北师大版八年级上册6 实数达标测试

这是一份北师大版八年级上册6 实数达标测试，共46页。试卷主要包含了实数的分类，1010010001…，实数与数轴上的点一 一对应，实数的三个非负性及性质，实数的运算，实数的大小的比较等内容，欢迎下载使用。

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知识点01:平方根和立方根
知识点02:无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
细节剖析（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
知识点03:二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
细节剖析：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
细节剖析：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
细节剖析：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
细节剖析：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点04:二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
细节剖析：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
考点提优练
考点01：非负数的性质：算术平方根
1．（2023春•密山市期末）若a，b为实数，且|a+1|+＝0，则﹣（﹣ab）2018的值是（ ）
A．1B．2018C．﹣1D．﹣2018
2．已知x，y为实数，则代数式++的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
3．（2022春•礼县期末）已知，则ab＝ ．
4．（2022春•东莞市期中）已知和|y﹣|互为相反数，则x＝ ，y＝ ．
5．（2023春•鼓楼区校级期中）已知|7﹣3m|+（5﹣n）2＝3m﹣7﹣，求（）2．
6．（2023春•大冶市期中）已知：实数a、b满足条件+（ab﹣2）2＝0．
试求的值．
考点02：立方根
7．（2022春•越秀区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．4a﹣a＝3C．|a|﹣a＝0D．
8．（2022春•同安区期中）已知，则＝ ．
9．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
10．（2022春•静海区校级期中）已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．
11．（2022•南京模拟）求下列各式中的x：
（1）4x2﹣49＝0； （2）；
（3）25x2﹣64＝0； （4）343（x+3）3+27＝0．
12．（2022春•黄冈期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
13＝123＝833＝2743＝6453＝12563＝216 73＝343 83＝51293＝729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是
（2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①＝ ； ②＝ ；③＝ ．
考点03：实数与数轴
13．（2022春•集美区期末）数轴上的点A，B，O表示的数分别为a，b，0，其中a＞0，ab＜0，且|a|＜2|b|，M是OA中点，线段BM上仅有2个表示整数的点．若a﹣2b﹣2＝2，则整数c不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（2022•城厢区校级一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A．|c|＞|a|B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a+b+c＝0D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
15．（2019秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．C．D．
16．（2023秋•钢城区期末）如图，在数轴上点A表示的数是4、点P表示的数是1，线段AB⊥AP，AB＝1，以点P为圆心，PB长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是 ．
17．（2022春•沙湾县期末）如图，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是 ．
18．（2023秋•义乌市期末）如图，已知实数a（a＞0）表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，得到点P'．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P'为点P的“回移点”．
（1）当t＝2时，
①若a＝4，求点P的回移点P'表示的实数；
②若回移点P'与点P恰好重合，求a的值；
（2）是否存在这样的情况：原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点？若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．
19．（2023秋•济宁期末）已知，如图，实数a，b，c在数轴上表示的点分别是点A，B，C，且a，b，c满足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒，3个单位秒．设运动时间为t（秒）．
①2秒后，点A，B，C表示的数分别是 ， ， ；
②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）
③在②的基础上，请问：3BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围．
考点04：实数大小比较
20．（2022春•五华区校级期中）在﹣1，π，﹣，3.14四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．πC．﹣D．3.14
21．（2022•雁塔区校级模拟）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．C．0D．﹣3
22．（2023秋•鼓楼区校级期末）比较3和5的大小：3 5（用“＞”或“＜”连接）．
23．（2022春•高新区期中）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）当q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，求p（用n表示）；
（3）在（2）的条件下比较p与（a3+）的大小，并说明理由．
24．（2022•南京模拟）请完成以下问题
（1）有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大小，并用“＜”连接．
（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．
25．（2019春•磁县期末）（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③的平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
考点05：实数的运算
26．（2022•夏邑县模拟）下列运算正确的是（ ）
A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3B．﹣3×20220＝﹣3
C．D．
27．（2022春•东莞市期中）下图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 ．
28．（2022•南岗区校级模拟）计算（﹣）0﹣的结果是 ．
29．（2022春•静海区校级期中）计算：
（1）； （2）．
30．（2022春•仓山区校级期中）先阅读，然后解答提出的问题：
设a，b是有理数，且满足a+b＝3﹣2，求ba的值．
解：由题意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+y＝8+4，求xy的值．
31．（2022•鼓楼区校级开学）计算：
（1）（）2+﹣﹣82； （2）﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
考点06：二次根式的性质与化简
32．（2022春•藁城区校级期中）与结果相同的是（ ）
A．a﹣bB．a+bC．b﹣aD．|a﹣b|
33．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
34．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝ ．
35．（2022春•姜堰区月考）将a根号外面的式子移到根号内是 ．
36．（2022秋•晋江市月考）材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴﹣1．
（1）仿照材料二，化简：；
（2）结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2+n2的值．
37．（2022春•郧西县期末）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：＝．再如：＝．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：．
（3）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
考点07：二次根式的混合运算
38．（2022春•颍州区期末）下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
39．（2022•南京模拟）下列计算正确的是（ ）
A．÷＝4B．﹣＝C．2+＝2D．×＝
40．（2022•江北区开学）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为 ．
41．（2022•南京模拟）计算：
（1）； （2）．
42．（2022春•宿豫区期末）观察下列计算：．
＝＝＝﹣1，
＝＝＝﹣，
＝＝＝﹣，
（1）运用上面的计算方法化简（n为正整数）；
（2）利用上面的结论计算：（+++…+）（1+）；
（3）计算：++．
43．（2022春•安庆期末）计算：
（1）÷+2×﹣（2+）2
（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+
考点08：二次根式的化简求值
44．（2022春•峄城区期末）已知x＝﹣1，y＝+1，则分式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
45．（2023秋•天河区校级月考）已知x＝，则x6﹣2
的值为（ ）
A．0B．1C．D．
46．（2022春•临西县期末）已知x＝4+，y＝4﹣．
（1）x+y＝ ．
（2）求x2+xy+y2的值为 ．
47．（2022•雄县一模）已知，．则
（1）x2+y2＝ ．
（2）（x﹣y）2﹣xy＝ ．
48．（2022•南京模拟）已知，，求的值．
49．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（+1）（﹣1）．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知x＝，求x+1﹣的值．
原式＝…第一步
＝…第二步
＝．…第三步
把x＝代入上式，得
原式＝…第四步
＝…第五步
＝﹣1…第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第 步是进行分式的通分．
②第 步开始出错，这一错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
考点09：二次根式的应用
50．（2022春•内黄县校级月考）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
51．（2022春•高青县期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2
52．（2022•湖口县二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 ．
53．（2022春•前郭县期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 ．
54．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．
（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 ．
55．（2023秋•汝州市期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈，其中R是地球半径，通常取6400km．
（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．
（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
2022-2023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练
第2章《实数》
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知识点01:平方根和立方根
知识点02:无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
细节剖析（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
知识点03:二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
细节剖析：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
细节剖析：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
细节剖析：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
细节剖析：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点04:二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
细节剖析：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
考点提优练
考点01：非负数的性质：算术平方根
1．（2023春•密山市期末）若a，b为实数，且|a+1|+＝0，则﹣（﹣ab）2018的值是（ ）
A．1B．2018C．﹣1D．﹣2018
解：∵|a+1|+＝0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴﹣（﹣ab）2018＝﹣[﹣（﹣1）×1）]2018＝﹣1，
故选：C．
2．已知x，y为实数，则代数式++的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
解：如图，
设P（x，0），Q（0，y），A（﹣1，2），B（3，﹣3），
则代数式表示AQ+PB+PQ，
当A，Q，P，B四点共线时，AQ+PB+PQ取最小值，
即AB＝＝，
故选：D．
3．（2022春•礼县期末）已知，则ab＝ 1 ．
解：由题意得，a﹣1＝0，8﹣b＝0，
解得a＝1，b＝8，
所以，ab＝18＝1．
故答案为：1．
4．（2022春•东莞市期中）已知和|y﹣|互为相反数，则x＝ ﹣3 ，y＝ ．
解：∵和|y﹣|互为相反数，
∴+|y﹣|＝0
∴2x+6＝0，y﹣＝0，
解得x＝﹣3，y＝，
故答案为﹣3，．
5．（2023春•鼓楼区校级期中）已知|7﹣3m|+（5﹣n）2＝3m﹣7﹣，求（）2．
解：根据条件得：|7﹣3m|+（5﹣n）2+＝3m﹣7，
根据非负数的性质得：3m﹣7≥0，
∴7﹣3m≤0，
∴3m﹣7+（5﹣n）2+＝3m﹣7，
∴（5﹣n）2+＝0，
∴5﹣n＝0，m﹣4＝0，
∴m＝4，n＝5，
∴原式＝m﹣2×+n
＝4﹣2×2×+5
＝9﹣4．
6．（2023春•大冶市期中）已知：实数a、b满足条件+（ab﹣2）2＝0．
试求的值．
解：∵+（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0，ab﹣1＝0，
解得，a＝1，b＝2，
∴+++…+
＝++…+
＝1﹣+﹣+…﹣
＝1﹣
＝．
考点02：立方根
7．（2022春•越秀区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．4a﹣a＝3C．|a|﹣a＝0D．
解：∵＝3，
∴A选项的计算不正确；
∵4a﹣a＝3a，
∴B选项的计算不正确；
∵|a|﹣a＝，
∴C选项的运算不正确；
∵＝﹣1，
∴D选项的计算正确，
故选：D．
8．（2022春•同安区期中）已知，则＝ 1 ．
解：∵a2＝81，
∴a＝±9．
∵＝﹣2，
∴b＝﹣8．
∵b﹣a≥0，
∴a＝﹣9，b＝﹣8．
∴＝＝1．
故答案为：1．
9．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
解：＝8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．
故答案为：．
10．（2022春•静海区校级期中）已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．
解：（1）由题意得，，．
∴5x+2＝27，3x+y﹣1＝16．
∴x＝5，y＝2．
（2）由（1）得，x＝5，y＝2．
∴3x﹣2y﹣2＝15﹣4﹣2＝9．
∴3x﹣2y﹣2的平方根是．
11．（2022•南京模拟）求下列各式中的x：
（1）4x2﹣49＝0；
（2）；
（3）25x2﹣64＝0；
（4）343（x+3）3+27＝0．
解：（1）4x2﹣49＝0，
∴4x2＝49，
即：，
∴；
（2），
∴，
∴，
解得：；
（3）25x2﹣64＝0，
∴25x2＝64，
即：，
解得：；
（4）343（x+3）3+27＝0，
∴343（x+3）3＝﹣27，
即：，
∴，
解得：．
12．（2022春•黄冈期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
13＝123＝833＝2743＝6453＝12563＝216 73＝343 83＝51293＝729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 7 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 2 ，验证得19683的立方根是 27
（2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①＝ 49 ； ②＝ ﹣72 ；③＝ 0.81 ．
解：（1）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（2）①＝49； ②＝﹣72；③＝0.81．
故答案为：（1）7，2，27；（2）49，﹣72，0.81．
考点03：数轴
13．（2022春•集美区期末）数轴上的点A，B，O表示的数分别为a，b，0，其中a＞0，ab＜0，且|a|＜2|b|，M是OA中点，线段BM上仅有2个表示整数的点．若a﹣2b﹣2＝2，则整数c不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：∵a＞0，ab＜0，且|a|＜2|b|，
∴b＜0，且|b|＞|a|，即OB＞a，
∵M是OA中点，
∴OM＝a，点M表示的数为a，
∴OB＞OM，
∵线段BM上仅有2个表示整数的点，
∴线段OM上除了0没有其他表示整数的点，线段BM上有2个表示整数的点0和﹣1，
∴a＜1，﹣2＜b＜﹣1，
∴a＜2，2＜﹣2b＜4，
∴a+2＜a﹣2b＜a+4，
∴a＜a﹣2b﹣2＜a+2，
∵a﹣2b﹣2＝2，
∴a＜2＜a+2，
∵0＜a＜2，且c为整数，
∴0＜c＜4，
∴c不可能是4．
故选：D．
14．（2022•城厢区校级一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A．|c|＞|a|B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a+b+c＝0D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
解：由数轴可知，a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，
∴|c|＜|a|，故A选项错误；
∵b≠c，
∴2b≠2c，
∴c﹣a≠b﹣a+b﹣c，故B选项错误；
∵a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，a，b，c不是整数，且不确定，
∴a+b+c的值不能确定为0，故C选项错误；
∵|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|﹣|b﹣c|＝c﹣a﹣（c﹣b）＝b﹣a，
∴|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|，故D选项正确；
故选：D．
15．（2019秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．C．D．
解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，
∴点A表示的数为m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m
∵OA＝2OB，
∴OB＝OA＝，
故选：D．
16．（2023秋•钢城区期末）如图，在数轴上点A表示的数是4、点P表示的数是1，线段AB⊥AP，AB＝1，以点P为圆心，PB长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是 1﹣ ．
解：在Rt△ABP中，根据勾股定理得：PB＝，
∵，
∴C到原点的距离为，
∵C在原点的左侧，
∴．
故答案为：1﹣．
17．（2022春•沙湾县期末）如图，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是 ﹣ ．
解：由勾股定理得：OB＝＝，
点A在数轴上表示的实数是﹣，
故答案为：﹣．
18．（2023秋•义乌市期末）如图，已知实数a（a＞0）表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，得到点P'．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P'为点P的“回移点”．
（1）当t＝2时，
①若a＝4，求点P的回移点P'表示的实数；
②若回移点P'与点P恰好重合，求a的值；
（2）是否存在这样的情况：原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点？若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．
解：（1）①t＝2，a＝4时，回移点P'表示的实数是4﹣2×1+2×4＝10；
②t＝2时，回移点P'表示的实数是a﹣2×1+2a＝3a﹣2，
∵回移点P'与点P恰好重合，
∴3a﹣2＝a，
解得a＝1，
答：a的值是1；
（2）存在原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点，
根据题意，P表示的数是a，O表示的数是0，P'表示的数是a﹣t+2a＝3a﹣t，
∴OP＝a，OP'＝|3a﹣t|，PP'＝|2a﹣t|，
当O为PP'三等分点时，OP'＝2OP或OP'＝OP，
∴|3a﹣t|＝2a或|3a﹣t|＝a，
解得t＝a（不符合题意，舍去）或t＝5a或t＝a（不符合题意，舍去）或t＝a；
当P'是OP的三等分点时，OP'＝2PP'或OP'＝PP'，
∴|3a﹣t|＝2|2a﹣t|或|3a﹣t|＝|2a﹣t|，
解得t＝a（不符合题意，舍去）或t＝a或t＝4a（不符合题意，舍去）或t＝a，
当P为OP'的三等分点时，OP＝2PP'或OP＝PP'，
∴a＝2|2a﹣t|或a＝|2a﹣t|，
解得t＝a或t＝a（不符合题意，舍去）或t＝4a（不符合题意，舍去）或t＝0（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝5a或t＝a或t＝a或t＝a或t＝a．
19．（2023秋•济宁期末）已知，如图，实数a，b，c在数轴上表示的点分别是点A，B，C，且a，b，c满足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒，3个单位秒．设运动时间为t（秒）．
①2秒后，点A，B，C表示的数分别是 ﹣10 ， 2 ， 9 ；
②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）
③在②的基础上，请问：3BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围．
解：（1）∵a、b、c满足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0，
∴a+8＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，
解得a＝﹣8，b＝﹣2，c＝3，
答：a＝﹣8，b＝﹣2，c＝3；
（2）∵A 表示的数为﹣8，B表示的数为﹣2，C表示的数为3，
又∵点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒，
∴t秒后A表示的数为﹣8﹣t、B表示的数为﹣2+2t、C表示的数为3+3t，
①2秒后，A表示﹣8﹣2＝﹣10，B表示﹣2+4＝2，C 表示3+6＝9，
故答案为：﹣10，2，9；
②t秒后，B点始终在C点的左侧，∴BC＝3+3t﹣（﹣2+2t）＝t+5，
B点始终在A点的右侧，∴AB＝﹣2+2t﹣（﹣8﹣t）＝3t+6，
所以BC＝t+5，AB＝3t+6；
③∵3BC﹣AB＝3（t+5）﹣（3t+6）＝3t+15﹣3t﹣6＝9是定值，
∴3BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化，始终是9．
考点04：实数的大小比较
20．（2022春•五华区校级期中）在﹣1，π，﹣，3.14四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．πC．﹣D．3.14
解：∵1＜，
∴﹣1＞﹣，
∴﹣＜﹣1＜3.14＜π，
∴最小的数是﹣，
故选：C．
21．（2022•雁塔区校级模拟）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．C．0D．﹣3
解：∵﹣3＜﹣1＜0＜，
∴其中最小的数是﹣3．
故选：D．
22．（2023秋•鼓楼区校级期末）比较3和5的大小：3 ＜ 5（用“＞”或“＜”连接）．
解：3＝，5＝，
∵45＜50，
∴3＜5，
故答案为：＜．
23．（2022春•高新区期中）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）当q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，求p（用n表示）；
（3）在（2）的条件下比较p与（a3+）的大小，并说明理由．
解：（1）∵a3+a﹣3＝p①，a3﹣a﹣3＝q②，
∴①+②得，2a3＝p+q＝4，
∴a3＝2；
①﹣②得，p﹣q＝2a﹣3＝2×＝1．
（2）∵q2＝22n+2﹣2n﹣2（n≥1，且n是整数），
∴q2＝（2n﹣2﹣n）2，
∴q＝2n﹣2﹣n，
又由（1）中①+②得2a3＝p+q，a3＝（p+q），
①﹣②得2a﹣3＝p﹣q，a﹣3＝（p﹣q），
∴p2﹣q2＝4，
p2＝q2+4＝（2n+2﹣n）2，
∴p＝2n+2﹣n；
（3）a3+a﹣3＝2n+2﹣n③，
a3﹣a﹣3＝2n﹣2﹣n④，
∴③+④得2a3＝2×2n，
∴a3＝2n，
∴p﹣（a3+）＝2n+2﹣n﹣2n﹣＝2﹣n﹣，
当n＝1时，p＞a3+；
当n＝2时，p＝a3+；
当n≥3时，p＜a3+．
24．（2022•南京模拟）请完成以下问题
（1）有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大小，并用“＜”连接．
（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．
解：（1）将﹣a，﹣b，﹣c在数轴上表示出来如下：
∵在数轴上右边的总比左边的大，
∴a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c用“＜”连接如下：
c＜b＜a＜0＜﹣a＜﹣b＜﹣c．
（2）∵a与b互为倒数，
∴ab＝1；
∵m与n互为相反数，
∴m+n＝0；
∵x的绝对值为最小的正整数，
∴x＝±1，
∴当x＝1时，
原式＝2012×0+2020×13﹣2019×1
＝2020﹣2019
＝1；
当x＝﹣1时，
原式＝2012×0+2020×（﹣1）3﹣2019×1
＝﹣2020﹣2019
＝﹣4039．
综上，2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值为1或﹣4039．
25．（2019春•磁县期末）（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③的平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
解（1）①2的算术平方根是；
②﹣27的立方根是﹣3；
③＝4，4的平方根是±2．
（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下：
用“＜”连接为：﹣3＜﹣2＜＜2．考点
考点05：实数的运算
26．（2022•夏邑县模拟）下列运算正确的是（ ）
A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3B．﹣3×20220＝﹣3
C．D．
解：A、原式＝2÷（﹣）＝2×（﹣6）＝﹣12，不符合题意；
B、原式＝﹣3×1＝﹣3，符合题意；
C、原式＝3﹣2＝，不符合题意；
D、原式＝﹣3，不符合题意．
故选：B．
27．（2022春•东莞市期中）下图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 3 ．
解：将x＝16代入计算程序得，
+1＝+1＝2+1＝3，
故答案为：3．
28．（2022•南岗区校级模拟）计算（﹣）0﹣的结果是 ﹣1 ．
解：原式＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
29．（2022春•静海区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝2﹣（﹣2）+5
＝2+2+5
＝9；
（2）
＝﹣1+4﹣
＝3．
30．（2022春•仓山区校级期中）先阅读，然后解答提出的问题：
设a，b是有理数，且满足a+b＝3﹣2，求ba的值．
解：由题意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+y＝8+4，求xy的值．
解：∵x2﹣2y+y＝8+4，
∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4）＝0，
∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，
解得：y＝4，x＝±4，
∴当x＝4，y＝4时，xy＝4×4＝16；
当x＝﹣4，y＝4时，xy＝（﹣4）×4＝﹣16；
综上所述，xy的值为±16．
31．（2022•鼓楼区校级开学）计算：
（1）（）2+﹣﹣82；
（2）﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
解：（1）原式＝9﹣4﹣17﹣64
＝9﹣85
＝﹣76；
（2）原式＝2﹣1﹣1+
＝．
考点06：二次根式的性质与化简
32．（2022春•藁城区校级期中）与结果相同的是（ ）
A．a﹣bB．a+bC．b﹣aD．|a﹣b|
解：
＝
＝|a﹣b|．
故选：D．
33．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
34．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝ 2 ．
解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣+
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
35．（2022春•姜堰区月考）将a根号外面的式子移到根号内是 ．
解：a＝﹣（﹣a）＝﹣＝﹣．
故答案为：．
36．（2022秋•晋江市月考）材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴﹣1．
（1）仿照材料二，化简：；
（2）结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2+n2的值．
解：（1）
＝
＝
＝
＝﹣1．
（2）综合两个材料：当若（a，b，m，n均为正整数），
则m+n＝a，mn＝b．
（3）由于m、n、a、b满足（a，b，m，n均为正整数），
∴m+n＝4，mn＝3．
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝16﹣2×3
＝10．
37．（2022春•郧西县期末）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：＝．再如：＝．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：．
（3）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
解：（1）＝＝＝；
（2）＝＝＝2﹣；
（3）∵a+6＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2且2mn＝6，
∴a＝m2+5n2且mn＝3，
∵a，m，n为正整数，
∴当m＝1，n＝3时a＝46；
当m＝3，n＝1时，a＝14．
所以a的值为：14或46．
考点07：二次根式的混合运算
38．（2022春•颍州区期末）下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．2＝2，故本选项不符合题意；
C．÷
＝
＝
＝2，故本选项符合题意；
D．3﹣＝2，故本选项不符合题意；
故选：C．
39．（2022•南京模拟）下列计算正确的是（ ）
A．÷＝4B．﹣＝C．2+＝2D．×＝
解：A．÷＝2÷＝2，此选项不符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
C．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
D．×＝＝，此选项符合题意；
故选：D．
40．（2022•江北区开学）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为 2或2 ．
解：∵a+6，
∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，m，n均为整数），
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
①m＝1，n＝3，a＝28，
②m＝3，n＝1，a＝12，
故的值为2或2．
41．（2022•南京模拟）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝
＝﹣1+3
＝2；
（2）原式＝
＝
＝．
42．（2022春•宿豫区期末）观察下列计算：．
＝＝＝﹣1，
＝＝＝﹣，
＝＝＝﹣，
（1）运用上面的计算方法化简（n为正整数）；
（2）利用上面的结论计算：（+++…+）（1+）；
（3）计算：++．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）（+++…+）（1+）
＝（+++…+）（1+）
＝（﹣1）（1+）
＝2022﹣1
＝2021；
（3）++
＝++
＝﹣1++
＝﹣1．
43．（2022春•安庆期末）计算：
（1）÷+2×﹣（2+）2
（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+
解：（1）原式＝+2﹣（8+4+3）
＝4+2﹣11﹣4
＝﹣7﹣2；
（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5
＝4﹣1﹣4+5
＝4．
考点08：二次根式的化简求值
44．（2022春•峄城区期末）已知x＝﹣1，y＝+1，则分式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
解：
＝
＝x+y，
当x＝﹣1，y＝+1时，
原式＝﹣1++1
＝2．
故选：D．
45．（2023秋•天河区校级月考）已知x＝，则x6﹣2的值为（ ）
A．0B．1C．D．
解：∵x＝，
∴x＝，
∴x6﹣2
＝+x（）﹣
＝+x﹣
＝+x﹣
＝
＝x﹣
＝
＝．
故选：C．
46．（2022春•临西县期末）已知x＝4+，y＝4﹣．
（1）x+y＝ 8 ．
（2）求x2+xy+y2的值为 53 ．
解：（1）∵x＝4+，y＝4﹣，
∴x+y＝4++4﹣＝8，
故答案为：8；
（2）∵x＝4+，y＝4﹣，
∴xy＝（4+）×（4﹣）＝16﹣5＝11，
∵x+y＝8，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝82﹣11
＝64﹣11
＝53，
故答案为：53．
47．（2022•雄县一模）已知，．则
（1）x2+y2＝ 14 ．
（2）（x﹣y）2﹣xy＝ 11 ．
解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝2+，
∴x﹣y＝（2﹣）﹣（2+）＝﹣2，xy＝（2﹣）×（2+）＝4﹣3＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝12+2＝14，
故答案为：14；
（2）由（1）知：x﹣y＝﹣2，xy＝1，
所以（x﹣y）2﹣xy＝（﹣2）2﹣1＝12﹣1＝11，
故答案为：11．
48．（2022•南京模拟）已知，，求的值．
解：∵＝＝+2，＝＝﹣2，
∴ab＝（+2）×（﹣2）＝5﹣4＝1，a+b＝+2+﹣2＝2，
∴
＝
＝
＝
＝（2）2﹣2
＝20﹣2
＝18．
49．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（+1）（﹣1）．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知x＝，求x+1﹣的值．
原式＝…第一步
＝…第二步
＝．…第三步
把x＝代入上式，得
原式＝…第四步
＝…第五步
＝﹣1…第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第 一 步是进行分式的通分．
②第 五 步开始出错，这一错误的原因是 分子没有乘（+1） ．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
解：（1）6+（+1）（﹣1）
＝6+5﹣1
＝10；
（2）任务一：填空：
①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．
故答案为：一；
②第五步开始出错，这一错误的原因是分子没有乘（+1），
故答案为：五，分子没有乘（+1）；
任务二：﹣1﹣，
计算过程为：原式＝
＝
＝．
当x＝时，原式＝＝＝﹣1﹣．
考点09：二次根式的应用．
（2022春•内黄县校级月考）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
解：如图．
由题意知：S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，
∴HC＝4cm，LM＝LF＝2cm．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（4﹣2）×2
＝（8﹣12）（cm2）．
故选：C．
51．（2022春•高青县期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2
解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是+＝4+2，
留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．
故选：A．
52．（2022•湖口县二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 1或或2﹣ ．
解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；
如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．
故答案为：1或或2﹣．
53．（2022春•前郭县期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 2 ．
解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故答案为：2．
54．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．
（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 ．
解：（1）我同意这种说法．
验证：利用海伦公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．
△ABC的面积的面积为：＝6；
利用秦九韶公式：
△ABC的面积的面积为＝6．
∵＝6，
海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴O为△ABC的内心，且O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，
∴△ABC的面积等于：0.5×（5+6+7）x＝6，
解得：x＝．
所以OD的长为：．
故填：．
55．（2023秋•汝州市期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈，其中R是地球半径，通常取6400km．
（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．
（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．
解：（1）由R＝6400km，h＝0.02km，
得d＝＝＝16（km），
答：此时d的值为16km；
（2）说法是错误，
理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h＝1.5km，
则d2＝2×1.5×6400＝19200，
2302＝52900，
∵19200＜52900，
∴d＜230，
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海 类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：