最高考文数考点一遍过（讲义） 考点15 三角恒等变换

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点15 三角恒等变换，共34页。学案主要包含了两角和与差的三角函数公式，简单的三角恒等变换等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题15 三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
一、两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）：
（2）：
（3）：
（4）：
（5）：
（6）：
2．二倍角公式
（1）：
（2）：
（3）：
3．公式的常用变形
（1）；
（2）降幂公式：；；
（3）升幂公式：；；；
（4）辅助角公式：，其中，
二、简单的三角恒等变换
1．半角公式
（1）
（2）
（3）
【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：
2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）
（1）积化和差公式：
；
；
；
.
（2）和差化积公式：
；
；
；
.
考向一 三角函数式的化简
1．化简原则
（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；
（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
2．化简要求
（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
（2）式子中的分母尽量不含根号.
3．化简方法
（1）切化弦；
（2）异名化同名；
（3）异角化同角；
（4）降幂或升幂．
典例1 化简：sinα+β⋅csα−12sin2α+β−sinβ.
【解析】原式=sinα+β⋅csα−12⋅2cs2α+β+β2sin2α+β−β2=sinα+β⋅csα−csα+βsinα=sinα+β−α=sinβ.
【方法技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
（2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
（3）在化简时要注意角的取值范围.
1．化简
A．B．
C．D．
考向二 三角函数的求值问题
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.
4．常见的角的变换
（1）已知角表示未知角
例如：，，
，，，.
（2）互余与互补关系
例如：，.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.
典例2 求下列各式的值：
（1）cs+cs-2sincs;
（2）sin 138°-cs 12°+sin 54°.
【解析】（1）cs+cs-2sincs=cscs=2cscscs=cscs=0.
（2）sin 138°-cs 12°+sin 54°=sin 42°-cs 12°+sin 54°=sin 42°-sin 78°+sin 54°=-2cs 60°sin 18°+sin 54°=
sin 54°-sin 18°=2cs 36°sin 18°=====.
【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.
2．
A．1B．2
C．3D．4
典例3 已知tan(α−β)=，tan β=，且α，β∈(0,π)，则2α−β=
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】因为tan 2(α−β)=，
所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]==1.
又tan α=tan[(α−β)+β]=，
又α∈(0,π)，所以0<α<.
又<β<π，所以−π<2α−β<0，所以2α−β=.
故选C．
【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.
3．已知，，，则
A．B．
C．D．
典例4 在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α，角α+π4的终边经过点P(−2,1).
（1）求csα的值；
（2）求cs(5π6−2α)的值.
【解析】（1）由于角α+π4的终边经过点P(−2,1)，
所以cs(α+π4)=−255，sin(α+π4)=55.
∴csα=cs(α+π4−π4)=cs(α+π4)csπ4+sin(α+π4)sinπ4=−1010.
（2）sinα=sin(α+π4−π4)=sin(α+π4)csπ4−cs(α+π4)sinπ4=31010.
则sin2α=2sinαcsα= −35，cs2α=cs2α− sin2α=−45，
故cs(5π6−2α)=cs5π6cs2α+sin5π6sin2α=43−310.
【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.
4．已知，且，则
A．B．
C．D．
考向三 三角恒等变换的综合应用
1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acs(ωx＋φ)＋t的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acs(ωx＋φ)＋t的单调区间．
2．与向量相结合的综合问题
三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.
3．与解三角形相结合的综合问题
（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；
（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．
【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.
典例5 已知函数f(x)=43sinxcsx+sin2x−3cs2x+1.
（1）求函数f(x)的对称中心及最小正周期；
（2）的外接圆直径为33，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若f(π6)=23a，且acsB+bsinB=c，求sinB的值.
【解析】（1）.
由，得最小正周期为π.
令，得，
故对称中心为（k∈Z）.
（2）∵f(π6)=2=23a，∴a=3.
∵asinA=2R，2R=33，∴sinA=33，
∵acsB+bsinB=c，∴sinAcsB+sin2B=sinC ，
又∵A+B+C=π，∴sinAcsB+sin2B=sin(A+B)，
即sinAcsB+sin2B=sinAcsB+csAsinB，即sin2B=csAsinB，
∵B∈(0 ， π)，∴sinB≠0，
∴sinB=csA，
∵sinB>0，∴csA>0，∴csA=63.
∴sinB=63.
5．已知，，均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值．
6．在中，内角的对边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
1．cs31°cs1°+sin149°sin1°=
A．B．
C．D．
2．化简2−sin22+cs4的结果是
A．3cs2B．−3cs2
C．−cs2D．sin2
3．已知，则的值为
A．B．
C．D．
4．已知方程的两根分别为、，且、，则
A．B．或
C．或D．
5．已知tanα+π6=1，则tanα−π6=
A．2−3 B．2+3
C．−2−3 D．−2+3
6．已知，且，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
7．已知α为锐角，β为第二象限角，且csα−β=12，sinα+β=12，则sin3α−β=
A． B．
C． D．
8．函数y=cs2x−sin2x图象的一条对称轴为
A． B．
C． D．
9．若角满足，则
A．B．
C．或D．
10．已知平面直角坐标系下，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则
A．B．
C．或D．
11．设，，，则，，的大小关系是
A．B．
C．D．
12．已知，则__________.
13．已知，则__________．
14．在斜三角形中，，则_____________.
15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则___________.
16．已知函数，若为函数的一个零点，则__________．
17．平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点， ，若，则=__________．
18．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．在平面直角坐标系xOy中，锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P,Q．已知点P的横坐标为277，点Q的纵坐标为3314．
（1）求cs2α的值；
（2）求2α−β的值.
21．设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
22．已知a=(1+csωx,−1),b=(3,sinωx)(ω>0),函数f(x)=a⋅b,函数f(x)的最小正周期为2π．
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)设θ∈(0,π2),且f(θ)=3+65,求csθ的值．
23．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求的值.
1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）tan255°=
A．−2−B．−2+
C．2−D．2+
2．（2018新课标全国Ⅲ文科）若，则
A．B．
C．D．
3．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知，则=
A．B．
C．D．
4．（2017年高考山东卷文数）已知，则
A． B．
C． D．
5．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知a∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A．B．
C．D．
6．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．
C．D．
7．（2018新课标全国Ⅱ文科）已知，则__________．
8．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知，tan α=2，则= .
9．（2017年高考江苏卷）若则 ▲ ．
10．（2019年高考江苏卷）已知，则的值是 ▲ .
11．（2019年高考浙江卷）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．
12．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
13．（2018江苏）已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
14．（2018年高考天津卷文数）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acs(B–)．
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】因为，，
所以原式.
故选A．
2．【答案】D
【解析】
.
故选D.
3．【答案】D
【解析】由于，所以，
所以，.
所以，
所以.
故选D．
4．【答案】A
【解析】因为，
所以则.
因为，且，
所以，
所以.
故选A.
5．【解析】（1）由题意得：，，
，
解得：.
（2），，
由，可得：，，
.
6．【解析】（1）由已知及正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴.
（2）∵，，
∴由余弦定理得，
∴.
由，
∵为锐角，∴，
则，，
故.
专题冲关
1．【答案】B
【解析】cs31°cs1°+sin149°sin1°=cs31°cs1°+sin31°sin1°=cs31°−1°=cs30°=32.
故选B.
2．【答案】B
【解析】由题得原式=1+cs22+cs4=3cs22，
∵π2<2<π，∴cs2<0，则3cs22=−3cs2.
故选B.
3．【答案】C
【解析】由题意得：，
.
故选C.
4．【答案】D
【解析】由根与系数的关系可知：，，
，
又，，
，，
，，
，.
故选D.
5．【答案】D
【解析】.
故选D．
6．【答案】A
【解析】由，得，即，即，
由于，所以.
故选A．
7．【答案】B
【解析】因为α为锐角，β为第二象限角，csα−β>0，sinα+β>0，
所以α−β为第四象限角，α+β为第二象限角，
因此sinα−β=−32，csα+β=−32，
所以sin2α=sin[α−β)+(α+β]= −32×(−32)+12×12=1,
因为α为锐角，所以2α= π2，sin3α−β=sin⁡(2α+α−β)=csα−β=12.
故选B．
8．【答案】C
【解析】由题意得y=cs2x−sin2x=2cs(2x+π4)，
令2x+π4=kπ,k∈Z，得x=−π8+kπ2,k∈Z，
当k=0时，．
故是函数图象的一条对称轴．
故选C．
9．【答案】D
【解析】，
.
故选D.
10．【答案】B
【解析】因为角的终边经过点，所以，
则，
故选B.
【名师点睛】本题主要考查了已知角的终边上一点的坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题.已知角终边上一点，则.
11．【答案】D
【解析】，
，
，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以.
故选D．
12．【答案】
【解析】因为，所以，即，
所以，
故答案是.
13．【答案】
【解析】由题可得.
14．【答案】
【解析】在 中， ，则
，
.
故答案为.
15．【答案】
【解析】因为，，所以，
所以.
故答案为.
16．【答案】
【解析】由，化简可得
，由，得,
又，，所以，
故，
此时：.
17．【答案】
【解析】由题意知：，，
由，得，
则
，
，
则，
故答案为.
18．【解析】（1）.
（2）
.
19．【解析】（1），，
，.
由正弦定理，得.
（2），
.
，
.
20．【解析】（1）因为点P的横坐标为277，P在单位圆上，α为锐角，所以csα＝277，
所以cs2α＝2cs2α－1＝17．
（2）因为点Q的纵坐标为3314，所以sinβ＝3314．
又因为β为锐角，所以csβ＝1314．
因为csα＝277，且α为锐角，所以sinα＝217，
因此sin2α＝2sinαcsα＝437，
所以sin(2α－β) ＝ 437×1314−17×3314=32．
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cs2α＞0，所以0＜2α＜π2，
又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，
所以2α－β＝π3．
21．【解析】（1）为奇函数，，
又，，
当时，是奇函数，满足题意，
∴.
（2），，，
又，，，
，
，
.
22．【解析】(1)f(x)=a⋅b=3(1+csωx)−sinωx=3−2sin(ωx−π3),
因为函数f(x)的最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1,
所以f(x)=3−2sin(x−π3)．
(2)由f(θ)=3+65,得sin(θ−π3)=−35,
因为θ∈(0,π2),所以θ−π3∈(−π3,π6),
所以cs(θ−π3)=45,
所以csθ=csθ−π3+π3=csθ−π3csπ3−sinθ−π3sinπ3 =45×12−(−35)×32=4+3310．
23．【解析】（1）
，
令，即，
则，
所以的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，
故
.
直通高考
1．【答案】D
【解析】=
故选D.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
2．【答案】B
【解析】cs2α=1−2sin2α=1−29=79，故选B.
3．【答案】A
【解析】.
所以选A.
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：
（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
4．【答案】D
【解析】由得.
故选D.
【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
5．【答案】B
【解析】，，，
又，，
又，.
故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
6．【答案】B
【解析】根据条件，可知O,A,B三点共线，从而得到b=2a，因为cs2α=2cs2α−1=2⋅(1a2+1)2−1=23，解得a2=15，即a=55，所以a−b=a−2a=55.
故选B.
7．【答案】32
【解析】，解方程得tanα=32.
8．【答案】
【解析】由得，
又，所以，
因为，所以，
因为，
所以.
9．【答案】
【解析】．
故答案为．
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：
①适当变换已知式，进而求得待求式的值；
②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．
10．【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
11．【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，
即，
故，
所以．
又，
因此或．
（2）
．
因此，函数的值域是．
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.
12．【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.
（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;
（2）根据sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得csβ的值.
13．【解析】（1）因为，，
所以．
因为，
所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，
所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．
14．【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，得，即，可得．
又因为，可得B=．
（2）在中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．
由，可得．
因为a因此，
所以，
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．