中考数学一轮复习高频考点专题24 尺规作图（10个高频考点）（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc13622" 【考点1 尺规作线段或角】 PAGEREF _Tc13622 \h 1
\l "_Tc22982" 【考点2 尺规作三角形】 PAGEREF _Tc22982 \h 5
\l "_Tc5674" 【考点3 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc5674 \h 9
\l "_Tc18998" 【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】 PAGEREF _Tc18998 \h 12
\l "_Tc31774" 【考点5 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc31774 \h 18
\l "_Tc7984" 【考点6 尺规作圆】 PAGEREF _Tc7984 \h 25
\l "_Tc25287" 【考点7 尺规作圆的切线】 PAGEREF _Tc25287 \h 29
\l "_Tc19471" 【考点8 尺规作正多边形】 PAGEREF _Tc19471 \h 35
\l "_Tc1218" 【考点9 格点作图】 PAGEREF _Tc1218 \h 39
\l "_Tc2808" 【考点10 无刻度直尺作图】 PAGEREF _Tc2808 \h 45
【考点1 尺规作线段或角】
【例1】（2022·江苏扬州·校考二模）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先连接、，从作图可知，，即可判定，然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出．
【详解】解：，
理由是：连接、，
从作图可知，，
∵在和中。
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
故选B．
【点睛】本题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【变式1-1】（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
【答案】见解析
【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取；作；即可得到．
【详解】解：如图所示：为所求．
注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取；
（4）作．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
【变式1-2】（2022·广东韶关·校考二模）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．
(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接AF．求证：△AFD≌△DEC．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）按照题意作出图形即可；
（2）利用SAS即可证明△AFD≌△DEC．
【详解】（1）解：如图，DF即为所求；
；
（2）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠C=∠ADC=90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠C=90°，
又∵DF=CE，
∴△AFD≌△DEC（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，尺规作图，关键是正确画出图形，掌握全等三角形的判定定理．
【变式1-3】（2022·北京西城·校考模拟预测）已知：如图，在中，．
求作：射线，使得 ．
下面是小甲同学设计的尺规作图过程．
作法：如图
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，与中作的弧在内部交于点；
④作射线所以射线就是所求作的射线．
根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹，并完成证明．
【答案】见详解
【分析】根据要求作出图形，再利证明三角形全等，进而即可得到结论．
【详解】解：如图，射线即为所求．
连接，，
在和中，
，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
【考点2 尺规作三角形】
【例2】（2022·山西吕梁·统考三模）初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图1，已知线段m，n．运用尺规作图画出，使斜边，一条直角边．
(1)如图2是小亮所作的，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有____________；（填序号）
(2)请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个，使满足上述条件．（不写作法，但保留作图痕迹）
【答案】(1)①⑤
(2)见解析
【分析】（1）如图可知，先作直线的垂线MC，垂足为C，以C为圆心以n为半径作弧，交CM于点B，再以B为圆心，以m为半径画弧，交直线于点A，△ABC即为求作的三角形；
（2）①作射线AM，②以A为圆心以m为半径画弧，交AM于点B，③分别以AB为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，并连接两交点，交AB与点O，④以O为圆心，OA为半径画圆，⑤以B为圆心，n为半径画弧，交于点C，连接AC、BC，△ABC即为所求做的三角形．
（1）
根据作图过程，可知用到的基本作图有过一点作已知直线的垂线．作一条线段等于已知线段，
故答案为①⑤；
（2）
如图，即为所求．（作图不唯一）
【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握尺规作图基本技巧是解题的关键，另外要注意保留作图痕迹．
【变式2-1】（2022·广西贵港·统考三模）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
【答案】见解析
【分析】作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．
【详解】解：△DEF即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）已知∠α，线段a，b，请按要求作图并回答问题；
(1)作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；
(2)已知∠α＝45°，a＝4，b＝7，求△ABC的面积．
【答案】(1)作图见解析；
(2)
【分析】（1）作∠MCN＝α，然后在OM、ON上分别截取CB＝a，CA＝b，从而得到△ABC；
（2）作BH⊥AC于H，先利用△BCH为等腰直角三角形得到BHBC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABC．
(1)
解：如图，△ABC为所作；
(2)
作BH⊥AC于H，如图，
∵∠C＝45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴BHBC，
∴S△ABC．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式2-3】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若为锐角，则．要求：
(1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：，
，
，，
．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
【考点3 尺规作角平分线】
【例3】（2022·陕西西安·校考一模）如图，在四边形中，，请用尺规作图法，在四边形的边上求作一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】用尺规作的平分线，交于点E，连接，则．
【详解】解：用尺规作的平分线，交于点E，则点为所求作的点；
连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的角平分线，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握尺规作一个已知角的平分线基本步骤．
【变式3-1】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）尺规作图：如图，已知正方形，在边CD上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，以B为圆心，为半径作弧交于点G，作平分交于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，
∴，，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【变式3-3】（2022·山东青岛·统考中考真题）已知：，．
求作：点P，使点P在内部，且．
【答案】见解析
【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解．
【详解】解：如图，点P即为所求：
【点睛】本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】
【例4】（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等．
(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，；
(3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，图见解析，点不在停车带上
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得；
（2）根据网格特点，找出三个点使得它们到水城河与到凉都宫点的距离相等即可；
（3）先求出点到水城河的距离，再求出点的坐标，利用两点之间的距离公式可得的长，然后根据点到水城河与到凉都宫点的距离相等即可得函数关系式，最后画出函数图象即为停车带，由此即可得出结论．
（1）
解：如图，线段的长即为所求．
（2）
解：如图，点，，即为所求．
（3）
解：如图，建立平面直角坐标系．
则，水城河所在的直线为，南环路所在的直线为，
停车位到水城河的距离为，
，
每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等，
，
整理得：，
当时，，解得，
又要在水城河与南环路之间设计一条停车带，
，
与之间的关系式为，
画出停车带如下：
因为，
所以点不在停车带上．
【点睛】本题考查了作垂线、二次函数的应用、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确求出函数关系式是解题关键．
【变式4-1】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，已知中，，，．
(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、即可；
（2）由作图可得CD=BD，继而可得AD=CD，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可．
【详解】（1）如图所示，点D、H即为所求
（2）∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式4-2】（2022·广西·统考中考真题）如图，在中，BD是它的一条对角线，
(1)求证：；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)50°
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等；
（2）根据垂直平分线的作法即可解答；
（3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，
，
，

（2）如图，EF即为所求；
（3） BD的垂直平分线为EF，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式4-3】（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．
在和中，
∵，
∴．
又，
∴__________________①
∵，
∴__________________②
又__________________③
∴．
同理可得__________________④
∴．
【答案】、、、
【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS证得，，利用全等三角形的面积相等即可求解．
【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．
如图所示，
在和中，
∵，
∴．
又，
∴①
∵，
∴②
又③
∴．
同理可得④
∴．
故答案为：、、、
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键．
【考点5 尺规作等腰三角形】
【例5】（2014·江苏无锡·统考中考真题）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案.
（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．
【详解】解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC=.
∴AD=AE=.∴．
（2）底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.
考点：1.新定义；2.作图（应用与设计作图）；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.待定系数法的应用．
【变式5-1】（2011·浙江杭州·中考真题）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．
①作图：
②猜想：
③验证：
【答案】（1）①详见解析;②猜想：∠A+∠B=90°;③验证：详见解析;（2）①详见解析;②猜想：∠B=3∠A;③详见解析;
【分析】根据等腰三角形判定作图: （1）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可;②猜想：∠A+∠B=90°，③根据等腰三角形性质可得;（2）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可;②猜想：∠B=3∠A;③根据等腰三角形性质可得;.
【详解】解：（1）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求
②猜想：∠A+∠B=90°，
③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可．
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求
②猜想：∠B=3∠A
③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
【点睛】等腰三角形的判定的应用.
【变式5-2】（2022·福建莆田·统考一模）阅读下列材料，完成相应任务．
已知：如图，直线，点在直线上．
求作：等边三角形，使其点，分别落在直线，上．
作法：①在直线上取点，连接，向右作等边三角形，使点落在直线，之间；
②在直线上取点（点在点左侧），作交直线于点；
③在射线上截取；
④连接，，．
就是所求作的等边三角形．
(1)使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请你根据上述作法，证明所求作的等边三角形．
【答案】(1)过程见详解
(2)过程见详解
【分析】（1）依据题意作图即可，
（2）由△ADE是等边三角形，可知AD=AE，∠DAE=60°，有根据尺规作图的信息可知∠ADP=∠AEC，DB=EC，则有，进而有AB=AC，∠BAD=∠CAE，根据∠CAE+∠CAD=60°，可得∠BAD+∠CAD=60°，结合AB=AC可知△ABC是等边三角形．
【详解】（1）作图如下：
作∠ADP=∠AEC的步骤：以AP为半径，A为圆心作弧，再以DP为半径，以E为圆心作弧，再将两段弧的交点与E连接，交直线n于点C，连接EC，即得；
（2）∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵∠ADP=∠AEC，DB=EC，
∴，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，
∵∠CAE+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠CAD=60°，
∴结合AB=AC可知△ABC是等边三角形，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识，充分理解尺规作图每一步的含义是解答本题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【答案】(1)作图及理由见解析；
(2)作图及理由见解析．
【分析】（1）首先作线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接AB、CA即可．
（2）首先作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，再直线DE上取线段FC=h，然后=a，连接AB、CB即可．
【详解】（1）解：
作法：1. 作线段BC=a，（如图1）
2.作线段BC的垂直平分线MN，最足为O，
3.在直线MN上取线段OA=h，
4.连接AB、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：线段BC的垂直平分线是MN，OA=h，
，△ABC的高为h，
△ABC为等腰三角形，
BC=a，
△ABC是底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形；
（2）解：
作法：1. 作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，（如图2）
2. 在直线DE上取线段FC=h，
3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A，
4. 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B，
5.连接BC、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由： =a，
△ABC为等腰三角形，
直线GH垂直于直线DE，垂足为F，FC=h，
△ABC是腰长为a，腰上的高为h的等腰三角形；
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质．
【考点6 尺规作圆】
【例6】（2022·山东青岛·统考一模）已知：．求作：的外接圆内的点P，使，．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
【答案】见解析
【分析】作出的外接圆，即可得出点P的位置．
【详解】如图，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，正确掌握三角形外接圆的作法是解题的关键．
【变式6-1】（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考一模）已知：和线段a．求作：，使它与的两边相切，半径等于线段a．
【答案】见解析
【分析】先作的平分线，在射线上取一点，再过点作的垂线，在垂线上截取，然后过点作的垂线交于，最后以点为圆心，为半径作圆．
【详解】解：∵与的两边相切，
∴点到角两边的距离相等，即：点在的角平分线上，
作的平分线，在射线上取一点，过点作的垂线，在垂线上截取，过点作的垂线交于（平行线间的距离处处相等），以点为圆心，为半径作圆，如图，即为所作．
【点睛】本题考查基本作图，切线的性质，角平分线的判定定理．熟练掌握切线的性质，得到圆心在角的平分线上，以及角平分线和垂线的作图方法，是解题的关键．
【变式6-2】（2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；
（2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为．
【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：
（2）解：根据题意，作出图形如下：
设，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又，
∴四边形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．
【变式6-3】（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；
（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接OA，
∵，的平分线，
∴AD=BD=，CD⊥AB，
∵的半径为5，
∴OD=，
∴CD=CO+OD=5+=，
∴BC=，
∴ ．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键．
【考点7 尺规作圆的切线】
【例7】（2022·北京海淀·九年级模拟预测）已知：点，，在上，且．
求作：直线，使其过点，并与相切．
作法：①连接；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；
③作直线．
直线就是所求作直线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，
∵，
∴四边形是菱形，
∵点，，在上，且，
∴______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形是正方形，
∴，即，
∵为半径，
∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．
【答案】(1)见解析；
(2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示；
（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式7-1】（2022·北京海淀·九年级模拟预测）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：和外一点P．
求作：过点P的的切线，PB．
【答案】见解析
【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；
【详解】作图如图，直线、即为所作的的切线．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式7-2】（2022·北京海淀·九年级二模）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．
【答案】两种作法都正确，证明见解答．
【分析】选作法一、连接BC，判断出四边形OBCP为菱形，得出∠BOP=90°，进而判断出∠OPC=90°，即可得出结论；
选作法二、连接DE，设PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出，进而得出∠APE=90°，即可得出结论．
【详解】解：选作法一、如图作法一，
连接BC，由题意得，OB=OP=BC=PC，
∴四边形OBCP为菱形，
∴∠BOP=90°，
∴OBCP，
∵∠BOP=90°，
∴∠OPC=90°，
∵OP为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
选作法二、如图作法二，
连接DE，由题意设，AP=4x，
∴PE=3x，AE=PD=4x，
∴，
∴△APE是直角三角形，∠APE=90°，
∵OP为⊙P的半径，
∴PE是⊙O的切线．
【点睛】此题主要考查了尺规作图，正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
【变式7-3】（2022秋·北京东城·九年级一模）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．
作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．
【答案】(1)见解析；
(2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；
（2）结合作图，完成证明过程即可．
【详解】（1）补全图形如图所示，
（2）证明：连接，．
由作图可知，
，．
∴，
∵ 点A在上，
∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．
【考点8 尺规作正多边形】
【例8】（2022·福建·统考二模）尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为_____．
【答案】2r2
【分析】根据作法得到六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，则有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函数值得到CD=r，AC＝r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG=r，然后判断以OG长为半径，从点A 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成了正方形，再利用正方形的面积公式进行计算即可.
【详解】连接AD、AC、AG，如图，
∵将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点，
∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD•sin30°=r，AC＝AD•cs30°=r，
∵GA＝GD，
∴GO⊥AD，
∴OG＝，
以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形为正方形，
∴这个多边形面积＝r•r＝2r2，
故答案为2r2．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类问题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.本题也考查了正多边形和圆.
【变式8-1】（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为的直径，
∴BD为的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是的内接正方形．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．
【变式8-2】（2022·山西太原·统考一模）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴，
∴，
∴，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
【变式8-3】（2022·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）取BF＝CH＝AD构成等边三角形；
（3）作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【详解】（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示，等边△DFH即为所求；
（3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
【考点9 格点作图】
【例9】（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直．
(2)在图2中画一条线段平分．
【答案】(1)图见解析，（答案不唯一）
(2)图见解析，平分（答案不唯一）
【分析】（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得；
（2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得．
（1）
解：如图1，线段即为所求，满足．
（2）
解：如图2，线段即为所求，满足平分．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质画图、矩形的判定与性质画图，熟练掌握全等三角形和矩形的性质是解题关键．
【变式9-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均为格点
(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出的高；
(2)在图②中，连接点B与格点D．点P是的中点，点Q为上的一动点，当的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在图①网格中，根据勾股定理画出的高即可；
（2）在图②网格中，根据矩形的对角线相等且互相平分找到点，连接交于点，即可画出 ．
【详解】（1）解：如图所示，
过点作格对角线，
因为是格对角线，
所以．
则即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
理由：设网格的边长为1，则，又，
,
为等腰三角形，
为的中点，
为的垂直平分线，
与关于对称，
的周长,
当、、三点共线时，
的周长最小．
【点睛】本题考查了作图应用与设计作图、轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
【变式9-2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的线段上找一点D，连结，使；
(2)在图2中的线段上找一点E，连结，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质，寻找点D，使点D为线段的中点，连接即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质，寻找点E使得，连接即可．
【详解】（1）解：如图1中，点D即为所求，
；
（2）解：如图2中，点E即为所求，
．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-3】（2022秋·江苏南京·九年级一模）如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)在图①中，作的中点M；
(2)在图②中，作，使得．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）连接，过点、格点作直线交于点，点即为所求点；
（2）在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据对顶角相等，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据垂径定理，即可得出．
【详解】（1）解：如图，点即为所求点；
（2）解：如图，在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求．
如图，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、网格的特点，解本题的关键在正确画出符合题意的图形．
【考点10 无刻度直尺作图】
【例10】（2022秋·江西南昌·八年级南昌市三模）如图，点D是等边内部一点，且，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图①中上找一点E，使；
(2)若，在图②中边上分别找点M、N，使．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由，得垂直平分，所以连接并延长与的交点即为点E；
（2）由，得，，又垂直平分，所以，则，由（1）同理得垂直平分，则延长与的交点即为点M，同理也可得到点N．
【详解】（1）如图①，连接并延长与的交点即为点E，理由如下：
连接并延长交于点E，
∵为等边三角形，
∴，
则点A在的垂直平分线上，
又∵，
∴点D在的垂直平分线上，
则垂直平分，
∴
（2）如图②，分别延长与的交点即为点M、N，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
则，
又∵，
∴，
则，
由（1）可知垂直平分，
∴，
则，
∴，
由（1）同理，得垂直平分，
∴点M为的中点，
同理，得点N为的中点，
∴为的中位线
则
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式10-1】（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）问题：如图，是的直径，点C在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长交于点D，延长交于点E；
②分别连接，并延长相交于点F；
③连接并延长交于点H．
所以线段即为中边上的高．
(1)根据小芸的作法，补全图形；
(2)完成下面的证明．
证明：是的直径，点D，E在上，
______．（____________）（填推理的依据）
，．
，______是△ABC的两条高线．
，所在直线交于点F，
直线也是的高所在直线．
是中边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)90，直径所对的圆周角是直角，
【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理可知，进而可得，是的两条高线，再根据三角形的三条高线所在直线交于一点即可证明．
【详解】（1）解：补全后图形如下所示：
．
（2）证明：是的直径，点D，E在上，
．（直径所对的圆周角是直角）
，．
，是的两条高线．
，所在直线交于点F，
直线也是的高所在直线．
是中边上的高．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，．
【点睛】本题考查圆周角定理以及三角形高线的特点，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，以及三角形的三条高线所在直线交于一点．
【变式10-2】（2022秋·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，和是全等的等边三角形，点A，C，D在一条直线上，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，以AD为边作一个直角三角形；
(2)在图2中，以AD为边作一个等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AE，BD，得，即可；
（2）连接AE，BD相交于点F，得即可．
【详解】（1）解：如图1中，或即为所求作的直角三角形；
∵和是全等的等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴和是直角三角形．
（2）解：如图2中，即为所求作的等腰三角形；
由（1）知：，
∴，
∴是等腰三角形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质，等边三角形的性质，直角 三角形与等腰三角形的判定，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式10-3】（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）如图，点，，，在一条直线上，，线段与线段关于点对称，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．
(1)在图中画出点；
(2)在图中画线段，使，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】连接交于点，点即为所求；
连接，，延长交于点，连接，交于点，连接，延长交于点，交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，线段即为所求．
【详解】（1）如图中，点即为所求，
（2）如图中，线段即为所求
【点睛】本题考查作图中的无刻度作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．