】
设,则有,
于是，解得或
因为,故,所以不符合要求,
故
故选：B
12. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由复数的模长公式列方程，化简整理即可求解.
【详解】
因为，则，
所以，
故选：C.
13.设，且，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】
由复数模的几何意义求解．
【详解】
记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
14. 的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】A
【分析】
利用到三个顶点的距离相等得到是三角形的外接圆的圆心.
【详解】
∵
∴到三个顶点的距离相等，
∴是三角形的外接圆的圆心，故选：A.
【点睛】
本题考查复数差的几何意义，注意表示复平面中对应的两点之间的距离，本题属于基础题.
15. 已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支B．双曲线C．一条射线D．两条射线
【答案】C
【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．
【详解】∵复数z满足（i是虚数单位），在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z到点的距离减去到点 的距离之差等于 ，
而点与点之间的距离为，
故点Z的轨迹是以点为端点的经过点的一条射线．故选 C．
【点睛】本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离,属于基础题.
16. 在复平面内,复数,对应的点分别为A,B.已知i为虚数单位,,,,则
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】
设出，利用列方程组，解方程组求得.
【详解】
设,则.
由条件得解得或
或.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查复数的模的运算，考查复数对应点的坐标，考查两点间的距离公式，属于基础题.
17. 设，复数，则在复平面内的对应点一定不在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】
在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.
【详解】由题得, 在复平面内的对应点为.
当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.
当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.故在复平面内的对应点一定不在第三象限.
故选：C
【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.
18. 在复平面内，向量（为坐标原点）表示的复数为，将向右平移一个单位长度后得到向量，则向量与点对应的复数分别为
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
求出点的坐标，根据向量平移后，可得出点的坐标，进而可得出向量与点对应的复数.
【详解】
向量向右平移一个单位长度后得到向量，则，
，点对应的复数为，
又，对应的复数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查点与向量对应的复数的计算，求出点与向量的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
19. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】
利用对数函数与基本不等式判断出复数的实部与虚部的正负号，即可得出答案.
【详解】
复数的实部、虚部.
因为,
所以.
因为,
所以.
所以复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
【点睛】
本题结合对数函数与基本不等式考查复数在复平面上的点对应的象限.属于基础题.
20. 已知复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】
解：因为复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
题组B 能力提升练
1. 设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由可知，令，即可求出的范围.
【详解】
因为对任意，，则,
，
，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.
2.（多选题）实数，满足，设，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点在第四象限B．
C．z的虚部是iD．z的实部是1
【答案】BD
【分析】
由复数相等的条件可得，再由复数的相关概念逐项判断即可得解.
【详解】
因为，
所以，解得，所以，
所以z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A错误；
所以，故B正确；所以z的虚部和实部均是1，故C错误，D正确.故选：BD.
3.（多选题）若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】ABD
【分析】
由复数的实部、虚部之和大于0，可排除C，再应用特殊值法：令、、判断复数对应点可能出现在哪个象限.
【详解】
若m为实数，则的实部为，虚部为．
∵实部与虚部相加为，
∴该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选：ABD．
4. (多选题)在复平面内，复数的对应点分别为A，B.已知，则等于（ ）
A．4＋5iB．5＋4iC．3＋4iD．＋i
【答案】BD
【分析】
设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设，
因为，可得，
解得或，
所以或.
故选：BD.
5. 设复数，x，，且，则满足的复数z共有______个．
【答案】4
【分析】
方法一(代数运算)：联立方程组求解；
方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒
【详解】
方法一(代数运算)：由，得．又，联立，解得，
故答案为：4
方法二(几何意义)：由，知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆．又，故复数在复平面内对应的点落在直线上，显然直线与单位圆有四个交点，
故答案为：4
6. 在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点到原点的距离的最小值是______.
【答案】
【分析】
设，结合二次函数的性质求得的最小值.
【详解】
依题意，
故可设，
则，
当时等号成立.
所以复数z对应的点到原点的距离的最小值是.
故答案为：
7. 设复数z满足关系式，则______.
【答案】
【分析】
首先设复数，利用复数相等，即可求得复数.
【详解】
设，，
所以，
即 ，解得：，，
所以
故答案为：
8. 已知复数z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虚数单位，m∈R.若z1，z2互为共轭复数，则实数m的值为___________.
【答案】1
【分析】
利用共轭复数的概念可得即可求解.
【详解】
由z1，z2互为共轭复数，
可知，
解得m＝1.
故答案为：1
9. 已知，则复数__________．
【答案】
【分析】
设，由可得，然后建立方程组求解即可.
【详解】
设，因为
所以，所以，，
解得，即
故答案为：
10. 若，，，，则、、、由小到大的顺序为__________．
【答案】
【分析】
先用复数的模长公式求出模长，再比较即可
【详解】
，
故答案为：
11. 复数，在复平面上对应的点分别为、．
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是__________；
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是__________．
【答案】， ， ， ，
【分析】
直接利用复数的几何意义即可得到.
【详解】
因为复数，在复平面上对应的点分别为、，
所以
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是，
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是，.
故答案为：（1），；（2），；（3），；（4），.
12. 已知，复数对应的点位于复平面的第二象限，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
根据复数对应的点位于复平面的第二象限，由求解.
【详解】
因为复数对应的点位于复平面的第二象限，
所以，即 ，
即 ，
解得 或，
所以的取值范围是，
故答案为：
13. 若复数，，则下列结论：①z对应的点在第一象限；②z一定不为纯虚数；③对应的点在实轴的下方；④z一定为实数，其中错误的是______．（填序号）
【答案】①②④
【分析】
根据所给复数，结合实部、虚部的范围，逐一分析①②③④，即可得答案.
【详解】
对于①：，因为，
所以的值可正，可负，可为0，所以无法确定z对应的点在第几象限，故错①误；
对于②：令，解得或，
所以当或时，实部，虚部，此时为纯虚数，故②错误；
对于③：，因为，
所以虚部恒成立，所以对应的点在实轴的下方，故③正确；
对于④：因为恒成立，所以复数一定为虚数，故④错误.
所以错误的是：①②④.
故答案为：①②④
14. 正三角形的顶点A对应的复数是2，是坐标原点，则点所对应的复数为___________.
【答案】
【分析】
根据题意及正三角形性质，求得点B坐标，即可得答案.
【详解】
由题意得：，且为正三角形，如图所示：
所以，，
所以，解得，
所以B点坐标为，
所以点所对应的复数为.
故答案为：
15. 已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为____________．
【答案】|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|
【分析】根据复数相等求得x,y，再利用复数的模的计算可得答案.
【详解】∵3－4i＝x＋yi，x，y∈R，∴x＝3，y＝－4.
|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
∵>5>，∴|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
故答案为：|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
【点睛】本题考查复数相等的条件和复数的模的计算.
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1. 根据的几何意义讨论下列各式的几何意义.
（1）；
（2）.
【答案】（1）圆心为，半径为2的圆；从到线段上的点
【分析】
将已知复数转化为复平面内对应的点，再结合点与点的位置关系求解即可
【详解】
设，则对应复平面内的点为，
（1）则的几何意义为：到点的距离为2，即圆心为，半径为2的圆；
（2）则的几何意义为：到点的距离与的距离之和为2，即从到线段上的点.
【点睛】
本题考查复数的几何意义.
2.设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(1)求复数；
(2)若复数为纯虚数，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据待定系数法求解，设，由题意得到关于的方程组求解即可．（2）根据纯虚数的定义求解．
【详解】
(1)设，
由 ，得
又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，
则，即．
由，解得或（舍去），
∴．
（2）由题意得，
∵复数为纯虚数，
∴解得
∴实数的值为．
【点睛】
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用．
3. 在①为实数，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数：
（1）若________，求实数的值；
（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围.
【答案】（1）选择①：或；选择②：或；选择③：；（2）.
【分析】
（1）选好条件后，根据复数的性质列式子即可求解；
（2）令实部和虚部都小于0即可.
【详解】
选择①，当为实数时，有，
解得或，
选择②，当为虚数时，有，
解得或，
选择③，当为纯虚数时，有，
解得，∴；
（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查对复数概念的理解，以及几何意义的理解.
4. 已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.
【答案】
【分析】
分别写出所给三个复数在复平面内对应的点坐标,设第四个点的坐标为.根据正方形对边平行且相等可知,即可求得点的坐标.
【详解】
设复数在复平面上分别对应点
设正方形的第四个顶点对应的坐标是,则其对应的复数为,则,
又
故这个正方形的第四个顶点对应的复数是
【点睛】
本题考查了复数与复平面内对应的点坐标表示方法,由几何关系求复数
5. 设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）．
【答案】（1）以原点O为圆心，以1为半径的圆．
（2）以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界
【分析】
（1）根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，即得轨迹；
（2）根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，即得轨迹.
【详解】
解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆．
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合．容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力.
6. 在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.
（1），，计算与；
（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.
【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.
【分析】
（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，，然后进行数量积的坐标运算即可；
（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，以及复数的几何意义表示出、计算其数量积，利用作差法比较的大小，并得出何时取等号.
【详解】
解：（1）
，
所以
证明（2），
，
，
所以，当且仅当时取“”，此时.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力.
7. 已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围.
（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) 或.
【详解】
试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即．（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即．
试题解析：（1）由是纯虚数得
即 所以m=3.
（2）根据题意得，
由此得，即或.
【点睛】
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．
8. 已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i(∈R)．若与共线，求的值．
【答案】.
【分析】
由已知可得＝(－3，4)，＝(2，1)，再由与共线，结合平面向量共线定理可得，存在实数，使＝，从而得到，进而可求出的值
【详解】
解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i，
所以＝(－3，4)，＝(2，1)．
因为与共线，所以存在实数，使＝，
即(2a，1)＝(－3，4)＝(－3，4)，
所以，解得
即的值为.
【点睛】
此题考查复数的几何意义和共线向量定理.
9. 已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i，2，求点D对应的复数．
【答案】1－7i或3＋7i或－11＋3i．
【分析】
采用数形结合与分类讨论思想，结合平行四边形对边平行的性质，利用向量法即可求解
【详解】
因为＝，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i．
即点D对应的复数为1－7i，如图①；
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z，
图②中当时，求得点D对应的复数为3＋7i；
图③中当时，求得点D对应的复数为－11＋3i；
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i．
【点睛】
本题考查复数的几何意义与向量的基本关系，数形结合思想，属于中档题.
10. 复平面内三点依次对应于复数，其中为原点，若，求复数．
【答案】
【分析】
设，可得点A、B、C的坐标，进而可得为中点，结合题意，设，可得为平行四边形，代入面积公式，可得y值，根据，可得x值，即可得答案.
【详解】
设，则，
则，所以为中点，
因为，设
则为平行四边形，
其面积
所以，解得．
因为，所以，
所以
11. 复数，设在复平面上对应的点为.
（1）求证：复数不可能是纯虚数；
（2）若，求的值；
（3）若点在第三象限，求的取值范围；
（4）若点在直线上，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）令，解得或，根据纯虚数是概念，分析判断，即可得证；
（2）根据题意，可得，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求得答案；
（3）根据点在第三象限，可得，根据对数函数的性质，解不等式，即可得答案；
（4）根据点在直线上，代入方程，可得，根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.
【详解】
（1）证明：令，解得或，
当时，不满足，故舍去，
当时，虚部为，故z=0，不是纯虚数，
所以复数不可能是纯虚数；
（2）由题意得：，
所以，
所以，解得.
（3）若点在第三象限，则，
所以，解得.
（4）若点在直上，则，
所以，
所以，解得.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握复数的概念、几何意义等知识，并灵活应用，易错点为，对数的运算时刻保证真数大于零，考查分析计算的能力，属中档题.
课程标准
课标解读
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
通过本节课的学习，要求掌握复数的几何表示，会在复平面内表示任一复数，掌握复数与向量间的关系.
目标导航
知识精讲
知识点
1.复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2.复数的几何意义
3.复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
【微点拨】1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq \(OZ,\s\up6(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq \(OZ,\s\up6(→))相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2)；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
【即学即练1】已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为___________.
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，可直接得出结果.
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为.故答案为：.
【即学即练2】复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________．
【答案】13
【分析】求出复数的坐标，再由模长公式求解即可.
【详解】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)．所以点Z与原点O的距离为.故答案为：.
【即学即练3】若复数z满足，则_______.
【答案】
【分析】设复数，利用复数相等得到方程组，求解，再利用共轭复数的概念求解即可.
【详解】设复数，则，则，
所以，则，所以；故答案为：.
【即学即练4】若复数，，且、在复平面上所对应的点为、，则这两点之间的距离为______．
【答案】
【分析】根据复数，，可得在复平面上所对应的点为、，代入两点间距离公式，即可得答案.
【详解】因为复数，，所以，，
所以这两点之间的距离.故答案为：.
【即学即练5】已知复数，求．
【答案】
【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为，因此，.
【即学即练6】复数，当m取何实数时：
（1）z为实数；（2）z为纯虚数；（3）z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
【答案】
（1）或；（2）；（3）或.
【分析】
（1）由虚部为0可得；（2）由实部为0，虚部不为0可得；（3）由虚部大于0可得．
（1）因为z为实数，所以，解得或
（2）由z为纯虚数，则解得
（3）由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或.
能力拓展
考法01
复数与复平面内的点的关系：按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
【典例1】在复平面内，描出表示下列复数的点：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）5；（6）．
【答案】答案见解析
【分析】
（1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（1）对应点为，
（2）对应点为（－3,2），
（3）对应点，
（4）对应点
（5）对应点，
（6）对应点，
【典例2】实数取什么值时，复平面内表示复数的点：
（1）位于第三象限；（2）位于第四象限；（3）位于直线上．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
依题意表示出复数在复平面内点的坐标，
（1）位于第三象限即横、纵坐标均小于零，得到不等式组，解得即可；
（2）位于第四象限即横坐标大于零，纵坐标小于零，得到不等式组，解得即可；
（3）将坐标代入直线，求出未知数即可；
【详解】
解：因为是实数，所以，也是实数．复数在复平面内的点坐标为
（1）当实数满足即时，点位于第三象限．
（2）当实数满足即时，点位于第四象限．
（3）当实数满足，即，时，
点位于直线上．
【点睛】
本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
【典例3】已知复数z满足实部为，虚部为，则复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．
【答案】＃＃
【分析】
由题可得，结合条件即得.
【详解】
由题可得，
∴复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为.
故答案为：.
考法02
复数的模：利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
【典例4】______.
【答案】5
【分析】利用复数的模长公式，即得解
【详解】由题意，.故答案为：5.
【典例5】若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________
【答案】1＋2i或－1－2i
【分析】设复数z＝a＋2ai(a∈R)，利用|z|＝，求出，即可得出结果.
【详解】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝，得＝，
解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
故答案为：1＋2i或－1－2i.
【典例6】已知复数 的模为3，且，则__________．
【答案】
【分析】
设复数，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设复数，
因为复数 的模为3，且，可得，解得，
所以.
故答案为：
【即学即练7】已知0
C．(1,3) D．(1,10)
【答案】 A
【解析】 0
【即学即练8】设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a2＋b2)＝1，,\r(a＋12＋b2)＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,a＋12＋b2＝1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,a2＋b2＋2a＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b2＝\f(3,4)，))
∴|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝eq \r(a－12＋b2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－1))2＋\f(3,4))＝eq \r(3).
【即学即练9】设，，，求的最小值．
【答案】
【分析】
结合已知条件表示出，利用二次函数性质求解即可.
【详解】
，
因为，所以由二次函数性质可知，当时，有最小值10，
即的最小值为.
【即学即练10】设复数，当取何实数时：
（1）复数z为纯虚数；
（2）在复平面上表示z的点位于第三象限；
（3）表示z的点在直线上．
【答案】
（1）复数不可能为纯虚数
（2）
（3）
【分析】
（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；
（2）由实部小于0，虚部小于0可得；
（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．
（1）
由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；
（2）
由表示的点位于第三象限，则解得；
（3）
由表示的点在直线上，则，解得．
考法03
复数与复平面内的向量的关系： (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【典例7】复数在复平面上对应的向量的坐标为__________．
【答案】
【分析】
利用复数的几何意义求解.
【详解】
由复数的几何意义知：复数在复平面上对应的向量的坐标为，
故答案为：
【典例8】复数，，，它们在复平面上对应的点是一个正方形的三个顶点，该正方形第四个顶点对应的复数是______.
【答案】
【分析】
写出复数所对应点A，B，C的坐标，设正方形第四个顶点D坐标，判断正方形并用一组对边所对向量相等即可作答.
【详解】
在复平面上，记复数，，所对应点，
于是得，显然，即，又，则点A，B，C是正方形的顺次三个顶点，
设正方形第四个顶点，则有，且，即，
从而有，解得，点，点D所对复数为，
所以正方形第四个顶点对应的复数是.故答案为：
【典例9】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为，，2，O为复平面的坐标原点.
（1）求向量和对应的复数；
（2）求平行四边形的顶点D对应的复数.
【答案】（1）对应的复数为，对应的复数为（2）
【分析】
（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数；
（2）可利用与互相平分，结合中点坐标公式求出点坐标，然后可得对应复数．
【详解】
（1）由已知得所对应的复数分别为，，2，
则，，，
因此，，
故对应的复数为，对应的复数为.
（2）由已知得点A，B，C的坐标分别为，则的中点为，由平行四边形的性质知的中点也，若设，则有，
解得，故.所以D对应的复数为.
【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数的几何意义是解题关键．在复平面上对应点，对应向量．
【即学即练11】复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）
A．=(1，2)B．=(-3，0)
C．D．=(-1，-2)
【答案】C
【分析】结合纯虚数概念判断即可
【详解】向量对应的复数为i，是纯虚数.故选：C
分层提分
题组A 基础过关练
1．在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】
根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可.
【详解】
复数对应的点的坐标为
由题干得到
故选：D.
2. 当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】
利用的范围求出、的范围即可确定答案.
【详解】
∵，
∴，，
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D.
3. 下列命题中，真命题是（ ）．
A．虚数所对应的点在虚轴上
B．“”是“复数是纯虚数”的充分非必要条件
C．若，则
D．“”是“”的必要非充分条件
【答案】D
【分析】
根据复数的定义，复数的几何意义，复数相等的定义，充分必要条件的定义判断．
【详解】
复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错；
表示纯虚数的条件是且，因此B错；
时，也有，C错；
时有，但时也有，D正确．
故选：D．
4. 设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】
先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.
【详解】
因为，
所以，解得，
所以.
故选：B.
5. 复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
作出复数在复平面对应的点，写出点的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】
复数在复平面内对应的点为，因为，则，
将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，
因此，所求复数为.
故选：C.
6. 向量对应的复数是，向量对应的复数是，则＋对应的复数是（ ）
A．B．
C．0D．
【答案】C
【分析】
由复数的代数形式写出对应复平面上的点坐标，应用向量坐标的线性运算求＋，即可知其对应的复数.
【详解】
由题意可知：，，
∴＋＝＋=(0,0)．
∴＋对应的复数是0.
故选：C
7. 设复数满足，则的虚部为( )
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
设复数，结合已知条件，利用复数相等求出即可．
【详解】
设复数，，，
由，得，
即，
解得，，故的虚部为1.
故选：D．
8. 复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（ ）
A．﹣3﹣4iB．4+3iC．﹣4﹣3iD．﹣3+4i
【答案】A
【分析】
根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果．
【详解】
解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）
∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）
对应的向量＝﹣3﹣4i
故选：A．
9. 若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】
设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
10. 已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
11. 关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（ ）
A．3+4iB．4+3i
C．+3iD．3+i
【答案】B
【分析】
根据条件可得，再利用复数相等可得，解方程组，即可得到答案；
【详解】
设,则有,
于是，解得或
因为,故,所以不符合要求,
故
故选：B
12. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由复数的模长公式列方程，化简整理即可求解.
【详解】
因为，则，
所以，
故选：C.
13.设，且，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】
由复数模的几何意义求解．
【详解】
记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
14. 的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】A
【分析】
利用到三个顶点的距离相等得到是三角形的外接圆的圆心.
【详解】
∵
∴到三个顶点的距离相等，
∴是三角形的外接圆的圆心，故选：A.
【点睛】
本题考查复数差的几何意义，注意表示复平面中对应的两点之间的距离，本题属于基础题.
15. 已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支B．双曲线C．一条射线D．两条射线
【答案】C
【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．
【详解】∵复数z满足（i是虚数单位），在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z到点的距离减去到点 的距离之差等于 ，
而点与点之间的距离为，
故点Z的轨迹是以点为端点的经过点的一条射线．故选 C．
【点睛】本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离,属于基础题.
16. 在复平面内,复数,对应的点分别为A,B.已知i为虚数单位,,,,则
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】
设出，利用列方程组，解方程组求得.
【详解】
设,则.
由条件得解得或
或.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查复数的模的运算，考查复数对应点的坐标，考查两点间的距离公式，属于基础题.
17. 设，复数，则在复平面内的对应点一定不在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】
在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.
【详解】由题得, 在复平面内的对应点为.
当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.
当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.故在复平面内的对应点一定不在第三象限.
故选：C
【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.
18. 在复平面内，向量（为坐标原点）表示的复数为，将向右平移一个单位长度后得到向量，则向量与点对应的复数分别为
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
求出点的坐标，根据向量平移后，可得出点的坐标，进而可得出向量与点对应的复数.
【详解】
向量向右平移一个单位长度后得到向量，则，
，点对应的复数为，
又，对应的复数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查点与向量对应的复数的计算，求出点与向量的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
19. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】
利用对数函数与基本不等式判断出复数的实部与虚部的正负号，即可得出答案.
【详解】
复数的实部、虚部.
因为,
所以.
因为,
所以.
所以复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
【点睛】
本题结合对数函数与基本不等式考查复数在复平面上的点对应的象限.属于基础题.
20. 已知复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】
解：因为复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
题组B 能力提升练
1. 设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由可知，令，即可求出的范围.
【详解】
因为对任意，，则,
，
，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.
2.（多选题）实数，满足，设，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点在第四象限B．
C．z的虚部是iD．z的实部是1
【答案】BD
【分析】
由复数相等的条件可得，再由复数的相关概念逐项判断即可得解.
【详解】
因为，
所以，解得，所以，
所以z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A错误；
所以，故B正确；所以z的虚部和实部均是1，故C错误，D正确.故选：BD.
3.（多选题）若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】ABD
【分析】
由复数的实部、虚部之和大于0，可排除C，再应用特殊值法：令、、判断复数对应点可能出现在哪个象限.
【详解】
若m为实数，则的实部为，虚部为．
∵实部与虚部相加为，
∴该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选：ABD．
4. (多选题)在复平面内，复数的对应点分别为A，B.已知，则等于（ ）
A．4＋5iB．5＋4iC．3＋4iD．＋i
【答案】BD
【分析】
设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设，
因为，可得，
解得或，
所以或.
故选：BD.
5. 设复数，x，，且，则满足的复数z共有______个．
【答案】4
【分析】
方法一(代数运算)：联立方程组求解；
方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒
【详解】
方法一(代数运算)：由，得．又，联立，解得，
故答案为：4
方法二(几何意义)：由，知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆．又，故复数在复平面内对应的点落在直线上，显然直线与单位圆有四个交点，
故答案为：4
6. 在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点到原点的距离的最小值是______.
【答案】
【分析】
设，结合二次函数的性质求得的最小值.
【详解】
依题意，
故可设，
则，
当时等号成立.
所以复数z对应的点到原点的距离的最小值是.
故答案为：
7. 设复数z满足关系式，则______.
【答案】
【分析】
首先设复数，利用复数相等，即可求得复数.
【详解】
设，，
所以，
即 ，解得：，，
所以
故答案为：
8. 已知复数z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虚数单位，m∈R.若z1，z2互为共轭复数，则实数m的值为___________.
【答案】1
【分析】
利用共轭复数的概念可得即可求解.
【详解】
由z1，z2互为共轭复数，
可知，
解得m＝1.
故答案为：1
9. 已知，则复数__________．
【答案】
【分析】
设，由可得，然后建立方程组求解即可.
【详解】
设，因为
所以，所以，，
解得，即
故答案为：
10. 若，，，，则、、、由小到大的顺序为__________．
【答案】
【分析】
先用复数的模长公式求出模长，再比较即可
【详解】
，
故答案为：
11. 复数，在复平面上对应的点分别为、．
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是__________；
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是__________．
【答案】， ， ， ，
【分析】
直接利用复数的几何意义即可得到.
【详解】
因为复数，在复平面上对应的点分别为、，
所以
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是，
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是，.
故答案为：（1），；（2），；（3），；（4），.
12. 已知，复数对应的点位于复平面的第二象限，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
根据复数对应的点位于复平面的第二象限，由求解.
【详解】
因为复数对应的点位于复平面的第二象限，
所以，即 ，
即 ，
解得 或，
所以的取值范围是，
故答案为：
13. 若复数，，则下列结论：①z对应的点在第一象限；②z一定不为纯虚数；③对应的点在实轴的下方；④z一定为实数，其中错误的是______．（填序号）
【答案】①②④
【分析】
根据所给复数，结合实部、虚部的范围，逐一分析①②③④，即可得答案.
【详解】
对于①：，因为，
所以的值可正，可负，可为0，所以无法确定z对应的点在第几象限，故错①误；
对于②：令，解得或，
所以当或时，实部，虚部，此时为纯虚数，故②错误；
对于③：，因为，
所以虚部恒成立，所以对应的点在实轴的下方，故③正确；
对于④：因为恒成立，所以复数一定为虚数，故④错误.
所以错误的是：①②④.
故答案为：①②④
14. 正三角形的顶点A对应的复数是2，是坐标原点，则点所对应的复数为___________.
【答案】
【分析】
根据题意及正三角形性质，求得点B坐标，即可得答案.
【详解】
由题意得：，且为正三角形，如图所示：
所以，，
所以，解得，
所以B点坐标为，
所以点所对应的复数为.
故答案为：
15. 已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为____________．
【答案】|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|
【分析】根据复数相等求得x,y，再利用复数的模的计算可得答案.
【详解】∵3－4i＝x＋yi，x，y∈R，∴x＝3，y＝－4.
|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
∵>5>，∴|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
故答案为：|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
【点睛】本题考查复数相等的条件和复数的模的计算.
C 培优拔尖练
1. 根据的几何意义讨论下列各式的几何意义.
（1）；
（2）.
【答案】（1）圆心为，半径为2的圆；从到线段上的点
【分析】
将已知复数转化为复平面内对应的点，再结合点与点的位置关系求解即可
【详解】
设，则对应复平面内的点为，
（1）则的几何意义为：到点的距离为2，即圆心为，半径为2的圆；
（2）则的几何意义为：到点的距离与的距离之和为2，即从到线段上的点.
【点睛】
本题考查复数的几何意义.
2.设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(1)求复数；
(2)若复数为纯虚数，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据待定系数法求解，设，由题意得到关于的方程组求解即可．（2）根据纯虚数的定义求解．
【详解】
(1)设，
由 ，得
又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，
则，即．
由，解得或（舍去），
∴．
（2）由题意得，
∵复数为纯虚数，
∴解得
∴实数的值为．
【点睛】
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用．
3. 在①为实数，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数：
（1）若________，求实数的值；
（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围.
【答案】（1）选择①：或；选择②：或；选择③：；（2）.
【分析】
（1）选好条件后，根据复数的性质列式子即可求解；
（2）令实部和虚部都小于0即可.
【详解】
选择①，当为实数时，有，
解得或，
选择②，当为虚数时，有，
解得或，
选择③，当为纯虚数时，有，
解得，∴；
（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查对复数概念的理解，以及几何意义的理解.
4. 已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.
【答案】
【分析】
分别写出所给三个复数在复平面内对应的点坐标,设第四个点的坐标为.根据正方形对边平行且相等可知,即可求得点的坐标.
【详解】
设复数在复平面上分别对应点
设正方形的第四个顶点对应的坐标是,则其对应的复数为,则,
又
故这个正方形的第四个顶点对应的复数是
【点睛】
本题考查了复数与复平面内对应的点坐标表示方法,由几何关系求复数
5. 设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）．
【答案】（1）以原点O为圆心，以1为半径的圆．
（2）以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界
【分析】
（1）根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，即得轨迹；
（2）根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，即得轨迹.
【详解】
解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆．
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合．容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力.
6. 在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.
（1），，计算与；
（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.
【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.
【分析】
（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，，然后进行数量积的坐标运算即可；
（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，以及复数的几何意义表示出、计算其数量积，利用作差法比较的大小，并得出何时取等号.
【详解】
解：（1）
，
所以
证明（2），
，
，
所以，当且仅当时取“”，此时.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力.
7. 已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围.
（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) 或.
【详解】
试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即．（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即．
试题解析：（1）由是纯虚数得
即 所以m=3.
（2）根据题意得，
由此得，即或.
【点睛】
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．
8. 已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i(∈R)．若与共线，求的值．
【答案】.
【分析】
由已知可得＝(－3，4)，＝(2，1)，再由与共线，结合平面向量共线定理可得，存在实数，使＝，从而得到，进而可求出的值
【详解】
解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i，
所以＝(－3，4)，＝(2，1)．
因为与共线，所以存在实数，使＝，
即(2a，1)＝(－3，4)＝(－3，4)，
所以，解得
即的值为.
【点睛】
此题考查复数的几何意义和共线向量定理.
9. 已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i，2，求点D对应的复数．
【答案】1－7i或3＋7i或－11＋3i．
【分析】
采用数形结合与分类讨论思想，结合平行四边形对边平行的性质，利用向量法即可求解
【详解】
因为＝，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i．
即点D对应的复数为1－7i，如图①；
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z，
图②中当时，求得点D对应的复数为3＋7i；
图③中当时，求得点D对应的复数为－11＋3i；
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i．
【点睛】
本题考查复数的几何意义与向量的基本关系，数形结合思想，属于中档题.
10. 复平面内三点依次对应于复数，其中为原点，若，求复数．
【答案】
【分析】
设，可得点A、B、C的坐标，进而可得为中点，结合题意，设，可得为平行四边形，代入面积公式，可得y值，根据，可得x值，即可得答案.
【详解】
设，则，
则，所以为中点，
因为，设
则为平行四边形，
其面积
所以，解得．
因为，所以，
所以
11. 复数，设在复平面上对应的点为.
（1）求证：复数不可能是纯虚数；
（2）若，求的值；
（3）若点在第三象限，求的取值范围；
（4）若点在直线上，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）令，解得或，根据纯虚数是概念，分析判断，即可得证；
（2）根据题意，可得，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求得答案；
（3）根据点在第三象限，可得，根据对数函数的性质，解不等式，即可得答案；
（4）根据点在直线上，代入方程，可得，根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.
【详解】
（1）证明：令，解得或，
当时，不满足，故舍去，
当时，虚部为，故z=0，不是纯虚数，
所以复数不可能是纯虚数；
（2）由题意得：，
所以，
所以，解得.
（3）若点在第三象限，则，
所以，解得.
（4）若点在直上，则，
所以，
所以，解得.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握复数的概念、几何意义等知识，并灵活应用，易错点为，对数的运算时刻保证真数大于零，考查分析计算的能力，属中档题.
课程标准
课标解读
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
通过本节课的学习，要求掌握复数的几何表示，会在复平面内表示任一复数，掌握复数与向量间的关系.
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