沪教版 (五四制)八年级下册22.5 等腰梯形优秀精练

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一、梯形的概念
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.
要点：
（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.
（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.
（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.
二、等腰梯形的定义及性质
1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.
2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.
（2）等腰梯形的两条对角线相等.
要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.
（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.
（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.
三、等腰梯形的判定
1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.
2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.
四、辅助线
梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：
题型1：梯形的概念与性质
1．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是梯形
B．有两个角是直角的四边形是直角梯形
C．只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形
【答案】C
【分析】根据梯形，直角梯形，等腰梯形的判定定理依次分析即可.
【解析】解：A.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故本选项错误；
B.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，故本选项错误；
C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，本选项正确；
D.一组对边平行另一组对边不平行，但相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查的是梯形，直角梯形，等腰梯形，解答本题的关键是熟练掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，一组对边平行另一组对边不平行，但相等的四边形是等腰梯形.
2．如图，在梯形中，，，，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB=90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC=60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即D正确．综上即可得出结论．
【解析】A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，
故A不正确；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B正确，
C、∵AB∥CD，
∴∠CDA=∠DBA，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠DBA，C正确．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题为选择题，只需由三角形的三边关系得出A不正确即可．
3．以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形能作（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】D
【分析】首先若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABED是平行四边形，然后由三角形的三边关系，可判定这样的梯形不存在．
【解析】如图：若BC=a=16，AD=c=10，AB=d=6，CD=b=13，
过点D作DE∥AB，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=10，DE=AB=6，
∴CE=BC-BE=16-10=6，
∵CE+DE=12∴不能组成三角形，
即以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边不能作梯形．
故选D．
故答案为D.
【点睛】此题考查梯形的性质，三角形三边关系，关键是利用三角形三边关系判定是否能构成三角形.
题型2：等腰梯形的性质与判定
4．下到关于梯形的叙述中，不正确的是 （ ）
A．等腰梯形的两底平行且相等
B．等腰梯形的两条对角线相等
C．等腰梯形在同一底上的两个角相等
D．等腰梯形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.
【解析】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C不符合题意;
同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意,
而等腰梯形两底平行但不相等,因此A符合题意.
故选A.
【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.
5．下列命题中，假命题有（ ）
① 有两个角相等的梯形是等腰梯形；
② 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；
③ 一组对角互补的梯形是等腰梯形；
④ 等腰梯形是轴对称图形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据等腰梯形的判定方法对①进行判断；根据等腰梯形的定义对②进行判断；根据等腰梯形的性质对③④进行判断．
【解析】解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，所以①错误；
一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，所以②错误；
一组对角互补的梯形是等腰梯形，所以③正确；
等腰梯形是轴对称图形，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形
【答案】C
【分析】根据平行四边形，等腰梯形的判定，逐项判断即可．
【解析】解：A．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
B．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是等腰梯形，故B是假命题，不符合题意；
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，符合题意；
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，等腰梯形的判定．
题型3：利用等腰梯形的性质、判定求长度、角度、面积等
7．如图,等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】试题分析：知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面积．
解：过D，C分别作高DE，CF，垂足分别为E，F
∵等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6
∴DC=EF=6，AE=BF=2
∴DE=2
∴梯形ABCD的面积=（6+10）×2÷2=16
故选A．
8．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是
A．40°.B．45°.
C．50°.D．60°.
【答案】C
【解析】分析：由已知AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，可得出∠CDB=∠DBC=25°，所以能得出∠ABC=50°，由AD=CB得等腰梯形，从而求出∠BAD的大小．
解答：解：∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，
∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，
又梯形ABCD中，AD=DC=CB，
∴为等腰梯形，
∴∠BAD=∠ABC=50°，
故选C．
9．等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度
数为( )．
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】分别过A，B作高AE，BF∵CD=3AB∴DE=CF=AB
∵AE=AB∴DE=AE∴∠D=45°，故选B.
10．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．120°B．60°C．45°D．135°
【答案】B
【分析】过点D作DE//BC，交AB于点E，则易得四边形BCDE是平行四边形，由平行四边形的性质及已知条件，可得△ADE是等边三角形，从而问题解决．
【解析】如图，过点D作DE//BC，交AB于点E．
∵AB//CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=CB，CD=BE，
∵AD=BC，
∴DE=AD，
又∵AD=AB-CD，AE=AB-BE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴腰与下底的夹角为60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，辅助线的作法，梯形中常作的辅助线：作底边上的高，作腰的平行线等．
11．如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，则这个梯形的周长是（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．18cm
【答案】B
【分析】根据平行线的性质推出，得出，推出，过作交于，推出四边形是平行四边形，得出，，，证是等边三角形，求出即可．
【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
这个梯形的周长是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
12．．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】B
【解析】先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB=DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．
解：∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
又∵MC=MB，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
在△AMB和△DMC中，
∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=DC，
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24．
故选B．
13．如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】过作交于，得出四边形是平行四边形，推出，，证出是等边三角形，得到，即可求出答案．
【解析】解：过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
是等边三角形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键．
14．如图，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，则梯形的周长（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【分析】根据等腰梯形的性质求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，求出，即可求出答案．
【解析】解：四边形是等腰梯形，，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
梯形的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出和是解此题的关键．
一、单选题
1．一组对边平行，且对角线相等的四边形是( )
A．等腰梯形B．矩形
C．正方形D．等腰梯形或矩形
【答案】D
【分析】已知一组对边平行，则对这组对边是否相等进行分类讨论，分别判断其形状．
【解析】解：分为两种情况：
①当，且时，四边形是矩形；
②当，且时，四边形是等腰梯形．
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
2．在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形；B．菱形；C．等腰梯形；D．直角三角形．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解析】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、菱形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、直角三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
3．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为的等腰梯形，底差等于，面积为，那么这个等腰梯形的纵横比等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据BC-AD=6求出BE=CF=3，利用勾股定理求出高AE的长，利用梯形面积公式求出AD的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．
【解析】解：如图，由题意得：AB=CD=5，BC-AD=6，
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴BE=CF=3，
∴，
∵梯形面积，
∴，
∴BC=9，
∴梯形的中位线=，
∴这个等腰梯形的纵横比=，
故选：C．
．
【点睛】此题考查勾股定理，梯形面积公式及中位线公式，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键．
4．如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状．
【解析】解：设四边形的四个内角的度数分别为x，2x，2x，3x，则
2x+2x+x+3x=360°，
解得x=45°．
则2x=90°，3x=135°．
∴这个四边形的形状是直角梯形．
故选：C．
【点睛】本题用比的形式考查了多边形内角和的公式，同时考查了直角梯形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
5．下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定逐个判断即可．
【解析】同一底边上两底角相等的梯形是等腰梯形，则命题①是假命题
如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点
连接AC、BD
由中位线定理得：
，
四边形EFGH是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
平行四边形EFGH是菱形，则命题②是真命题
由等腰梯形的判定定理可知，两条对角线相等的梯形是等腰梯形，则命题③是真命题
由矩形的判定可知，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，则命题④是真命题
综上，真命题的有②③④，共3个
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定，熟记各判定方法是解题关键．
6．下列命题中正确的有( )
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②有两条边相等的梯形是等腰梯形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】可以采用排除法对各个命题进行分析，从而确定最后答案．
【解析】根据等腰梯形的判定与性质可判断：
①错，应该是同一底边上两角相等的梯形是等腰梯形.
②错，两腰相等的梯形是等腰梯形.
③对，根据等腰梯形的性质.
④对，等腰梯形是轴对称图形.
所以正确的命题有两个.
故选B.
【点睛】本题考查等腰梯形的判定，解题的关键是掌握等腰梯形的判定条件.
7．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（ ）
A．梯形B．等腰梯形C．平行四边形D．等腰梯形或平行四边形
【答案】D
【分析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案．
【解析】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A不正确；
B、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B不正确；
C、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C不正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质．考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度．
8．已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AC=BD=BCB．AB=AD=CDC．OB=OC，AB=CDD．OB=OC，OA=OD
【答案】D
【解析】解：如图，
A、AC=BD=BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
B、AB=AD=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
C、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
D、∵OB=OC，OA=OD，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，
在△AOB和△DOC中，
OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，
同理：∠OAB=∠ODC，
∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴，
∴四边形ABCD是梯形，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的应用，解此题的关键是求出，题目的综合性较强，难度中等.
9．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠AEB =60°，AB =AD= 2cm，则梯形ABCD的周长为 ( )

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】C
【解析】解：∵等腰梯形ABCD中，AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，AD=CE．
∵AB=CD，
∴AB=AE．
∵∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2cm．
∵AD=AB=2cm，
∴BC=BE+CE=4cm，
∴梯形ABCD的周长=AB+AD+CD+BC=2+2+2+4=10（cm）．
故选C．
10．等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度
数为( )．
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】分别过A，B作高AE，BF∵CD=3AB∴DE=CF=AB
∵AE=AB∴DE=AE∴∠D=45°，故选B.
二、填空题
11．如果某个等腰梯形的一个底角为60°，它的上、下底长分别为3和5，那么这个梯形的腰长是 _____．
【答案】2
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰梯形的性质可得出AE的长度，在Rt△ABE中可求出腰长AB的长度．
【解析】解：如图，
过点A作AE⊥BC于点E，由题意得，AD=3，BC=5，
∴BE=（BC—AD）=1，
∵∠B=60°，
∴AB=2BE=2，
故这个梯形的腰长是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度．
12．如图，等腰梯形中，，点M是腰的中点，且，则梯形的面积为___________.
【答案】
【分析】用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决．
【解析】解：延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
过作于于，
则，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是梯形和勾股定理，解直角三角形，需要用到梯形的面积转化成三角形的面积．
13．等腰梯形的一个锐角等于，腰长为，下底为，则上底为_______．
【答案】/
【分析】先画出图形，再过上底一个点作腰的平行线，将等腰梯形拆分成一个等腰直角三角形和一个平行四边形，从而得解．
【解析】根据题意作出如下等腰梯形，则有∠B=∠C=，，，ADBC，
过点A作AECD交BC于E，
∵AECD，∠B=∠C=
∴∠B=∠AEB=，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵ADBC，AECD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴，
即：上底为．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
14．已知梯形，，，，当时，对角线______．
【答案】
【分析】过点作于，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】解：过点作于，
在中，，
则，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
15．等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是______．
【答案】64
【分析】对角线互相垂直的四边形的面积可以用BD2=BE2求出其面积．
【解析】解∶延长BC，过点D作于点E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，且对角线互相垂直梯形两底之和为16cm，
∴AD+BC=16cm，AC⊥BD，AC=BD，
∴∠BMC=90°，
∵，，
∴四边形ACED是平行四边形，∠BDE=∠BMC=90°，
∴AC=DE，AD=CE，
∴BE=AD+BC=20cm，
∵∠BDE=∠BMC=90°，
∴BD2+DE2=BE2=256，
∴BD2=BE2=128，
∴梯形的面积∶（cm2），
故答案是∶64cm2．
【点睛】考查了对角线互相垂直的四边形的面积计算，得出BD=DE是解题关键．
16．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是________．
【答案】
【分析】在等腰梯形ABCD中，过点D作交BC的延长线于点E，证明四边形ADEC为平行四边形，推出，利用等腰梯形对角线相等得出，进而得出，利用，得出，从而得出是等腰直角三角形，可知．
【解析】解：如图，四边形ABCD为等腰梯形，其中，，
过点D作交BC的延长线于点E，
∵，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴，
∵ 四边形ABCD为等腰梯形，
∴ ，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即一条对角线与底边的夹角是．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质、平行四边形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，熟记等腰梯形的对角线相等是解题的关键．
17．在梯形ABCD中，ADBC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是________．
【答案】20或8或16
【分析】分三种情况进行讨论，先根据勾股定理和线段的和差关系求出下底，再根据梯形的面积公式即可求解．
【解析】解：过D点作DE⊥BC于E，
∵AH是高，AH=4，
∴DE=4，
∵CD=5，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴HE=AD=3，
如图①梯形ABCD的面积=（3+1+3+3）×4÷2=20；
如图②梯形ABCD的面积=（3+1+3-3）×4÷2=8；
如图③梯形ABCD的面积=（3+3+3-1）×4÷2=16．

故梯形ABCD的面积是20或8或16．
故答案为：20或8或16．
【点睛】本题考查了梯形，关键是求出梯形的下底，注意分类思想的应用．
18．用长为1cm、4cm、4cm、5cm的线段为边作梯形，其中面积最小的那个梯形的两条对角线长度之和等于______cm．
【答案】/
【分析】先以梯形的底边长为依据进行分类，再分类讨论，舍去两种情况，再分别由梯形常见的辅助线进行计算即可．
【解析】根据题意作图：
过A作AE DC，则四边形ADCE为平行四边形．
如果梯形的上下底分别为4cm和5cm，
即AD＝4cm，BC＝5cm，
则BE＝BC－AD＝1cm，AE＝DC，
△ABE的三边分别是1cm、1cm、4cm，
但不可能构成三角形，
因此梯形的上、下底只可能是1cm和5cm或1cm和4cm．
若AD＝1cm，BC＝5cm，则AB＝DC＝4cm，
所以梯形ABCD为等腰梯形．
由BE＝4cm，AE＝CD＝4cm，
知△ABE为等边三角形．
因此梯形的高 cm，
梯形的面积为．
若AD＝1cm，BC＝4cm，不妨设腰AB＝4cm，DC＝5cm，
则BE＝BC－AD＝3cm，AE＝DC＝5cm，，
所以△ABE是直角三角形，且AB⊥BC．
所以梯形ABCD为直角梯形，面积为，
于是面积最小的梯形是直角梯形（AD＝1cm，BC＝4cm），
两对角线的长分别是，
，
所以，对角线长度之和为．
故答案为 ：．
【点睛】本题考查了梯形的定义及常见的辅助线，涉及平行四边形、等边三角形、直角三角形等知识点，梯形的辅助线核心在于转化为三角形与平行四边形，并借助二者相关定理解决问题．
三、解答题
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线．求证：四边形BCDE是等腰梯形．
【答案】证明见解析
【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BE＝CD，根据三角形的内角和得到∠AED＝∠ABC得到DE∥BC，于是得到结论．
【解析】证明：如图所示，
∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（ASA），
∴BE＝CD，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝（180°﹣∠A），
∵∠ABC＝（180°﹣∠A），
∴∠AED＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴四边形BCDE是等腰梯形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．如图，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，点P、Q分别是AD、BC上的点，BQ＝2DP，设DP＝t厘米．
(1)求梯形ABQP的面积；
(2)求梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时t的值．
【答案】(1)（10+2t）平方厘米
(2)3
【分析】（1）根据题意用t表示出AP、BQ，根据梯形的面积公式计算，得到答案；
（2）根据梯形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．
(1)
解：∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，设DP＝t厘米，
∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米，
∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米；
(2)
解：当梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时，梯形ABQP的面积等于梯形ABCD的面积的一半，
则10+2t＝×（5+11）×4×，
解得：t＝3，
∴当t＝3时，梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等．
【点评】本题考查的是梯形的面积计算，列代数式，一元一次方程的解法，掌握梯形的面积公式是解题的关键．
21．已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠CDB＝30°．求：
(1)求∠A的度数；
(2)当AD＝4时，求梯形ABCD的面积．
【答案】(1)60°
(2)
【分析】（1）首先根据，求出的度数是多少；然后根据角平分线的性质，求出的度数是多少即可．
（2）首先判断出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式和梯形的面积公式解答即可．
【解析】（1）解：，
，
平分，
．
（2）解：，，
，
，
，
梯形的高，
平分，．
，
，
．
【点睛】此题考查梯形的问题，平行线的性质、角平分线，解题的关键是根据，求出的度数．
22．如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形．
(2)联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2 ）先证明△BDF是等边三角形，再证明∠ABF＝90°，即可得到结论．
（1）
证明：连接BD．
∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴△BDF是等腰三角形，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴ACBF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）
∵BC垂直平分DF，
∴BD＝BF，∠BED＝90°，
∵BD＝DF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵ADBC，
∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、矩形的定义、等边三角形的判定和性质等，熟练掌握平行四边形的判定和矩形的定义是解题的关键．
23．已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝4，AB＝7．
（1）如图1，联结BD，当∠A＝60°时，求BD的长；
（2）如图2，当∠D＝2∠B时，求CD的长．
【答案】（1）；（2）3
【分析】（1）过A作DE⊥AB，垂足为E，利用直角三角形的性质得到AE，利用勾股定理求出DE2，再次利用勾股定理求出BD即可；
（2）过点D作DF∥BC，交AB于F，证明四边形BCDF是平行四边形，得到BF=CD，根据角的关系证明AD=AF=4，从而可得结果．
【解析】解：（1）过D作DE⊥AB，垂足为E，
∵DE⊥AB，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=2，
∴DE2=AD2-AE2=12，BE=AB-AE=5，
∴BD2=DE2+BE2=37，
∴BD=；
（2）过点D作DF∥BC，交AB于F，
∵AB∥CD，
∴BF∥CD，∠2=∠3，
又DF∥BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴∠2=∠B，CD=BF，
∵∠ADC=2∠B=2∠2=∠1+∠2，
∴∠1=∠2=∠3=∠B，
∵∠1=∠3，
∴AF=AD=4，
∴BF=AB-AF=3，
∴CD=BF=3．
【点睛】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是掌握图形的性质定理，熟练掌握线段和角的关系转化．
24．如图，在直角坐标平面内xy中，点A在x轴上，点C与点E在y轴上，且E为OC中点，BC∥x轴，且BE⊥AE，连接AB．
(1)求证：AE平分∠BAO；
(2)当OE＝6，BC＝4时，求直线AB的解析式．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）作直角三角形ABE斜边上的中线，可得DE是梯形的中位线，可得∠DEA＝∠EAO，进而根据ED是直角三角形斜边上的中线，可得∠DEA＝∠DAE，可得所证；
（2）易得点B的坐标，根据△ABE为直角三角形，利用勾股定理求得OA的长，也求得了点A的坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可．
【解析】（1）证明：如图，取AB的中点D，并连接ED，
∵E为OC中点，
∴DE是梯形OABC的中位线（梯形中位线的定义），
∴DE∥OA即∠DEA＝∠EAO，
∵BE⊥AE，ED是边AB上的中线，
∴ED＝ADAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠EAO＝∠DAE，即AE平分∠BAO；
（2）解：设OA为x，
∵OE＝EC＝6，
∴C（0，12），
∵CB＝4，且BC∥x轴，
∴B（4，12），
∵EDAB，
∴AB＝2ED＝x+4，
在Rt△EBC中，BE2＝52，在Rt△OAE中，AE2＝36+x2，
∴在Rt△BEA中，52+36+x2＝（x+4）2，
x＝9，
∴A（9，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AB的解析式为yx．
【点睛】综合考查梯形，一次函数及勾股定理相关知识；作梯形中位线是常用辅助性方法；得到在直线上的2个点的坐标是解决本题的关键．
25．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
【答案】(1)
(2)88或96或48
【分析】（1）过A作于，过作于，设，表示出与的长，利用解出，从而计算四边形的面积，得到与的函数关系式；
（2）分两种情形：①，②．先求出两种情形下的值，再代入函数解析式中求出的值，即四边形的面积．
（1）
解：过A作于，过作于，设．
，，
，，
,
，
解得或，
，，
，
，即，
当时，不成立，舍去；当时，，符合题意．
．
，即．
（2）
解：连接．
①当时，
，
，
由（1）得，
，即．
．
②当时，
，
，
又，
四边形是平行四边形或等腰梯形，
或，
即或，
当时，；
当时，．
综上，四边形的面积为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形与等腰梯形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质定理．

方法
作法
图形
目的
平
移
平移一腰
过一顶点作一腰的平行线
分解成一个平行四边形和一个三角形
过一腰中点作另一腰的平行线
构造出一个平行四边形和一对全等的三角形
平移对角线
过一顶点作一条对角线的平行线
构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形
作高
过一底边的端点作另一底边的垂线
构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等
延
长
延长两腰
延长梯形的两腰使其交于一点
构成两个形状相同的三角形
延长顶点和一腰中点的连线
连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交
构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换