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专题88平衡状态下的气缸问题 非平衡状态下的气缸问题
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考点一 平衡状态下的气缸问题（1-22T）
考点二 非平衡状态下的气缸问题（23-27T）
考点一 平衡状态下的气缸问题
1．解题的一般思路
2．两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，要对各部分气体独立进行状态分析，找出它们各自遵循的规律，写出相应的方程及各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解．
3.若活塞可自由移动，一般要根据活塞的受力平衡条件确定两部分气体的压强关系．
1．如图所示，气缸所受重力为1000N，活塞所受重力为100N，横截面积为0.1m2，大气压强为1.0×105Pa，气缸内封闭着一定质量的气体，求下列各图中封闭气体的压强。
【答案】1.01×105Pa，9.0×104Pa，9.9×104Pa
【解析】图1中封闭气体的压强等于活塞产生的压强加上大气压强，
即 p1=p0+G活塞S=1.0×105Pa+1020.1Pa=1.01×105Pa
图2中封闭气体的压强等于大气压强减去气缸产生的压强，
即 p2=p0−G气缸S=1.0×105Pa−1030.1Pa=9×104Pa
图3中封闭气体的压强等于大气压强减去活塞产生的压强，
即 p3=p0−G活塞S=1.0×105Pa−1020.1Pa=9.9×104Pa
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，汽缸由两个截面不同的圆筒连接而成，活塞A、B被轻质刚性细杆连接在一起，可无摩擦移动，A、B的质量分别为mA＝12kg、mB＝8.0kg，横截面积分别为SA＝4.0×10－2 m2、SB＝2.0×10－2 m2，一定质量的理想气体被封闭在两活塞之间，活塞外侧与大气相通，大气压强p0＝1.0×105 Pa。
（1）汽缸水平放置达到如图甲所示的平衡状态，求气体的压强p1；
（2）将汽缸竖直放置，达到平衡，如图乙所示，求气体的压强p2。
【答案】（1）1.0×105 Pa；（2）1.1×105 Pa
【解析】（1）汽缸处于题图甲所示位置时，汽缸内气体压强为p1，对于活塞和杆，
由力的平衡条件得 p0SA＋p1SB＝p1SA＋p0SB
解得 p1＝1.0×105 Pa
（2）汽缸处于题图乙所示位置时，汽缸内气体压强为p2，对于活塞和杆，
由力的平衡条件得 p0SA＋p2SB＋(mA＋mB)g＝p2SA＋p0SB
解得 p2＝1.1×105 Pa
3．一质量为M的汽缸，用活塞封闭一定质量的理想气体，当汽缸水平横放时，空气柱长为L0（如图甲所示），已知大气压强为p0，活塞的横截面积为S，它与汽缸之间无摩擦且不漏气，且气体温度保持不变，重力加速度为g。若将汽缸按图乙所示竖直放置，静止时，求：
（1）缸内气体的压强；
（2）气柱的长度。
【答案】（1）p0+MgS；（2）p0SL0p0S+Mg
【解析】（1）若将汽缸按图乙所示竖直放置，设缸内气体的压强为p1，根据平衡条件可得 p0S+Mg=p1S
解得 p1=p0+MgS
（2）当汽缸水平横放时，缸内气体的压强等于大气压强p0。设汽缸竖直放置时气柱的长度为L1，根据理想气体状态方程有 p0L0ST=p1L1ST
解得 L1=p0SL0p0S+Mg
4．（2022·四川雅安·模拟预测）如图所示，长为L、内壁光滑的容器，右端中心处开有圆孔。一定质量的某种理想气体被一个质量与厚度均不计的可自由移动的活塞封闭在容器内，开始时气体温度为27℃，活塞与容器底距离为23L。现对气体缓慢加热，已知外界大气压强为p0，绝对零度为-273℃，求温度加热到227℃时容器内气体的压强？
【答案】109p0
【解析】设活塞刚移到容器底部时气体温度为t，容器横截面积为S，初态 T0=300K，V0=2LS3
末态为 T1=(273+t)K，V1=LS
由等压变化规律 V0T0=V1T1
解得 t=177°C
活塞移至顶端后，气体温度继续升高的过程是等容变化过程，
有 p1T1=p2T2 T1=(273+177)K=450K p1=p0 T2=(273+227)K=500K
解得 p2=109p0
5．（2022·河南安阳·模拟预测）上端开口的导热汽缸放置在水平面上，大气压强为p0。气缸内有一卡子，横截面积为S的轻质活塞上面放置一个质量为m的重物，活塞下面密封一定质量的理想气体。当气体温度为T1时，活塞静止，此位置活塞与卡子距离为活塞与气缸底部距离的13．现缓慢降低气缸温度，活塞被卡子托住后，继续降温，直到缸内气体压强为12p0。已知重力加速度为g，活塞厚度及活塞与气缸壁之间的摩擦不计。求：
（1）活塞刚接触卡子瞬间，缸内气体的温度；
（2）缸内气体压强为12p0时气体的温度。
【答案】（1）T2=23T1； （2）T3=p0ST13(p0S+mg)
【解析】（1）活塞被卡子托住前，气体经历等压变化，设活塞刚刚接触卡子时气体的温度为T2，根据盖—吕萨克定律有 V1T1=V2T2
式中 V1=SL1 V2=SL2
根据题意 L2=1−13L1=23L1
联立解得 T2=23T1
（2）活塞被卡子托住后，再降低温度，气体经历等容变化
根据查理定律有 p2T2=p3T3
式中 p3=12p0
根据力的平衡条件有 p2=p0+mgs
联立可得 T3=p0ST13(p0S+mg)
6．（2022·安徽·滁州市琅琊区丰山实验学校模拟预测）如图所示，导热性能良好的气缸开口向上竖直放置，a、b是固定在气缸内壁的卡环，两卡环间的距离为h，缸内一个质量为m、横截面积为S的活塞与气缸内壁接触良好，无摩擦不漏气，活塞只能在，b之间移动，缸内封闭一定质量的理想气体。此时环境温度为T，活塞与卡环b刚好接触，无作用力，活塞离缸底的距离为3h，卡环能承受的压力最大为12mg，活塞的厚度不计，大气压强大小等于5mgS，g为重力加速度，求：
（1）要使卡环不被破坏，环境的温度最低能降到多少；
（2）若提高环境温度，当环境温度为1.4T时，缸内气体的压强多大。
【答案】（1）1112T0；（2）6.3mgS
【解析】（1）开始时，缸内气体压强 p1=5mgS+mgS=6mgS
气体温度T1=T0；设温度降低到T2时活塞对卡环的压力为12mg，此时缸内气体压强 p2=5mgS+mg2S=11mg2S
气体发生等容变化，则有 p1T1=p2T2
解得 T2=1112T0
（2）假设环境温度为1.4T0时活塞与卡环a接触，且卡环a没有被破坏。设此时缸内气体压强为p3，根据理想气体状态方程有 p1×3ℎST1=p2×4ℎST2
解得 p2=6.3mgS
设此时活塞与卡环的作用力为F，则 6mg+F=p2S
解得 F=0.3mg
由于p2>6mgS且F<12mg，假设成立，因此缸内气体压强为6.3mgS
7．（2023·全国·高三专题练习）汽缸的横截面积为S，质量为m的梯形活塞上面是水平的，下面与右侧竖直方向的夹角为α，如图所示，当活塞上放质量为M的重物时处于静止状态.设外部大气压强为p0，若活塞与缸壁之间无摩擦.重力加速度为g，求汽缸中气体的压强.
【答案】p0＋(m+M)gS
【解析】对活塞进行受力分析，如图所示
由平衡条件得p气S′=m+M)g+p0Ssinα
又因为S′=Ssinα
所以p气=m+Mg+p0SS=p0+m+MgS.
8．如图所示，竖直放置、开口向上的圆柱形气缸内有a、b两个质量均为m的活塞，可以沿气缸壁无摩擦上、下滑动，a是等厚活塞，b是楔形活塞，其上表面与水平面夹角θ，两活塞现封闭着初始温度T0的A、B两部分气体并保持静止，此时A气体体积VA=2V0，B气体体积VB=V0，已知图中气缸横截面积S，外界大气压p0，求：
（1）此时A、B两部分气体的压强？
（2）缓慢升高A、B两部分气体温度，求温度升高ΔT过程中，a活塞移动的距离？
【答案】（1）pA=p0+mgS；pB=p0+2mgS；（2）Δℎa=3V0ΔTT0S
【解析】（1）对a活塞，有 pAS=p0S+mg
得 pA=p0+mgS
以AB整体为研究对象，有 pBS=p0S+2mgS
得 pB=p0+2mgS
（2）气体A经历等压变化过程，有 VAT0=ΔVAΔT
即 2V0T0=ΔVAΔT 得 ΔVA=2V0ΔTT0
气体B经历等压变化过程，有 VBT0=ΔVBΔT
即 V0T0=ΔVBΔT 得 ΔVB=V0ΔTT0
所以，活塞向上移动距离 Δℎa=ΔVA+ΔVBS=3V0ΔTT0S
9．如图所示横截面积分别为S、3S的活塞a和活塞b用竖直轻细杆连接。并将一定质量的理想气体封闭在竖直固定的汽缸内。活塞a下方悬挂质量为 m的物块，系统在图示位置处于静止状态，此时上方气柱长度为2L。下方气柱长度为3L。已知外界大气压强恒为p 。封闭气体的热力学温度T1= 270 K。重力加速度大小为g，不计两活塞的质量与厚度，不计一切摩擦。
(1)求封闭气体的压强p1；
(2)现对封闭气体缓慢加热，直至活塞b上升的高度为L ，求此时封闭气体的热力学温度T2。
【答案】(1)p1=p0+mg2S；(2)T2=330K
【解析】本题考查气体实验定律，目的是考查学生的推理能力。
(1)设杆对活塞的作用力为拉力，大小为F，根据物体的平衡条件，对a有 mg+p1S=p0S+F
对b有 p1×3S=p0×3S+F
解得 p1=p0+mg2S
(2)由(1)可知，p1与力F无关，封闭气体做等压变化，有 2L×3S+3LST1=3L×3S+2LST2
解得 T2=330K
10．（2022·广东·珠海市第二中学模拟预测）一个用电子天平测量环境温度的装置如图所示。导热汽缸固定在桌面上，开口向上，汽缸内用活塞封闭一定质量的空气（可视为理想气体）。轻质弹性细绳的一端竖直悬挂活塞，另一端通过光滑滑轮竖直悬挂一铁块，铁块放置在电子天平上，环境温度T＝300K时，封闭气体的压强与外界大气压相同。已知活塞质量m1＝500g，横截面积S＝20cm2，铁块质量m2＝1000g，外界大气压强p0＝1.0×105Pa，重力加速度g＝10m/s2。求该测温计的测温范围。
【答案】292.5K至307.5K
【解析】当温度最大时，细线刚好没有拉力，天平示数刚好最大，根据平衡条件 p1S=p0S+m1g
根据查理定律 pT=p1T1
解得 T1=307.5K
当温度最小时，细线拉力刚好为10N，天平示数刚好为零，根据平衡条件 m2g+p2S=p0S+m1g
根据查理定律 pT=p2T2
解得 T2=292.5K
故该测温计的测量范围为292.5K至307.5K
11．（2022·广西·一模）如图所示，导热的圆柱形气缸固定在水平桌面上，横截面积为S、质量为m1的活塞封闭着一定质量的理想气体，活塞与气缸间无摩擦且不漏气。总质量为m2的砝码盘（含砝码）由绕过定滑轮的细线与活塞相连。当环境温度为T时，活塞离缸底的高度为h，g为重力加速度。现使环境温度缓慢升高到1.2T：
（ⅰ）当活塞再次平衡时，活塞离缸底的高度是多少？
（ⅱ）保持环境温度为1.2T不变，在活塞上方添加质量为Δm的沙子时，活塞返回到高度为h处，求大气压强p0。
【答案】（1）1.2ℎ（2）(5Δm+m2−m1)gS
【解析】（1）当环境温度为T时，状态为压强为p1，温度为T，体积为V1；环境温度缓慢升高到1.2T时，状态为压强p2，温度为1.2T，体积为V2。在缓慢变化的过程是个等压过程，
故跟据盖吕萨克定律可知 V1T1=V2T2
解得 V2=Sℎ′=V1=1.2Sℎ ℎ′=1.2ℎ
（2）由题可知，在放沙子前体积为V2=1.2Sℎ，活塞的受力 m1g+p0S=p2S+m2g
放沙子后返回到ℎ处，体积为V3=Sℎ，活塞的受力 m1g+p0S+Δmg=p3S+m2g
这个过程是个等温过程，根据玻意耳定律可知 p2·1.2Sℎ=p3Sℎ
联立解得 p0=(5Δm+m2−m1)gS
12．（2022·广东深圳·二模）如图，在趣味小实验中，将一定质量的乒乓球放在一个粗细均匀的竖直薄圆管下端，通过乒乓球和活塞在管内封闭一定高度的某种液体和气体，当封闭气体压强为p时，乒乓球恰好不掉落。已知液柱高度远大于乒乓球直径，圆管横截面积为S，为了防止乒乓球掉落，将活塞缓慢上移使气柱长度增加一半。求此时
（1）封闭气体的压强；
（2）管口对乒乓球的作用力大小。
【答案】（1）2p3；（2）pS3
【解析】（1）由题意可知封闭气体发生等温变化，根据 p1V1=p2V2
其中 V1=SL V2=S×1.5L
解得 p2=2p3
（2）由于封闭气体压强较小，故而管口对乒乓球产生竖直向下的弹力FN，根据乒乓球所受合力为零，可得
p2S+ρgℎ⋅S+mg+FN=p0S
pS+ρgℎ⋅S+mg=p0S
解得 FN=pS3
13．如图，左右两个水平面上各固定有平放的气缸A和B，两气缸内壁光滑；两气缸的活塞的横截面积分别为2S、S，用刚性杆连接，刚性杆和活塞可左右移动。现A气缸内封闭体积为2V的某种气体，B气缸内封闭体积为V的另一种气体。已知此时两气缸内的气体温度均为T，B气缸内气体的压强为3p，大气压强为p0，A、B两气缸的气体均可看作理想气体。则
(i)此时A气缸内的气体压强；
(ii)现让两气缸内气体温度均发生改变，稳定后，A气缸内封闭气体体积变为原来的一半，其中A气缸内气体温度变为34T，求B气缸内气体温度（已知活塞移动过程中始终与气缸紧密接）。
【答案】(i)pA0=2p0；(ii)2.5T0
【解析】(i)初状态以两活塞及刚性杆为研究对象，
由受力平衡可知 pA0⋅2S+p0⋅S=pB0⋅S+p0⋅2S=3p0S+p0⋅2S
解得 pA0=2p0
(ii)依题意温度变化后A气缸内气体体积为V0，温度变为34T0，设压强变为pA，
依理想气体状态方程有 pA02V0T0=4pAV03T0
解得 pA=3p0
由两活塞及刚性杆受力平衡可得 pA⋅2S+p0S=pBS+p0⋅2S
变化后B气缸内气体压强 pB=5p0
因为两活塞向左移动距离相同，所以B气缸内气体体积变为32V0，依理想气体状态方程有 pB0V0T0=3pBV02T
解得B气缸内气体温度为 T=52T0=2.5T0
14．如图所示，内壁光滑且长为L=50cm的汽缸固定在水平面上，整个汽缸只有最右侧的面导热，其他面绝热，汽缸内封闭有温度为t0=27℃、压强为p0的理想气体，开始时处于静止状态的绝热活塞距汽缸左侧L1=20cm。活塞右侧有一个质量是m的空心小球，小球的体积相对于右半部分气体体积可以忽略，开始时小球对活塞底部的压力为23mg，现用电热丝对左侧气体加热，使活塞缓慢向右移动（已知大气压强为p0）
（1）试计算当温度升高到t1=377℃时，活塞左侧封闭气体的压强力p1；
（2）左侧气体温度为多少时，小球对汽缸底部的压力为零。
【答案】（1）p1=2215p0；（2）1800K
【解析】（1）活塞两侧气体压强相同假设活塞向右移动了△L，活塞开始时到右侧面的距离为L2，对于左侧气体由理想气体方程可得 p0L1ST0=p1(L1+ΔL)ST1
对于右侧气体由理想气体方程可得 p0L2S=p1(L2−ΔL)S
解得 p1=2215p0
（2）对小球受力分析初始状态 mg=23mg+F浮
小球对地面压力为零时 mg=F浮′
F浮=ρgV F浮′=ρ′gV
解得 ρ′=3ρ
所以当小球对底而无压力时 v右′=13v右
所以活塞向右移动了 ΔL′=20cm
对右侧气体分析 p0L2S=p2(L2−ΔL′)S
解得 p2=3p0
对左侧气体分析 p0L1ST0=p2(L1+ΔL′)ST2
解得 T2=1800K
15．（2022·河北·高考真题）水平放置的气体阻尼器模型截面如图所示，汽缸中间有一固定隔板，将汽缸内一定质量的某种理想气体分为两部分，“H”型连杆活塞的刚性连杆从隔板中央圆孔穿过，连杆与隔板之间密封良好。设汽缸内、外压强均为大气压强p0。活塞面积为S，隔板两侧气体体积均为SL0，各接触面光滑。连杆的截面积忽略不计。现将整个装置缓慢旋转至竖直方向，稳定后，上部气体的体积为原来的12，设整个过程温度保持不变，求：
（i）此时上、下部分气体的压强；
（ii）“H”型连杆活塞的质量（重力加速度大小为g）。
【答案】（1）2p0，23p0；（2）4p0S3g
【解析】（1）旋转前后，上部分气体发生等温变化，根据玻意尔定律可知 p0⋅SL0=p1⋅12SL0
解得旋转后上部分气体压强为 p1=2p0
旋转前后，下部分气体发生等温变化，下部分气体体积增大为12SL0+SL0=32SL0，则 p0⋅SL0=p2⋅32SL0
解得旋转后下部分气体压强为 p2=23p0
（2）对“H”型连杆活塞整体受力分析，活塞的重力mg竖直向下，上部分气体对活塞的作用力竖直向上，下部分气体对活塞的作用力竖直向下，大气压力上下部分抵消，根据平衡条件可知 p1S=mg+p2S
解得活塞的质量为 m=4p0S3g
16．（2022·河北·模拟预测）如图所示，一竖直放置的导热气缸被轻活塞AB和固定隔板CD分成两个装有同种气体的气室。已知外界大气压强为p0 ，气室1内气体压强为2p0，两气室气柱长均为L，活塞面积为S，重力加速度为g，活塞与气缸间无摩擦，且外界温度始终不变。现在活塞上方缓慢释放质量为m的细砂。
（ⅰ）求气室2的气柱长；
（ⅱ）再将隔板缓慢抽去，两气室的气体均未漏气、进气，求稳定后气体的气柱长。
【答案】（ⅰ）L1=p0SLmg+p0S；（ⅱ）3p0SLmg+p0S
【解析】（ⅰ）对于气室2气体，设放入细砂后长度为L1，外界温度不变，
则由玻意耳定律可得 p0SL=p1SL1
活塞上方加入细砂后，对活塞受力分析 p1S=mg+p0S
联立以上两式可得气室2的气柱长 L1=p0SLmg+p0S
（ⅱ）由于两气室气体均为相同气体，当把隔板缓慢抽去时，活塞受力仍然和（i）相同，因此混合后气体压强仍为p1，设稳定后气柱长度为L2，以气室1和气室2的气体整体为研究对象，
根据玻意耳定律 2p0SL+p1SL1=p1SL2
联立（i）中的活塞受力分析，解得 L2=3p0SLmg+p0S
17．（2022·湖南·高考真题）如图，小赞同学设计了一个液体拉力测量仪。一个容积V0=9.9L的导热汽缸下接一圆管，用质量m1=90g、横截面积S=10cm2的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与圆管壁间摩擦不计。活塞下端用轻质细绳悬挂一质量m2=10g的U形金属丝，活塞刚好处于A位置。将金属丝部分浸入待测液体中，缓慢升起汽缸，使金属丝从液体中拉出，活塞在圆管中的最低位置为B。已知A、B间距离ℎ=10cm，外界大气压强p0=1.01×105Pa，重力加速度取10m/s2，环境温度保持不变，求：
（1）活塞处于A位置时，汽缸中的气体压强p1；
（2）活塞处于B位置时，液体对金属丝拉力F的大小。
【答案】（1）p1=105Pa；（2）F=1N
【解析】（1）将活塞与金属丝视为一整体，因平衡则有 p0S=p1S+(m1+m2)g
代入数据解得 p1=105Pa
（2）当活塞在B位置时，汽缸内压强为p2，则有 p1V0=p2(V0+Sℎ)
代入数据解得 p2=9.9×104Pa
将活塞与金属丝视为一整体，因平衡则有 p0S=p2S+(m1+m2)g+F
联立解得 F=1N
18．（2022·全国·高考真题）如图，容积均为V0、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为p0、温度为T0的环境中；两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通：汽缸内的两活塞将缸内气体分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第II、Ⅲ部分的体积分别为18V0和14V0、环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。
（1）将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度；
（2）将环境温度缓慢改变至2T0，然后用气泵从开口C向汽缸内缓慢注入气体，求A汽缸中的活塞到达汽缸底部后，B汽缸内第Ⅳ部分气体的压强。
【答案】（1）T=43T0；（2）p=94p0
【解析】（1）因两活塞的质量不计，则当环境温度升高时，Ⅳ内的气体压强总等于大气压强，则该气体进行等压变化，则当B中的活塞刚到达汽缸底部时，由盖吕萨克定律可得 34V0T0=V0T
解得 T=43T0
（2）设当A中的活塞到达汽缸底部时Ⅲ中气体的压强为p，则此时Ⅳ内的气体压强也等于p，设此时Ⅳ内的气体的体积为V，则Ⅱ、Ⅲ两部分气体被压缩的体积为V0-V，则对气体Ⅳ p0⋅3V04T0=pV2T0
对Ⅱ、Ⅲ两部分气体 p0(V08+V04)T0=p(V0−V)2T0
联立解得 V=23V0 p=94p0
19．（2022·全国·高考真题）如图，一竖直放置的汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定量的理想气体，两活塞用一轻质弹簧连接，汽缸连接处有小卡销，活塞Ⅱ不能通过连接处。活塞Ⅰ、Ⅱ的质量分别为2m、m，面积分别为2S、S，弹簧原长为l。初始时系统处于平衡状态，此时弹簧的伸长量为0.1l，活塞Ⅰ、Ⅱ到汽缸连接处的距离相等，两活塞间气体的温度为T0。已知活塞外大气压强为p0，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计弹簧的体积。（重力加速度常量g）
（1）求弹簧的劲度系数；
（2）缓慢加热两活塞间的气体，求当活塞Ⅱ刚运动到汽缸连接处时，活塞间气体的压强和温度。
【答案】（1）k=40mgl；（2）p2=p0+3mgS，T2=43T0
【详解】（1）设封闭气体的压强为p1，对两活塞和弹簧的整体受力分析，
由平衡条件有 mg+p0⋅2S+2mg+p1S=p0S+p1⋅2S
解得 p1=p0+3mgS
对活塞Ⅰ由平衡条件有 2mg+p0⋅2S+k⋅0.1l=p1⋅2S
解得弹簧的劲度系数为 k=40mgl
（2）缓慢加热两活塞间的气体使得活塞Ⅱ刚运动到汽缸连接处时，对两活塞和弹簧的整体由平衡条件可知，气体的压强不变依然为 p2=p1=p0+3mgS
即封闭气体发生等压过程，初末状态的体积分别为 V1=1.1l2×2S+1.1l2×S=3.3lS2，V2=l2⋅2S
由气体的压强不变，则弹簧的弹力也不变，故有 l2=1.1l
有等压方程可知 V1T0=V2T2
解得 T2=43T0
20．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，内壁光滑的圆柱形导热汽缸固定在水平面上，汽缸内被活塞封有一定质量的理想气体，活塞横截面积为S，质量和厚度都不计，活塞通过弹簧与汽缸底部连接在一起，弹簧处于原长，已知周围环境温度为T0，大气压强恒为p0，弹簧的劲度系数k＝p0Sl0（S为活塞横截面积），原长为l0，一段时间后，环境温度降低，在活塞上施加一水平向右的压力，使活塞缓慢向右移动，当压力增大到某一值时保持恒定，此时活塞向右移动了0.2l0，缸内气体压强为1.1p0。
（1）求此时缸内气体的温度T1；
（2）对汽缸加热，使气体温度缓慢升高，当活塞移动到距汽缸底部1.2l0时，求此时缸内气体的温度T2。
【答案】（1）0.88T0；（2）1.8T0
【解析】（1）汽缸内的气体，初态时：压强为p0，体积为 V0＝Sl0
温度为T0，末态时：压强为 p1＝1.1p0 体积为 V1＝S（l0－0.2l0）
由理想气体状态方程得 p0V0T0=p1V1T1
解得 T1＝0.88T0
（2）当活塞移动到距汽缸底部1.2l0时，体积为 V2＝1.2Sl0
设气体压强为p2，由理想气体状态方程得 p0V0T0=p2V2T2
此时活塞受力平衡方程为 p0S＋F－p2S＋k(1.2l0－l0)＝0
当活塞向右移动0.2l0后压力F保持恒定，活塞受力平衡 p0S＋F－1.1p0S－k(0.2l0)＝0
解得 T2＝1.8T0
21．（2022·湖北·高三阶段练习）如图所示，导热气缸上端开口，竖直固定在地面上，高度H=1.35m，质量均为m=2kg的A、B两个活塞静止时将气缸容积均分为三等份，A、B之间为真空并压缩一根轻质弹簧，弹性系数k=300N/m，A、B与气缸间无摩擦，大气压p0=1×105Pa。密封气体初始温度T1=252K，重力加速度g取10m/s2，活塞面积S=4×10−4m2，其厚度忽略不计
（1）求最初密封气体的压强为多少？
（2）若给电阻丝通电加热密封气体，当活塞B缓慢上升到离气缸底部ℎ=1m时，求密封气体的温度为多少？
【答案】（1）p1=2×105Pa；（2）T2'=770K
【解析】（1）对AB整体 2mg+p0S=p1S
得 p1=2×105Pa
（2）给电阻丝通电加热密封气体，当活塞B缓慢上升，当A和气缸顶部接触前，即活塞B缓慢上升到离气缸底部距离为 ℎ'=23H=0.9m<1m
整体分析可知，这段时间气体的压强不变，则气体发生等压升温的过程：
状态1 T1=252K V1=H3S
状态2 V2=2H3S
由等压过程有 V1T1=V2T2
解得 T2=504K
之后B继续缓慢上升，B压缩弹簧。对B有 mg+kx1=p1S mg+k(x1+ℎ−ℎ′)=p2S
解得 p2=2.75×105Pa
对封闭气体 p1V2T2=p2ℎST2′
则 T2'=770K
22．（2022·江西省乐平中学高三开学考试）如图，一导热良好气缸底部与竖直弹簧上端拴接，弹簧另一端连接于地面。气缸内封闭着一定质量的理想气体，气缸内气柱长为L=0.2m，整个系统处于平衡状态。已知气缸的质量为M=10kg，活塞的质量为m=2kg，面积为S=2×10−3m2，气缸与活塞之间光滑，弹簧的劲度系数k=1×103N/m，重力加速度g取10m/s2。大气压强为p0=1×105kg，环境温度不变。现用一竖直向上的外力F=70N将活塞向上缓慢拉到某一位置处再度平衡。求活塞相对原来平衡位置向上移动的距离。（结果保留2位小数）
【答案】Δℎ=0.16m
【解析】最初平衡时，对活塞有 p0S+mg=pS
气缸体积 V=LS
再次平衡时，对活塞有 p0S+mg=p′S+F
气缸体积 V′=L′S pV=p′V′
解得 L′=0.29m
ΔL=L′−L
另一方面，弹簧相比原来上升了Δx=Fk
故活塞上升了Δℎ=ΔL+Δx
解得Δℎ=0.16m
考点二 非平衡状态下的气缸问题
非平衡状态下封闭气体压强的求法：选取汽缸、活塞整体为研究对象或选取和气体接触的活塞为研究对象，进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。
23．如图所示，汽缸固定在平板车上，质量为m的活塞将气体封闭在汽缸内，已知外界大气压强为p0，活塞横截面积为S，不计活塞与汽缸壁的摩擦，当小车和汽缸以相同的加速度a沿水平方向运动时，则汽缸内气体的压强为多大？
【答案】p0+maS
【解析】设气体的压强为p，以活塞为研究对象，根据牛顿第二定律可得 pS−p0S=ma
解得 p=p0+maS
24．在光滑水平面上有一个内外壁都光滑的薄壁气缸，质量为2m，气缸内有一质量为m，横截面积为S的活塞密封住一定质量的理想气体，大气压强为p0，不计环境温度的变化
①现对气缸施加一水平向左的恒力F（如图1），稳定后活塞到缸底的距离为l1，求此时气缸的加速度a和封闭气体的压强p1；
②若用大小仍为F的恒力水平向左推活塞，如图2，求稳定后活塞到缸底的距离l2。
【答案】①a=F3m，p1=p0−F3S；②l2=(3p0S−F2F+3p0S)l1
【解析】①对气缸和活塞组成的系统，由牛顿第二定律可得 F=(m+2m)a
设封闭气体的压强为p1，对活塞，则有 (p0−p1)S=ma
解得 a=F3m，p1=p0−F3S
②对气缸和活塞组成的系统，由牛顿第二定律可得 F=(m+2m)a'
设封闭气体的压强为p2，对气缸，则有 p2−p0S=2ma'
解得 p2=p0+2F3S
对封闭气体，由玻意耳定律可得 p2l2S=p1l1S
解得 l2=(3p0S−F2F+3p0S)l1
25．（2022·全国·三模）如图1所示，底面积S=10cm2、质量为M=2kg、足够长圆柱形导热汽缸开口向上置于水平地面上，缸内有两个质量均为m=1kg的可沿缸内壁无摩擦滑动的活塞，活塞封闭着A和B两部分气体（均视为理想气体），初始时两部分气柱的长度均为L0=12cm。现将整个装置放置在倾角为30°的光滑斜面上（如图2），在平行于斜面的外力F作用下一起沿斜面向上做匀加速运动，稳定后气体A的长度变为L1=11cm。整个过程环境的温度不变，大气压强恒为p0=1.0×105Pa，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）外力F的大小；
（2）系统稳定后气体B的长度为多少（保留3位有效数字）。
【答案】（1）80N；（2）10.3cm
【解析】（1）初始时，对气体A有 pA1−p0=mgS
得 pA1=1.1×105Pa
体积为 VA1=12S
整个装置在斜面上稳定时 VA2=11S
由理想气体状态方程有 pA1VA1=pA2VA2
得 PA2=1.2×105Pa
对A在斜面上面有 pA2S−p0S−mgsin30°=ma
得 a=15m/s2
对整个装置，由牛顿第二定律 F−(M+2m)gsin30°=(M+2m)a
得 F=80N
（2）初始时，气体B有 pB1−p0=2mgS
得 pB1=1.2×105Pa
整个装置在斜面上稳定时，对AB间活塞有 pB2S−pA2S−mgsin30°=ma
得 pB2=1.4×105Pa
对气体B，由理想气体状态方程有 pB1VB1=pB2VB2
得 L2=10.3cm
26．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校高三阶段练习）如图所示，横截面积为2S和S的两个导热气缸连在一起，竖直静止放置在水平面上，气缸通过光滑活塞A、B及轻杆封闭一定质量的理想气体，平衡时两活塞到气缸连接处距离均为l。已知环境温度保持不变，活塞A、B质量分别为2m和m，重力加速度为g，外界压强为p0且p0S=10mg。
（1）气缸竖直静止时，求封闭气体的压强；
（2）当气缸做自由落体运动，稳定时活塞B到连接处的距离。
【答案】（1）p=13mgS；（2）l10
【解析】（1）对气缸整体受力分析，由平衡条件有 p0(2S−S)+(2m+m)g=p(2S−S) p0S=10mg
联立求得 p=13mgS
（2）当气缸自由落体运动时，活塞处于完全失重状态，活塞上方与下方的气体压强会相等，设稳定时活塞距离连接处为x，对于封闭气体根据玻意耳定律有 pl(2S+S)=p0xS+p0(2l−x)2S
联立求得 x=l10
27．（2023·浙江嘉兴·一模）如图甲所示为小姚设计的液体拉力测量仪，一容积V0=9.8L的导热汽缸下接一圆管，质量m1=40g、横截面积S=5cm2的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞下端用轻绳悬挂一质量m2=10g的U形金属细丝，刚好处于A位置，摩擦不计，外界大气压强p0=1.01×105Pa，环境温度保持不变，求：
（1）活塞处于A位置时，汽缸中的气体压强p1；
（2）如图乙所示，将金属丝部分浸入液体中，缓慢升起汽缸，使金属丝在液体中上升但未脱离，活塞稳定于B位置，已知A、B距离ℎ=40cm，求液体对金属丝拉力F的大小；
（3）金属丝拉出液体后要维持活塞的最低位置B，气缸向上运动的加速度大小。
【答案】（1） p1=105Pa；（2） F=1N；（3） a=20m/s2
【解析】（1）由活塞受力平衡得 p0S=p1S+m1+m2g
代入数据得 p1=105Pa
（2）当活塞在B位置时，汽缸内压强为p2，气体温度不变，根据等温变化得 p1V0=p2V0+Sℎ
代入数据解得 p2=9.8×104Pa
由平衡方程得 p0S=p2S+m1+m2g+F
解得 F=1N
（3）由牛顿第二定律可得 F=m1+m2a
解得 a=20m/s2
考点一 平衡状态下的气缸问题（1-22T）
考点二 非平衡状态下的气缸问题（23-27T）
考点一 平衡状态下的气缸问题
1．解题的一般思路
2．两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，要对各部分气体独立进行状态分析，找出它们各自遵循的规律，写出相应的方程及各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解．
3.若活塞可自由移动，一般要根据活塞的受力平衡条件确定两部分气体的压强关系．
1．如图所示，气缸所受重力为1000N，活塞所受重力为100N，横截面积为0.1m2，大气压强为1.0×105Pa，气缸内封闭着一定质量的气体，求下列各图中封闭气体的压强。
【答案】1.01×105Pa，9.0×104Pa，9.9×104Pa
【解析】图1中封闭气体的压强等于活塞产生的压强加上大气压强，
即 p1=p0+G活塞S=1.0×105Pa+1020.1Pa=1.01×105Pa
图2中封闭气体的压强等于大气压强减去气缸产生的压强，
即 p2=p0−G气缸S=1.0×105Pa−1030.1Pa=9×104Pa
图3中封闭气体的压强等于大气压强减去活塞产生的压强，
即 p3=p0−G活塞S=1.0×105Pa−1020.1Pa=9.9×104Pa
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，汽缸由两个截面不同的圆筒连接而成，活塞A、B被轻质刚性细杆连接在一起，可无摩擦移动，A、B的质量分别为mA＝12kg、mB＝8.0kg，横截面积分别为SA＝4.0×10－2 m2、SB＝2.0×10－2 m2，一定质量的理想气体被封闭在两活塞之间，活塞外侧与大气相通，大气压强p0＝1.0×105 Pa。
（1）汽缸水平放置达到如图甲所示的平衡状态，求气体的压强p1；
（2）将汽缸竖直放置，达到平衡，如图乙所示，求气体的压强p2。
【答案】（1）1.0×105 Pa；（2）1.1×105 Pa
【解析】（1）汽缸处于题图甲所示位置时，汽缸内气体压强为p1，对于活塞和杆，
由力的平衡条件得 p0SA＋p1SB＝p1SA＋p0SB
解得 p1＝1.0×105 Pa
（2）汽缸处于题图乙所示位置时，汽缸内气体压强为p2，对于活塞和杆，
由力的平衡条件得 p0SA＋p2SB＋(mA＋mB)g＝p2SA＋p0SB
解得 p2＝1.1×105 Pa
3．一质量为M的汽缸，用活塞封闭一定质量的理想气体，当汽缸水平横放时，空气柱长为L0（如图甲所示），已知大气压强为p0，活塞的横截面积为S，它与汽缸之间无摩擦且不漏气，且气体温度保持不变，重力加速度为g。若将汽缸按图乙所示竖直放置，静止时，求：
（1）缸内气体的压强；
（2）气柱的长度。
【答案】（1）p0+MgS；（2）p0SL0p0S+Mg
【解析】（1）若将汽缸按图乙所示竖直放置，设缸内气体的压强为p1，根据平衡条件可得 p0S+Mg=p1S
解得 p1=p0+MgS
（2）当汽缸水平横放时，缸内气体的压强等于大气压强p0。设汽缸竖直放置时气柱的长度为L1，根据理想气体状态方程有 p0L0ST=p1L1ST
解得 L1=p0SL0p0S+Mg
4．（2022·四川雅安·模拟预测）如图所示，长为L、内壁光滑的容器，右端中心处开有圆孔。一定质量的某种理想气体被一个质量与厚度均不计的可自由移动的活塞封闭在容器内，开始时气体温度为27℃，活塞与容器底距离为23L。现对气体缓慢加热，已知外界大气压强为p0，绝对零度为-273℃，求温度加热到227℃时容器内气体的压强？
【答案】109p0
【解析】设活塞刚移到容器底部时气体温度为t，容器横截面积为S，初态 T0=300K，V0=2LS3
末态为 T1=(273+t)K，V1=LS
由等压变化规律 V0T0=V1T1
解得 t=177°C
活塞移至顶端后，气体温度继续升高的过程是等容变化过程，
有 p1T1=p2T2 T1=(273+177)K=450K p1=p0 T2=(273+227)K=500K
解得 p2=109p0
5．（2022·河南安阳·模拟预测）上端开口的导热汽缸放置在水平面上，大气压强为p0。气缸内有一卡子，横截面积为S的轻质活塞上面放置一个质量为m的重物，活塞下面密封一定质量的理想气体。当气体温度为T1时，活塞静止，此位置活塞与卡子距离为活塞与气缸底部距离的13．现缓慢降低气缸温度，活塞被卡子托住后，继续降温，直到缸内气体压强为12p0。已知重力加速度为g，活塞厚度及活塞与气缸壁之间的摩擦不计。求：
（1）活塞刚接触卡子瞬间，缸内气体的温度；
（2）缸内气体压强为12p0时气体的温度。
【答案】（1）T2=23T1； （2）T3=p0ST13(p0S+mg)
【解析】（1）活塞被卡子托住前，气体经历等压变化，设活塞刚刚接触卡子时气体的温度为T2，根据盖—吕萨克定律有 V1T1=V2T2
式中 V1=SL1 V2=SL2
根据题意 L2=1−13L1=23L1
联立解得 T2=23T1
（2）活塞被卡子托住后，再降低温度，气体经历等容变化
根据查理定律有 p2T2=p3T3
式中 p3=12p0
根据力的平衡条件有 p2=p0+mgs
联立可得 T3=p0ST13(p0S+mg)
6．（2022·安徽·滁州市琅琊区丰山实验学校模拟预测）如图所示，导热性能良好的气缸开口向上竖直放置，a、b是固定在气缸内壁的卡环，两卡环间的距离为h，缸内一个质量为m、横截面积为S的活塞与气缸内壁接触良好，无摩擦不漏气，活塞只能在，b之间移动，缸内封闭一定质量的理想气体。此时环境温度为T，活塞与卡环b刚好接触，无作用力，活塞离缸底的距离为3h，卡环能承受的压力最大为12mg，活塞的厚度不计，大气压强大小等于5mgS，g为重力加速度，求：
（1）要使卡环不被破坏，环境的温度最低能降到多少；
（2）若提高环境温度，当环境温度为1.4T时，缸内气体的压强多大。
【答案】（1）1112T0；（2）6.3mgS
【解析】（1）开始时，缸内气体压强 p1=5mgS+mgS=6mgS
气体温度T1=T0；设温度降低到T2时活塞对卡环的压力为12mg，此时缸内气体压强 p2=5mgS+mg2S=11mg2S
气体发生等容变化，则有 p1T1=p2T2
解得 T2=1112T0
（2）假设环境温度为1.4T0时活塞与卡环a接触，且卡环a没有被破坏。设此时缸内气体压强为p3，根据理想气体状态方程有 p1×3ℎST1=p2×4ℎST2
解得 p2=6.3mgS
设此时活塞与卡环的作用力为F，则 6mg+F=p2S
解得 F=0.3mg
由于p2>6mgS且F<12mg，假设成立，因此缸内气体压强为6.3mgS
7．（2023·全国·高三专题练习）汽缸的横截面积为S，质量为m的梯形活塞上面是水平的，下面与右侧竖直方向的夹角为α，如图所示，当活塞上放质量为M的重物时处于静止状态.设外部大气压强为p0，若活塞与缸壁之间无摩擦.重力加速度为g，求汽缸中气体的压强.
【答案】p0＋(m+M)gS
【解析】对活塞进行受力分析，如图所示
由平衡条件得p气S′=m+M)g+p0Ssinα
又因为S′=Ssinα
所以p气=m+Mg+p0SS=p0+m+MgS.
8．如图所示，竖直放置、开口向上的圆柱形气缸内有a、b两个质量均为m的活塞，可以沿气缸壁无摩擦上、下滑动，a是等厚活塞，b是楔形活塞，其上表面与水平面夹角θ，两活塞现封闭着初始温度T0的A、B两部分气体并保持静止，此时A气体体积VA=2V0，B气体体积VB=V0，已知图中气缸横截面积S，外界大气压p0，求：
（1）此时A、B两部分气体的压强？
（2）缓慢升高A、B两部分气体温度，求温度升高ΔT过程中，a活塞移动的距离？
【答案】（1）pA=p0+mgS；pB=p0+2mgS；（2）Δℎa=3V0ΔTT0S
【解析】（1）对a活塞，有 pAS=p0S+mg
得 pA=p0+mgS
以AB整体为研究对象，有 pBS=p0S+2mgS
得 pB=p0+2mgS
（2）气体A经历等压变化过程，有 VAT0=ΔVAΔT
即 2V0T0=ΔVAΔT 得 ΔVA=2V0ΔTT0
气体B经历等压变化过程，有 VBT0=ΔVBΔT
即 V0T0=ΔVBΔT 得 ΔVB=V0ΔTT0
所以，活塞向上移动距离 Δℎa=ΔVA+ΔVBS=3V0ΔTT0S
9．如图所示横截面积分别为S、3S的活塞a和活塞b用竖直轻细杆连接。并将一定质量的理想气体封闭在竖直固定的汽缸内。活塞a下方悬挂质量为 m的物块，系统在图示位置处于静止状态，此时上方气柱长度为2L。下方气柱长度为3L。已知外界大气压强恒为p 。封闭气体的热力学温度T1= 270 K。重力加速度大小为g，不计两活塞的质量与厚度，不计一切摩擦。
(1)求封闭气体的压强p1；
(2)现对封闭气体缓慢加热，直至活塞b上升的高度为L ，求此时封闭气体的热力学温度T2。
【答案】(1)p1=p0+mg2S；(2)T2=330K
【解析】本题考查气体实验定律，目的是考查学生的推理能力。
(1)设杆对活塞的作用力为拉力，大小为F，根据物体的平衡条件，对a有 mg+p1S=p0S+F
对b有 p1×3S=p0×3S+F
解得 p1=p0+mg2S
(2)由(1)可知，p1与力F无关，封闭气体做等压变化，有 2L×3S+3LST1=3L×3S+2LST2
解得 T2=330K
10．（2022·广东·珠海市第二中学模拟预测）一个用电子天平测量环境温度的装置如图所示。导热汽缸固定在桌面上，开口向上，汽缸内用活塞封闭一定质量的空气（可视为理想气体）。轻质弹性细绳的一端竖直悬挂活塞，另一端通过光滑滑轮竖直悬挂一铁块，铁块放置在电子天平上，环境温度T＝300K时，封闭气体的压强与外界大气压相同。已知活塞质量m1＝500g，横截面积S＝20cm2，铁块质量m2＝1000g，外界大气压强p0＝1.0×105Pa，重力加速度g＝10m/s2。求该测温计的测温范围。
【答案】292.5K至307.5K
【解析】当温度最大时，细线刚好没有拉力，天平示数刚好最大，根据平衡条件 p1S=p0S+m1g
根据查理定律 pT=p1T1
解得 T1=307.5K
当温度最小时，细线拉力刚好为10N，天平示数刚好为零，根据平衡条件 m2g+p2S=p0S+m1g
根据查理定律 pT=p2T2
解得 T2=292.5K
故该测温计的测量范围为292.5K至307.5K
11．（2022·广西·一模）如图所示，导热的圆柱形气缸固定在水平桌面上，横截面积为S、质量为m1的活塞封闭着一定质量的理想气体，活塞与气缸间无摩擦且不漏气。总质量为m2的砝码盘（含砝码）由绕过定滑轮的细线与活塞相连。当环境温度为T时，活塞离缸底的高度为h，g为重力加速度。现使环境温度缓慢升高到1.2T：
（ⅰ）当活塞再次平衡时，活塞离缸底的高度是多少？
（ⅱ）保持环境温度为1.2T不变，在活塞上方添加质量为Δm的沙子时，活塞返回到高度为h处，求大气压强p0。
【答案】（1）1.2ℎ（2）(5Δm+m2−m1)gS
【解析】（1）当环境温度为T时，状态为压强为p1，温度为T，体积为V1；环境温度缓慢升高到1.2T时，状态为压强p2，温度为1.2T，体积为V2。在缓慢变化的过程是个等压过程，
故跟据盖吕萨克定律可知 V1T1=V2T2
解得 V2=Sℎ′=V1=1.2Sℎ ℎ′=1.2ℎ
（2）由题可知，在放沙子前体积为V2=1.2Sℎ，活塞的受力 m1g+p0S=p2S+m2g
放沙子后返回到ℎ处，体积为V3=Sℎ，活塞的受力 m1g+p0S+Δmg=p3S+m2g
这个过程是个等温过程，根据玻意耳定律可知 p2·1.2Sℎ=p3Sℎ
联立解得 p0=(5Δm+m2−m1)gS
12．（2022·广东深圳·二模）如图，在趣味小实验中，将一定质量的乒乓球放在一个粗细均匀的竖直薄圆管下端，通过乒乓球和活塞在管内封闭一定高度的某种液体和气体，当封闭气体压强为p时，乒乓球恰好不掉落。已知液柱高度远大于乒乓球直径，圆管横截面积为S，为了防止乒乓球掉落，将活塞缓慢上移使气柱长度增加一半。求此时
（1）封闭气体的压强；
（2）管口对乒乓球的作用力大小。
【答案】（1）2p3；（2）pS3
【解析】（1）由题意可知封闭气体发生等温变化，根据 p1V1=p2V2
其中 V1=SL V2=S×1.5L
解得 p2=2p3
（2）由于封闭气体压强较小，故而管口对乒乓球产生竖直向下的弹力FN，根据乒乓球所受合力为零，可得
p2S+ρgℎ⋅S+mg+FN=p0S
pS+ρgℎ⋅S+mg=p0S
解得 FN=pS3
13．如图，左右两个水平面上各固定有平放的气缸A和B，两气缸内壁光滑；两气缸的活塞的横截面积分别为2S、S，用刚性杆连接，刚性杆和活塞可左右移动。现A气缸内封闭体积为2V的某种气体，B气缸内封闭体积为V的另一种气体。已知此时两气缸内的气体温度均为T，B气缸内气体的压强为3p，大气压强为p0，A、B两气缸的气体均可看作理想气体。则
(i)此时A气缸内的气体压强；
(ii)现让两气缸内气体温度均发生改变，稳定后，A气缸内封闭气体体积变为原来的一半，其中A气缸内气体温度变为34T，求B气缸内气体温度（已知活塞移动过程中始终与气缸紧密接）。
【答案】(i)pA0=2p0；(ii)2.5T0
【解析】(i)初状态以两活塞及刚性杆为研究对象，
由受力平衡可知 pA0⋅2S+p0⋅S=pB0⋅S+p0⋅2S=3p0S+p0⋅2S
解得 pA0=2p0
(ii)依题意温度变化后A气缸内气体体积为V0，温度变为34T0，设压强变为pA，
依理想气体状态方程有 pA02V0T0=4pAV03T0
解得 pA=3p0
由两活塞及刚性杆受力平衡可得 pA⋅2S+p0S=pBS+p0⋅2S
变化后B气缸内气体压强 pB=5p0
因为两活塞向左移动距离相同，所以B气缸内气体体积变为32V0，依理想气体状态方程有 pB0V0T0=3pBV02T
解得B气缸内气体温度为 T=52T0=2.5T0
14．如图所示，内壁光滑且长为L=50cm的汽缸固定在水平面上，整个汽缸只有最右侧的面导热，其他面绝热，汽缸内封闭有温度为t0=27℃、压强为p0的理想气体，开始时处于静止状态的绝热活塞距汽缸左侧L1=20cm。活塞右侧有一个质量是m的空心小球，小球的体积相对于右半部分气体体积可以忽略，开始时小球对活塞底部的压力为23mg，现用电热丝对左侧气体加热，使活塞缓慢向右移动（已知大气压强为p0）
（1）试计算当温度升高到t1=377℃时，活塞左侧封闭气体的压强力p1；
（2）左侧气体温度为多少时，小球对汽缸底部的压力为零。
【答案】（1）p1=2215p0；（2）1800K
【解析】（1）活塞两侧气体压强相同假设活塞向右移动了△L，活塞开始时到右侧面的距离为L2，对于左侧气体由理想气体方程可得 p0L1ST0=p1(L1+ΔL)ST1
对于右侧气体由理想气体方程可得 p0L2S=p1(L2−ΔL)S
解得 p1=2215p0
（2）对小球受力分析初始状态 mg=23mg+F浮
小球对地面压力为零时 mg=F浮′
F浮=ρgV F浮′=ρ′gV
解得 ρ′=3ρ
所以当小球对底而无压力时 v右′=13v右
所以活塞向右移动了 ΔL′=20cm
对右侧气体分析 p0L2S=p2(L2−ΔL′)S
解得 p2=3p0
对左侧气体分析 p0L1ST0=p2(L1+ΔL′)ST2
解得 T2=1800K
15．（2022·河北·高考真题）水平放置的气体阻尼器模型截面如图所示，汽缸中间有一固定隔板，将汽缸内一定质量的某种理想气体分为两部分，“H”型连杆活塞的刚性连杆从隔板中央圆孔穿过，连杆与隔板之间密封良好。设汽缸内、外压强均为大气压强p0。活塞面积为S，隔板两侧气体体积均为SL0，各接触面光滑。连杆的截面积忽略不计。现将整个装置缓慢旋转至竖直方向，稳定后，上部气体的体积为原来的12，设整个过程温度保持不变，求：
（i）此时上、下部分气体的压强；
（ii）“H”型连杆活塞的质量（重力加速度大小为g）。
【答案】（1）2p0，23p0；（2）4p0S3g
【解析】（1）旋转前后，上部分气体发生等温变化，根据玻意尔定律可知 p0⋅SL0=p1⋅12SL0
解得旋转后上部分气体压强为 p1=2p0
旋转前后，下部分气体发生等温变化，下部分气体体积增大为12SL0+SL0=32SL0，则 p0⋅SL0=p2⋅32SL0
解得旋转后下部分气体压强为 p2=23p0
（2）对“H”型连杆活塞整体受力分析，活塞的重力mg竖直向下，上部分气体对活塞的作用力竖直向上，下部分气体对活塞的作用力竖直向下，大气压力上下部分抵消，根据平衡条件可知 p1S=mg+p2S
解得活塞的质量为 m=4p0S3g
16．（2022·河北·模拟预测）如图所示，一竖直放置的导热气缸被轻活塞AB和固定隔板CD分成两个装有同种气体的气室。已知外界大气压强为p0 ，气室1内气体压强为2p0，两气室气柱长均为L，活塞面积为S，重力加速度为g，活塞与气缸间无摩擦，且外界温度始终不变。现在活塞上方缓慢释放质量为m的细砂。
（ⅰ）求气室2的气柱长；
（ⅱ）再将隔板缓慢抽去，两气室的气体均未漏气、进气，求稳定后气体的气柱长。
【答案】（ⅰ）L1=p0SLmg+p0S；（ⅱ）3p0SLmg+p0S
【解析】（ⅰ）对于气室2气体，设放入细砂后长度为L1，外界温度不变，
则由玻意耳定律可得 p0SL=p1SL1
活塞上方加入细砂后，对活塞受力分析 p1S=mg+p0S
联立以上两式可得气室2的气柱长 L1=p0SLmg+p0S
（ⅱ）由于两气室气体均为相同气体，当把隔板缓慢抽去时，活塞受力仍然和（i）相同，因此混合后气体压强仍为p1，设稳定后气柱长度为L2，以气室1和气室2的气体整体为研究对象，
根据玻意耳定律 2p0SL+p1SL1=p1SL2
联立（i）中的活塞受力分析，解得 L2=3p0SLmg+p0S
17．（2022·湖南·高考真题）如图，小赞同学设计了一个液体拉力测量仪。一个容积V0=9.9L的导热汽缸下接一圆管，用质量m1=90g、横截面积S=10cm2的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与圆管壁间摩擦不计。活塞下端用轻质细绳悬挂一质量m2=10g的U形金属丝，活塞刚好处于A位置。将金属丝部分浸入待测液体中，缓慢升起汽缸，使金属丝从液体中拉出，活塞在圆管中的最低位置为B。已知A、B间距离ℎ=10cm，外界大气压强p0=1.01×105Pa，重力加速度取10m/s2，环境温度保持不变，求：
（1）活塞处于A位置时，汽缸中的气体压强p1；
（2）活塞处于B位置时，液体对金属丝拉力F的大小。
【答案】（1）p1=105Pa；（2）F=1N
【解析】（1）将活塞与金属丝视为一整体，因平衡则有 p0S=p1S+(m1+m2)g
代入数据解得 p1=105Pa
（2）当活塞在B位置时，汽缸内压强为p2，则有 p1V0=p2(V0+Sℎ)
代入数据解得 p2=9.9×104Pa
将活塞与金属丝视为一整体，因平衡则有 p0S=p2S+(m1+m2)g+F
联立解得 F=1N
18．（2022·全国·高考真题）如图，容积均为V0、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为p0、温度为T0的环境中；两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通：汽缸内的两活塞将缸内气体分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第II、Ⅲ部分的体积分别为18V0和14V0、环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。
（1）将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度；
（2）将环境温度缓慢改变至2T0，然后用气泵从开口C向汽缸内缓慢注入气体，求A汽缸中的活塞到达汽缸底部后，B汽缸内第Ⅳ部分气体的压强。
【答案】（1）T=43T0；（2）p=94p0
【解析】（1）因两活塞的质量不计，则当环境温度升高时，Ⅳ内的气体压强总等于大气压强，则该气体进行等压变化，则当B中的活塞刚到达汽缸底部时，由盖吕萨克定律可得 34V0T0=V0T
解得 T=43T0
（2）设当A中的活塞到达汽缸底部时Ⅲ中气体的压强为p，则此时Ⅳ内的气体压强也等于p，设此时Ⅳ内的气体的体积为V，则Ⅱ、Ⅲ两部分气体被压缩的体积为V0-V，则对气体Ⅳ p0⋅3V04T0=pV2T0
对Ⅱ、Ⅲ两部分气体 p0(V08+V04)T0=p(V0−V)2T0
联立解得 V=23V0 p=94p0
19．（2022·全国·高考真题）如图，一竖直放置的汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定量的理想气体，两活塞用一轻质弹簧连接，汽缸连接处有小卡销，活塞Ⅱ不能通过连接处。活塞Ⅰ、Ⅱ的质量分别为2m、m，面积分别为2S、S，弹簧原长为l。初始时系统处于平衡状态，此时弹簧的伸长量为0.1l，活塞Ⅰ、Ⅱ到汽缸连接处的距离相等，两活塞间气体的温度为T0。已知活塞外大气压强为p0，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计弹簧的体积。（重力加速度常量g）
（1）求弹簧的劲度系数；
（2）缓慢加热两活塞间的气体，求当活塞Ⅱ刚运动到汽缸连接处时，活塞间气体的压强和温度。
【答案】（1）k=40mgl；（2）p2=p0+3mgS，T2=43T0
【详解】（1）设封闭气体的压强为p1，对两活塞和弹簧的整体受力分析，
由平衡条件有 mg+p0⋅2S+2mg+p1S=p0S+p1⋅2S
解得 p1=p0+3mgS
对活塞Ⅰ由平衡条件有 2mg+p0⋅2S+k⋅0.1l=p1⋅2S
解得弹簧的劲度系数为 k=40mgl
（2）缓慢加热两活塞间的气体使得活塞Ⅱ刚运动到汽缸连接处时，对两活塞和弹簧的整体由平衡条件可知，气体的压强不变依然为 p2=p1=p0+3mgS
即封闭气体发生等压过程，初末状态的体积分别为 V1=1.1l2×2S+1.1l2×S=3.3lS2，V2=l2⋅2S
由气体的压强不变，则弹簧的弹力也不变，故有 l2=1.1l
有等压方程可知 V1T0=V2T2
解得 T2=43T0
20．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，内壁光滑的圆柱形导热汽缸固定在水平面上，汽缸内被活塞封有一定质量的理想气体，活塞横截面积为S，质量和厚度都不计，活塞通过弹簧与汽缸底部连接在一起，弹簧处于原长，已知周围环境温度为T0，大气压强恒为p0，弹簧的劲度系数k＝p0Sl0（S为活塞横截面积），原长为l0，一段时间后，环境温度降低，在活塞上施加一水平向右的压力，使活塞缓慢向右移动，当压力增大到某一值时保持恒定，此时活塞向右移动了0.2l0，缸内气体压强为1.1p0。
（1）求此时缸内气体的温度T1；
（2）对汽缸加热，使气体温度缓慢升高，当活塞移动到距汽缸底部1.2l0时，求此时缸内气体的温度T2。
【答案】（1）0.88T0；（2）1.8T0
【解析】（1）汽缸内的气体，初态时：压强为p0，体积为 V0＝Sl0
温度为T0，末态时：压强为 p1＝1.1p0 体积为 V1＝S（l0－0.2l0）
由理想气体状态方程得 p0V0T0=p1V1T1
解得 T1＝0.88T0
（2）当活塞移动到距汽缸底部1.2l0时，体积为 V2＝1.2Sl0
设气体压强为p2，由理想气体状态方程得 p0V0T0=p2V2T2
此时活塞受力平衡方程为 p0S＋F－p2S＋k(1.2l0－l0)＝0
当活塞向右移动0.2l0后压力F保持恒定，活塞受力平衡 p0S＋F－1.1p0S－k(0.2l0)＝0
解得 T2＝1.8T0
21．（2022·湖北·高三阶段练习）如图所示，导热气缸上端开口，竖直固定在地面上，高度H=1.35m，质量均为m=2kg的A、B两个活塞静止时将气缸容积均分为三等份，A、B之间为真空并压缩一根轻质弹簧，弹性系数k=300N/m，A、B与气缸间无摩擦，大气压p0=1×105Pa。密封气体初始温度T1=252K，重力加速度g取10m/s2，活塞面积S=4×10−4m2，其厚度忽略不计
（1）求最初密封气体的压强为多少？
（2）若给电阻丝通电加热密封气体，当活塞B缓慢上升到离气缸底部ℎ=1m时，求密封气体的温度为多少？
【答案】（1）p1=2×105Pa；（2）T2'=770K
【解析】（1）对AB整体 2mg+p0S=p1S
得 p1=2×105Pa
（2）给电阻丝通电加热密封气体，当活塞B缓慢上升，当A和气缸顶部接触前，即活塞B缓慢上升到离气缸底部距离为 ℎ'=23H=0.9m<1m
整体分析可知，这段时间气体的压强不变，则气体发生等压升温的过程：
状态1 T1=252K V1=H3S
状态2 V2=2H3S
由等压过程有 V1T1=V2T2
解得 T2=504K
之后B继续缓慢上升，B压缩弹簧。对B有 mg+kx1=p1S mg+k(x1+ℎ−ℎ′)=p2S
解得 p2=2.75×105Pa
对封闭气体 p1V2T2=p2ℎST2′
则 T2'=770K
22．（2022·江西省乐平中学高三开学考试）如图，一导热良好气缸底部与竖直弹簧上端拴接，弹簧另一端连接于地面。气缸内封闭着一定质量的理想气体，气缸内气柱长为L=0.2m，整个系统处于平衡状态。已知气缸的质量为M=10kg，活塞的质量为m=2kg，面积为S=2×10−3m2，气缸与活塞之间光滑，弹簧的劲度系数k=1×103N/m，重力加速度g取10m/s2。大气压强为p0=1×105kg，环境温度不变。现用一竖直向上的外力F=70N将活塞向上缓慢拉到某一位置处再度平衡。求活塞相对原来平衡位置向上移动的距离。（结果保留2位小数）
【答案】Δℎ=0.16m
【解析】最初平衡时，对活塞有 p0S+mg=pS
气缸体积 V=LS
再次平衡时，对活塞有 p0S+mg=p′S+F
气缸体积 V′=L′S pV=p′V′
解得 L′=0.29m
ΔL=L′−L
另一方面，弹簧相比原来上升了Δx=Fk
故活塞上升了Δℎ=ΔL+Δx
解得Δℎ=0.16m
考点二 非平衡状态下的气缸问题
非平衡状态下封闭气体压强的求法：选取汽缸、活塞整体为研究对象或选取和气体接触的活塞为研究对象，进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。
23．如图所示，汽缸固定在平板车上，质量为m的活塞将气体封闭在汽缸内，已知外界大气压强为p0，活塞横截面积为S，不计活塞与汽缸壁的摩擦，当小车和汽缸以相同的加速度a沿水平方向运动时，则汽缸内气体的压强为多大？
【答案】p0+maS
【解析】设气体的压强为p，以活塞为研究对象，根据牛顿第二定律可得 pS−p0S=ma
解得 p=p0+maS
24．在光滑水平面上有一个内外壁都光滑的薄壁气缸，质量为2m，气缸内有一质量为m，横截面积为S的活塞密封住一定质量的理想气体，大气压强为p0，不计环境温度的变化
①现对气缸施加一水平向左的恒力F（如图1），稳定后活塞到缸底的距离为l1，求此时气缸的加速度a和封闭气体的压强p1；
②若用大小仍为F的恒力水平向左推活塞，如图2，求稳定后活塞到缸底的距离l2。
【答案】①a=F3m，p1=p0−F3S；②l2=(3p0S−F2F+3p0S)l1
【解析】①对气缸和活塞组成的系统，由牛顿第二定律可得 F=(m+2m)a
设封闭气体的压强为p1，对活塞，则有 (p0−p1)S=ma
解得 a=F3m，p1=p0−F3S
②对气缸和活塞组成的系统，由牛顿第二定律可得 F=(m+2m)a'
设封闭气体的压强为p2，对气缸，则有 p2−p0S=2ma'
解得 p2=p0+2F3S
对封闭气体，由玻意耳定律可得 p2l2S=p1l1S
解得 l2=(3p0S−F2F+3p0S)l1
25．（2022·全国·三模）如图1所示，底面积S=10cm2、质量为M=2kg、足够长圆柱形导热汽缸开口向上置于水平地面上，缸内有两个质量均为m=1kg的可沿缸内壁无摩擦滑动的活塞，活塞封闭着A和B两部分气体（均视为理想气体），初始时两部分气柱的长度均为L0=12cm。现将整个装置放置在倾角为30°的光滑斜面上（如图2），在平行于斜面的外力F作用下一起沿斜面向上做匀加速运动，稳定后气体A的长度变为L1=11cm。整个过程环境的温度不变，大气压强恒为p0=1.0×105Pa，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）外力F的大小；
（2）系统稳定后气体B的长度为多少（保留3位有效数字）。
【答案】（1）80N；（2）10.3cm
【解析】（1）初始时，对气体A有 pA1−p0=mgS
得 pA1=1.1×105Pa
体积为 VA1=12S
整个装置在斜面上稳定时 VA2=11S
由理想气体状态方程有 pA1VA1=pA2VA2
得 PA2=1.2×105Pa
对A在斜面上面有 pA2S−p0S−mgsin30°=ma
得 a=15m/s2
对整个装置，由牛顿第二定律 F−(M+2m)gsin30°=(M+2m)a
得 F=80N
（2）初始时，气体B有 pB1−p0=2mgS
得 pB1=1.2×105Pa
整个装置在斜面上稳定时，对AB间活塞有 pB2S−pA2S−mgsin30°=ma
得 pB2=1.4×105Pa
对气体B，由理想气体状态方程有 pB1VB1=pB2VB2
得 L2=10.3cm
26．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校高三阶段练习）如图所示，横截面积为2S和S的两个导热气缸连在一起，竖直静止放置在水平面上，气缸通过光滑活塞A、B及轻杆封闭一定质量的理想气体，平衡时两活塞到气缸连接处距离均为l。已知环境温度保持不变，活塞A、B质量分别为2m和m，重力加速度为g，外界压强为p0且p0S=10mg。
（1）气缸竖直静止时，求封闭气体的压强；
（2）当气缸做自由落体运动，稳定时活塞B到连接处的距离。
【答案】（1）p=13mgS；（2）l10
【解析】（1）对气缸整体受力分析，由平衡条件有 p0(2S−S)+(2m+m)g=p(2S−S) p0S=10mg
联立求得 p=13mgS
（2）当气缸自由落体运动时，活塞处于完全失重状态，活塞上方与下方的气体压强会相等，设稳定时活塞距离连接处为x，对于封闭气体根据玻意耳定律有 pl(2S+S)=p0xS+p0(2l−x)2S
联立求得 x=l10
27．（2023·浙江嘉兴·一模）如图甲所示为小姚设计的液体拉力测量仪，一容积V0=9.8L的导热汽缸下接一圆管，质量m1=40g、横截面积S=5cm2的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞下端用轻绳悬挂一质量m2=10g的U形金属细丝，刚好处于A位置，摩擦不计，外界大气压强p0=1.01×105Pa，环境温度保持不变，求：
（1）活塞处于A位置时，汽缸中的气体压强p1；
（2）如图乙所示，将金属丝部分浸入液体中，缓慢升起汽缸，使金属丝在液体中上升但未脱离，活塞稳定于B位置，已知A、B距离ℎ=40cm，求液体对金属丝拉力F的大小；
（3）金属丝拉出液体后要维持活塞的最低位置B，气缸向上运动的加速度大小。
【答案】（1） p1=105Pa；（2） F=1N；（3） a=20m/s2
【解析】（1）由活塞受力平衡得 p0S=p1S+m1+m2g
代入数据得 p1=105Pa
（2）当活塞在B位置时，汽缸内压强为p2，气体温度不变，根据等温变化得 p1V0=p2V0+Sℎ
代入数据解得 p2=9.8×104Pa
由平衡方程得 p0S=p2S+m1+m2g+F
解得 F=1N
（3）由牛顿第二定律可得 F=m1+m2a
解得 a=20m/s2
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