北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第13讲 实数范围内分解因式与因式分解的应用（原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第13讲 实数范围内分解因式与因式分解的应用（原卷版+解析)，共57页。

知识精讲
知识点01 实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
【知识拓展1】 （2023秋•杨浦区期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣mB．x2﹣mx+1C．x2+x+1D．x2﹣mx﹣1
【即学即练1】（2023春•杨浦区期末）如果二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，那么p取值范围是（ ）
A．p＞4B．p＜4C．p≥4D．p≤4
【即学即练2】（2023秋•徐汇区期末）在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣1＝ ．
【即学即练3】（2023秋•虹口区校级期末）在实数范围内分解因式：3x2y2﹣2xy﹣6＝ ．
【知识拓展2】（2023春•临泽县月考）在实数范围内分解因式：
（1）am2﹣6ma+9a；
（2）9a4﹣4b4．
【即学即练1】（2023秋•奉贤区校级期中）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣4y2．
知识点02 因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
【知识拓展1】（2023秋•兴山县期末）已知a+b＝3，ab＝﹣5，则a2b+ab2＝ ．
【即学即练1】（2023秋•开封期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，5，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：封，爱，我，数，学，开．现将5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱开封C．我爱开封D．开封数学
【即学即练2】（2023秋•房县期末）已知x2+x+1＝0，则x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【即学即练3】（2023秋•原阳县期末）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则△ABC的形状为 三角形．
【即学即练4】（2023秋•仁怀市期末）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数就被称为“和平数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，所以4和12都是“和平数”．介于1到350之间的最大“和平数”是 ．
能力拓展
1.（2022•开州区模拟）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．
例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1+9＝10，∴4819是“双十数”；
又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4+4≠10，∴1496不是“双十数”．
（1）判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；
（2）自然数N＝A×B为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自然数N．
2．（2023秋•泗阳县期末）我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：×3，2﹣．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ② ；“差积等数对”的是 ① ．
①（﹣，﹣2），②（，﹣2），③（，2）．
（2）若数对（，﹣2）是“差积等数对”，求x的值．
（3）是否存在非零的有理数m，n，使数对（2m，n）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
3．（2023秋•公安县期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣5，﹣3，﹣2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（d﹣c）a+b的值为（ ）
A．﹣50B．﹣100000C．50D．100000
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共4小题）
1．（2023•凉山州模拟）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．x2+y2+2x+2yB．x2+y2+2xy﹣2
C．x2﹣y2+4x+4yD．x2﹣y2+4y﹣4
2．（2022•拱墅区模拟）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1B．a2+2a+1C．a2+4D．9a2﹣6a+1
3．（2023秋•广饶县期末）如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积，甲同学写出了一个等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），乙同学也写出了一个等式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则（ ）
A．甲乙都正确B．甲乙都不正确
C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
4．（2023秋•定西期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱定西B．爱定西C．我爱学D．定西数学
二．填空题（共4小题）
5．（2023•天宁区校级一模）在实数范围内分解因式：12a2﹣3b2＝ ．
6．（2020秋•罗湖区校级月考）把多项式x3y﹣25xy分解因式的结果是 ．
7．（2023秋•寻乌县期末）在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ ．
8．（2023秋•濮阳期末）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2＝ ．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋•泉州期末）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．3
2．（2023秋•江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
3．（2023秋•卧龙区校级月考）三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．任意直角三角形
二．填空题（共3小题）
4．（2023秋•江油市期末）在实数范围内因式分解：2x2+3x﹣4＝ ．
5．（2023秋•交城县期末）在实数范围内分解因式a4﹣64＝ ．
6．（2023•临沂一模）在实数范围内分解因式：4a3﹣8a＝ ．
三．解答题（共8小题）
7．（2017秋•泸县期末）在实数范围内将下列各式分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x3﹣5x．
8．（2017春•武威月考）在实数范围内将下列各式因式分解
（1）x2﹣2x+3
（2）x8﹣16．
9．（2016秋•南通月考）分解因式
（1）a3﹣2a2+a
（2）在实数范围内因式分解：x4﹣9．
10．（2023秋•石城县期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．
②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．
解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ ＝（x﹣ ）2；
（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；
（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．
11．（2022春•大余县月考）三位数可表示为100a+10b+c，若三位数abc能被n整除，将其首位数字放到末尾，得到新数能被n+1整除，再次将其首位数字放到末尾，得到新数能被n+2整除，则称这个三位数是n的一个“派生数”（n≠1）．对任意三位数，规定P（）＝．例如，201能被3整除，012能被4整除，120能被5整除，则三位数201是3的一个“派生数”；再如324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则三位数324是2的一个“派生数”，且P）＝＝9．
（1）P（）＝ ，255 5的一个“派生数”；
（2）若三位数4xy是3的一个“派生数”，且x≠0，请求出满足条件的所有，并求出P（）的最大值．
12．（2022春•九龙坡区校级月考）对于一个三位数m，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等．则称这样的数为“行知数”．将“行知数”m
任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．将这6个两位数的和记为D（m）．
例如，D（235）＝23+25+35+32+52+53＝220．
（1）计算：D（123） ；
（2）求证：D（m）能被22整除；
（3）记F（m）＝，例如F（235）＝＝＝10．若“行知数”n满足个位上的数字是百位上数字的3倍，且F（n）除以7余1，请求出所有满足条件的“行知数”n的值．
13．（2022春•北碚区校级月考）如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：236＝122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以236是“方加数”．
（1）判断212是否是“方加数”？．并说明理由；
（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．
14．（2023秋•川汇区期末）因式定理：对于多项式f（x），若f（a）＝0，则（x﹣a）是f（x）的一个因式，并且可以通过添减单项式从f（x）中分离出来．已知f（x）＝x3﹣5x2+（k+4）x﹣k．
（1）填空：当x＝1时，f（1）＝0，所以（x﹣1）是f（x）的一个因式．于是f（x）＝x3﹣x2﹣4x2+4x+kx﹣k＝（x﹣1）×g（x）．则g（x）＝ ；
（2）已知关于x的方程f（x）＝0的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共1小题）
1．（2023秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 ．
二．解答题（共12小题）
2．（2017春•庐阳区校级月考）在实数范围内分解因式
﹣9x4+16．
3．（2017春•钦南区校级月考）在实数范围内分解因式：
（1）9a 4﹣4b 4；
（2）x 2﹣2 x+3．
4．（2022春•渝中区校级月考）材料：对于一个四位自然数，满足十位数字与百位数字之和等于个位数字与千位数字之和的2倍，则称这个数为“和倍数”．若规定P（N）为千位数字的3倍与个位数字的差，Q（N）为千位数字与个位数字之和，令F（N）＝．
例如：3621，∵6+2＝2×（1+3），∴3621是“和倍数”，F（3621）＝＝2．
再比如4271，∵2+7≠2×（1+4），∴4271不是“和倍数”．
（1）判断3531，4682是否是“和倍数”，并说明理由；如果是，请计算F（N）的值；
（2）若四位自然数是“和倍数”，其十位数字能被5整除，且个位数字与百位数字的和能被3整除，F（n）为整数，求出符合条件的n．
5．（2022•渝中区校级开学）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“欢乐分解”．
例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．
又如：∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
（1）最小的“团圆数”是 ；
（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；
（3）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
6．（2022•九龙坡区校级开学）对于任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为F（m）．例如“智慧数”m＝1234，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234+134+124+123＝615，615÷3＝205，所以F（1234）＝205．
（1）计算：F（2131）＝ ；F（5876）＝ ；
（2）若“智想数”n＝7800+10x+y（1≤x≤5，1≤y≤9，x，y都是正整数），F（n）也是“智慧数”，且F（n）能被12整除，求满足条件的n的值．
7．（2022•九龙坡区校级开学）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1+2＝3，2×2+1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2+3＝5，但2×2+3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
（1）判断5413和9582是不是“筋斗数”，并说明理由；
（2）若m是“筋斗数”，且m与25的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
8．（2017秋•洛江区期中）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
（1）填空：i3＝ ，2i4＝ ；
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）； ②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请你参照i2＝﹣1这一知识点，将m2+25（m为实数）因式分解成两个复数的积．
9．（2023•沙坪坝区校级开学）阅读理解：
若一个三位数m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，且abc均为整数），a+b﹣c＝6，则称这个三位数m为“牛数”．比如：341，3+4﹣1＝6，则341为“牛数”．将三位数m的个位与百位交换位置得到新的三位数记为m′，并记F（m）＝m+m′，G（m）＝．
（1）判断453是否为“牛数”，并说明理由；
（2）已知m为“牛数”，当F（m）能被12整除时，求G（m）的最大值．
10．（2023•潼南区一模）阅读理解：
材料1：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”，例如：2534，x＝2+5，y＝3+4，因为x＝y，所以2534是“和平数”．
材料2：若一个四位数满足个位和百位相同，十位和千位相同，我们称这个数为“双子数”．将“双子数”m的百位和千位上的数字交换位置，个位和十位上的数字也交换位置，得到一个新的“双子数”m′，记F（m）＝为“双子数”的“双11数”例如：m＝3232，m′＝2323则F（m）＝＝10．
请你利用以上两个材料，解答下列问题：
（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数” ．
（2）若S是“和平数”，它的个位数字是千位数字的2倍，且百位数字与十位数字之和是14的倍数，求满足条件的所有S的值．
（3）已知两个“双子数”p、q，其中p＝，q＝（其中1≤a＜b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d且a、b、c、d都为整数），若p的“双11数”F（p）能被17整除，且p、q的“双11数”满足F（p）+2F（q）﹣（4a+3b+2d+c）＝0，求满足条件的p、q．
11．（2023春•铜梁区期末）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．
（1）请判断：2561 （填“是”或“不是”）“和平数”．
（2）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．
12．（2023春•婺城区校级期末）材料一：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）＝a2+b2．
例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32＝92﹣72，32＝62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）＝92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
13．（2023春•邗江区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝ ．b＝ ．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．
第13讲 实数范围内分解因式与因式分解的应用
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知识精讲
知识点01 实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
【知识拓展1】 （2023秋•杨浦区期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣mB．x2﹣mx+1C．x2+x+1D．x2﹣mx﹣1
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．
【解答】解：选项A，x2﹣x﹣m＝0，△＝1+4m的值有可能小于0，即x2﹣x﹣m在数范围内不能分解因式；
选项B，x2﹣mx+1＝0，△＝m2﹣4的值有可能小于0，即x2﹣mx+1在数范围内不一定能分解因式；
选项C，x2﹣x+1＝0，△＝1﹣4＝﹣3＜0，即x2﹣2x+m在数范围内不一定能分解因式；
选项D，x2﹣mx﹣1＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即x2﹣mx﹣1在数范围内一定能分解因式．
故选：D．
【点评】本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解．解题的关键是把问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题．
【即学即练1】（2023春•杨浦区期末）如果二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，那么p取值范围是（ ）
A．p＞4B．p＜4C．p≥4D．p≤4
【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可．
【解答】解：∵二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，
∴△＝16﹣4p≥0，
解得：p≤4，
故选：D．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
【即学即练2】（2023秋•徐汇区期末）在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣1＝ 2（x﹣）（x﹣） ．
【分析】先配成完全平方式，然后再利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1
＝2（x2﹣x﹣）
＝2（x2﹣x+﹣﹣）
＝2[（x﹣）2﹣]
＝2（x﹣+）（x﹣﹣）
＝2（x﹣）（x﹣）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握配方是解题的关键．
【即学即练3】（2023秋•虹口区校级期末）在实数范围内分解因式：3x2y2﹣2xy﹣6＝ 3（xy+）（xy﹣） ．
【分析】先配成完全平方式，再利用平方差公式分解即可解答．
【解答】解：3x2y2﹣2xy﹣6
＝3（x2y2﹣xy﹣2）
＝3[（xy﹣）2﹣]
＝3（xy+）（xy﹣），
故答案为：3（xy+）（xy﹣）．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握配方法是解题的关键．
【知识拓展2】（2023春•临泽县月考）在实数范围内分解因式：
（1）am2﹣6ma+9a；
（2）9a4﹣4b4．
【分析】（1）先提取公因式，再套用完全平方公式；
（2）利用平方差公式．
【解答】解：（1）原式＝a（m2﹣6m+9）
＝a（m﹣3）2；
（2）原式＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）
＝（3a2+2b2）[（a）2﹣（b）2]
＝（3a2+2b2）（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．
【即学即练1】（2023秋•奉贤区校级期中）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣4y2．
【分析】先求出二次三项式为0时的根，再把多项式因式分解即可．
【解答】解：用含y的代数式表示出方程2x2﹣3xy﹣4y2＝0的根：x＝y．
∴2x2+3x﹣4＝2（x﹣y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的求根法是解决本题的关键．
知识点02 因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
【知识拓展1】（2023秋•兴山县期末）已知a+b＝3，ab＝﹣5，则a2b+ab2＝ ﹣15 ．
【分析】利用因式分解把给定代数式分解成已知的短因式，代入已知值，问题即可解决．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝﹣5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣5）×3＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查了因式分解，解题关键是能正确进行因式分解．
【即学即练1】（2023秋•开封期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，5，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：封，爱，我，数，学，开．现将5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱开封C．我爱开封D．开封数学
【分析】将式子先用提公因式法进行分解，再利用平方差公式进行分解，分解完成后对应密码得到结果．
【解答】解：5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）
＝（5a﹣5b）（x2﹣1）
＝5（a﹣b）（x﹣1）（x+1）．
根据密码手册可知：5对应我，a﹣b对应爱，x+1对应开，x﹣1对应封．
故结果呈现的信息可能是“我爱开封”．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解，注意因式分解时提公因式法和公式法的综合运用，还要注意分解要彻底．
【即学即练2】（2023秋•房县期末）已知x2+x+1＝0，则x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【分析】利用因式分解，把所求代数式进行分解，并把已知代数式的值代入求解，问题即可解决．
【解答】解：∵x2+x+1＝0，
∴x2021+x2020+x2019+…+x+1
＝x2019（x2+x+1）+⋯+（x2+x+1）
＝x2019×0+⋯+0
＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解，解题关键是能把所求代数式正确进行因式分解．
【即学即练3】（2023秋•原阳县期末）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则△ABC的形状为 等边 三角形．
【分析】运用完全平方公式将等式化简，可求a＝b＝c，则△ABC是等边三角形．
【解答】解：∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
【即学即练4】（2023秋•仁怀市期末）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数就被称为“和平数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，所以4和12都是“和平数”．介于1到350之间的最大“和平数”是 86和88 ．
【分析】求出介于1到350之间的最大的“和平数”为哪两个连续偶数的平方差即可．
【解答】解：设介于1到350之间的最大“和平数”是y，则y＝（n+2）2﹣n2＝4n+4．
根据题意知，．
解得2≤n≤86.5．
因为n是正整数，
所以n最大值为86．
所以n+2＝88．
所以介于1到350之间的最大“和平数”是86和88．
故答案是：86和88．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是弄清楚“和平数”的运算法则，难度不大．
能力拓展
1.（2022•开州区模拟）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．
例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1+9＝10，∴4819是“双十数”；
又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4+4≠10，∴1496不是“双十数”．
（1）判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；
（2）自然数N＝A×B为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自然数N．
【分析】（1）直接利用题目中的解题方法进行求解即可；
（2）首先表示出M，利用A与B的十位数字之和能被5整除，将A与B的十位数字所有情况列出来，再利用M能被7整除来排除，从而得到所有满足条件的自然数N．
【解答】解：（1）∵357＝17×21，
1比2小1，7+1＝8，
∴357不是双十数．
∵836＝22×38，
2比3小1，2+8＝10，
∴836是双十数．
（2）∵自然数N＝A×B，两位数A放在两位数B的左边构成一个新的四位数M，
设A的十位数字为a，个位数字为b，
∴B的十位数字为a+1，个位数字为10﹣b，
∵A与B的十位数字之和能被5整除，
∴a+a+1＝5或a+a+1＝10或a+a+1＝15，
①当a+a+1＝5时，
a＝2，
∴A的十位数字为2，B的十位数字为3，
∵M能被7整除，
仅当b＝4时，M＝2436时满足条件，
N＝24×36＝864，
②当a+a+1＝10时，
a＝不满足条件，
∴这种情况舍去，
③当a+a+1＝15时，
a＝7，
∴A的十位数字为7，B的十位数字为8，
∵M能被7整除，
当b＝1时，M＝7189时满足条件，
N＝71×89＝6319，
当b＝8时，M＝7882时满足条件，
N＝78×82＝6396，
综上，满足条件的自然数N的值为864，6319，6396．
【点评】本题主要考查数与式里的新定义问题，解题的关键是明确题干所给条件，利用已知条件进行推理排除即可求解．
2．（2023秋•泗阳县期末）我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：×3，2﹣．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ② ；“差积等数对”的是 ① ．
①（﹣，﹣2），②（，﹣2），③（，2）．
（2）若数对（，﹣2）是“差积等数对”，求x的值．
（3）是否存在非零的有理数m，n，使数对（2m，n）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据所给定义判断即可．
（2）列出关于x的方程求解．
（3）列出关于m，n的方程组求解．
【解答】解：（1）①∵﹣﹣2＝﹣，﹣×（﹣2）＝，﹣﹣（﹣2）＝，
∴﹣﹣（﹣2）＝﹣×（﹣2）＝．
∵①是“差积等数对”．
②∵+（﹣2）＝﹣，﹣（﹣2）＝，×（﹣2）＝﹣．
∴+（﹣2）＝×（﹣2）＝﹣．
∴②“和积等数对”．
∵﹣+2＝，﹣﹣2＝，﹣×2＝﹣．
∴③两者都不是．
故答案为：②，①．
（2）由题意得：﹣（﹣2）＝×（﹣2）．
∴＝1﹣x，
∴x+3＝2﹣2x，
∴x＝﹣．
（3）假设存在，由题意得：．
解得：（舍去）或．
∴存在符合条件的m．n，．
【点评】本题考查新定义数对的计算与判断，掌握新定义是求解本题的关键．
3．（2023秋•公安县期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣5，﹣3，﹣2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（d﹣c）a+b的值为（ ）
A．﹣50B．﹣100000C．50D．100000
【分析】由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有c+a+（﹣5）＝a+d+5＝（﹣5）+a+5+b，进而得b＝d+5，c＝d+10，c＞b＞d，再利用尝试法，把相应的数据带入验证，可得a，b，c，d的值．
【解答】解：由题意可得
c+a+（﹣5）＝a+d+5＝（﹣5）+a+5+b，
所以有b＝d+5，c＝d+10，c＞b＞d，
由图中可知a，b，c，d的值，由﹣3，﹣2，2，3，7，8中取得，
因为c＞b＞d，
不妨取c＝8，则b＝3，d＝﹣2，
这时，a的值从﹣3，2，7中取得，
当a＝﹣3和7，计算验证，都不符合题意，
所以a＝2，这时b＝3，都符合题意．
具体数值如下图所示
所以，a＝2，b＝3，c＝8，d＝﹣2
则（d﹣c）a+b＝（﹣2﹣8）2+3＝（﹣10）5＝﹣105＝﹣10000，
故选：B．
【点评】先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共4小题）
1．（2023•凉山州模拟）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．x2+y2+2x+2yB．x2+y2+2xy﹣2
C．x2﹣y2+4x+4yD．x2﹣y2+4y﹣4
【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
【解答】解：A、原式不能分解；
B、原式＝（x+y）2﹣2＝（x+y+）（x+y﹣）；
C、原式＝（x+y）（x﹣y）+4（x+y）＝（x+y）（x﹣y+4）；
D、原式＝x2﹣（y﹣2）2＝（x+y﹣2）（x﹣y+2），
故选：A．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．（2022•拱墅区模拟）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1B．a2+2a+1C．a2+4D．9a2﹣6a+1
【分析】A、原式利用平方差公式分解即可；
B、原式利用完全平方公式分解即可；
C、原式不能分解；
D、原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），不符合题意；
B、原式＝（a+1）2，不符合题意；
C、原式不能分解，符合题意；
D、原式＝（3a﹣1）2，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
3．（2023秋•广饶县期末）如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积，甲同学写出了一个等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），乙同学也写出了一个等式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则（ ）
A．甲乙都正确B．甲乙都不正确
C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．
【解答】解：图①面积为：a2﹣b2，
图②的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴甲同学写得正确，
故选：C．
【点评】考查平方差公式的几何背景，用面积相等得出等式是常用的方法．
4．（2023秋•定西期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱定西B．爱定西C．我爱学D．定西数学
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对这个多项式进行因式分解，从而得到呈现的密码信息．
【解答】解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）
＝2（a2﹣1）（x﹣y）
＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1），
结果呈现的密码信息可能是：我爱定西，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．
二．填空题（共4小题）
5．（2023•天宁区校级一模）在实数范围内分解因式：12a2﹣3b2＝ 3（2a+b）（2a﹣b） ．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：12a2﹣3b2
＝3（4a2﹣b2）
＝3（2a+b）（2a﹣b），
故答案为：3（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
6．（2020秋•罗湖区校级月考）把多项式x3y﹣25xy分解因式的结果是 xy（x+5）（x﹣5） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣25）
＝xy（x+5）（x﹣5）．
故答案为：xy（x+5）（x﹣5）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．（2023秋•寻乌县期末）在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ 4xy（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：4x3y﹣4xy
＝4xy（x2﹣1）
＝4xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：4xy（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是解决本题的关键．
8．（2023秋•濮阳期末）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2＝ 6 ．
【分析】首先运用提公因式法进行因式分解，再进一步整体代入．
【解答】解：原式＝xy（x﹣y），
当x﹣y＝2，xy＝3时，
则原式＝3×2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了因式分解再代数式求解的应用，要渗透整体代入的思想．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋•泉州期末）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．3
【分析】由a2+b2＝1，可得a2≤1，b2≤1，﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，然后通过因式分解的应用将原式变形为（b+1）（a+3）﹣3，从而分析其最值．
【解答】解：∵a2+b2＝1，
∴a2≤1，b2≤1，
∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，
∴ab+a+3b
＝a（b+1）+3（b+1）﹣3
＝（b+1）（a+3）﹣3，
又∵a+3＞0，b+1≥0，
∴当b+1＝0，即b＝﹣1时，原式有最小值为﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的应用，将通过分析a和b的取值范围，将原式变形为（b+1）（a+3）﹣3是解题关键．
2．（2023秋•江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023
＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023
＝x﹣x2﹣2x+2023
＝﹣x2﹣x+2023
＝﹣（x2+x）+2023
＝﹣1+2023
＝2022．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
3．（2023秋•卧龙区校级月考）三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．任意直角三角形
【分析】先将已知等式左边因式分解后判定三角形形状．
【解答】解：∵a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0．
∴（a2﹣b2）（a2+b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0．
∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0．
∴（a﹣b）（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0．
∵三角形的三边长分别为a，b，c．
∴a+b＞0．
∴a﹣b＝0或a2+b2＝c2．
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形和直角三角形的判定，正确因式分解是求解本题的关键．
二．填空题（共3小题）
4．（2023秋•江油市期末）在实数范围内因式分解：2x2+3x﹣4＝ ．
【分析】先求出二次三项式为0时的根，再把多项式因式分解即可．
【解答】解：方程2x2+3x﹣4＝0的根为：x＝．
∴2x2+3x﹣4＝2（x﹣）（x﹣）．
故答案为：2（x﹣）（x﹣）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的求根法是解决本题的关键．
5．（2023秋•交城县期末）在实数范围内分解因式a4﹣64＝ （a2+8）（a+2）（a﹣2） ．
【分析】两次运用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝（a2）2﹣82
＝（a2+8）（a2﹣8）
＝（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式是解决本题的关键．
6．（2023•临沂一模）在实数范围内分解因式：4a3﹣8a＝ 4a（a+）（a﹣） ．
【分析】首先提公因式4a，然后利用平方差公式分解．
【解答】解：原式＝4a（a2﹣2）＝4a（a+）（a﹣）．
故答案是：4a（a+）（a﹣）．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
三．解答题（共8小题）
7．（2017秋•泸县期末）在实数范围内将下列各式分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x3﹣5x．
【分析】（1）先提取公因式3a，然后由完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式x，然后由平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）
＝3a（x﹣y）2；
（2）原式＝x（x2﹣5），
＝x（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
8．（2017春•武威月考）在实数范围内将下列各式因式分解
（1）x2﹣2x+3
（2）x8﹣16．
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式分解即可；
（2）利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2x+（）2＝（x﹣）2；
（2）原式＝（x4﹣4）（x4+4）＝（x2+2）（x2﹣2）（x4+4）＝（x2+2）（x+）（x﹣）（x4+4）．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
9．（2016秋•南通月考）分解因式
（1）a3﹣2a2+a
（2）在实数范围内因式分解：x4﹣9．
【分析】（1）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2；
（2）原式＝（x2+3）（x2﹣3）＝（x2+3）（x+）（x﹣）．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，以及运用公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（2023秋•石城县期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．
②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．
解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ 16 ＝（x﹣ 4 ）2；
（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；
（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式的特征求解．
（2）先配方，再求最小值．
（3）作差后配方比较大小．
【解答】解：（1）∵x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
故答案为：16，4．
（2）x2﹣10x+2＝x2﹣10x+25﹣23
＝（x﹣5）2﹣23．
∵（x﹣5）2≥0，
∴当x＝5时，原式有最小值﹣23．
（3）M﹣N＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10
＝a2﹣6a+9+1
＝（a﹣3）2+1．
∵（a﹣3）2≥0，
∴M﹣N＞0．
∴M＞N．
【点评】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
11．（2022春•大余县月考）三位数可表示为100a+10b+c，若三位数abc能被n整除，将其首位数字放到末尾，得到新数能被n+1整除，再次将其首位数字放到末尾，得到新数能被n+2整除，则称这个三位数是n的一个“派生数”（n≠1）．对任意三位数，规定P（）＝．例如，201能被3整除，012能被4整除，120能被5整除，则三位数201是3的一个“派生数”；再如324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则三位数324是2的一个“派生数”，且P）＝＝9．
（1）P（）＝ 11 ，255 是 5的一个“派生数”；
（2）若三位数4xy是3的一个“派生数”，且x≠0，请求出满足条件的所有，并求出P（）的最大值．
【分析】（1）直接根据“派生数”的计算方法计算，即可得出结论；
（2）先根据三位数是3的一个“派生数”，求出x＝5，进而求出y＝0或3或6或9，再分别计算100x+10y+4，进而判断是否是4的倍数即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得，P（）＝，
∵255能被5整除，552能被6整除，525能被7整除，
∴255是5的一个“派生数”，
（2）三位数4xy是3的一个“派生数”，
∴400+10x+y能被3整除，100x+10y+4能被4整除，100y+40+x能被5整除，
要使100y+40+x能被5整除，
∴x＝0（舍）或x＝5，
要使400+10x+y能被3整除，
∴400+10×5+y＝450+y能被3整除，
∴y能被3整除，
∴y＝0或3或6或9，
而100x+10y+4能被4整除，
当y＝0时，
100×5+10×0+4＝504能被4整除，符合题意，
P（）＝，
当y＝3时，
100×5+10×3+4＝534不能被4整除，不符合题意，
当y＝6时，
100×5+10×6+4＝564能被4整除，符合题意，
∴原三位数为456，
P（）＝，
当y＝9时，
100×5+10×9+4＝594不能被4整除，不符合题意，
∴P（）的最大值为15．
【点评】本题考查了整除问题，解题关键是能判断出x＝5．
12．（2022春•九龙坡区校级月考）对于一个三位数m，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等．则称这样的数为“行知数”．将“行知数”m
任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．将这6个两位数的和记为D（m）．
例如，D（235）＝23+25+35+32+52+53＝220．
（1）计算：D（123） 132 ；
（2）求证：D（m）能被22整除；
（3）记F（m）＝，例如F（235）＝＝＝10．若“行知数”n满足个位上的数字是百位上数字的3倍，且F（n）除以7余1，请求出所有满足条件的“行知数”n的值．
【分析】（1）设行知数m＝100a+10b+c，根据定义表示出D（m），分解因式即可得；
（2）设行知数m＝100x+10y+3x，根据定义表示出D（n），F（m），根据F（n）F（n）除以7余1，即可求出n值，问题即可解决．
【解答】解：（1）根据题意知：
D（123）＝12+21+13+31+23+32＝132，
故答案为：132．
（2）设行知数m＝100a+10b+c，
∴．D（m）＝10a+b+10a+c+10b+c+10b+a+10c+a+10c+b
＝22a+22b+22c＝22（a+b+c），
故D（m）能被22整除；
（3）设行知数n＝100x+10y+3x，
∴D（m）＝22（a+b+c），
F（m）＝＝a+b+c，
D（n）＝22（x+y+3x）
＝22（4x+y）
∴F（n）＝4x+y，
∵1≤x≤9，1≤3x≤9，
∴1≤x≤3，1≤y≤9，
∴5≤4x+y≤21，
∵F（n）除以7余1，
∴4x+y＝8或者15，
∵1≤x≤3，
∴x＝1、2或3，4x+y＝8或者15，y为正整数，且x，y，3x均不相等，
当x＝1，y＝4时，这个行知数为143，
当x＝2，y＝7时，这个行知数为276，
∴所有满足条件的行知数为143和276．
【点评】本题考查了因式分解的应用，是一道新定义题目，解决关键是能够根据定义，通过列举法找到合适的数，进而求解．
13．（2022春•北碚区校级月考）如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：236＝122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以236是“方加数”．
（1）判断212是否是“方加数”？．并说明理由；
（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．
【分析】（1）由212＝11²+91，即可解答；（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10﹣m，个位数是n，N的各位数字之和是10+2n，由N能被3整除，可知n＝1或n＝4或n＝7；再由N能被7整除，进一步确定m的值即可．
【解答】解：（1）212＝11²+91，
∴212是“方加数”；
（2）设p的十位数是m，个位数是n，
则q的十位数是10﹣m，个位数是n，
∴N的各位数字之和是m+n+10﹣m+n＝10+2n，
∵N能被3整除，
∴n＝1或n＝4或n＝7，
当n＝1时，N＝1000m+100+100﹣10m+1＝990m+201，
∵N能被7整除，
∴m＝3，
∴M＝31²+71＝1032；
当n＝4时，N＝1000m+400+100﹣10m+4＝990m+504，
∵N能被7整除，
∴m＝7，
∴M＝74²+34＝5510；
当n＝7时，N＝1000m+700+100﹣10m+7＝990m+807，
∵N能被7整除，
∴m＝4，
∴M＝47²+67＝2276；
综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276．
【点评】本题考查因式分解的应用，根据被2整除数的规律确定n的取值是解题的关键．
14．（2023秋•川汇区期末）因式定理：对于多项式f（x），若f（a）＝0，则（x﹣a）是f（x）的一个因式，并且可以通过添减单项式从f（x）中分离出来．已知f（x）＝x3﹣5x2+（k+4）x﹣k．
（1）填空：当x＝1时，f（1）＝0，所以（x﹣1）是f（x）的一个因式．于是f（x）＝x3﹣x2﹣4x2+4x+kx﹣k＝（x﹣1）×g（x）．则g（x）＝ x²﹣4x+k ；
（2）已知关于x的方程f（x）＝0的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x﹣1变形，计算即可求出g（x）；
（2）三个根是一个等腰三角形的三边长，其中x﹣1是其中的一个因式，g（x）＝0的解为两个相同的解，即求Δ＝16﹣4k＝0，求出k＝4．
【解答】解：（1）设g（x）＝ax²+bx+c，
∵f（x）＝x³﹣x²﹣4x²+4x+kx﹣k
＝x²（x﹣1）﹣4x（x﹣1）+k（x﹣1）
＝（x﹣1）（x²﹣4x+k）
＝（x﹣1）g（x），
∴g（x）＝x²﹣4x+k．
（2）∵关于x的方程x3﹣5x2+（k+4）x﹣k＝0有三个根，
∴（x﹣1）（x²﹣4x+k）＝0，
∴①x﹣1＝0，解得x1＝1；
②x²﹣4x+k＝0，
∴Δ＝16﹣4k＝0，k＝4，
∴实数k的值是4．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共1小题）
1．（2023秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b＝c，才能说明这个三角形是等腰三角形．
【解答】解：b2+2ab＝c2+2ac，
a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，
（a+b）2＝（a+c）2，
a+b＝a+c，
b＝c，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．
二．解答题（共12小题）
2．（2017春•庐阳区校级月考）在实数范围内分解因式
﹣9x4+16．
【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解，本题得以解决．
【解答】解：﹣9x4+16
＝（4+3x2）（4﹣3x2）
＝（4+3x2）（2+）（2﹣）．
【点评】本题考查实数范围内分解因式，解答本题的关键是明确分解因式的方法，注意在实数范围分解因式．
3．（2017春•钦南区校级月考）在实数范围内分解因式：
（1）9a 4﹣4b 4；
（2）x 2﹣2 x+3．
【分析】（1）利用平方差公式即可分解；
（2）利用完全平方公式即可分解．
【解答】解：（1）原式＝（3a2+2b2）（3a2﹣2b2）＝（3a2+2b2）（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝（x﹣）2．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．
4．（2022春•渝中区校级月考）材料：对于一个四位自然数，满足十位数字与百位数字之和等于个位数字与千位数字之和的2倍，则称这个数为“和倍数”．若规定P（N）为千位数字的3倍与个位数字的差，Q（N）为千位数字与个位数字之和，令F（N）＝．
例如：3621，∵6+2＝2×（1+3），∴3621是“和倍数”，F（3621）＝＝2．
再比如4271，∵2+7≠2×（1+4），∴4271不是“和倍数”．
（1）判断3531，4682是否是“和倍数”，并说明理由；如果是，请计算F（N）的值；
（2）若四位自然数是“和倍数”，其十位数字能被5整除，且个位数字与百位数字的和能被3整除，F（n）为整数，求出符合条件的n．
【分析】（1）根据题干所给方法直接计算即可；
（2）首先表示出n，然后根据被5整除数字的特点分情况考虑十位上的数字，并根据条件表示出其他数位上的关系，最后分情况假设进行讨论，求出符合条件的结果．
【解答】解：（1）∵（5+3）是（1+3）的2倍，
∴3531是和倍数，
∵（6+8）不是（4+2）的2倍，
∴4682不是和倍数，
F（3531）＝＝2．
（2）设自然数n的千位、百位、十位、个位分别是a、b、c、d，
∵n是和倍数，十位能被5整除，个位与百位的和能被3整除，F（n）为整数，
∴b+c＝2（a+d），c＝0或5，b+d＝0或3或6或9，为整数，
∵a，d均不小于0，
∴＝1或2或3，
∴a＝d或a＝3d或d＝0，
∵当a＝d，c＝0时，
b＝4d与b+d能被3整除相矛盾，
∴此类情况不成立，
当a＝d，c＝5时，
b+5＝4d仍与上述条件相矛盾，
∴此类情况不成立，
当a＝3d，c＝0时，
得b＝8d，
∴b+d＝9d，
∴d＝1，
∴b＝8，a＝3，c＝0，
当a＝3d，c＝5时，
b+5＝8d与上述条件相矛盾，
∴此类情况不成立，
当d＝0，c＝0时，
b＝2a，
∴a＝3，b＝6，c＝d＝0，
当d＝0，c＝5时，
b+＝2a，
∴b＝3，a＝4或b＝9，a＝7，
综上所述，符合条件的n为3801，3600，4350，7950．
【点评】本题主要考查新定义的运算，正确理解新定义的运算是解题的关键，第2小题需要掌握能被5整除和被3整除的数的特点，另外讨论的情况比较多，不能遗漏．
5．（2022•渝中区校级开学）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“欢乐分解”．
例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．
又如：∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
（1）最小的“团圆数”是 187 ；
（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；
（3）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
【分析】（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7，即11×17，求解即可；
（2）根据新定义的“团圆数”即可得出答案；
（3）设A的十位数为a，个位数为b，则B为10a+8﹣b，根据G（M）能被8整除求出a的可能的值，再由a的值求出b的值即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7，
∴最小的“团圆数”是11×17＝187，
故答案为：187；
（2）∵195＝13×15，且3+5＝8，
∴195是“团圆数”，
∵621＝23×27，3+7≠8，
∴621不是“团圆数”；
（3）设A＝10a+b，则B＝10a+8﹣b，
∴A+B＝20a+8，|A﹣B|＝|2b﹣8|，
∵G（M）＝＝能被8整除，
∴＝8k，k为整数，
∴5a+2＝（|b﹣4|）4k，
∴5a+2是4的倍数，
∴满足条件的a有2，6，
若a＝2，则＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是3的因数，
∴b﹣4＝﹣3，﹣1，1，3，
∴满足条件的b有1，3，5，7，
∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21，
∴A×B＝567或575，
若a＝6，则＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是8的因数，
∴b﹣4＝﹣8，﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，8，
∴满足条件的b有2，3，5，6，
∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62，
∴A×B＝62×66＝4092或4095，
综上，M的值为567或575或4092或4095．
【点评】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“团圆数”含义，能把A和B用含a和b的式子表示出来．
6．（2022•九龙坡区校级开学）对于任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为F（m）．例如“智慧数”m＝1234，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234+134+124+123＝615，615÷3＝205，所以F（1234）＝205．
（1）计算：F（2131）＝ 262 ；F（5876）＝ 875 ；
（2）若“智想数”n＝7800+10x+y（1≤x≤5，1≤y≤9，x，y都是正整数），F（n）也是“智慧数”，且F（n）能被12整除，求满足条件的n的值．
【分析】（1）根据“智慧数”的具体特征，逐个去掉相应位上的数求和再作商即可．
（2）先找到n的各个数位上的数，再根据“智慧树”的定义逐个去掉相应位上的数求和再作商即可．
【解答】解：（1）F（2131）＝（213+211+231+131）÷3＝262；
F（5876）＝（587+586+576+876）÷3＝875；
故答案为：262；875；
（2）∵“智慧树”n＝7800+10x+y＝7×1000+8×100+10x+y，
∴数n的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x，个位上的数为y，
∴F（n）＝（780+x+780+y+700+10x+y+800+10x+y）÷3＝1020+7x+y，
∵1≤x≤5，1≤y≤9，
∵F（n）也是“智慧数”，且F（n）能被12整除，
∴可设F（n）＝1020+7x+y＝12k，即F（n）是3的倍数，也是4的倍数，
∴4k＝＝340+＝340+2x+，且是4的倍数，
当x＝1时，y可取2，5，8，此时＝343（舍）或344或345（舍），此时F（n）＝1032，符合定义，n＝7815；
当x＝2时，y可取1，4，7，此时＝345（舍）或346（舍）或347（舍），无符合题意的n；
当x＝3时，＝340+7+，y可取3，6，9，此时＝348或349（舍）或350（舍），此时F（n）＝7833，不符合题意；
当x＝4时，y可取2，5，8，此时＝350（舍）或351（舍）或352，此时F（n）＝1056，n＝7848，
当x＝5时，y可取1，4，7，此时＝352或353（舍）或354（舍），此时F（n）＝1056，n＝7851，
综上，符合题意的点n值为7815或7848或7851．
【点评】本题属于新定义问题，关键在于掌握F（n）的求法及要求，结合题意是重点．
7．（2022•九龙坡区校级开学）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1+2＝3，2×2+1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2+3＝5，但2×2+3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
（1）判断5413和9582是不是“筋斗数”，并说明理由；
（2）若m是“筋斗数”，且m与25的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
【分析】（1）根据“筋斗数”的定义即可判断；
（2）设m的个位数为a，十位数为b，根据m是“筋斗数”，则m的百位数为a+b，千位数为2b+a，再根据m与25的和能被11整除，即可解答．
【解答】解：（1）5413是“筋斗数”，9582不是“筋斗数“，理由如下：
∵4＝1+3，5＝2×1+3，
∴5413是“筋斗数“；
∵5≠8+2，
∴982不是“筋斗数“；
（2）设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为b，0≤b≤9，且a、b为整数，
∵m是“筋斗数”，
∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；
∴m＝1000 （2b+a）+100 （a+b）+10b+a＝1100a+110b+2000b+a，
∵m与25的和能被11整除，
∴1100a+110b+1991b+9b+a+25能被11整除，
：26+a≤9且a、b为整数，
∵1100a+110b+1991b能被l1整除，
∴9b+a+25能被11整除，
∴b＝0时，a＝8或b＝1时，a＝10（舍去）或b＝2，a＝1或b＝3，a＝3或b＝4，a＝5，
∴a+b＝8，2b+a＝9或a+b＝3，2b+a＝5或a+b＝6，2b+a＝9或a+b＝9，2b+a＝13 （不合题意舍去），
∴m的值为8808或5321或9633．
【点评】本题是一道新定义题目，考查了有理数整除的相关性质，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果，解题的关键是能够理解定义．
8．（2017秋•洛江区期中）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
（1）填空：i3＝ ﹣i ，2i4＝ 2 ；
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）； ②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请你参照i2＝﹣1这一知识点，将m2+25（m为实数）因式分解成两个复数的积．
【分析】（1）根据i2＝﹣1，则i3＝i2•i，i4＝i2•i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（4）利用平方差公式进行变形处理．
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，
2i4＝2i2•i2＝2（﹣1）•（﹣1）＝2，
故答案是：﹣i；2；
（2）①（2+i）（2﹣i）＝﹣i2+4＝1+4＝5；
②（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；
（3）∵（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，
∴x+3y＝1﹣x，3＝﹣y，
∴x＝5，y＝﹣3；
（4）m2+25＝（m+5i）（m﹣5i）．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．
9．（2023•沙坪坝区校级开学）阅读理解：
若一个三位数m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，且abc均为整数），a+b﹣c＝6，则称这个三位数m为“牛数”．比如：341，3+4﹣1＝6，则341为“牛数”．将三位数m的个位与百位交换位置得到新的三位数记为m′，并记F（m）＝m+m′，G（m）＝．
（1）判断453是否为“牛数”，并说明理由；
（2）已知m为“牛数”，当F（m）能被12整除时，求G（m）的最大值．
【分析】（1）根据“牛数”的定义判断即可；
（2）由牛数m得到m′，则F（m）＝m+m′，用b＝6﹣a+c，代入F（m），得到F（m）＝80a+120c+120+a+c＝120a+120x+9a+c，若F（m）的每部分能被12整除，则9a+c肯定能被12整除，再分类讨论求出G（m）的最大值即可．
【解答】解：（1）∵453＝4×100+5×10+3，4+5﹣3＝6，
∴453是“牛数”．
（2）∵m为“牛数”，
∴a+b﹣c＝6，即b＝6+c﹣a，
∵m＝100a+10b+c，
∴m′＝100c+10b+a，
∴F（m）＝m+m′＝100a+10b+c+100c+10b+a＝80a+120c+120+a+c＝72a+120c+120+9a+c，
若F（m）的每部分能被12整除，则9a+c肯定能被12整除，
∵1≤a，b，c≤9，
∴9a+c≤90，
∴9a+c＝12，24，36，48，60，72，84，
①当9a+c＝12时，a＝1，c＝3，b＝6﹣a+c＝8，
∴m＝183，m′＝381，
∴G（m）＝＜1．
②当9a+c＝24时，a＝2，c＝6，b＝6﹣2﹣6＝10＞9（舍弃），
③当9a+c＝36时，a＝2，c＝18，b＝6﹣2+18＝22＞9（舍弃），
a＝3，c＝9，b＝6﹣3+9＝12＞9（舍弃）．
④当9a+c＝48时，a＝5，c＝3，b＝6﹣5+3＝4，m＝543，m′＝345，G（m）＝＞1，
⑤当9a+c＝60时，a＝6，c＝6，b＝6﹣6+6＝6，m＝666，m′＝666，G（m）＝1，
⑥当9a+c＝72时，a＝7，c＝9，b＝6﹣7+9＝8，m＝789，m′＝987，G（m）＝＜1，
⑦当9a+c＝84时，a＝9，c＝3，b＝6﹣9+3＝0（舍弃），
∴G（m）的最大值为．
【点评】本题考查了新定义的数，分类讨论的思想，学会理解新定义的数的运算，以及利用代数式表示新定义的数，理解整除的定义等是解题的关键．
10．（2023•潼南区一模）阅读理解：
材料1：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”，例如：2534，x＝2+5，y＝3+4，因为x＝y，所以2534是“和平数”．
材料2：若一个四位数满足个位和百位相同，十位和千位相同，我们称这个数为“双子数”．将“双子数”m的百位和千位上的数字交换位置，个位和十位上的数字也交换位置，得到一个新的“双子数”m′，记F（m）＝为“双子数”的“双11数”例如：m＝3232，m′＝2323则F（m）＝＝10．
请你利用以上两个材料，解答下列问题：
（1）直接写出：最小的“和平数”是 1001 ，最大的“和平数” 9999 ．
（2）若S是“和平数”，它的个位数字是千位数字的2倍，且百位数字与十位数字之和是14的倍数，求满足条件的所有S的值．
（3）已知两个“双子数”p、q，其中p＝，q＝（其中1≤a＜b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d且a、b、c、d都为整数），若p的“双11数”F（p）能被17整除，且p、q的“双11数”满足F（p）+2F（q）﹣（4a+3b+2d+c）＝0，求满足条件的p、q．
【分析】（1）根据“和平数”的定义即可求出．
（2）先设这个和平数为，根据题意列等式为d＝2a，b+c＝14n（n为正整数），a+b＝c+d，且a、d为正整数，c、d为自然数．通过消元法求解出c＝7﹣0.5a，所以a取值为2、4，再代入求出b、c、d，最后得到S的值．
（3）根据“双子数”和“双11数”的定义表示出F（p），化简得到F（p）＝2（a+b），同理得到F（q）＝2（c+d）．因为1≤a＜b≤9，所以a+b＜18．而F（p）能被17整除，因此可求出a+b＝17，即a＝8，b＝9，p＝8989．将F（p）＝2（a+b）和F（q）＝2（c+d）代入到等式F（p）+2F（q）﹣（4a+3b+2d+c）＝0中化简得3c+2d＝15，同样可以求解出c、d的值，即q＝1616．
【解答】解：（1）由题意得：最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999．
故答案为：1001，9999．
（2）设和平数为，则d＝2a，b+c＝14n（n为正整数），a+b＝c+d．
∵b+c≤18，
∴n＝1．
∴，
将②代入到①得c＝7﹣0.5a．
∵a、d为正整数，b、c为自然数，
∴a为2、4、6、8．
∴a取6、8时，d的值为12、16不符合题意，舍去．
∴a＝2或4．
当a＝2时，d＝4，c＝6，b＝8；S＝2864．
当a＝4时，d＝8，c＝5，b＝9；S＝4958．
答：满足条件的S值有2864、4958．
（3）由题意得F（p）＝＝2（a+b），
同理F（q）＝2（c+d）．
∵F（p）能被17整除，a+b≤18，
∴a+b＝17，
∴F（p）＝2×17＝34．
又∵1≤a＜b≤9，
∴a＝8，b＝9．
即p＝8989．
∵F（p）+2F（q）﹣（4a+3b+2d+c）＝0，
∴2（a+b）+2×2（c+d）﹣（4a+3b+2d+c）＝0，
∴3c+2d＝25．
∴c＝3，d＝8或c＝7，d＝2或c＝1，d＝11（舍去），
即q＝3838或7272．
答：p、q的值分别为8989、3838或7272．
【点评】此题考查的是对定义的理解和运用能力，读懂定义并列等量关系式，理解题目中每个数字都不大于9等隐含的条件是解题的关键．
11．（2023春•铜梁区期末）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．
（1）请判断：2561 是 （填“是”或“不是”）“和平数”．
（2）直接写出：最小的“和平数”是 1001 ，最大的“和平数”是 9999 ；
（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．
【分析】（1）根据“和平数”的定义计算x和y的值，即可得到结论；
（2）根据题意可得结论；
（3）设这个“和平数”为 ，于是得到d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝14k，求得2c+a＝14k，即得a和d的可能的值，分情况讨论：得到结论，注意每个数位上的数都是一位整数．
【解答】解：（1）∵x＝2+5＝7，y＝6＝7
∴x＝y
∴2561是“和平数”
故答案为：是；
（2）由题意得，最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999，
故答案为：1001，9999；
（3）设这个“和平数”为，
则d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝14k，
∴2c+a＝14k，
即a＝2、4，6，8，10，12，d＝4、8、12（舍去）、16（舍去），20（舍去）、24（舍去），
①当a＝2，d＝4时，2（c+1）＝14k，
可知c+1＝7k且a+b＝c+d，
∴c＝6，b＝8，
②当a＝4，d＝8时，
2（c+2）＝12k，
可知c+2＝7k且a+b＝c+d，
∴c＝5，b＝9，
综上所述，这个数为2864和4958．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“和平数”是解题的关键，并注意数位上数字的特点．
12．（2023春•婺城区校级期末）材料一：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）＝a2+b2．
例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32＝92﹣72，32＝62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）＝92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）设t＝（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．
【解答】解：（1）112＝112﹣32，40＝72﹣32；
（2）若10是“雪松数”，
则可设a2﹣b2＝10（a，b均为正整数，且a≠b），
则（a+b）（a﹣b）＝10，又∵10＝2×5＝10×1，
∵a，b均为正整数，
∴a+b＞a﹣b，
∴，或，
解得：或，
与a，b均为正整数矛盾，
故10不是雪松数；
（3）设t＝（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t＝（10m+n）2﹣（10n+m）2＝99（m2﹣n2）＝99（m+n）（m﹣n），
∴99（m+n）（m﹣n）＝1000a+100b+10b+a＝1001a+110b，
整理得（m+n）（m﹣n）＝10a+b+，
∵a，b，m，n均为正整数，
∴a+b＝9，
经探究，，符合题意，
∴t的值分别为：2772，5445，
t′的值分别为：8668，8338，
∵862+682＞832+382，
∴F（t）的最大值为：862+682＝12020．
【点评】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
13．（2023春•邗江区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝ 1 ．b＝ 0 ．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
【解答】解：（1）∵a2+b2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a+1+b2＝0，
∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
解得a＝1，b＝0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0
即：（x﹣y）2+（y+3）2＝0
则：x﹣y＝0，y+3＝0，
解得：x＝y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）﹣3＝﹣；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3＝7；
【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．