专题82正弦式交变电流的产生和变化规律 交变电流的“四值”

这是一份专题82正弦式交变电流的产生和变化规律 交变电流的“四值”，文件包含专题82正弦式交变电流的产生和变化规律交变电流的“四值”原卷版docx、专题82正弦式交变电流的产生和变化规律交变电流的“四值”解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

2．正弦式交变电流的周期和频率
1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化所需的时间．单位是秒(s)，公式T＝eq \f(2π,ω).
2)频率(f)：交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．
3)周期和频率的关系：T＝eq \f(1,f)或f＝eq \f(1,T).
3．两个特殊位置的特点：
1)如下图，线圈平面转到中性面时，S⊥B，Φ最大，eq \f(ΔΦ,Δt)＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．线圈每经过中性面一次，感应电流的方向改变一次.一个周期内线圈两次通过中性面，因此电流的方向改变两次．
2)如下图，线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，eq \f(ΔΦ,Δt)最大，e最大，i最大，电流方向不改变．
4.交变电流的峰值、瞬时值、有效值、平均值
1)交变电流“四值”的比较
2)书写正弦交变电流瞬时值表达式的技巧
①确定正弦交变电流的最大值：根据已知图像读出或由公式Em＝NBSω求出相应最大值．
②明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式：
若线圈从中性面位置开始计时，则i－t图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin ωt.
若线圈从垂直中性面位置开始计时，则i－t图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcs ωt.
3)根据图像计算有效值的技巧
①计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，先分段计算热量，求和得出一个周期内产生的总热量，然后根据Q总＝I2RT或Q总＝eq \f(U2,R)T列式求解．
②若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的eq \f(1,4)周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和eq \f(1,2)周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝eq \f(Im,\r(2))、U＝eq \f(Um,\r(2))求解．
1．（2022·浙江嘉兴·二模）如图甲所示是一种可手摇发电的手电筒，除照明外还可手摇发电为手机充电。其原理回路处在磁感应强度为0.01T的匀强磁场中，磁场方向如图乙所示，图乙时刻半圆形导线束位于纸面内。从右向左看，手柄以40πrad/s逆时针匀速转动，则（ ）
A．该手摇电筒中的电流是直流电 B．图乙时刻半圆形导线束上电流从A到B
C．图乙时刻半圆形导线束受安培力大小为0 D．图乙所示电流表的示数为0.4A
【答案】C
【解析】A．根据手摇电筒的结构，线圈转动切割磁感线产生感应电流方向不断变化，故该手摇电筒中的电流是交流电，A错误；
BC．图乙时刻半圆形导线转动方向与磁场方向平行，该时刻无感应电流，半圆形导线束受安培力大小为0，B错误，C正确；
D．电流表的示数为转一圈的有效值，由题干中的已知条件无法求出电路中的电流有效值。
故选C。
2．如图所示，（a）→（b）→（c）→（d）过程是交流发电机发电的示意图，下列说法正确的是（ ）
A．当线圈转到图（a）位置时，线圈平面与磁感线垂直，磁通量变化率最大
B．从图（b）开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系是i=Imsinωt
C．当线圈转到图（c）位置时，感应电流最小，且感应电流方向将要改变
D．当线圈转到图（d）位置时，感应电动势最小，ab边感应电流方向为b→a
【答案】C
【解析】A．当线圈转到图（a）位置时，线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大，但是此时是中性面，产生的感应电流为零，即磁通量的变化率为0，选项A错误；
B．从图（b）开始计时，b图是与中性面垂直的平面，此时线圈中产 生的感应电流最大，故线圈中电流i随时间t变化的关系是i=Imcsωt，选项B错误；
C．当线圈转到图（c）位置时，此时也是线圈的中性面的位置，此时感应电流最小，且感应电流方向将要改变，选项C正确；
D．当线圈转到图（d）位置时，线圈的两边切割磁感线的速度最大，故感应电动势最大，由右手定则可知，ab边感应电流方向为b→a，选项D错误。
故选C。
3．（2022·山东日照·三模）(多选)如图所示为一小型交流发电的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度大小B=2T。矩形线框ABCD匝数n=100，面积S=0.02m²，线圈内阻r=5Ω，线圈绕垂直于磁场的水平轴OO'逆时针匀速转动，角速度ω=100rad/s。矩形线框通过滑环与R=15Ω的电阻相连，电压表为理想电表。则（ ）
A．线圈从图示位置开始计时，产生感应电动势的表达式e=2002cs(100t)（V）
B．线圈从图示位置开始转过90°时，电压表示数为零
C．该交流电可以直接加在击穿电压为200V的电容器上
D．在0.5s的时间内电阻R上产生的热量为750J
【答案】AD
【解析】A．线圈中产生的感应电动势的最大值为 Em=nBSω=100×2×0.02×100V=2002V
图示位置线圈平面垂直于中性面，从该时刻开始计时，
线圈中产生的感应电动势瞬时值表达式为 e=2002cs(100t)（V） A正确；
B．电压表示数为交流电压的有效值，所以示数不为零，B错误；
C．该交流电电压最大值为2002V，超过电容器的击穿电压200V，C错误；
D．线圈和R组成闭合电路，电路中电流的有效值为 I=ER+r=2005+15A=10A
则在0.5s的时间内电阻R上产生的热量为 Q=I2Rt=102×15×0.5J=750J D正确。
故选AD。
4．(多选)如图所示，闭合的正方形线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO'匀速转动，为了使线圈中的感应电动势的最大值增大为原来的2倍，下列方法可行的是（ ）
A．仅把线圈改为圆形 B．仅把转速变为原来的2倍
C．仅把磁感应强度变为原来的2倍 D．仅把转轴移到cd位置
【答案】BC
【解析】A．设正方形边长为L，根据最大值表达式 Em=BωS
可知，正方形线圈产生的电动势最大值为 Em=BωL2
仅把线圈改为圆形，则面积变为 S′=4L2π≠2L2
可知最大电动势不能变为原来的2倍，故A错误；
B．仅把转速变为原来的2倍，则根据 ω=2πn
可知角速度变为2倍，则最大电动势变为2倍，故B正确；
C．根据 Em=BωL2
仅把磁感应强度变为原来的2倍，则最大电动势变为2倍，故C正确；
D．仅把转轴移到cd位置，最大感应电动势不变，故D错误；
故选BC。
5．（2022·天津·模拟预测）(多选)如图所示，一多匝矩形线圈放在匀强磁场中，线圈电阻r=1.0Ω，外电路电阻R=9.0Ω。当线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动时，产生的电动势e=20sin10πt(V)。闭合开关S，下列说法正确的是（ ）
A．线圈转到图示位置时穿过线圈磁通量最大 B．电路中理想交流电流表的示数为2.0A
C．外接电阻R所消耗的电功率为18W D．该交变电流的频率为10Hz
【答案】AC
【解析】A．由磁通量的定义可知，线圈转到图示位置时穿过线圈磁通量最大，故A正确；
B．电路中电流的最大值 Im=EmR+r=2A
电流表显示的为有效值为 I=Im2=2A 故B错误；
C．外接电阻电阻R所消耗的电功率为 P=I2R=18W 故C正确；
D．根据 ω=2πf=10π 解得 f=5Hz 故D错误。
故选AC。
6．（2020·辽宁丹东·二模）(多选)如图所示，在磁感强度为B的匀强磁场中，单匝、闭合等腰直角三角形导线框abc以直角边ac为轴匀速转动。已知线框转动角速度为ω，ac边、ab边的边长均为L，闭合线框的电阻为R。若从图示位置开始计时，则（ ）
A．转动过程中，任意时刻线框中的感应电动势为e=12ωBL2csωt
B．转动过程中，任意时刻线框中的感应电动势为e=22ωBL2sinωt
C．线框转一周，外力所做的功为πωB2L42R
D．从图示位置转过90º的过程中，线框的平均感应电动势为BL2ωπ
【答案】AD
【解析】AB．线圈中的感应电动势最大值为 Em=BSω=Bω12L2
根据图示位置，则有感应电流的瞬时值的表达式为 e=12ωBL2csωt 故A正确，B错误；
C．电动势的有效值 E=12ωBL22=24ωBL2
线框转一周，外力所做的功为 W=E2RT=(24ωBL2)2R⋅2πω=πωB2L44R 故C错误；
D．从图示位置转过90º的过程中，线框的平均感应电动势为 E=ΔΦΔt=B⋅12L2π2ω=BL2ωπ 故D正确。
故选AD。
7．（2022·山东潍坊·三模）如图所示为一台教学用手摇式交流发电机，当缓慢摇动大皮带轮手柄时，连接在发电机上的小灯泡就会一闪一闪地发光。已知大皮带轮半径为R，小皮带轮半径为r，摇动手柄的角速度为ω，且摇动过程中皮带不打滑，以下判断正确的是（ ）
A．发电机产生的交变电流频率为ω2π
B．小灯泡闪烁的频率为ωRπr
C．小灯泡的瞬时功率等于通过小灯泡的电流、电压二者有效值的乘积
D．发电机启动阶段，当手摇转速加倍后，小灯泡的功率变为2倍
【答案】B
【解析】A．大皮带轮带小皮带轮边沿线速度大小相等，则有 ω′r=ωR
解得小皮带轮的的角速度 ω′=ωRr
再由 ω′=2πf
可知发电机线圈转动的频率 f=ωR2πr
此即为发电机产生的交变电流的频率，选项A错误；
B．小灯泡发光频率只与电流频率有关，它在一个周期内会闪烁两次，所以闪烁的频率为 2f=ωRπr
选项B正确；
C．小灯泡闪烁，也就是小灯泡亮度时刻变化，说明小灯泡的瞬时功率是时刻变化的，而电流、电压二者有效值的乘积是定值，选项C错误；
D．由题意知ω′加倍，则由 Em=nBSω′
可知电压最大值加倍，由 P=(Em2)2×1R
知小灯泡的功率变为原来的4倍，选项D错误。
故选B。
8．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）如图甲所示，单匝矩形线框在匀强磁场B中，绕与磁场B垂直的轴OO′匀速转动。已知线框电阻R，转动周期T，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图，如图乙所示。则下列说法错误的是（ ）
A．T2时刻，线框平面与中性面垂直 B．感应电流的有效值为2πΦmRT
C．T4到34T过程中，线框中平均感应电动势为零 D．线框转动一周，线框中产生的热量为2π2Φm2RT
【答案】C
【解析】A．T2时刻，回路磁通量为零，则线框平面与中性面垂直，故A正确；
B．角速度 ω=2πT
感应电动势最大值 E=BSω=Φmω
感应电流 I=ER
有效值 I有=I2=2πΦmRT 故B正确；
C．T4到34T过程中，磁通量变化不是零，则平均感应电动势不为零，故C错误；
D．线框转动一周，线框中产生的热量为 Q=I有2RT=2π2Φm2RT 故D正确。
本题选错误的，故选C。
9．两个完全相同的闭合线圈甲和乙电阻均为R=4Ω，匝数均为10。将它们分别放在变化的磁场中，穿过线圈的磁通量随时间的变化规律如图甲、乙所示，其中图甲按正弦规律变化，图乙线性变化，则下列说法正确的是（ ）
A．甲线圈中产生的感应电动势为E=20πsinπ2t
B．乙线圈中感应电流的有效值为10 A
C．0〜4 s内甲、乙两线圈中产生的热量之比为π214
D．一个周期内甲线圈中的电流方向改变三次
【答案】C
【解析】AD．图甲按正弦规律变化，甲线圈产生的感应电动势按余弦规律变化，由 E=nBSωcsωt
可知甲线圈产生的感应电动势为 E=20πcsπ2t
因此一个周期内甲线圈中的电流方向改变两次，A、D错误；
B．乙线圈中的磁通量线性变化，则0∼T3时间内和2T3∼T时间内电动势 E1=nΔϕΔt=40V
在T3∼2T3时间内电动势 E2=80V
因此电流的有效值满足 E1R2R⋅2T3+E2R2R⋅T3=I2RT
代入数据得 I=102A B错误；
C．甲线圈中电流的有效值为 I′=20π42A=52π2A
因此0〜4 s内甲线圈中产生的热量为 Q1=I′2Rt=200π2J
0〜4s内乙线圈中产生的热量为 Q2=I2RT+E1R2R⋅T3=2800J
故 Q1Q2=π214 C正确。
故选C。
10．（2022·北京大兴精华学校三模）如图所示是一台发电机的结构示意图，其中N、S是永久磁体的两个磁极，它们的表面呈半圆柱面形状。M是圆柱形铁芯，它与磁极的柱面共轴，铁芯上有一矩形线框，可绕与铁芯M共轴的固定转动轴旋转。磁极与铁芯之间的缝隙中形成方向沿半径的磁场。若从图示位置开始计时，当线框绕固定转动轴匀速转动时，下列图像中能正确反映线框中感应电动势e随时间t变化规律的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】AB．因发电机的两个磁极N、S呈半圆柱面形状，磁极间的磁感线呈辐向分布，线框与磁感应线垂直的两边所在处的磁感应强度的大小相等，故线框在磁场中匀速转动时，产生的感应电动势的大小不变，AB错误；
CD．线框越过竖直方向的空隙段后，根据右手定则可知线框切割磁感线产生的感应电动势的方向发生变化，C错误，D正确。
故选D。
11．（2022·北京·101中学三模）如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图2中曲线a、b所示，则（ ）
A．曲线a表示的交变电动势有效值为15V B．曲线a表示的交变电动势频率为25Hz
C．曲线a、b对应的线圈转速之比为2:3 D．t=0时刻穿过线圈平面的磁通量均为零
【答案】B
【解析】A．曲线a表示的交变电动势有效值为 Ua=152V=7.52V 故A错误；
B．曲线a表示的交变电动势的周期为0.04s，则频率为 fa=1Ta=25Hz 故B正确；
C．曲线b表示的交变电动势的周期为0.06s，根据n=1T可知转速与周期成反比，故转速之比为3:2，故C错误；
D．t=0时刻曲线a、b的电动势瞬时值都为零，线圈处于中性面，穿过线圈的磁通量最大，故D错误。
故选B。
12．（2022·北京海淀·二模）图甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，A为交流电流表，电阻R大小为5Ω。线圈绕垂直于磁场的水平轴OO'沿逆时针方向匀速转动，从图甲所示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．电阻R的热功率为1000W B．1s内电流方向改变50次
C．t=0.01s时，线圈平面与磁场方向平行 D．t=0.005s时，穿过线圈的磁通量变化最快
【答案】C
【解析】A．电阻R的热功率为 P=(Im2)2R=(1022)2×5W=500W 选项A错误；
B．交流电的周期为0.02s，频率为50Hz，在一个周期内电流方向改变2次，则1s内电流方向改变100次，选项B错误；
C．t=0.01s时，线圈中的电流最大，此时线圈平面与磁场方向平行，选项C正确；
D．t=0.005s时，感应电流为零，感应电动势为零，此时穿过线圈的磁通量变化率为零，变化最慢，选项D错误。
故选C。
13．（2022·广东·模拟预测）风速测速仪的简易装置如图甲所示，某段时间内线圈中感应电流的波形如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．若风速变大，图乙中感应电流的周期变大 B．若风速变大，图乙中感应电流的峰值变大
C．图乙中感应电流最大时，风速最大 D．图乙中感应电流随时变化的原因是风速在变
【答案】B
【解析】A．若风速变大，则转速变大，角速度变大，根据T=2πω可知，周期变小，故A错误；
B．若风速变大，则角速度变大，根据Em=NBSω可知，感应电动势峰值变大，再根据Im=EmR+r可知，感应电流的峰值变大，故B正确；
C．图乙中感应电流最大时，是穿过线圈的磁通量的变化率最大，并不是风速最大，故C错误；
D．图乙中感应电流随时变化的原因是穿过线圈的磁通量变化率随时在变化，故D错误。
故选B。
14．海洋中蕴藏着巨大的能量，利用海洋的波浪可以发电。在我国南海上有一浮桶式波浪发电灯塔，其原理示意图如图甲所示浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上，浮桶内置线圈随波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，该线圈与阻值R=15Ω的灯泡相连浮桶下部由内、外两密封圆筒构成，如图乙所示，其内为产生磁场的磁体（图中斜线阴影部分），与浮桶内侧面的缝隙忽略不计。匝数N=200匝的线圈所在处辐射磁场的磁感应强度B=0.2T，线圈直径D=0.4m，电阻r=1Ω.取重力加速度g=10m/s2，π2≈10.若浮桶随波浪上下运动的速度可表示为D=0.4πsinπtm/s.则下列说法正确的是（ ）
A．波浪发电产生的电动势e的瞬时值表达式为e=0.32sinπtV
B．A2灯泡中电流i的瞬时值表达式为i=0.02sinπtA
C．灯泡的电功率为120W
D．灯泡两端电压的有效值为1522V
【答案】C
【解析】A．线圈在磁场中做切割磁感线的运动，
则波浪发电产生的电动势e的瞬时值表达式为 e=NBlv=NBπDv=200×0.2×π×0.4×0.4πsinπt=64sinπtV 故A错误；
B．根据闭合电路欧姆定律可得灯泡中电流i的瞬时值表达式为 i=eR+r=4sinπtA 故B错误；
C．流过灯泡电流的有效值为 I=Im2=22A
则灯泡的功率为 P=I2R=8×15W=120W 选项C正确；
D．灯泡两端电压的有效值为 U=IR=22×15V=302V 选项D错误；
故选C。
15．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）光滑导轨间距d＝0.5m，导轨间有一足够宽的磁场，磁感应强度B＝2T的匀强磁场中，导轨两端分别接有电阻R＝3Ω的电阻和阻值为RL＝6Ω的小灯泡，t＝0时，一电阻r＝2Ω的导体棒MN处在磁场的左边界处，之后在外力作用下以速度v＝4sin10πt恰好能在磁场两边界间往返运动，导轨的电阻不计，导体棒与导轨接触良好，在导体棒MN以后的运动中（ ）
A．导体棒MN从磁场左边到右边过程中，通过的电量为0.4C
B．导体棒在磁场中做匀变速运动
C．小灯泡的功率为23W
D．导体棒运动到磁场中间位置时，电阻R的电流为23A
【答案】D
【解析】A．磁场的有效面积未知，平均电流无法求出，故不能求出电荷量，A错误；
B．由牛顿第二定律，导体棒的加速度 a=BIdm=B2d2vmR
由于v＝4sin10πt，所以 a=4B2d2mRsin10πt
所以导体棒的加速度随时间变化，导体棒在磁场中做变加速运动，B错误；
C．导体棒产生的电动势为 e=Bdv=4sin10πt (V)
故电动势有效值为 E=22V
外电路总电阻为 R外=RLRRL+R=2Ω
故灯泡两端的电压为 U=R外R外+r⋅E=2V
故灯泡的功率为 PL=U2RL=13W C错误；
D．运动到磁场中间位置时，导体棒处于运动周期的 t= （14+k）T，k=1,2,3···
即峰值位置，此时 v=4m/s
电动势为 Em=4V
通过电阻R的瞬时电流为 I=EmR外+r⋅RLR+RL=23A D正确。
故选D。
16．（2022·江西宜春·模拟预测）(多选)如图所示，在光滑绝缘水平桌面上建立一个直角坐标系，在坐标系的第一、四象限的两块区域内分别存在垂直桌面向上、向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为2.0T，磁场边界线的方程为y＝0.5sin2πx（m）（0≤x≤1.0m）。在水平桌面上静置一个长1m、宽0.5m的矩形单匝导线框abcd，其电阻R＝1Ω，ab、dc边与x轴平行，在拉力F的作用下，线框从图示位置开始沿x轴正方向以大小为1m/s的速度匀速穿过整个磁场区域，下列说法正确的是（ ）
A．线框中的感应电流最大为1A
B．bc边到达x＝0.75m时，拉力F的功率为4W
C．整个过程中拉力F所做的功为1.25J
D．整个过程中线框产生的焦耳热为1.5J
【答案】BD
【解析】AB．线框匀速切割磁感线，当bc边到达x=0.75m时，前后两边都切割磁感线，产生的感应电动势最大，感应电流最大，为 Im=2BlvR=2×2×0.5×11A=2A
此时线框受到的安培力最大，由于线框匀速运动，所以拉力最大，拉力的功率最大，
根据平衡条件有 F=F安=2BIml=4N
则拉力功率的最大值为 Pmax=Fv=F安v=4W
故A错误，B正确；
CD．线框穿过磁场区域的过程中，形成三段以正弦规律变化的感应电流，如图所示（规定顺时针方向为正）
三段感应电流的峰值分别为1A、2A、1A，三段感应电流的持续时间均为0.5s，整个过程产生的焦耳热
Q=1A221Ω×0.5s+2A221Ω×0.5s+1A221Ω×0.5s=1.5J
由于线圈匀速运动，根据功能关系，可得拉力F做的功等于整个过程中线框产生的焦耳热为1.5J，故C错误，D正确。
故选BD。
17.(多选)如图甲所示，标有“220 V 40 W”的灯泡和标有“20 μF 320 V”的电容器并联接到交流电源上，为交流电压表，交流电源的输出电压如图乙所示，闭合开关．下列判断正确的是( )
A．t＝eq \f(T,2)时刻，的示数为零
B．灯泡恰好正常发光
C．电容器不可能被击穿
D.的示数保持110eq \r(2) V不变
【答案】BC
【解析】的示数应是交流电压的有效值220 V，故选项A、D错误；交流电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压，灯泡正常发光，选项B正确；交流电压的峰值Um＝220eq \r(2) V≈311 V，小于电容器的耐压值，故电容器不可能被击穿，选项C正确．
18．（2022·山西吕梁·二模）将有效值为220V，频率为50Hz的正弦交流电通过一信号发生设备后，其电压随时间变化的规律如图所示，其有效值与原交流电有效值的比值为（ ）
A．1∶2B．1 ∶3C．1 ∶4D．1∶5
【答案】A
【解析】对图中交流电，根据有效值的定义 (um2)2R2T4+um2RT4=U2RT 解得 U=110V
则其有效值与原交流电有效值的比值为 110:220=1:2
故选A。
19．（2022·广东·模拟预测）如图甲乙分别是两种交流电的i2−t、i−t关系图像，则两种交流电的有效值之比为（ ）
A．1B．62C．63D．32
【答案】A
【解析】设甲乙两图的交流电有效值分别为I甲、I乙，
根据交流电有效值的定义与图中的条件可得 I甲2RT=I2R×T3+12I2R×2T3
解得 I甲=63I I乙2RT=I2R×T3+I22R×2T3
解得 I乙=63I
则有 I甲I乙=1 A正确，BCD错误。
故选A。
20．（2022·天津实验中学模拟预测）如图所示，匝数为N，内阻为r的矩形线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁场的bc边以角速度ω匀速转动。该线圈中感应电动势的峰值为Em，闭合回路中两只完全相同的灯泡均能正常发光，此时它们的电阻均为R。下列说法中正确的是（ ）
A．从图中位置开始计时，感应电动势的瞬时值表达式为e=Emcsωt
B．穿过线圈的最大磁通量为EmNω
C．从图中位置开始计时，四分之一周期内通过灯泡A1的电荷量为EmNω(R+r)
D．增大角速度ω时，灯泡A1变暗，A2变亮
【答案】B
【解析】AB．题图中位置，线圈处于中性面位置，磁通量最大，感应电动势为零，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式 e=Emsinωt
而 Em=NBSω
则穿过线圈的最大磁通量 Φ=BS=EmNω A错误B正确；
C．从图中位置开始计时，四分之一周期内，磁通量的变化量 ΔΦ=BS
则通过干路的电荷量 q=It=ER总t=NΔΦR总
本题中总电阻无法确定，故通过灯泡A1的电荷量无法确定，C错误；
D．根据电动势最大值公式 Em=NBSω
可知，增大线圈转动角速度ω时，频率变大，感应电动势的峰值Em变大，同时由于电感线圈对交流电有阻碍作用，交流电的频率越大，该阻碍作用越大；电容器对交流电也有阻碍作用，交流电频率越大，阻碍越小，故灯泡A1变亮；由于感应电动势变大，故灯泡A2明亮程度未知，D错误。
故选B。
21．（2022·江苏南通·模拟预测）如图所示，矩形线圈abcd匝数为N，总电阻为R，ab边和ad边长分别为L和3L，O、O′为线圈上两点，OO′与cd边平行且与cd边的距离为L，OO′左侧空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现使线圈绕OO′以角速度ω匀速转动，求：
（1）从图示位置开始转过60º过程中通过导线截面电荷量q；
（2）线圈在转动一周过程中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）q=NBL2R；（2）Q=5πωNBL222R
【解析】（1）设线圈转过60º的过程中产生的感应电动势为E，经历的时间为∆t，
由法拉第电磁感应定律有 E=NΔΦΔt
其中磁通量的变化量 ΔΦ=2BL2−2BL2cs60∘=BL2
通过导线截面的电荷量 q=ERΔt
联立解得 q=NBL2R
（2）线圈在磁场中转动时产生的电动势随时间变化的规律如答图所示，设ab边、cd边在磁场中转动产生电动势的最大值分别为E1m、E2m，有效值分别为E1、E2，则
E1=2NBL2ω2
E2=NBL2ω2
产生的热量 Q=E12R⋅πω+E22R⋅πω
联立解得 Q=5πωNBL222R
22．（2022·北京·清华附中模拟预测）正方形线框abcd在匀强磁场中，绕垂直于磁感线的轴OO'以角速度ω匀速转动，如图所示。线框边长为L，匝数为N，线框的总电阻为r，外电路的电阻为R，磁感应强度的大小为B。求：
（1）转动过程中产生的感应电动势的最大值Em；
（2）线圈转动过程中，图中电压表的示数U；
（3）从图示位置开始，线圈转过90°的过程中通过电阻R的电量q。
【答案】（1）Em=NBL2ω；（2）U=2R2(R+r)NBL2ω；（3）q=NBL2R+r
【解析】（1）感应电动势的最大值 Em=NBL2ω
（2）转动过程中，电压表的示数为有效值 Um=RR+rEm
又 U=12Um
联立可得 U=2R2(R+r)NBL2ω
（3）设从图示位置开始，线圈转过90°所用时间为Δt，此过程感应电动势的平均值为E，电流的平均值为I，根据 E=NΔΦΔt ΔΦ=BL2 I=ER+r ‘
又 q=IΔt
联立可得 q=NBL2R+r
23．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，ACD是由均匀细导线制成的边长为d的等边三角形线框，它以AD为转轴，在磁感应强度为B的恒定的匀强磁场中以恒定的角速度ω转动（俯视为逆时针旋转），磁场方向与AD垂直。已知三角形每条边的电阻都等于R。取图示线框平面转至与磁场平行的时刻为t=0。
（1）求任意时刻t线框中的电流。
（2）规定A点的电势为0，求t=0时，三角形线框的AC边上任一点P（到A点的距离用x表示）的电势φP。
【答案】（1）i=3Bd2ω12Rcsωt；（2）φP=38Bωx2−2xd3
【解析】（1）线框绕垂直磁场方向的轴匀速转动时，产生正弦式交变电流，
电动势的最大值为 Em=BSω
其中 S=12×d×dsin60°
电流的最大值为 Im=Em3R
由于从垂直中性面位置开始计时，电流的瞬时值表达式为 i=Imcsωt
解得 Im=3Bd2ω12R i=3Bd2ω12Rcsωt
（2）由于规定A点的电势为0，故AP两点之间的电压 UPA=φP−φA=φP
又因为t=0 时，电流最大 UPA=EPA−Imr
AP的电阻为 r=xdR
EPA可等效成由AP垂直磁场方向的长度为L=xcs60°的导线切割磁感线产生的感应电动势，
切割速度为 v=ωl
l为AP的中点到转轴的距离，即 l=x2sin60°
因此 EPA=BLv
解得 EPA=38Bx2ω
则有 φP=38Bωx2−2xd3
24．（2022·安徽淮北·二模）如图所示，固定的平行金属导轨由水平导轨和竖直放置的四分之一圆弧导轨组成，水平导轨足够长，圆弧导轨半径r=0.8m，导轨间距L=1.0m，水平导轨与圆弧导轨在底端平滑连接。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T。导体棒PQ、MN的质量分别为m1=2.0kg、m2=1.0kg，电阻分别为R1=3.0Ω、R2=1.0Ω，导体棒PQ与导轨间动摩擦因数μ=0.4，先将MN锁定在圆弧导轨顶端。对导体棒PQ施加一个水平向左、大小F=9N的恒力作用，使其沿水平导轨从静止开始运动，经过时间t=9s棒PQ恰好达到最大速度；然后将PQ棒锁定，并解除MN棒的锁定，同时给MN棒一个v=4m/s的竖直向下的初速度，该棒恰好能够沿圆弧导轨一直匀速下滑。不计导轨电阻，导体棒MN、PQ与导轨始终垂直且保持良好接触。重力加速度g取10m/s2。求：
（1）导体棒PQ运动过程中达到的最大速度；
（2）导体棒PQ从静止达到最大速度经过的位移；
（3）导体棒MN沿圆弧导轨下滑的过程中，MN克服摩擦力做的功。
【答案】（1）4m/s；（2）4m；（3）7.372J
【解析】（1）金属棒PQ先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，金属棒达到最大速度，此后开始做匀速直线运动，设最大速度为vm，则速度达到最大时有 F=F安+μm1g
又 F安=BIL I=ER1+R2 E=BLvm
解得 vm=4m/s
（2）对PQ棒从静止达到最大速度的过程应用动量定理可得 F−μm1g−F安t=m1vm
其中 F安t=BILt q=It I=ER1+R2 E=ΔΦΔt ΔΦ=BLx
故安培力的冲量为 F安t=B2L2R1+R2x
联立以上各式解得 x=4m
（3）导体棒MN沿圆弧导轨下滑的过程中，导体棒MN垂直于磁场方向的有效切割速度为
v有效=vsinθ（为导体棒MN的速度与竖直向下方向的夹角）
设导体棒MN做匀速圆周运动角速度为ω，则 θ=ωt
感应电动势 e=BLvsinωt
故导体棒MN沿圆弧导轨下滑的过程中，电路中产生的是正弦交流电，
故感应电动势的有效值为 E=BLv2
经过的时间 t=2πrv×14
根据焦耳定律可得回路中产生的焦耳热为 Q=E2R1+R2t=0.628J
MN下滑过程中根据动能定理可得 m2gr−Wf−Q=0
解得导体棒MN克服摩擦力做功为 Wf=7.372J物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e=Emsin ωt,
u=Umsin ωt,
i=Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
(最大值)
最大的瞬时值
Em=nBSω,
Em=nΦmω,
Im=EmR+r
当考虑某些电学元件(电容器、晶体管等)的击穿电压时,指的是交流电压的最大值
有效值
有效值的规定：让交变电流和恒定电流I直分别通过同一电阻R，在一个周期内产生的焦耳热分别为Q交、Q直，若Q交＝Q直，则交变电流的有效值I＝I直(直流有效值也可以这样算)。
E＝eq \f(Em,\r(2))
U＝eq \f(Um,\r(2))
I＝eq \f(Im,\r(2))
适用于正(余)弦式交变电流
(1)交流电流表、交流电压表的示数
(2)电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等)
(3)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等)
(4)没有特别加以说明的指有效值
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围的面积与时间的比值
E=Blv
E=nΔΦΔt
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)
计算通过导线横截面的电荷量