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18.2.4 菱形的判定 人教版数学八年级下册教学设计
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人教版初中数学八年级下册18.2.4 菱形的判定 教学设计一、教学目标：1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 二、教学重、难点：重点：菱形的判定定理的探究.难点：菱形的性质与判定的综合应用.三、教学过程：复习回顾忆一忆1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 知识精讲探究：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形呢？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD⊥AC.求证：□ABCD是菱形.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴ AO=CO∵ BD⊥AC∴ AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)∴ □ABCD是菱形思考：我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？求证：四条边相等四边形是菱形.已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵ AB=CD，BC=AD∴ 四边形ABCD是平行四边形又∵ AB=BC∴ 四边形ABCD是菱形【归纳】菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定定理2：四条边相等四边形是菱形.定理1几何符号语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD∴ 四边形ABCD是菱形定理2几何符号语言：∵ AB=BC=CD=AD∴ 四边形ABCD是菱形典例解析例1.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：□ABCD是菱形.证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3∴ AB2=AO2+BO2∴ △OAB是直角三角形∴ AC⊥BD∴ □ABCD是菱形【针对练习】一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.解：四边形ABCD是菱形.理由如下：∵ 四边形ABCD是平形四边形，AB=9，AC=12，BD=∴ AO=AC=6，BO=BD=∵ 62+()2=92即 AO2+BO2=AB2∴ AC⊥BD∴ 四边形ABCD是菱形∴ S菱形ABCD=×12×=例2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？解：四边形ABCD是菱形.理由如下：∵ AB∥CD，AD∥BC∴ 四边形ABCD是平行四边形过点A分别作BC，CD边上的高AE，AF，则AE=AF.∵ S□ABCD=BC×AE=CD×AF∴ BC=CD∴ 四边形ABCD是菱形例3.如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形． 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO = OC . ∵∠AOE =∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.∴四边形AFCE是平行四边形.∵EF⊥AC∴ 四边形AFCE是菱形.【针对练习】如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形. 证明：∵ AD是角平分线， ∴∠1= ∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴ △ACD≌ △AED (SAS).同理△ACF≌△AEF(SAS) .∴CD=ED, CF=EF.又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,∴四边形ABCD是菱形.例4.如图，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=5，AE=6，▱ABCD的面积为36，求BC的长．（1）解：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB=∠CBF，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠AFB=∠ABF，∴AB=AF，∴▱ABEF为菱形；（2）解：过点A作AH⊥BC，如下图：在菱形ABEF中，AE⊥BF，AO=12AE=3，BE=AB=5，BF=2BO∴∠AOB=90°，∴OB=AB2-AO2=4，即BF=8∴S菱形ABEF=12AE×BF=BE×AH，即12×6×8=5×AH解得AH=245，S▱ABCD=BC×AH=36，即BC×245=36，解得BC=152．【针对练习】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．(1)求证：四边形EBFD为菱形；(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO=DO，∴∠OBF=∠ODE，∵EF⊥BD，∴∠BOF=∠DOE=90°，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形EBFD为平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD为菱形；（2）解：∵四边形EBFD为菱形，∴∠DBF=∠DBE，∵∠DBF=2∠ABE，∴∠DBF=∠DBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠ABE+∠DBE+∠DBF=5∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴105°+5∠ABE=180°，∴∠ABE=15°．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形，以下哪个条件不符合要求( )A. AC⊥BD B. AC=BD C. AB=BC D. BC=CD2.顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形3.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判定□ ADCE是菱形的是( )A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C. AB=AC D. AB=AE4.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C， D，连接AC， AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )A.AB平分∠CAD B.CD平分∠ACB C.AB⊥CD D.AB=CD5.如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论:①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的是___________.6.一边长为5的平行四边形的两条对角线的长分别为24和26，则平行四边形的面积是_______.7.过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF.若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为______.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF//AB，DE//AC.求证:四边形AEDF是菱形.9.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.求证:四边形EFGH是菱形.10.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连接AE、CD.(1)求证: AD=CE;(2)填空:四边形ADCE的形状是_______，并说明理由.11.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，点F在AD的延长线上，CF⊥AD.(1)求证:四边形CEHF是菱形;(2)若四边形CEHF的面积为18,求菱形ABCD的面积.【参考答案】BDAD①②③31228.证明:∵DF//AB，DE//AC∴四边形AEDF是平行四边形∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵DF//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形9.证法一:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AD=BC， AB=CD∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)∴HE=EF=FG=GH∴四边形EFGH是菱形证法二:连接AC，BD.∴H，G分别是AD，CD的中点∴GH=12AC同理，HE=12BD，EF=12AC，FG=12BD∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD∴HE=EF=FG=GH∴四边形EFGH是菱形10.(1)证明:∵CE//AB∴∠DAO=∠ECO∵MN是AC的垂直平分线∴∠AOD=∠COE=90° ,AO=CO∴△AOD≌△COE (ASA)∴AD=CE(2)理由:由(1)得AD=CE且AD//CE∴四边形ADCE是平行四边形又∵AC⊥DE∴四边形ADCE是菱形11.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°∴∠EAC=∠FAC=30°∵CE⊥AB，CF⊥AD∴CE=CF=12AC∵点H为对角线AC的中点∴EH=FH=12AC∴CE=CF=EH=FH ∴四边形CEHF是菱形(2)解:由题意得S△AEH=S△CEH=12S菱形CEHF=9∴S△ACE=18在Rt△CBE中，∠CBE=∠BAD=60°∴∠ECB=30°∴BC=AB=2BE∴S△ABC=23S△ACE=12∴S菱形ABCD=2S△ABC=24四、教学反思：在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用. 通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.
人教版初中数学八年级下册18.2.4 菱形的判定 教学设计一、教学目标：1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 二、教学重、难点：重点：菱形的判定定理的探究.难点：菱形的性质与判定的综合应用.三、教学过程：复习回顾忆一忆1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 知识精讲探究：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形呢？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD⊥AC.求证：□ABCD是菱形.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴ AO=CO∵ BD⊥AC∴ AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)∴ □ABCD是菱形思考：我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？求证：四条边相等四边形是菱形.已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵ AB=CD，BC=AD∴ 四边形ABCD是平行四边形又∵ AB=BC∴ 四边形ABCD是菱形【归纳】菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定定理2：四条边相等四边形是菱形.定理1几何符号语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD∴ 四边形ABCD是菱形定理2几何符号语言：∵ AB=BC=CD=AD∴ 四边形ABCD是菱形典例解析例1.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：□ABCD是菱形.证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3∴ AB2=AO2+BO2∴ △OAB是直角三角形∴ AC⊥BD∴ □ABCD是菱形【针对练习】一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.解：四边形ABCD是菱形.理由如下：∵ 四边形ABCD是平形四边形，AB=9，AC=12，BD=∴ AO=AC=6，BO=BD=∵ 62+()2=92即 AO2+BO2=AB2∴ AC⊥BD∴ 四边形ABCD是菱形∴ S菱形ABCD=×12×=例2.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？解：四边形ABCD是菱形.理由如下：∵ AB∥CD，AD∥BC∴ 四边形ABCD是平行四边形过点A分别作BC，CD边上的高AE，AF，则AE=AF.∵ S□ABCD=BC×AE=CD×AF∴ BC=CD∴ 四边形ABCD是菱形例3.如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形． 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO = OC . ∵∠AOE =∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.∴四边形AFCE是平行四边形.∵EF⊥AC∴ 四边形AFCE是菱形.【针对练习】如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形. 证明：∵ AD是角平分线， ∴∠1= ∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴ △ACD≌ △AED (SAS).同理△ACF≌△AEF(SAS) .∴CD=ED, CF=EF.又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,∴四边形ABCD是菱形.例4.如图，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=5，AE=6，▱ABCD的面积为36，求BC的长．（1）解：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB=∠CBF，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠AFB=∠ABF，∴AB=AF，∴▱ABEF为菱形；（2）解：过点A作AH⊥BC，如下图：在菱形ABEF中，AE⊥BF，AO=12AE=3，BE=AB=5，BF=2BO∴∠AOB=90°，∴OB=AB2-AO2=4，即BF=8∴S菱形ABEF=12AE×BF=BE×AH，即12×6×8=5×AH解得AH=245，S▱ABCD=BC×AH=36，即BC×245=36，解得BC=152．【针对练习】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．(1)求证：四边形EBFD为菱形；(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO=DO，∴∠OBF=∠ODE，∵EF⊥BD，∴∠BOF=∠DOE=90°，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形EBFD为平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD为菱形；（2）解：∵四边形EBFD为菱形，∴∠DBF=∠DBE，∵∠DBF=2∠ABE，∴∠DBF=∠DBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠ABE+∠DBE+∠DBF=5∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴105°+5∠ABE=180°，∴∠ABE=15°．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形，以下哪个条件不符合要求( )A. AC⊥BD B. AC=BD C. AB=BC D. BC=CD2.顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形3.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判定□ ADCE是菱形的是( )A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C. AB=AC D. AB=AE4.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C， D，连接AC， AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )A.AB平分∠CAD B.CD平分∠ACB C.AB⊥CD D.AB=CD5.如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论:①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的是___________.6.一边长为5的平行四边形的两条对角线的长分别为24和26，则平行四边形的面积是_______.7.过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF.若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为______.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF//AB，DE//AC.求证:四边形AEDF是菱形.9.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.求证:四边形EFGH是菱形.10.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连接AE、CD.(1)求证: AD=CE;(2)填空:四边形ADCE的形状是_______，并说明理由.11.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，点F在AD的延长线上，CF⊥AD.(1)求证:四边形CEHF是菱形;(2)若四边形CEHF的面积为18,求菱形ABCD的面积.【参考答案】BDAD①②③31228.证明:∵DF//AB，DE//AC∴四边形AEDF是平行四边形∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵DF//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形9.证法一:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AD=BC， AB=CD∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)∴HE=EF=FG=GH∴四边形EFGH是菱形证法二:连接AC，BD.∴H，G分别是AD，CD的中点∴GH=12AC同理，HE=12BD，EF=12AC，FG=12BD∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD∴HE=EF=FG=GH∴四边形EFGH是菱形10.(1)证明:∵CE//AB∴∠DAO=∠ECO∵MN是AC的垂直平分线∴∠AOD=∠COE=90° ,AO=CO∴△AOD≌△COE (ASA)∴AD=CE(2)理由:由(1)得AD=CE且AD//CE∴四边形ADCE是平行四边形又∵AC⊥DE∴四边形ADCE是菱形11.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°∴∠EAC=∠FAC=30°∵CE⊥AB，CF⊥AD∴CE=CF=12AC∵点H为对角线AC的中点∴EH=FH=12AC∴CE=CF=EH=FH ∴四边形CEHF是菱形(2)解:由题意得S△AEH=S△CEH=12S菱形CEHF=9∴S△ACE=18在Rt△CBE中，∠CBE=∠BAD=60°∴∠ECB=30°∴BC=AB=2BE∴S△ABC=23S△ACE=12∴S菱形ABCD=2S△ABC=24四、教学反思：在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用. 通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.
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