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中考数学备考易错题：函数与图形的应用易错点1：求几何图形问题时忽略数形结合（解析版）
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这是一份中考数学备考易错题：函数与图形的应用易错点1：求几何图形问题时忽略数形结合（解析版），共9页。
A.8个 B.7个 C.6个 D.5个
[错解]C
[错因分析] 根据等腰三角形的判定，可知本题要分类讨论：以OA为底，或OA为腰两种情况，否则会造成漏解．
[正解]A；解：①以A为圆心，以AO为半径作圆，此时交x轴只有1个点（O除外）；交y轴1个交点；
②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交x轴和y轴分别有2个点；
③作线段AO的垂直平分线，此时交x轴和y轴分别有1个点；
综上，符合条件的点P共有8个
故选：A．
[针对训练]
1．在平面直角坐标系中，已知，在轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（ ）
A．10个B．8个C．4个D．6个
3．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且
(1)求，的值．
(2)①在轴的正半轴上存在一点，使，求点的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点，使仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标．
(3)如图2，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
参考答案：
1．C
【分析】分OA为腰或底两种情况进行讨论，通过作圆弧和垂直平分线找出与y轴的交点即可.
【详解】分两种情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心，OA为半径的圆弧与轴有两个交点，以A为圆心，AO为半径的圆弧与轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与轴有一个交点
所以符合条件的点共4个，故答案选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据两腰相等，分OA为腰或底两种情况进行讨论．
2．B
【详解】解：由图可知，点P共有8种情况．
故选B.
3．(1)，
(2)，，
(3)
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性求解．
（2）①设出点M的坐标，利用M的坐标表示出长度后借助面积公式和面积关系求解；
②在坐标轴的不同位置设出不同的M的坐标，再根据题中面积关系分类讨论求解．
（3）根据平行线、角平分线的性质得出、的关系，再得出的值为定值，从而求得其值．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
解得，．
（2）①设，
由题意可得：
，，
中OM边上的高为1，中AB边上的高为2，
∵，
∴，
解得，
②由（1）得，
当M在y轴负半轴上时，有，
解得，
当M在x轴上时，设，
则，中OM边上的高为2，
则，
解得，
，，
（3）
如图所示，
由题意可得：
平分，
，
轴
，
【点睛】本题考查利用坐标计算长度，三角形面积的计算，角平分线、平行线的性质及分类讨论的思想，解决本题的关键是熟悉各性质并综合应用．
4．(1)yx+2，y；
(2)△AOB的面积；
(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）
【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）△AOB的面积S=×OM×（x-x）=×2×（3+6）=9；
（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解： AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），
则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故一次函数的表达式为：yx+2；
（2）解：设一次函数yx+2交y轴于点M（0，2），
∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），
∴△AOB的面积SOM×（x﹣x）2×（3+6）＝9；
（3）解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
A.8个 B.7个 C.6个 D.5个
[错解]C
[错因分析] 根据等腰三角形的判定，可知本题要分类讨论：以OA为底，或OA为腰两种情况，否则会造成漏解．
[正解]A；解：①以A为圆心，以AO为半径作圆，此时交x轴只有1个点（O除外）；交y轴1个交点；
②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交x轴和y轴分别有2个点；
③作线段AO的垂直平分线，此时交x轴和y轴分别有1个点；
综上，符合条件的点P共有8个
故选：A．
[针对训练]
1．在平面直角坐标系中，已知，在轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（ ）
A．10个B．8个C．4个D．6个
3．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且
(1)求，的值．
(2)①在轴的正半轴上存在一点，使，求点的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点，使仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标．
(3)如图2，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
参考答案：
1．C
【分析】分OA为腰或底两种情况进行讨论，通过作圆弧和垂直平分线找出与y轴的交点即可.
【详解】分两种情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心，OA为半径的圆弧与轴有两个交点，以A为圆心，AO为半径的圆弧与轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与轴有一个交点
所以符合条件的点共4个，故答案选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据两腰相等，分OA为腰或底两种情况进行讨论．
2．B
【详解】解：由图可知，点P共有8种情况．
故选B.
3．(1)，
(2)，，
(3)
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性求解．
（2）①设出点M的坐标，利用M的坐标表示出长度后借助面积公式和面积关系求解；
②在坐标轴的不同位置设出不同的M的坐标，再根据题中面积关系分类讨论求解．
（3）根据平行线、角平分线的性质得出、的关系，再得出的值为定值，从而求得其值．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
解得，．
（2）①设，
由题意可得：
，，
中OM边上的高为1，中AB边上的高为2，
∵，
∴，
解得，
②由（1）得，
当M在y轴负半轴上时，有，
解得，
当M在x轴上时，设，
则，中OM边上的高为2，
则，
解得，
，，
（3）
如图所示，
由题意可得：
平分，
，
轴
，
【点睛】本题考查利用坐标计算长度，三角形面积的计算，角平分线、平行线的性质及分类讨论的思想，解决本题的关键是熟悉各性质并综合应用．
4．(1)yx+2，y；
(2)△AOB的面积；
(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）
【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）△AOB的面积S=×OM×（x-x）=×2×（3+6）=9；
（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解： AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），
则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故一次函数的表达式为：yx+2；
（2）解：设一次函数yx+2交y轴于点M（0，2），
∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），
∴△AOB的面积SOM×（x﹣x）2×（3+6）＝9；
（3）解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
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