中考数学备考易错题：相似三角形易错点2：被题目给的图迷惑导致漏解（解析版）

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[错解] 解：如图所示，
∵△ADE∽△ABC，且DE∥CB
∴
∵
∴AD＝AC
∴，∴DE＝＝
[错因分析] 本题中，只指出△ADE和△ABC相似，但是没有说明对应边是哪些，因此要根据AD、AC对应成比例和AD、AB对应成比例两种情况分类讨论．
[正解] ∵AC＝12，DC＝AC；
∴AD＝4.
若AD与AC对应成比例，则DE＝BC＝6；
若AD与AB对应成比例，则．
所以DE的长为6或8
[针对训练]
1．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是线段BC上一点，将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE，当F点落到矩形的对角线上时，BE的长为____________．
2．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，AD＝2DB，△ADE和△ABC重心间的距离为2；当点D，E分别在AB，AC延长线上且 时，△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，设此时AB：AD的值为k，那么k的取值范围是 _____．
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为___________．
参考答案：
1．3或
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得，然后分两种情况讨论：当点F落在BD上时；当点F落在AC上时，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
由勾股定理得： ，
如图，当点F落在BD上时，则AE⊥BD，
∴∠BAE+∠ABD=90°，
∵∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴ ，
∴ ，即，
解得： ；
如图，当点F落在AC上时，则AF=AB=6，EF=BE，
设 ，则 ， ，
∵AC=10，
∴，
在 中， ，
即 ，解得： ，
即 ．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．
【分析】过A点AH⊥BC交DE于点G，设M点是△ADE的重心，由已知求出AG=6，AH=9，当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时，设△ADE的重心为M，则GM=6，求出AK=18，又由△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，可得．
【详解】解：过A作中线AH交DE于点G，设M点是△ADE的重心，
∴ ，
∵AD=2DB，
∴
∴ ，
∴△ABC的重心在DE上，
∴AG=2GH，
∵△ADE和△ABC重心间的距离为2，
∴MG=2， ∴AM=4，
∴AG=6，AH=9，
∴
当点D，E分别在AB，AC延长线上时， 当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时，
设△ADE的重心为M，△ABC的重心为G，
则GM=6，由重心的性质可得：
而
∵
∴
∴
∴
同理由可得，
∴ ，
当两点重合时，
∵△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，
∴≤k＜，
故答案为： ≤k＜．
【点睛】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形重心的性质是解题的关键．
3．或
【分析】分三种情况，⊙P与BC边相切，⊙P与AC边相切，⊙P与AB边相切．利用相似三角形的判定和性质，切线的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
∴AB==26，
∵CD⊥AB，
∴△ABC的面积=AB•CD=AC•BC，
∴26CD=10×24，
∴CD=，
分三种情况：
当⊙P与BC边相切，如图：
过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°，
∴∠CPE+∠PCE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠PCE+∠B=90°，
∴∠B=∠CPE，
∵∠CEP=∠ACB=90°，
∴△BCA∽△PEC，
∴，
∴，
∴PC=；
当⊙P与AB边相切，如图：
∵PD⊥AB，
∴CP=CD-PD=-6=；
当⊙P与AC边相切，如图：
过点P作PF⊥AC，垂足为F，
∵PF⊥AC，
∴∠PFC=90°，
∴∠CPF+∠PCF=90°，
∵CD⊥AB，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠PCF+∠A=90°，
∴∠A=∠CPF，
∵∠CFP=∠ACB=90°，
∴△BCA∽△CFP，
∴，
∴，
∴PC=，
∵＞，
∴PC=（舍去），
综上所述，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．分三种情况讨论是解题的关键．