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专题03 分式与二次根式（题型归纳）-备战2023年中考数学一轮复习精品课件与题型归纳专练（全国通用）
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中考数学总复习六大策略 1、学会运用函数与方程思想。从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型。 2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。 3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。 4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。 5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 专题03 分式与二次根式 题型归纳 题型演练 题型一 分式有意义、无意义的条件 1．（2021·浙江·温州市第二中学三模）使分式有意义的字母x的取值范围是（ ） A．x≠0 B．x≠3 C．x≠4 D．x≠3且x≠4 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断． 【详解】解：根据题意得x﹣4≠0，则x≠4． 故选：C． 2．（2022·甘肃定西·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵分母不能等于0 ∴ ∴ 故选B． 3．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到． 【详解】要分式有意义，则， 解得：． 故选：B 4．（2022·贵州遵义·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】根据题意，得：，， 解得且， 故选：D． 5．（2022·浙江·三模）若要使得分式有意义，则的取值范围为_______． 【答案】x≠±1 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：|x2-1|≠0， ∴x2-1≠0， ∴x≠±1， 故答案为：x≠±1． 6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x＝_____时，分式无意义． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得，2x＋5＝0， 故答案为： 题型二 分式的值为零的条件 7．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x的值即可判断． 【详解】解：A．当x=-2时，x+2=0，故本选项不合题意； B．当x=±时，x2-2=0，故本选项不合题意； C．在分式中，因为x+2≠0，所以分式≠0，故本选项符合题意； D．当x=-2时，（x+2）2=0，故本选项不合题意； 故选：C． 8．（2022·贵州毕节·一模）关于分式，有下列说法，错误的有（ ）个： （1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3； （2）当x＝5时，分式的值一定为零； （3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5； （4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可． 【详解】解：（1）当取1时，，要使分式有意义即，解得， 故说法正确； （2）当时，，若，则分式无意义， 故说法错误； （3）由题意得，解得， 故说法正确； （4）当x取任何值时，分式一定有意义，即，则y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点， 故说法正确； 综上所述：错误的说法有1个， 故选：B． 9．（2022·浙江温州·一模）若分式的值为0，则x的值为（ ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴x﹣2＝0，x﹣3≠0， ∴x＝2， 故选：D． 10．（2021·浙江温州·三模）分式的值为0，则x的值是（ ） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x+3＝0且x﹣1≠0， 解得：x＝﹣3， 故选：A． 11．（2022·浙江丽水·一模）若分式的值为0，则_____． 【答案】-1 【分析】若分式的值为0，则为0而 即可． 【详解】解： 解得 故填：-1 12．（2022·江苏盐城·二模）当x为_______时，分式的值为0． 【答案】 【分析】根据分式值为0的条件，可知分子为0，分母不为0，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三 分式的求值 13．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式、、、、中，值一定是正数的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：不一定是正数； 是非负数，不一定是正数； 一定是正数； 一定是正数； 是非负数，不一定是正数； 所以值一定是正数的有个． 故选：B 14．（2021·浙江温州·三模）若＝，则的值是（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据＝得，将代入中即可得出答案． 【详解】解：∵＝， ∴， 将代入中， 得， 故选：C． 15．（2022·江苏宿迁·三模）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个不等于0的实数、满足， ∴， 故选：A． 16．（2021·安徽安庆·一模）已知，则的值为（ ） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知得出x＝2y，进而代入计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴x＝2y， ∴． 故选：B． 17．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且，则______． 【答案】 【分析】利用a与b互为相反数，，求解 再整体代入求值即可． 【详解】解： a与b互为相反数， 当 则 当 则 故答案为： 18．（2022·黑龙江大庆·二模）已知非零实数x，y满足，则__________． 【答案】-1 【分析】将条件式整理可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：. 题型四 分式的值为正或负时未知数的取值范围 19．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立， ∴x＞， 故选：B． 20．下列关于分式的说法，错误的是( ) A．当x>-2时，分式的值一定为负数 B．当x=0时，分式没有意义 C．当x<-2时，分式的值一定为正数 D．当x=-2时，分式的值为0 【答案】A 【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项． 【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意； B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意； C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意； D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意． 故选A． 21．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【答案】D 【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵＞0， ∴x＋4＞0，x≠0， ∴x＞−4且x≠0． 故选：D． 22．若分式的值为正数，则需满足的条件是（ ） A．为任意实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解. 【详解】∵， ∴分式的值为正数时，， 解得：. 故选：C. 23．若分式的值为正数，x的取值范围是__． 【答案】或； 【分析】根据分式的值为正数可列不等式组，解不等式组可求解x的取值范围． 【详解】由题：∵ 分式的值为正数， ∴或 解得：或； 故填：或． 24．若分式的值为正，则实数的取值范围是__________________. 【答案】x＞0 【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得. 【详解】∵分式的值为正， ∴x与x2+2的符号同号， ∵x2+2>0， ∴x>0， 故答案为x>0. 题型五 分式的基本性质 25．（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ） A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍 C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍 【答案】B 【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可． 【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, ，故该选项不正确，不符合题意； B. a，b同时扩大3倍，，故该选项正确，符合题意； C. a扩大2倍，b缩小3倍，，故该选项不正确，不符合题意； D. a缩小2倍，b缩小3倍，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 26．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D．（a﹣）2＝a2﹣a- 【答案】C 【分析】利用二次根式除法运算、分式的约分、负整数指数幂的性质、完全平方公式计算即可． 【详解】解：A、 ，故选项A错误； B、不能约分化简，故选项B错误； C、，计算正确，符合题意； D、（a﹣）2＝a2﹣a+，故选项D错误， 故选C． 27．（2022·湖南永州·二模）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不确定 【答案】C 【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：＝2×， 故分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C． 28．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ， 故选：A. 29．（2022·湖北襄阳·一模）已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵， ∴x-y=4xy， ∴原式=， 故答案为： ． 30．（2020·宁夏·银川市第九中学二模）若，则_______． 【答案】 【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求职 【详解】解：x2=y3=z4=k（k≠0)，则 题型六 最简分式 31．（2020·河北·模拟预测）下列分式中，属于最简分式的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、该式子是最简分式，故本选项符合题意； D、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 32．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A、=，不符合题意； B、原式=-1，不符合题意； C、符合题意； D、=x-3y，不符合题意； 故选：C． 33．（2021·江西·一模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义、合并同类项法则、分式的运算和积的乘方逐一判断即可． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.，故本选项错误； D.，故本选项正确． 故选D． 34．（2022·广东·九年级专题练习）分式，，，中，最简分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式是最简分式，即可求解． 【详解】解：，不是最简分式， ，不是最简分式， ，是最简分式，有2个． 故选：B 35．（2022·江苏连云港·九年级期末）已知，则的值为 _____． 【答案】 【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴=， 故答案为：． 36．在分式中，最简分式有______． 【答案】 【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由=m﹣n，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由=﹣1，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为： ． 题型七 约分与通分 37．（2022·广西梧州·二模）下列计算正确的是（ ） A．5a－3a＝2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项，分式的约分，完全平方公式，有理数的混合运算逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 5a－3a＝2a，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 38．（2022·山西吕梁·一模）解分式方程时，去分母这一步方程两边不能同时乘以（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解分式方程中的去分母求解即可． 【详解】解：将转化成， ∴A.，能同时乘以，故不符合题意； B.，能同时乘以，故不符合题意； C.，能同时乘以，故不符合题意； D.，不能同时乘以，符合题意； 故选：D． 39．（2022·云南昆明·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】 【分析】分式约分后，把m=2n代入即可． 【详解】， 故答案为：． 40．（2022·上海·位育中学模拟预测）化简：________． 【答案】 【分析】对分母进行因式分解后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 41．（2021·内蒙古呼和浩特·二模）分式的最简公分母是________， =__________ 【答案】 【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴，的最简公分母为： ∴ 故答案为：， 42．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）分式和的最简公分母为_____． 【答案】2（m﹣n） 【分析】利用最简公分母的定义求解，分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最简公分母是2（m﹣n）即是本题答案． 【详解】解：∵分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）． ∴它们的最简公分母是2（m﹣n）． 故答案为：2（m﹣n）． 题型八 分式的乘除法 43．（2022·辽宁沈阳·二模）化简：（ ） A． B．x C． D． 【答案】C 【分析】先把分母因式分解，再计算，即可求解． 【详解】解： 故选：C 44．（2022·山东滨州·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D．3a－4a＝－a 【答案】D 【分析】根据多项式乘多项式的法则、单项式除单项式、立方根、合并同类项的法则分别进行计算，即可得出答案． 【详解】解：A、应为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、3a－4a＝－a，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 45．（2022·山东· 模拟预测）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则化简即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 46．（2022·湖北武汉·二模）计算：_____． 【答案】 【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案． 【详解】解： = = 故答案为：． 47．（2022·山西晋中·二模）计算：______． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算． 【详解】解：原式= = = 故答案为． 48．（2022·甘肃陇南·模拟预测）计算：＝________． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法运算，再结合平方差公式分解因式，约分化简即可解答． 【详解】解：． 题型九 分式的加减法 49．（2022·广东·珠海市文园中学三模）化简的结果是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式． 【详解】解：． 故选：D． 50．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（ ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】C 【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 51．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）计算的结果是 _____． 【答案】 【分析】利用异分母分式的加减法法则计算． 【详解】原式 ， 故答案为：． 52．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____． 【答案】1 【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：﹣= 故答案为：1． 53．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）化简：（）÷ 【答案】 【分析】利用通分，约分，因式分解等方法化简即可． 【详解】（）÷ =（ =． 54．（2022·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】原式先通分并利用同分母分式的加法法则计算，再约分即可得到结果，再将字母的值代入求解即可． 【详解】原式 ． 当时，原式 55．（2022·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 56．（2022·甘肃嘉峪关·三模）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可． 【详解】∵a，b满足． ∴a＋1＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣1，b＝， 当a＝﹣1，b＝时， ∴原式． 题型十 零指数幂与负整数指数幂 57．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可． 【详解】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 58．（2022·上海杨浦·二模）下列各式中，运算结果是分数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可． 【详解】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意； B. =1，是整数，故该选项不符合题意； C. =2，是整数，故该选项不符合题意； D. = ，是无理数，故该选项不符合题意． 59．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、负整数指数幂、幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 60．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）______． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂即可得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 61．（2022·重庆·模拟预测）计算=________ ． 【答案】－2 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则计算即可． 【详解】， 故答案为：-2． 题型十一 二次根式有意义的条件 62．（2022·湖南娄底·一模）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ） A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，a+2≥0，a≠0， 解得，a≥﹣2且 a≠0， 故选：D． 63．（2022·浙江杭州·模拟预测）要使得式子有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 64．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：， 解得， 故选：D． 65．（2022·安徽合肥·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式（a≥0）进行解答即可． 【详解】解：由题意得：2-x≥0． 解得：， 故答案为：x≤2． 66．（2022·贵州黔东南·一模）函数y中自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≤2且x≠1 【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得． 【详解】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0， 解得x≤2且x≠1． 故答案为：x≤2且x≠1． 题型十二 利用二次根式的性质化简 67．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ） A．＝±4 B．＝3 C．＝﹣8 D．4﹣4＝ 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断． 【详解】解：A、=4，故该项不正确； B、=3，故该项正确； C、没有意义，故该项不正确； D、4-4=4-4，故该项不正确； 故选：B． 68．（2022·广东·模拟预测）的化简结果为（ ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 【答案】A 【分析】根据二次根式性质直接求解即可． 【详解】解：， 故选：A ． 69．（2022·湖南怀化·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4 C．＝2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2 【答案】C 【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可； 【详解】解：A.（2a2）3=8a6≠6a6，故错误； B.a8÷a2=a6≠a4，故错误； C.=2，故正确； D.（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，故错误； 故选：C． 70．（2021·四川乐山·三模）化简后所得的最后结果是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 71．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）化简：_______． 【答案】 【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果． 【详解】解：原式 故答案为：． 题型十三 二次根式的乘除 72．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用幂的运算，二次根式的加法运算和乘法运算逐一计算即可． 【详解】A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确； 故选：D． 73．（2022·河南·平顶山市第十六中学模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次根式的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案 【详解】解：A、，所以A选项符合题意； B、原式，所以B选项不符合题意； C、与不能合并，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项不符合题意． 故选：D． 74．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）下列等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A、，等式成立，不符合题意； B、，等式成立，不符合题意； C、，原等式不成立，符合题意； D、，等式成立，不符合题意； 故选：C． 75．（2022·广西贺州·二模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的加、减、乘、除运算逐项计算即可求解． 【详解】A、不能合并在一起，故选项A错误； B、中，与不是同类二次根式，不能合并在一起，故选项B错误； C、，计算正确； D、，故选项D错误， 故选C 76．（2022·安徽宿州·模拟预测）计算：_______． 【答案】2 【分析】先化简各项，再相减即可. 【详解】解：， 故答案为：2. 77．（2022·山东青岛·一模）计算÷3×的结果是___． 【答案】1 【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝1． 故答案为：1． 题型十四 最简二次根式 78．（2022·上海虹口·二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项化简，再根据最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，不是最简二次根式，不符合题意； C. 是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 79．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，分母中含有分式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中没有可开方的因数且分母中没有分式，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故答案选C． 80．（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】选项A，，不是最简二次根式； 选项B，是最简二次根式； 选项C，，不是最简二次根式； 选项D，，不是最简二次根式. 故选：B. 81．（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是______． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义． 【详解】解：时，，是最简二次根式， ∴x的值可以是5． 故答案为：5．（答案不唯一） 82．（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝______． 【答案】1 【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可； 【详解】解：∵＝2， 根据题意得：a+1＝2， 解得a＝1， 故答案为：1． 题型十五 二次根式的加减 83．（2022·上海奉贤·二模）的计算结果是（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的减法法则可进行求解． 【详解】解：原式=； 故选：C． 84．（2022·青海西宁·一模）下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质和加减乘除运算法则依次判断即可． 【详解】A：，故此选项错误； B：，故此选项错误； C：不能再运算，故此选项错误； D：，故此选项正确； 故选：D． 85．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 86．（2022·江苏南京·二模）计算的结果是______． 【答案】3 【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为3． 87．（2021·四川泸州·二模）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1． 【答案】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 当x＝﹣1时，原式＝＝＝． 88．（2022·上海松江·二模）计算： 【答案】 【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 题型十六 分母有理化 89．（2022·安徽·二模）的倒数是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 90．（2022·广西河池·三模）下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式性质化简即可判定A；根据分母有理化化简即可判定B；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定C；根据同底数幂相除法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 91．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）计算的结果是____________． 【答案】 【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 92．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）化简：______． 【答案】 【分析】先分母有理化，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 93．（2022·浙江宁波·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1)5；(2) 【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则进行化简，再利用有理数的运算法则计算可得出答案； （2）直接利用乘法公式、分母有理化及二次根式的性质进行化简，再合并可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型十七 二次根式的化简求值 94．（2021·山东淄博·一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可. 【详解】由题得：、 ∴ 故选：C. 95．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）已知.则xy=（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】 配方得 将代入得： 计算得： 故选：D. 96．（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式=__________． 【答案】或 【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案． 【详解】解： ＝ ＝2x× ＝． ∵， ∴， （x﹣5）（x+3）＝0， ∴x＝5或x＝﹣3． 当x＝5时，原式＝4； 当x＝﹣3时，原式＝． 97．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）设 ，则代数式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值为__________． 【答案】-1 【分析】根据已知条件得出x＋1、x＋2和x＋3的值，再代入代数式中计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴x＋1，x＋2，x＋3， ∴原式＝ ＝−1． 故答案为：-1． 98．（2022·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；7 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 99．（2021·江西赣州·模拟预测）先化简，再求值：a2﹣b（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣2﹣，b＝﹣2． 【答案】， 【分析】先对整式进行化简，然后代值进行求解即可． 【详解】解：原式=， 把代入得：原式=． 100．（2021·辽宁锦州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= x+1，然后把代入计算即可． 【详解】原式， ， ， 当时， 原式， 故化简后得原式，求得．
中考数学总复习六大策略 1、学会运用函数与方程思想。从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型。 2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。 3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。 4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。 5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 专题03 分式与二次根式 题型归纳 题型演练 题型一 分式有意义、无意义的条件 1．（2021·浙江·温州市第二中学三模）使分式有意义的字母x的取值范围是（ ） A．x≠0 B．x≠3 C．x≠4 D．x≠3且x≠4 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断． 【详解】解：根据题意得x﹣4≠0，则x≠4． 故选：C． 2．（2022·甘肃定西·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵分母不能等于0 ∴ ∴ 故选B． 3．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到． 【详解】要分式有意义，则， 解得：． 故选：B 4．（2022·贵州遵义·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】根据题意，得：，， 解得且， 故选：D． 5．（2022·浙江·三模）若要使得分式有意义，则的取值范围为_______． 【答案】x≠±1 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：|x2-1|≠0， ∴x2-1≠0， ∴x≠±1， 故答案为：x≠±1． 6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x＝_____时，分式无意义． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得，2x＋5＝0， 故答案为： 题型二 分式的值为零的条件 7．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x的值即可判断． 【详解】解：A．当x=-2时，x+2=0，故本选项不合题意； B．当x=±时，x2-2=0，故本选项不合题意； C．在分式中，因为x+2≠0，所以分式≠0，故本选项符合题意； D．当x=-2时，（x+2）2=0，故本选项不合题意； 故选：C． 8．（2022·贵州毕节·一模）关于分式，有下列说法，错误的有（ ）个： （1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3； （2）当x＝5时，分式的值一定为零； （3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5； （4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可． 【详解】解：（1）当取1时，，要使分式有意义即，解得， 故说法正确； （2）当时，，若，则分式无意义， 故说法错误； （3）由题意得，解得， 故说法正确； （4）当x取任何值时，分式一定有意义，即，则y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点， 故说法正确； 综上所述：错误的说法有1个， 故选：B． 9．（2022·浙江温州·一模）若分式的值为0，则x的值为（ ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴x﹣2＝0，x﹣3≠0， ∴x＝2， 故选：D． 10．（2021·浙江温州·三模）分式的值为0，则x的值是（ ） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x+3＝0且x﹣1≠0， 解得：x＝﹣3， 故选：A． 11．（2022·浙江丽水·一模）若分式的值为0，则_____． 【答案】-1 【分析】若分式的值为0，则为0而 即可． 【详解】解： 解得 故填：-1 12．（2022·江苏盐城·二模）当x为_______时，分式的值为0． 【答案】 【分析】根据分式值为0的条件，可知分子为0，分母不为0，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三 分式的求值 13．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式、、、、中，值一定是正数的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：不一定是正数； 是非负数，不一定是正数； 一定是正数； 一定是正数； 是非负数，不一定是正数； 所以值一定是正数的有个． 故选：B 14．（2021·浙江温州·三模）若＝，则的值是（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据＝得，将代入中即可得出答案． 【详解】解：∵＝， ∴， 将代入中， 得， 故选：C． 15．（2022·江苏宿迁·三模）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个不等于0的实数、满足， ∴， 故选：A． 16．（2021·安徽安庆·一模）已知，则的值为（ ） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知得出x＝2y，进而代入计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴x＝2y， ∴． 故选：B． 17．（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且，则______． 【答案】 【分析】利用a与b互为相反数，，求解 再整体代入求值即可． 【详解】解： a与b互为相反数， 当 则 当 则 故答案为： 18．（2022·黑龙江大庆·二模）已知非零实数x，y满足，则__________． 【答案】-1 【分析】将条件式整理可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：. 题型四 分式的值为正或负时未知数的取值范围 19．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立， ∴x＞， 故选：B． 20．下列关于分式的说法，错误的是( ) A．当x>-2时，分式的值一定为负数 B．当x=0时，分式没有意义 C．当x<-2时，分式的值一定为正数 D．当x=-2时，分式的值为0 【答案】A 【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项． 【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意； B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意； C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意； D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意． 故选A． 21．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【答案】D 【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵＞0， ∴x＋4＞0，x≠0， ∴x＞−4且x≠0． 故选：D． 22．若分式的值为正数，则需满足的条件是（ ） A．为任意实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解. 【详解】∵， ∴分式的值为正数时，， 解得：. 故选：C. 23．若分式的值为正数，x的取值范围是__． 【答案】或； 【分析】根据分式的值为正数可列不等式组，解不等式组可求解x的取值范围． 【详解】由题：∵ 分式的值为正数， ∴或 解得：或； 故填：或． 24．若分式的值为正，则实数的取值范围是__________________. 【答案】x＞0 【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得. 【详解】∵分式的值为正， ∴x与x2+2的符号同号， ∵x2+2>0， ∴x>0， 故答案为x>0. 题型五 分式的基本性质 25．（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（ ） A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍 C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍 【答案】B 【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可． 【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, ，故该选项不正确，不符合题意； B. a，b同时扩大3倍，，故该选项正确，符合题意； C. a扩大2倍，b缩小3倍，，故该选项不正确，不符合题意； D. a缩小2倍，b缩小3倍，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 26．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D．（a﹣）2＝a2﹣a- 【答案】C 【分析】利用二次根式除法运算、分式的约分、负整数指数幂的性质、完全平方公式计算即可． 【详解】解：A、 ，故选项A错误； B、不能约分化简，故选项B错误； C、，计算正确，符合题意； D、（a﹣）2＝a2﹣a+，故选项D错误， 故选C． 27．（2022·湖南永州·二模）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不确定 【答案】C 【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：＝2×， 故分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C． 28．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ， 故选：A. 29．（2022·湖北襄阳·一模）已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵， ∴x-y=4xy， ∴原式=， 故答案为： ． 30．（2020·宁夏·银川市第九中学二模）若，则_______． 【答案】 【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求职 【详解】解：x2=y3=z4=k（k≠0)，则 题型六 最简分式 31．（2020·河北·模拟预测）下列分式中，属于最简分式的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、该式子是最简分式，故本选项符合题意； D、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 32．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A、=，不符合题意； B、原式=-1，不符合题意； C、符合题意； D、=x-3y，不符合题意； 故选：C． 33．（2021·江西·一模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义、合并同类项法则、分式的运算和积的乘方逐一判断即可． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.，故本选项错误； D.，故本选项正确． 故选D． 34．（2022·广东·九年级专题练习）分式，，，中，最简分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式是最简分式，即可求解． 【详解】解：，不是最简分式， ，不是最简分式， ，是最简分式，有2个． 故选：B 35．（2022·江苏连云港·九年级期末）已知，则的值为 _____． 【答案】 【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴=， 故答案为：． 36．在分式中，最简分式有______． 【答案】 【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由=m﹣n，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由=﹣1，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为： ． 题型七 约分与通分 37．（2022·广西梧州·二模）下列计算正确的是（ ） A．5a－3a＝2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项，分式的约分，完全平方公式，有理数的混合运算逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 5a－3a＝2a，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 38．（2022·山西吕梁·一模）解分式方程时，去分母这一步方程两边不能同时乘以（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解分式方程中的去分母求解即可． 【详解】解：将转化成， ∴A.，能同时乘以，故不符合题意； B.，能同时乘以，故不符合题意； C.，能同时乘以，故不符合题意； D.，不能同时乘以，符合题意； 故选：D． 39．（2022·云南昆明·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】 【分析】分式约分后，把m=2n代入即可． 【详解】， 故答案为：． 40．（2022·上海·位育中学模拟预测）化简：________． 【答案】 【分析】对分母进行因式分解后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 41．（2021·内蒙古呼和浩特·二模）分式的最简公分母是________， =__________ 【答案】 【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴，的最简公分母为： ∴ 故答案为：， 42．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）分式和的最简公分母为_____． 【答案】2（m﹣n） 【分析】利用最简公分母的定义求解，分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最简公分母是2（m﹣n）即是本题答案． 【详解】解：∵分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）． ∴它们的最简公分母是2（m﹣n）． 故答案为：2（m﹣n）． 题型八 分式的乘除法 43．（2022·辽宁沈阳·二模）化简：（ ） A． B．x C． D． 【答案】C 【分析】先把分母因式分解，再计算，即可求解． 【详解】解： 故选：C 44．（2022·山东滨州·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D．3a－4a＝－a 【答案】D 【分析】根据多项式乘多项式的法则、单项式除单项式、立方根、合并同类项的法则分别进行计算，即可得出答案． 【详解】解：A、应为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、3a－4a＝－a，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 45．（2022·山东· 模拟预测）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则化简即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 46．（2022·湖北武汉·二模）计算：_____． 【答案】 【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案． 【详解】解： = = 故答案为：． 47．（2022·山西晋中·二模）计算：______． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算． 【详解】解：原式= = = 故答案为． 48．（2022·甘肃陇南·模拟预测）计算：＝________． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法运算，再结合平方差公式分解因式，约分化简即可解答． 【详解】解：． 题型九 分式的加减法 49．（2022·广东·珠海市文园中学三模）化简的结果是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式． 【详解】解：． 故选：D． 50．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（ ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】C 【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 51．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）计算的结果是 _____． 【答案】 【分析】利用异分母分式的加减法法则计算． 【详解】原式 ， 故答案为：． 52．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____． 【答案】1 【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：﹣= 故答案为：1． 53．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）化简：（）÷ 【答案】 【分析】利用通分，约分，因式分解等方法化简即可． 【详解】（）÷ =（ =． 54．（2022·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】原式先通分并利用同分母分式的加法法则计算，再约分即可得到结果，再将字母的值代入求解即可． 【详解】原式 ． 当时，原式 55．（2022·上海普陀·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 56．（2022·甘肃嘉峪关·三模）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可． 【详解】∵a，b满足． ∴a＋1＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣1，b＝， 当a＝﹣1，b＝时， ∴原式． 题型十 零指数幂与负整数指数幂 57．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可． 【详解】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 58．（2022·上海杨浦·二模）下列各式中，运算结果是分数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可． 【详解】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意； B. =1，是整数，故该选项不符合题意； C. =2，是整数，故该选项不符合题意； D. = ，是无理数，故该选项不符合题意． 59．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、负整数指数幂、幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 60．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）______． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂即可得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 61．（2022·重庆·模拟预测）计算=________ ． 【答案】－2 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则计算即可． 【详解】， 故答案为：-2． 题型十一 二次根式有意义的条件 62．（2022·湖南娄底·一模）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ） A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，a+2≥0，a≠0， 解得，a≥﹣2且 a≠0， 故选：D． 63．（2022·浙江杭州·模拟预测）要使得式子有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 64．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：， 解得， 故选：D． 65．（2022·安徽合肥·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式（a≥0）进行解答即可． 【详解】解：由题意得：2-x≥0． 解得：， 故答案为：x≤2． 66．（2022·贵州黔东南·一模）函数y中自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≤2且x≠1 【分析】根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得． 【详解】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0， 解得x≤2且x≠1． 故答案为：x≤2且x≠1． 题型十二 利用二次根式的性质化简 67．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ） A．＝±4 B．＝3 C．＝﹣8 D．4﹣4＝ 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断． 【详解】解：A、=4，故该项不正确； B、=3，故该项正确； C、没有意义，故该项不正确； D、4-4=4-4，故该项不正确； 故选：B． 68．（2022·广东·模拟预测）的化简结果为（ ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 【答案】A 【分析】根据二次根式性质直接求解即可． 【详解】解：， 故选：A ． 69．（2022·湖南怀化·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4 C．＝2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2 【答案】C 【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可； 【详解】解：A.（2a2）3=8a6≠6a6，故错误； B.a8÷a2=a6≠a4，故错误； C.=2，故正确； D.（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，故错误； 故选：C． 70．（2021·四川乐山·三模）化简后所得的最后结果是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 71．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）化简：_______． 【答案】 【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果． 【详解】解：原式 故答案为：． 题型十三 二次根式的乘除 72．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用幂的运算，二次根式的加法运算和乘法运算逐一计算即可． 【详解】A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确； 故选：D． 73．（2022·河南·平顶山市第十六中学模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次根式的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案 【详解】解：A、，所以A选项符合题意； B、原式，所以B选项不符合题意； C、与不能合并，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项不符合题意． 故选：D． 74．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）下列等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A、，等式成立，不符合题意； B、，等式成立，不符合题意； C、，原等式不成立，符合题意； D、，等式成立，不符合题意； 故选：C． 75．（2022·广西贺州·二模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的加、减、乘、除运算逐项计算即可求解． 【详解】A、不能合并在一起，故选项A错误； B、中，与不是同类二次根式，不能合并在一起，故选项B错误； C、，计算正确； D、，故选项D错误， 故选C 76．（2022·安徽宿州·模拟预测）计算：_______． 【答案】2 【分析】先化简各项，再相减即可. 【详解】解：， 故答案为：2. 77．（2022·山东青岛·一模）计算÷3×的结果是___． 【答案】1 【分析】按照二次根式乘除运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝1． 故答案为：1． 题型十四 最简二次根式 78．（2022·上海虹口·二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项化简，再根据最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，不是最简二次根式，不符合题意； C. 是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 79．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，分母中含有分式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中没有可开方的因数且分母中没有分式，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故答案选C． 80．（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】选项A，，不是最简二次根式； 选项B，是最简二次根式； 选项C，，不是最简二次根式； 选项D，，不是最简二次根式. 故选：B. 81．（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是______． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义． 【详解】解：时，，是最简二次根式， ∴x的值可以是5． 故答案为：5．（答案不唯一） 82．（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝______． 【答案】1 【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可； 【详解】解：∵＝2， 根据题意得：a+1＝2， 解得a＝1， 故答案为：1． 题型十五 二次根式的加减 83．（2022·上海奉贤·二模）的计算结果是（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的减法法则可进行求解． 【详解】解：原式=； 故选：C． 84．（2022·青海西宁·一模）下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质和加减乘除运算法则依次判断即可． 【详解】A：，故此选项错误； B：，故此选项错误； C：不能再运算，故此选项错误； D：，故此选项正确； 故选：D． 85．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 86．（2022·江苏南京·二模）计算的结果是______． 【答案】3 【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为3． 87．（2021·四川泸州·二模）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1． 【答案】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 当x＝﹣1时，原式＝＝＝． 88．（2022·上海松江·二模）计算： 【答案】 【分析】先计算乘方，化简二次根式，化简绝对值，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 题型十六 分母有理化 89．（2022·安徽·二模）的倒数是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 90．（2022·广西河池·三模）下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式性质化简即可判定A；根据分母有理化化简即可判定B；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定C；根据同底数幂相除法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 91．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）计算的结果是____________． 【答案】 【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 92．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）化简：______． 【答案】 【分析】先分母有理化，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 93．（2022·浙江宁波·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1)5；(2) 【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则进行化简，再利用有理数的运算法则计算可得出答案； （2）直接利用乘法公式、分母有理化及二次根式的性质进行化简，再合并可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型十七 二次根式的化简求值 94．（2021·山东淄博·一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可. 【详解】由题得：、 ∴ 故选：C. 95．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）已知.则xy=（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】 配方得 将代入得： 计算得： 故选：D. 96．（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式=__________． 【答案】或 【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案． 【详解】解： ＝ ＝2x× ＝． ∵， ∴， （x﹣5）（x+3）＝0， ∴x＝5或x＝﹣3． 当x＝5时，原式＝4； 当x＝﹣3时，原式＝． 97．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）设 ，则代数式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值为__________． 【答案】-1 【分析】根据已知条件得出x＋1、x＋2和x＋3的值，再代入代数式中计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴x＋1，x＋2，x＋3， ∴原式＝ ＝−1． 故答案为：-1． 98．（2022·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；7 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 99．（2021·江西赣州·模拟预测）先化简，再求值：a2﹣b（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣2﹣，b＝﹣2． 【答案】， 【分析】先对整式进行化简，然后代值进行求解即可． 【详解】解：原式=， 把代入得：原式=． 100．（2021·辽宁锦州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式= x+1，然后把代入计算即可． 【详解】原式， ， ， 当时， 原式， 故化简后得原式，求得．
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