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专题19 立体图形、展开图、从三个方向看几何体之十大考点-七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27529" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27529 \h 1
\l "_Tc3047" 【考点一 立体图形的分类】 PAGEREF _Tc3047 \h 1
\l "_Tc11354" 【考点二 几何体中点、棱、面】 PAGEREF _Tc11354 \h 2
\l "_Tc32330" 【考点三 正方体相对两面上的字】 PAGEREF _Tc32330 \h 6
\l "_Tc1745" 【考点四 含图案的正方体的展开图】 PAGEREF _Tc1745 \h 7
\l "_Tc27047" 【考点五 由展开图计算几何体的表面积或体积】 PAGEREF _Tc27047 \h 9
\l "_Tc9621" 【考点六 判断简单组合体的三个方向看几何体】 PAGEREF _Tc9621 \h 12
\l "_Tc30571" 【考点七 画小立方块堆砌图形的三个方向看几何体】 PAGEREF _Tc30571 \h 13
\l "_Tc6200" 【考点八 求小立方块堆砌图形的表面积】 PAGEREF _Tc6200 \h 15
\l "_Tc15697" 【考点九 已知三个方向看几何体求最多或最少的小立方块的个数】 PAGEREF _Tc15697 \h 18
\l "_Tc6197" 【考点十 已知三个方向看几何体求侧面积或表面积或体积】 PAGEREF _Tc6197 \h 20
\l "_Tc18157" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18157 \h 21
【典型例题】
【考点一 立体图形的分类】
例题：如图，下列几何体，是柱体的有______，球体的有______．（填序号）
【答案】 ①②⑥ ⑤
【分析】根据立体图形的特征即可得到答案．
【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤．
故答案为：①②⑥，⑤
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟知立体图形的特征并知道他们的名称是解题关键．
【变式训练】
1.如图所示，请将下列几何体分类．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】对于立体图形的分类，可按照不同标准进行，①按照立体图形的种类分类；②根据立体图形包含的平面类型分类．
【详解】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一类，都是柱体；（2）是锥体；（4）是球体．
方法二：（1）、（3）是一类，全是由平面构成的；（2）、（5）是一类，既有平面，又有曲面；（4）是一类，只有曲面．
【点睛】本题考查立体图形的认识，掌握分类时的标准选择是解题关键．
2．下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）．
(1)如果按“柱”“锥球”来分，柱体有______，椎体有______，球有______；
(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______．
【答案】(1)①②⑥；③④；⑤
(2)②③⑤；①④⑥
【分析】（1）根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．
（2）根据面的形状特征考虑．
【详解】（1）解：∵（1）是四棱柱，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）是棱锥，（5）是球，（6）是三棱柱，
∴柱体有（1），（2），（6），锥体有（3），（4），球有（5），
故答案为：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；
（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它几何体无曲面，
∴按“有无曲面”来分，有曲面的有（2），（3），（5），无曲面的有：（1），（4），（6），
故答案为：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解决本题的关键是认识柱体的形状特征．
【考点二 几何体中点、棱、面】
例题：几何知识：
（1）长方体有 _____个面，_____条棱，_____个顶点．
（2）圆柱体由 _____个面围成，圆锥由 _____个面围成，它们的底面都是 _____．
（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有 _____个面，_____个顶点，_____条棱．
【答案】 6 12 8 3 2 圆形
【分析】（1）根据长方体的特征即可得到答案；
（2）根据圆柱和圆锥的特征即可得到答案；
（3）根据棱柱的特征进行分析，即可得到答案．
【详解】解：（1）长方体有6个面，12条棱，8个顶点，
故答案为：6，12，8；
（2）圆柱体由3个面围成，圆锥由2个面围成，它们的底面都是圆形，
故答案为：3，2，圆形；
（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有个面，个顶点，条棱，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了常见几何体的基础知识，解题关键是具备空间想象能力．
【变式训练】
1．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1)根据要求填写表格：
(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15；
(2)；
(3)它的面数是2012
【分析】（1）根据图形数出即可；
（2）根据（1）中结果得出；
（3）代入求出即可；
【详解】（1）图1，面数，顶点数，棱数，
图2，面数，顶点数，棱数，
图3，面数，顶点数，棱数，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）由表格数据可得：．
（3）∵
∴，
，
即它的面数是2012．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律
2．综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
操作探究：
(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分：
通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；
(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)表见解析，
(2)五
(3)6
【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数；
（2）根据棱柱的定义进行解答即可；
（3）由（1）得出的规律进行解答即可．
【详解】（1）解：填表如下：
顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：；
（2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面，
有个侧面，
这个棱柱是五棱柱，
故答案为：五；
（3）解：由题意得：棱的总条数为（条），
由可得,
解得：，
故该多面体的面数为6．
【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．
【考点三 正方体相对两面上的字】
例题：（2023秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）一个正方体的展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对面所标的字是（ ）
A．设B．福C．中D．国
【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：由正方体表面展开图的可知中间四个正方形作为侧面，“建”与“国”是上下两个底面，
∴“建”与“国”是对面，
故选：D．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，解题的关键是掌握正方体表面展开图的特征．
【变式训练】
1．如图所示，3个正方体的6个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、自、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、红色、白色的面的对面的颜色分别是（ ）
A．绿、黑、蓝B．蓝、黑、绿C．绿、蓝、黑D．蓝、绿、黑
【答案】A
【分析】由图可得：涂有黄的邻面颜色是黑、白、蓝、红得到黄的对面应是绿；涂有红的邻面颜色是绿、白、黄、蓝得到红的对面应是黑，由此即可得到答案．
【详解】解：由图可得：
涂有黄的邻面颜色是黑、白、蓝、红，
黄的对面应是绿；
涂有红的邻面颜色是绿、白、黄、蓝，
红的对面应是黑；
只剩下了白和蓝，
白的对面应是蓝；
黄色的对面是绿色，白色的对面是蓝色，红色的对面是黑色，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据邻面颜色得出对面颜色是解此题的关键．
2．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知正方体的表面展开图如图所示，若相对面上标有的两个数互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】将展开图还原成正方体后，可得：与5在相对面上，与在相对面上，与在相对面上，即可求解．
【详解】解：将展开图还原成正方体后，可得：
与5在相对面上，与在相对面上，与在相对面上，
因为相对面上的两个数互为相反数，
所以，，，
所以；
故答案：．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图与原正方体的关系，相反数的定义，理解正方体的展开图与原正方体的关系是解题的关键．
【考点四 含图案的正方体的展开图】
例题：如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依据几何体中两个阴影长方形以及一个阴影三角形的位置，即可得出结论．
【详解】解：A．折叠后可得到图中的正方体，符合题意；
B．折叠后两个阴影长方形有一个公共点，不合题意；
C．折叠后两个阴影长方形的长边互相平行，不合题意；
D．折叠后阴影长方形与阴影三角形一边完全重合，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查正方体的展开图，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
【变式训练】
1．如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，进行判断即可．
【详解】解：由正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故均不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查由展开图还原立方体．解题的关键是根据展开图确定正方体的相对面．
2．小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，混放在下面的盒子里，请观察，礼物所在的盒子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此平面图为正方体展开图的“”型，折成正方体后，涂色三角形与斜线三角形有一条直角边重合，据此即可作出选择．
【详解】解：把
折成一个正方体的盒子是：
故选：B
【点睛】本题主要考查了正方体展开图，关键弄清这个正方体展开图折成正方体后，涂色三角形与斜线三角形有一条直角边重合。
【考点五 由展开图计算几何体的表面积或体积】
例题：（2023秋·辽宁·七年级统考阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：
(1)该长方体盒子的长______，宽______cm，高______；
(2)求这个包装盒的表面积和体积．
【答案】(1)，，
(2)表面积为，体积为
【分析】（1）根据展开图可得长方体的长、宽、高；
（2）由面积和体积的计算公式计算即可．
【详解】（1）解：由图得
高为：，
长为：（），
宽为：（）
故答案：，，．
（2）解：
（），
（）；
故这个包装盒的表面积为，体积为．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，求几何题的表面积及体积，分清立方体的长宽高是解题的关键．
【变式训练】
1．如图是一个食品包装盒的展开图．请根据图中所标的尺寸，求这个包装盒的表面积和体积．
【答案】；．
【分析】根据图示数据，有四个长方形面相同，两个正方形．由面积和体积的计算公式计算即可．
【详解】解：根据图示，四个长方形的长是，宽是，两个正方形边长是，
包装盒的表面积；包装盒的体积．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，分清立方体的长宽高是本题的关键．
2．小芳要用硬纸片做一个文具盒，如图所示是文具盒展开图．
(1)指出x、y的值；
(2)求文具盒的表面积及体积．
【答案】(1)x＝3cm，y＝8cm；
(2)488cm2，480cm3．
【分析】（1）根据长方体展开图的特征可得答案；
（2）由长方体的表面积和体积计算公式解答即可
【详解】（1）解：由图形可得：cm，cm
（2）解：这个长方体的表面积是：；
这个长方体的体积是：．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，利用了几何体在开图组几何体时面与面之间的关系．掌握长方体展开图的特征是解题的关键．
3．如图，是一个几何体的表面展开图：
(1)请说出该几何体的名称；
(2)求该几何体的表面积；
(3)求该几何体的体积．
【答案】(1)长方体
(2)平方米
(3)立方米
【分析】（1）根据几何体的展开图可知，该几何体为长方体；
（2）求出各个面的面积，然后相加即可；
（3）根据长方体体积公式求出体积即可．
【详解】（1）解：该几何体展开图中六个面均为长方形，因此该几何体为长方体．
（2）解：（平方米），
答：该几何体的表面积为22平方米．
（3）解：（平方米），
答：该几何体的体积为6立方米．
【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积和体积，解题的关键是熟记长方体的展开图．
【考点六 判断简单组合体的三个方向看几何体】
例题：（23·24上·榆林·阶段练习）如图，这个几何体由五个完全相同的小正方体组成，则该几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从上面看到的图形即可．
【详解】解：从上边看从上面看到的形状图是：
故选B．
【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看几何体是解题的关键．
【变式训练】
1．（23·24上·大庆·阶段练习）下列几何体中，从正面看和从上面看都为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别确定四个几何体从正面和上面观察得到的图形，分析选择．
【详解】解：
A. 正面看是三形形，上面看是圆，本选项不合题意；
B. 正面看是长方形，上面看是长方形，本选项符合题意；
C. 正面看是长方形，上面看是圆，本选项不合题意；
D. 正面看是梯形，上面看是长方形，本选项不合题意；
故选：B
【点睛】本题考查从不同方向观察几何体；具备一定的空间相想能力是解题的关键．
2．（23·24上·大庆·阶段练习）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是．它可能是下面的哪一个（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据从不同方向观察物体和几何图形，可以得出答案．
【详解】解：一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是．它可能是下面的．
故选：A．
【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图形，解决本题的关键是在日常教学中要培养学生的观察能力．
【考点七 画小立方块堆砌图形的三个方向看几何体】
例题：（23·24上·大庆·阶段练习）如图是小强用7块相同的小立方体搭成的一个几何体，从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图．
【答案】见解析
【分析】从正面、左面、上面观察，注意垂直方向的层数，水平方向上各层的宽度有几个正方形构成．
【详解】解：
【点睛】本题考查从不同方向观察几何体，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
【变式训练】
1．（22·23上·榆林·期末）由几个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请在下面方格中分别画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图．
【答案】见解析
【分析】根据简单组合体的三视图的画法画图即可．
【详解】解：如图所示.
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确解答的前提．
2．（23·24上·榆林·阶段练习）观察图中的几何体，分别画出从正面、左面、上面三个方向看到这个几何体的平面图形．
【答案】见解析
【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2，；从左面看，从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1；从上面看，从左往右3列正方形的个数依次3，2，1，依次画出图形即可．
【详解】解：如图所示，
【点睛】本题考查画几何体的三视图，熟练掌握三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面观察所得到的图形是解题的关键．
【考点八 求小立方块堆砌图形的表面积】
例题：（21·22上·太原·阶段练习）如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：______．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可；
（2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．
【详解】（1）解：从三个不同方向看到的形状图，如图所示，
；
（2）解：这个几何体的表面积，
故答案为：26．
【点睛】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．一位画家把边长为1m的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为 ．
【答案】23
【分析】依据图形，从上面，前后面，左右面5个方向看，找找面总数目，据此计算即可．
【详解】解：正方体的单个面的面积为：1，
从上面看有5个面，从前后面各有4个面，左右面看各有5个面，
即涂色面积．
故答案为：23．
【点睛】结合图形的特征，认真观察，是解决此类问题的关键．
2．如图，在一次数学活动课上，张明用个边长为的小正方体搭成一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要____个小正方体，王亮所搭几何体的表面积为____．
【答案】19，48
【分析】首先明确张明所搭几何体所需正方体个数，然后确定两人共同搭建长方体所需的小正方体个数，求差即可；再根据王亮所搭几何体的形状即可求出它的表面积．
【详解】解：张明所搭几何体所需正方体个数是17个，两人共同搭建长方体是一个长、宽、高分别为3、3、4的长方体，至少要36个小正方体才能搭成一个长方体，王亮所需的小正方体个数为（个）；
此时王亮所搭几何体的表面积为：．
故答案为：19，48．
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，确定两人所搭几何体的形状是关键．
3．（22·23上·佛山·阶段练习）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：_______ ；
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）根据从不同方向看到的结果画出图形即；
（2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）这个几何体的表面积，
故答案为：26．
【点睛】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型．
【考点九 已知三个方向看几何体求最多或最少的小立方块的个数】
例题：（23·24上·济南·阶段练习）用小正方体搭成一个几何体，使得从正面看、从上面看该几何体得到的图形如图所示．它最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体．
【答案】 14 10
【分析】从上面可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】解：根据从上面看和从正面看可得这个几何体共3层，
第一层最多7个小正方体，第二层最多5个小正方体，第三层最多2个小正方体，最多需要14个小正方体，
第一层最少7个小正方体，第二层最少2个小正方体，第三层最少1个小正方体，最少需要10个小正方体，
故答案为：14；10．
【点睛】本题考查由从不同方向看几何体，从从上面和正面看出每一层小正方体的层数和个数是解题的关键．
【变式训练】
1．（23·24上·佛山·阶段练习）用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的从正面看、从左面看和从上面看，请你观察它是由 块小木块组成的．
从正面看 从左面看 从上面看
【答案】10
【分析】由从上面看可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看和从左面看可得第二层和第三层小木块的个数，相加即可．
【详解】∵从上面看中有6个正方形，
∴最底层有6个正方体小木块，
由从正面看和从左面看可得第二层有3个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块，
∴共有10个正方体小木块组成．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，解题的关键是熟知该几何体的特征．
2．（23·24上·佛山·阶段练习）用小立方块搭一个几何体，如图分别是从它的正面和上面看到的形状图，则它最少需要 个立方块．
【答案】
【分析】易得这个几何体共有层，由上面看可得第一层立方块的个数，由正面看可得第二层和第三层最少或最多的立方块的个数，相加即可．
【详解】根据从正面看和上面看，即可确定立方块的个数：
，
它最少需要个立方块，
故答案为：．
【点睛】此题考查了从不同方向看物体，解题的关键是灵活运用不同方向看物体的知识确定立方块个数．
【考点十 已知三个方向看几何体求侧面积或表面积或体积】
例题：（23·24上·重庆·阶段练习）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示．
(1)写出这个几何体的名称：______；
(2)求这个几何体的体积和表面积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱；
(2)体积为，表面积为．
【分析】（1）根据主视图和左视图可以得到该几何体是柱体，根据俯视图判断为圆柱；
（2）根据圆柱的底面直径和高求得其体积即可．
【详解】（1）解：据主视图和左视图可以得到该几何体是柱体，根据俯视图判断为圆柱；
故答案为：圆柱；
（2）解：底面半径为，高为
∴圆柱的侧面积π．圆柱的体积
∴圆柱的表面积．
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体，然后得到其相关数据求侧面积与表面积．
【变式训练】
1．（22·23上·淄博·期末）如图，是一个几何体从三个不同方向看到的形状图．
(1)根据图中数据求该几何体的体积；
(2)当时，该几何体的体积是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三个方向看到的图形可知该几何体是由一个圆柱和圆锥组成的，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可；
（2）把代入到（1）所求式子中求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，该几何体的体积为；
（2）解：当时，原式．
【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，根据三个方向看到的图形还原几何体，确定该几何体是由一个圆锥和圆柱组成的图形是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（22·23上·深圳·期中）三棱柱共有（ ）条棱．
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】一般棱柱有上下两个底面，三棱柱三个侧面，由此可以确定棱的条数，即可求解．
【详解】解：由题意得
一个八棱柱共有9条棱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立体图形中棱柱的认识，理解棱柱的构成是解题的关键．
2．（15·16上·聊城·期中）图中属于柱体的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案．
【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中的柱体有圆柱、长方体、正方体、四棱柱、七棱柱、三棱柱，共6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球．
3．（23·24上·泰安·阶段练习）正方体木块的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，如图是从不同方向观察这个正方体木块看到的数字情况，数字1和5对面的数字的和是（ ）．
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据所给正方体以及从不同方向观察物体的特点可知，1对面的数字是3，5对面的数字是4，所以数字1和5对面的数字的和是3+4．
【详解】解：由图①知，1对面的数字可能是3，4，6，
再由图②③知，1对面的数字不可能是2，4，6，
∴1对面的数字是3，
同理，2对面的数字是6，4对面的数字是5，
则，
答：数字1和5对面的数字的和是7．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相对面的数字，灵活运用正方体的相对面解答问题，正确判断对面和邻面是解题的关键．
4．（23·24上·全国·专题练习）如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依据几何体中两个阴影长方形以及一个阴影三角形的位置，即可得出结论．
【详解】解：A．折叠后可得到图中的正方体，符合题意；
B．折叠后两个阴影长方形有一个公共点，不合题意；
C．折叠后两个阴影长方形的长边互相平行，不合题意；
D．折叠后阴影长方形与阴影三角形一边完全重合，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查正方体的展开图，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
5．（22·23上·兰州·期末）如图是从三个不同方向看到的由几个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】利用从上面看到的形状图写出小正方体的个数可得结论．
【详解】解：如图，这个几何体的小正方体的个数为个，
故选B．
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解三个方向看几何体的方法，属于中考常考题型．
二、填空题
6．（23·24上·济南·阶段练习）十棱柱有 条棱， 个顶点， 个面．
【答案】 30 20 12
【分析】根据棱柱的特性：条棱，n棱柱有个面，个顶点．
【详解】解：十棱柱有30条棱，20个顶点，12个面．
故答案为：30，20，12．
【点睛】本题主要考查n棱柱的构造特点：个面，条棱，个顶点．
7．（23·24上·佛山·阶段练习）“争创全国文明典范城市，让文明成为佛山人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是 ．
【答案】明
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无临点”，依此来找相对面．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，
“城”字对面的字是“明”．
故答案为：明．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
8．（23·24上·济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．
【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1，
∴该圆柱的底面直径为1，高为2，
∴该几何体的侧面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法．
9．（23·24上·郑州·阶段练习）把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色（红、绿、蓝、黄、紫、白），现将大小相同，颜色分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图，那么这个长方体中与蓝色一面相对的颜色是 ．
【答案】白色
【分析】以“红色”为突破口，红色与紫色、黄色、白色、蓝色相邻，所以红色的对面是绿色；黄色与红色、白色、蓝色、绿色相邻，所以黄色的对面是紫色，则剩余的白色与蓝色相对．
【详解】解：最右边的正方体告诉我们：红色与蓝色、黄色相邻，中间两个正方体告诉我们：红色与紫色、白色相邻，所以红色的对面是绿色；又黄色与红色、白色、蓝色、绿色相邻，所以黄色的对面是紫色，则剩余的白色与蓝色相对．
故答案为：白色．
【点睛】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
10．（22·23上·西安·期中）如图所示的长方形是某圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为，，则圆柱体的体积为 .
【答案】或/或
【分析】以不同的边为圆柱体的底面周长，计算出底面半径，再根据圆柱体体积计算方法进行计算即可．
【详解】解：①以为底面周长，为高，
此时圆柱体的底面半径为，
∴圆柱体的体积为，
②以为圆柱体的底面周长，为高，
此时圆柱体的底面半径为，
∴圆柱体的体积为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键．
三、解答题
11．（23·24上·榆林·阶段练习）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，其从不同方向看到的情形如图所示，根据图示回答下列问题．
(1)A的对面是______，B的对面是______，C的对面是______．
(2)若A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为0，且正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
【答案】(1)A的对面是E，B的对面是D，C的对面是F；
(2)F所表示的数
【分析】（1）观察三个正方体，A相邻的字母有B，C，D，F，从而确定出A对面的字母，C相邻的字母有A，B，D，E，从而确定与C对面的字母，最后确定出B的对面；
（2）根据互为相反数的定义列出求出m，然后代入代数式求出C表示的数，进而可得F表示的数．
【详解】（1）解：由图可知，A相邻的字母有B，C，D，F，C相邻的字母有A，B，D，E，
∴A的对面是E，B的对面是D，C的对面是F；
（2）解：由题意得：，解得：，
∴C表示的数为，
∵C的对面是F，
∴F所表示的数；
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，互为相反数的定义，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键，也是解题的难点．
12．（23·24上·佛山·阶段练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．
(1)共有________个小正方体；
(2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积；
(3)如果现在你还有一些棱长都为
的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加________个小正方体．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据拼图可直接得出答案;
（2）求出主视图、主视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行相加计算即可；
（3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多．
【详解】（1）根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体，
故答案为：
（2）分析这个图形的三视图可得：
主视图面积为：，
左视图面积为：，
俯视图的面积为：,
该组合体的表面积为：
所以：这个几何体喷漆的面积为：．
（3）要保持俯视图和左视图都不变，结合三视图，中间位置的小正方形上面叠加一个，右侧位置的小正方形上面叠加一个，所以最多可以添加个
故答案为：．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答此题的关键.
13．（23·24上·佛山·阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有_______种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
(3)在你帮忙设计成功的图中，要把，8，10，，，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加等0（直接在图中填上）
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；
（2）利用（1）的分析画出图形即可；
（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．
【详解】（1）解：根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，
故答案为：4；
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了立体图形的展开图，解题的关键是识记正方体展开图的基本特征．
14．（23·24上·佛山·阶段练习）在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如下图所示.
(1)请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图.
(2)如果这个几何体露出的表面喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有______个小立方块只有一个面是黄色，有______个小立方块只有两个面是黄色，有_____个小立方块只有三个面是黄色.
(3)若你手头还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___个小立方块.
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)4
【分析】 由已知条件可知，主视图有列，每列小正方数形数目分别为，左视图有列，每列小正方形数目分别为，俯视图有列，每列小正方数形数目分别为，据此可画出图形；
只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，有个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个；
保持从上面和左面观察到的形状图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放个小正方体.
【详解】（1）如图所示:
（2）
只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共个；
有个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共个；
只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个, 共个，
故答案为：，，.
（3）保持从上面和左面观察的形状图不变，可以在第二列前面一行上面最多添加个，后面一行最多添加个，第三列最多添加个，所以最多可以再添加个小正方体，
故答案为：.
【点睛】本题考查从不同的方向看几何体，掌握不同方向的图形的画法是解题的关键.
15．（23·24上·长春·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为，即可得到底面的周长；
（2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，无盖的长方体高为a，底面的宽为，
底面的长为，
底面的周长为，
故答案为：；
（2）解：①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．
16．（23·24上·佛山·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整．
【答案】见解析
【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案．
【详解】解：填表如下：
【点睛】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键．
17．（23·24上·枣庄·阶段练习）从上面看到的形状图中的小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题:
(1) ， ， ；
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
(3)当时,在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
【答案】(1)；
(2)最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成；
(3)见解析.
【分析】(1) 由主视图可知，第二列小立方体的个数均为1，第3列小正方体的个数为3，那么 ；
(2)第一列小立方体的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方体的个数即可；
(3)左视图有3列，每列小正方形数目分别为3,1,1.
【详解】（1）由从正面看到的图形可知, .
（2）这个几何体最少由个小立方块搭成,最多由个小立方块搭成.
（3）如图所示.
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
18．（23·24上·西安·阶段练习）小李师傅根据需要打算利用棱长为的正方体模具加工零件．
(1)方案一：如图①，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，设打孔后零件的表面积为，则__________．
(2)方案二：如图②，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个直径为的圆形通孔，设打孔后零件的表面积为，比较与的大小关系．
(3)若小李师傅计划在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，又在其正面正中心位置处，从前到后打一个直径为的圆形通孔（如图③所示）．根据要求，需将加工完成后的零件表面涂上防锈漆，若每平方分米费用为0.5元，求所需的费用（结果保留）．
【答案】(1)160
(2)；
(3)所需的费用80元．
【分析】（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积-小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积；
（2）打孔后的表面积=原正方体的表面积-小圆孔的面积+孔中的圆柱的侧面积；
（3）打孔后的表面积=图（1）的表面积-4个小圆孔的面积+新打的孔中的2个小圆柱的侧面积．
【详解】（1）解：；
答：打孔后零件的表面积是；
故答案为：160；
（2）解：；
，
∴；
（3）解：
所需的费用：（元）．
【点睛】本题考查长方体和圆柱体的表面积，掌握长方体和圆柱体的表面积计算公式是解题关键．
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1
图2
图3
多面体
顶点数（）
面数（）
棱数（）
四面体
4
六面体
8
6
八面体
8
12
十二面体
20
30
多面体
顶点数（）
面数（）
棱数（）
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
n棱柱
图形
顶点数a
6
_____
10
_______
______
棱数b
9
12
_______
_______
3n
面数c
5
______
______
8
______
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
n棱柱
图形
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
18
面数c
5
6
7
8
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27529" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27529 \h 1
\l "_Tc3047" 【考点一 立体图形的分类】 PAGEREF _Tc3047 \h 1
\l "_Tc11354" 【考点二 几何体中点、棱、面】 PAGEREF _Tc11354 \h 2
\l "_Tc32330" 【考点三 正方体相对两面上的字】 PAGEREF _Tc32330 \h 6
\l "_Tc1745" 【考点四 含图案的正方体的展开图】 PAGEREF _Tc1745 \h 7
\l "_Tc27047" 【考点五 由展开图计算几何体的表面积或体积】 PAGEREF _Tc27047 \h 9
\l "_Tc9621" 【考点六 判断简单组合体的三个方向看几何体】 PAGEREF _Tc9621 \h 12
\l "_Tc30571" 【考点七 画小立方块堆砌图形的三个方向看几何体】 PAGEREF _Tc30571 \h 13
\l "_Tc6200" 【考点八 求小立方块堆砌图形的表面积】 PAGEREF _Tc6200 \h 15
\l "_Tc15697" 【考点九 已知三个方向看几何体求最多或最少的小立方块的个数】 PAGEREF _Tc15697 \h 18
\l "_Tc6197" 【考点十 已知三个方向看几何体求侧面积或表面积或体积】 PAGEREF _Tc6197 \h 20
\l "_Tc18157" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18157 \h 21
【典型例题】
【考点一 立体图形的分类】
例题：如图，下列几何体，是柱体的有______，球体的有______．（填序号）
【答案】 ①②⑥ ⑤
【分析】根据立体图形的特征即可得到答案．
【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤．
故答案为：①②⑥，⑤
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟知立体图形的特征并知道他们的名称是解题关键．
【变式训练】
1.如图所示，请将下列几何体分类．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】对于立体图形的分类，可按照不同标准进行，①按照立体图形的种类分类；②根据立体图形包含的平面类型分类．
【详解】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一类，都是柱体；（2）是锥体；（4）是球体．
方法二：（1）、（3）是一类，全是由平面构成的；（2）、（5）是一类，既有平面，又有曲面；（4）是一类，只有曲面．
【点睛】本题考查立体图形的认识，掌握分类时的标准选择是解题关键．
2．下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）．
(1)如果按“柱”“锥球”来分，柱体有______，椎体有______，球有______；
(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______．
【答案】(1)①②⑥；③④；⑤
(2)②③⑤；①④⑥
【分析】（1）根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．
（2）根据面的形状特征考虑．
【详解】（1）解：∵（1）是四棱柱，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）是棱锥，（5）是球，（6）是三棱柱，
∴柱体有（1），（2），（6），锥体有（3），（4），球有（5），
故答案为：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；
（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它几何体无曲面，
∴按“有无曲面”来分，有曲面的有（2），（3），（5），无曲面的有：（1），（4），（6），
故答案为：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解决本题的关键是认识柱体的形状特征．
【考点二 几何体中点、棱、面】
例题：几何知识：
（1）长方体有 _____个面，_____条棱，_____个顶点．
（2）圆柱体由 _____个面围成，圆锥由 _____个面围成，它们的底面都是 _____．
（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有 _____个面，_____个顶点，_____条棱．
【答案】 6 12 8 3 2 圆形
【分析】（1）根据长方体的特征即可得到答案；
（2）根据圆柱和圆锥的特征即可得到答案；
（3）根据棱柱的特征进行分析，即可得到答案．
【详解】解：（1）长方体有6个面，12条棱，8个顶点，
故答案为：6，12，8；
（2）圆柱体由3个面围成，圆锥由2个面围成，它们的底面都是圆形，
故答案为：3，2，圆形；
（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有个面，个顶点，条棱，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了常见几何体的基础知识，解题关键是具备空间想象能力．
【变式训练】
1．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1)根据要求填写表格：
(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15；
(2)；
(3)它的面数是2012
【分析】（1）根据图形数出即可；
（2）根据（1）中结果得出；
（3）代入求出即可；
【详解】（1）图1，面数，顶点数，棱数，
图2，面数，顶点数，棱数，
图3，面数，顶点数，棱数，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）由表格数据可得：．
（3）∵
∴，
，
即它的面数是2012．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律
2．综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
操作探究：
(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分：
通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；
(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)表见解析，
(2)五
(3)6
【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数；
（2）根据棱柱的定义进行解答即可；
（3）由（1）得出的规律进行解答即可．
【详解】（1）解：填表如下：
顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：；
（2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面，
有个侧面，
这个棱柱是五棱柱，
故答案为：五；
（3）解：由题意得：棱的总条数为（条），
由可得,
解得：，
故该多面体的面数为6．
【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．
【考点三 正方体相对两面上的字】
例题：（2023秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）一个正方体的展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对面所标的字是（ ）
A．设B．福C．中D．国
【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：由正方体表面展开图的可知中间四个正方形作为侧面，“建”与“国”是上下两个底面，
∴“建”与“国”是对面，
故选：D．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，解题的关键是掌握正方体表面展开图的特征．
【变式训练】
1．如图所示，3个正方体的6个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、自、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、红色、白色的面的对面的颜色分别是（ ）
A．绿、黑、蓝B．蓝、黑、绿C．绿、蓝、黑D．蓝、绿、黑
【答案】A
【分析】由图可得：涂有黄的邻面颜色是黑、白、蓝、红得到黄的对面应是绿；涂有红的邻面颜色是绿、白、黄、蓝得到红的对面应是黑，由此即可得到答案．
【详解】解：由图可得：
涂有黄的邻面颜色是黑、白、蓝、红，
黄的对面应是绿；
涂有红的邻面颜色是绿、白、黄、蓝，
红的对面应是黑；
只剩下了白和蓝，
白的对面应是蓝；
黄色的对面是绿色，白色的对面是蓝色，红色的对面是黑色，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据邻面颜色得出对面颜色是解此题的关键．
2．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知正方体的表面展开图如图所示，若相对面上标有的两个数互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】将展开图还原成正方体后，可得：与5在相对面上，与在相对面上，与在相对面上，即可求解．
【详解】解：将展开图还原成正方体后，可得：
与5在相对面上，与在相对面上，与在相对面上，
因为相对面上的两个数互为相反数，
所以，，，
所以；
故答案：．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图与原正方体的关系，相反数的定义，理解正方体的展开图与原正方体的关系是解题的关键．
【考点四 含图案的正方体的展开图】
例题：如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依据几何体中两个阴影长方形以及一个阴影三角形的位置，即可得出结论．
【详解】解：A．折叠后可得到图中的正方体，符合题意；
B．折叠后两个阴影长方形有一个公共点，不合题意；
C．折叠后两个阴影长方形的长边互相平行，不合题意；
D．折叠后阴影长方形与阴影三角形一边完全重合，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查正方体的展开图，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
【变式训练】
1．如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，进行判断即可．
【详解】解：由正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故均不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查由展开图还原立方体．解题的关键是根据展开图确定正方体的相对面．
2．小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，混放在下面的盒子里，请观察，礼物所在的盒子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此平面图为正方体展开图的“”型，折成正方体后，涂色三角形与斜线三角形有一条直角边重合，据此即可作出选择．
【详解】解：把
折成一个正方体的盒子是：
故选：B
【点睛】本题主要考查了正方体展开图，关键弄清这个正方体展开图折成正方体后，涂色三角形与斜线三角形有一条直角边重合。
【考点五 由展开图计算几何体的表面积或体积】
例题：（2023秋·辽宁·七年级统考阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：
(1)该长方体盒子的长______，宽______cm，高______；
(2)求这个包装盒的表面积和体积．
【答案】(1)，，
(2)表面积为，体积为
【分析】（1）根据展开图可得长方体的长、宽、高；
（2）由面积和体积的计算公式计算即可．
【详解】（1）解：由图得
高为：，
长为：（），
宽为：（）
故答案：，，．
（2）解：
（），
（）；
故这个包装盒的表面积为，体积为．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，求几何题的表面积及体积，分清立方体的长宽高是解题的关键．
【变式训练】
1．如图是一个食品包装盒的展开图．请根据图中所标的尺寸，求这个包装盒的表面积和体积．
【答案】；．
【分析】根据图示数据，有四个长方形面相同，两个正方形．由面积和体积的计算公式计算即可．
【详解】解：根据图示，四个长方形的长是，宽是，两个正方形边长是，
包装盒的表面积；包装盒的体积．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，分清立方体的长宽高是本题的关键．
2．小芳要用硬纸片做一个文具盒，如图所示是文具盒展开图．
(1)指出x、y的值；
(2)求文具盒的表面积及体积．
【答案】(1)x＝3cm，y＝8cm；
(2)488cm2，480cm3．
【分析】（1）根据长方体展开图的特征可得答案；
（2）由长方体的表面积和体积计算公式解答即可
【详解】（1）解：由图形可得：cm，cm
（2）解：这个长方体的表面积是：；
这个长方体的体积是：．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，利用了几何体在开图组几何体时面与面之间的关系．掌握长方体展开图的特征是解题的关键．
3．如图，是一个几何体的表面展开图：
(1)请说出该几何体的名称；
(2)求该几何体的表面积；
(3)求该几何体的体积．
【答案】(1)长方体
(2)平方米
(3)立方米
【分析】（1）根据几何体的展开图可知，该几何体为长方体；
（2）求出各个面的面积，然后相加即可；
（3）根据长方体体积公式求出体积即可．
【详解】（1）解：该几何体展开图中六个面均为长方形，因此该几何体为长方体．
（2）解：（平方米），
答：该几何体的表面积为22平方米．
（3）解：（平方米），
答：该几何体的体积为6立方米．
【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积和体积，解题的关键是熟记长方体的展开图．
【考点六 判断简单组合体的三个方向看几何体】
例题：（23·24上·榆林·阶段练习）如图，这个几何体由五个完全相同的小正方体组成，则该几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从上面看到的图形即可．
【详解】解：从上边看从上面看到的形状图是：
故选B．
【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看几何体是解题的关键．
【变式训练】
1．（23·24上·大庆·阶段练习）下列几何体中，从正面看和从上面看都为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别确定四个几何体从正面和上面观察得到的图形，分析选择．
【详解】解：
A. 正面看是三形形，上面看是圆，本选项不合题意；
B. 正面看是长方形，上面看是长方形，本选项符合题意；
C. 正面看是长方形，上面看是圆，本选项不合题意；
D. 正面看是梯形，上面看是长方形，本选项不合题意；
故选：B
【点睛】本题考查从不同方向观察几何体；具备一定的空间相想能力是解题的关键．
2．（23·24上·大庆·阶段练习）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是．它可能是下面的哪一个（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据从不同方向观察物体和几何图形，可以得出答案．
【详解】解：一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是．它可能是下面的．
故选：A．
【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图形，解决本题的关键是在日常教学中要培养学生的观察能力．
【考点七 画小立方块堆砌图形的三个方向看几何体】
例题：（23·24上·大庆·阶段练习）如图是小强用7块相同的小立方体搭成的一个几何体，从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图．
【答案】见解析
【分析】从正面、左面、上面观察，注意垂直方向的层数，水平方向上各层的宽度有几个正方形构成．
【详解】解：
【点睛】本题考查从不同方向观察几何体，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
【变式训练】
1．（22·23上·榆林·期末）由几个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请在下面方格中分别画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图．
【答案】见解析
【分析】根据简单组合体的三视图的画法画图即可．
【详解】解：如图所示.
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确解答的前提．
2．（23·24上·榆林·阶段练习）观察图中的几何体，分别画出从正面、左面、上面三个方向看到这个几何体的平面图形．
【答案】见解析
【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2，；从左面看，从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1；从上面看，从左往右3列正方形的个数依次3，2，1，依次画出图形即可．
【详解】解：如图所示，
【点睛】本题考查画几何体的三视图，熟练掌握三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面观察所得到的图形是解题的关键．
【考点八 求小立方块堆砌图形的表面积】
例题：（21·22上·太原·阶段练习）如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：______．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可；
（2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．
【详解】（1）解：从三个不同方向看到的形状图，如图所示，
；
（2）解：这个几何体的表面积，
故答案为：26．
【点睛】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．一位画家把边长为1m的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为 ．
【答案】23
【分析】依据图形，从上面，前后面，左右面5个方向看，找找面总数目，据此计算即可．
【详解】解：正方体的单个面的面积为：1，
从上面看有5个面，从前后面各有4个面，左右面看各有5个面，
即涂色面积．
故答案为：23．
【点睛】结合图形的特征，认真观察，是解决此类问题的关键．
2．如图，在一次数学活动课上，张明用个边长为的小正方体搭成一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要____个小正方体，王亮所搭几何体的表面积为____．
【答案】19，48
【分析】首先明确张明所搭几何体所需正方体个数，然后确定两人共同搭建长方体所需的小正方体个数，求差即可；再根据王亮所搭几何体的形状即可求出它的表面积．
【详解】解：张明所搭几何体所需正方体个数是17个，两人共同搭建长方体是一个长、宽、高分别为3、3、4的长方体，至少要36个小正方体才能搭成一个长方体，王亮所需的小正方体个数为（个）；
此时王亮所搭几何体的表面积为：．
故答案为：19，48．
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，确定两人所搭几何体的形状是关键．
3．（22·23上·佛山·阶段练习）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：_______ ；
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）根据从不同方向看到的结果画出图形即；
（2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）这个几何体的表面积，
故答案为：26．
【点睛】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型．
【考点九 已知三个方向看几何体求最多或最少的小立方块的个数】
例题：（23·24上·济南·阶段练习）用小正方体搭成一个几何体，使得从正面看、从上面看该几何体得到的图形如图所示．它最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体．
【答案】 14 10
【分析】从上面可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】解：根据从上面看和从正面看可得这个几何体共3层，
第一层最多7个小正方体，第二层最多5个小正方体，第三层最多2个小正方体，最多需要14个小正方体，
第一层最少7个小正方体，第二层最少2个小正方体，第三层最少1个小正方体，最少需要10个小正方体，
故答案为：14；10．
【点睛】本题考查由从不同方向看几何体，从从上面和正面看出每一层小正方体的层数和个数是解题的关键．
【变式训练】
1．（23·24上·佛山·阶段练习）用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的从正面看、从左面看和从上面看，请你观察它是由 块小木块组成的．
从正面看 从左面看 从上面看
【答案】10
【分析】由从上面看可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看和从左面看可得第二层和第三层小木块的个数，相加即可．
【详解】∵从上面看中有6个正方形，
∴最底层有6个正方体小木块，
由从正面看和从左面看可得第二层有3个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块，
∴共有10个正方体小木块组成．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，解题的关键是熟知该几何体的特征．
2．（23·24上·佛山·阶段练习）用小立方块搭一个几何体，如图分别是从它的正面和上面看到的形状图，则它最少需要 个立方块．
【答案】
【分析】易得这个几何体共有层，由上面看可得第一层立方块的个数，由正面看可得第二层和第三层最少或最多的立方块的个数，相加即可．
【详解】根据从正面看和上面看，即可确定立方块的个数：
，
它最少需要个立方块，
故答案为：．
【点睛】此题考查了从不同方向看物体，解题的关键是灵活运用不同方向看物体的知识确定立方块个数．
【考点十 已知三个方向看几何体求侧面积或表面积或体积】
例题：（23·24上·重庆·阶段练习）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示．
(1)写出这个几何体的名称：______；
(2)求这个几何体的体积和表面积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱；
(2)体积为，表面积为．
【分析】（1）根据主视图和左视图可以得到该几何体是柱体，根据俯视图判断为圆柱；
（2）根据圆柱的底面直径和高求得其体积即可．
【详解】（1）解：据主视图和左视图可以得到该几何体是柱体，根据俯视图判断为圆柱；
故答案为：圆柱；
（2）解：底面半径为，高为
∴圆柱的侧面积π．圆柱的体积
∴圆柱的表面积．
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体，然后得到其相关数据求侧面积与表面积．
【变式训练】
1．（22·23上·淄博·期末）如图，是一个几何体从三个不同方向看到的形状图．
(1)根据图中数据求该几何体的体积；
(2)当时，该几何体的体积是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三个方向看到的图形可知该几何体是由一个圆柱和圆锥组成的，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可；
（2）把代入到（1）所求式子中求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，该几何体的体积为；
（2）解：当时，原式．
【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，根据三个方向看到的图形还原几何体，确定该几何体是由一个圆锥和圆柱组成的图形是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（22·23上·深圳·期中）三棱柱共有（ ）条棱．
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】一般棱柱有上下两个底面，三棱柱三个侧面，由此可以确定棱的条数，即可求解．
【详解】解：由题意得
一个八棱柱共有9条棱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立体图形中棱柱的认识，理解棱柱的构成是解题的关键．
2．（15·16上·聊城·期中）图中属于柱体的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案．
【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中的柱体有圆柱、长方体、正方体、四棱柱、七棱柱、三棱柱，共6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球．
3．（23·24上·泰安·阶段练习）正方体木块的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，如图是从不同方向观察这个正方体木块看到的数字情况，数字1和5对面的数字的和是（ ）．
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据所给正方体以及从不同方向观察物体的特点可知，1对面的数字是3，5对面的数字是4，所以数字1和5对面的数字的和是3+4．
【详解】解：由图①知，1对面的数字可能是3，4，6，
再由图②③知，1对面的数字不可能是2，4，6，
∴1对面的数字是3，
同理，2对面的数字是6，4对面的数字是5，
则，
答：数字1和5对面的数字的和是7．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相对面的数字，灵活运用正方体的相对面解答问题，正确判断对面和邻面是解题的关键．
4．（23·24上·全国·专题练习）如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依据几何体中两个阴影长方形以及一个阴影三角形的位置，即可得出结论．
【详解】解：A．折叠后可得到图中的正方体，符合题意；
B．折叠后两个阴影长方形有一个公共点，不合题意；
C．折叠后两个阴影长方形的长边互相平行，不合题意；
D．折叠后阴影长方形与阴影三角形一边完全重合，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查正方体的展开图，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
5．（22·23上·兰州·期末）如图是从三个不同方向看到的由几个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】利用从上面看到的形状图写出小正方体的个数可得结论．
【详解】解：如图，这个几何体的小正方体的个数为个，
故选B．
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解三个方向看几何体的方法，属于中考常考题型．
二、填空题
6．（23·24上·济南·阶段练习）十棱柱有 条棱， 个顶点， 个面．
【答案】 30 20 12
【分析】根据棱柱的特性：条棱，n棱柱有个面，个顶点．
【详解】解：十棱柱有30条棱，20个顶点，12个面．
故答案为：30，20，12．
【点睛】本题主要考查n棱柱的构造特点：个面，条棱，个顶点．
7．（23·24上·佛山·阶段练习）“争创全国文明典范城市，让文明成为佛山人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是 ．
【答案】明
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无临点”，依此来找相对面．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，
“城”字对面的字是“明”．
故答案为：明．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
8．（23·24上·济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．
【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1，
∴该圆柱的底面直径为1，高为2，
∴该几何体的侧面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法．
9．（23·24上·郑州·阶段练习）把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色（红、绿、蓝、黄、紫、白），现将大小相同，颜色分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图，那么这个长方体中与蓝色一面相对的颜色是 ．
【答案】白色
【分析】以“红色”为突破口，红色与紫色、黄色、白色、蓝色相邻，所以红色的对面是绿色；黄色与红色、白色、蓝色、绿色相邻，所以黄色的对面是紫色，则剩余的白色与蓝色相对．
【详解】解：最右边的正方体告诉我们：红色与蓝色、黄色相邻，中间两个正方体告诉我们：红色与紫色、白色相邻，所以红色的对面是绿色；又黄色与红色、白色、蓝色、绿色相邻，所以黄色的对面是紫色，则剩余的白色与蓝色相对．
故答案为：白色．
【点睛】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
10．（22·23上·西安·期中）如图所示的长方形是某圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为，，则圆柱体的体积为 .
【答案】或/或
【分析】以不同的边为圆柱体的底面周长，计算出底面半径，再根据圆柱体体积计算方法进行计算即可．
【详解】解：①以为底面周长，为高，
此时圆柱体的底面半径为，
∴圆柱体的体积为，
②以为圆柱体的底面周长，为高，
此时圆柱体的底面半径为，
∴圆柱体的体积为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键．
三、解答题
11．（23·24上·榆林·阶段练习）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，其从不同方向看到的情形如图所示，根据图示回答下列问题．
(1)A的对面是______，B的对面是______，C的对面是______．
(2)若A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为0，且正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
【答案】(1)A的对面是E，B的对面是D，C的对面是F；
(2)F所表示的数
【分析】（1）观察三个正方体，A相邻的字母有B，C，D，F，从而确定出A对面的字母，C相邻的字母有A，B，D，E，从而确定与C对面的字母，最后确定出B的对面；
（2）根据互为相反数的定义列出求出m，然后代入代数式求出C表示的数，进而可得F表示的数．
【详解】（1）解：由图可知，A相邻的字母有B，C，D，F，C相邻的字母有A，B，D，E，
∴A的对面是E，B的对面是D，C的对面是F；
（2）解：由题意得：，解得：，
∴C表示的数为，
∵C的对面是F，
∴F所表示的数；
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，互为相反数的定义，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键，也是解题的难点．
12．（23·24上·佛山·阶段练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．
(1)共有________个小正方体；
(2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积；
(3)如果现在你还有一些棱长都为
的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加________个小正方体．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据拼图可直接得出答案;
（2）求出主视图、主视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行相加计算即可；
（3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多．
【详解】（1）根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体，
故答案为：
（2）分析这个图形的三视图可得：
主视图面积为：，
左视图面积为：，
俯视图的面积为：,
该组合体的表面积为：
所以：这个几何体喷漆的面积为：．
（3）要保持俯视图和左视图都不变，结合三视图，中间位置的小正方形上面叠加一个，右侧位置的小正方形上面叠加一个，所以最多可以添加个
故答案为：．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答此题的关键.
13．（23·24上·佛山·阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有_______种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
(3)在你帮忙设计成功的图中，要把，8，10，，，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加等0（直接在图中填上）
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；
（2）利用（1）的分析画出图形即可；
（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．
【详解】（1）解：根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，
故答案为：4；
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了立体图形的展开图，解题的关键是识记正方体展开图的基本特征．
14．（23·24上·佛山·阶段练习）在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如下图所示.
(1)请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图.
(2)如果这个几何体露出的表面喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有______个小立方块只有一个面是黄色，有______个小立方块只有两个面是黄色，有_____个小立方块只有三个面是黄色.
(3)若你手头还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___个小立方块.
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)4
【分析】 由已知条件可知，主视图有列，每列小正方数形数目分别为，左视图有列，每列小正方形数目分别为，俯视图有列，每列小正方数形数目分别为，据此可画出图形；
只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，有个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个；
保持从上面和左面观察到的形状图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放个小正方体.
【详解】（1）如图所示:
（2）
只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共个；
有个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共个；
只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个, 共个，
故答案为：，，.
（3）保持从上面和左面观察的形状图不变，可以在第二列前面一行上面最多添加个，后面一行最多添加个，第三列最多添加个，所以最多可以再添加个小正方体，
故答案为：.
【点睛】本题考查从不同的方向看几何体，掌握不同方向的图形的画法是解题的关键.
15．（23·24上·长春·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为，即可得到底面的周长；
（2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，无盖的长方体高为a，底面的宽为，
底面的长为，
底面的周长为，
故答案为：；
（2）解：①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．
16．（23·24上·佛山·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整．
【答案】见解析
【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案．
【详解】解：填表如下：
【点睛】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键．
17．（23·24上·枣庄·阶段练习）从上面看到的形状图中的小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题:
(1) ， ， ；
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
(3)当时,在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
【答案】(1)；
(2)最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成；
(3)见解析.
【分析】(1) 由主视图可知，第二列小立方体的个数均为1，第3列小正方体的个数为3，那么 ；
(2)第一列小立方体的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方体的个数即可；
(3)左视图有3列，每列小正方形数目分别为3,1,1.
【详解】（1）由从正面看到的图形可知, .
（2）这个几何体最少由个小立方块搭成,最多由个小立方块搭成.
（3）如图所示.
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
18．（23·24上·西安·阶段练习）小李师傅根据需要打算利用棱长为的正方体模具加工零件．
(1)方案一：如图①，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，设打孔后零件的表面积为，则__________．
(2)方案二：如图②，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个直径为的圆形通孔，设打孔后零件的表面积为，比较与的大小关系．
(3)若小李师傅计划在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，又在其正面正中心位置处，从前到后打一个直径为的圆形通孔（如图③所示）．根据要求，需将加工完成后的零件表面涂上防锈漆，若每平方分米费用为0.5元，求所需的费用（结果保留）．
【答案】(1)160
(2)；
(3)所需的费用80元．
【分析】（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积-小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积；
（2）打孔后的表面积=原正方体的表面积-小圆孔的面积+孔中的圆柱的侧面积；
（3）打孔后的表面积=图（1）的表面积-4个小圆孔的面积+新打的孔中的2个小圆柱的侧面积．
【详解】（1）解：；
答：打孔后零件的表面积是；
故答案为：160；
（2）解：；
，
∴；
（3）解：
所需的费用：（元）．
【点睛】本题考查长方体和圆柱体的表面积，掌握长方体和圆柱体的表面积计算公式是解题关键．
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1
图2
图3
多面体
顶点数（）
面数（）
棱数（）
四面体
4
六面体
8
6
八面体
8
12
十二面体
20
30
多面体
顶点数（）
面数（）
棱数（）
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
n棱柱
图形
顶点数a
6
_____
10
_______
______
棱数b
9
12
_______
_______
3n
面数c
5
______
______
8
______
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
n棱柱
图形
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
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面数c
5
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