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中考数学复习指导：勾股（逆）定理应用中的易错点试题
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这是一份中考数学复习指导：勾股（逆）定理应用中的易错点试题，共7页。试卷主要包含了忽视应用的前提，忽视直角所对的边是斜边，忽视隐含情形，忽视分类讨论，忽视区别应用，忽视最大边所对的角是直角等内容，欢迎下载使用。
勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一个三角形的三条边长，则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简
单，因而在运用这两个定理时，同学们往往因不够重视而出现这样那样的错误．现将几种
典型错解列举如下，并作简要的剖析，供同学们参考．
一、忽视应用的前提
例1 △ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，c为质数，求c．
错解 由勾股定理得：
c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，
故c＝5．
分析 不注意定理的成立条件，而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．其实，只
有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解．
正解 由三角形的三边关系知：b－a 即1 又c为质数，
故c＝2，或c＝3，或c＝5．
例2 如图1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，试说明AB＝AC．
错解 ∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BC＝8，
又∵AD＝6，
∴在△ADC中，由勾股定理，得
而AB＝10，故AB＝AC．
分析 由于受题目题设、结论及图形的影响，在没有进行推证说明的情况下，就先行认为△ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，导致解题过程错误．
正解 ∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝BC＝8．
又∵AB＝10，AD＝6，
且有62＋82＝102，
即AD2＋BD2＝AB2，
则△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
∴AB＝AC．
友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是：只有在直角三角
形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，在非直角三角形中不具备这种关系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理．
二、忽视直角所对的边是斜边
例3 在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的长．
错解 ∵△ABC为直角三角形．
由勾股定理得：
a2＋b2＝c2，且c＝＝10.
分析 错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：a2＋b2＝c2的影响而理所当然的认为c是斜边，其实，由∠B＝90°，知道斜边应该是b（如图2）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．
正解 因为∠B＝90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理得：
友情提示：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边才是斜边，
而并不一定是我们所习惯的c为斜边．
三、忽视隐含情形
例4 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长，
错解 第三边长为：
分析 同学们都知道3.4.5是最小的勾股数，在我国古代就已有“勾三、股四、弦五”的说法，这意味着当两直角边分别为3和4时，斜边长为5，部分学生在解这道题时，由于思考不周全，忽略隐含情形，误认为一边是3，一边是4，第三边长也就是斜边长为5．实际上，题目中包含着两种情况：一种是已知的两边之长3，4都是直角边长，这时的第三边即斜边长为5；另一种是已知的两边中较长的边（长）4为斜边长，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为．
正解 (1)当两直角边为3和4时，第三边长为：；
(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为：
∴第三边的长为5或．
友情提示：在给出直角三角形两条边长，并且没有确定它们都是直角边时，第三边既可能是斜边，也可能是直角边．
四、忽视分类讨论
例5 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12．求BC的长．
错解 如图3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：
分析 由于题目并没有给出对应的图形，所以根据习惯画出
了图3，认为三角形的高在三角形的内部，忽视了三角形的高也可能在三角形的外部（即图4所示），此时BC＝BD－CD．错解忽视了分类讨论思想的运用.
正解 如图3，当△ABC的高AD在三角形内部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：
如图4，当△ABC的高AD在三角形外部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：
友情提示：在题目没有给出相应图形时，我们一定要周密思考，根据题意画出所有符合条件的图形进行解答．
五、忽视区别应用
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理则是直角三角形的判定定理．在已
知直角三角形中，需要用到三边的关系时用勾股定理；而已知三边想用直角三角形的性
质定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判断它是否是直角三角形．在使用时要特别注意区别对待，
例6 △ABC的三边长分别为7，24，25，试判断△ABC的形状．
错解 ∵72＋242＝252，
∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．
分析 虽然最终判断的结果是对的，但是判断的根据是错误的．因为勾股定理是直角三形的性质定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本题需对三角形形状作出判断，判断的依据是勾股定理的逆定理，错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和区别，导致错误运用．
正解 ∵72＋242＝252，
∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．
友情提示：勾股定理是直角三形的性质，可以用它来解决直角三角形的三边的等量关系．而勾股定理的逆定理是根据三边的一个等量关系来判断三角形的形状的.
六．忽视定理实质
例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，则( )
(A)∠A为直角 (B)∠C为直角 (C)∠B为直角 (D)不是直角三角形
错解 选B．
分析 因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误，该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据
这一等式进行判断．
正解 ∵a2－b2＝c2，
∴a2＝b2＋c2．
故选A．
例8 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )
(A)1.2.3 (B)32，42，52 (C)，， (D)，，
错解 选B．
分析 对勾3股4弦5的形式根深蒂固，对概念的理解流于表面形式，判断一个三角形是不是直角三角形时，应将所给三边的长进行平方看是否满足a2＋b2＝c2的形式．
正解 因为，故选C．
友情提示：在使用勾股定理及其逆定理时，既要看是否满足a2＋b2＝c2的形式，更要看这个定理中字母a，b，.c的实质．
七、忽视最大边所对的角是直角
例9 一个三角形的三边的长分别是a＝，b＝，c＝2．问这个三角形是直角三角形吗？
所以这个三角形不是直角三角形．
分析 以上解答是错误的，因为根据三角形的边角关系可知，最大的角所对的边最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所对的边才是它的最大边即斜边，直角三角形中最大的边所对的角是直角．所以要判断一个三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大边，而错解中并没有判断哪条边是最大边，却受a2＋b2＝c2的影响，认为c为最大边．实际上本题中b才是最大边．所以应判断a2＋c2与b2之间的关系．
根据勾股定理逆定理可知由a，b， c为边组成的三角形为直角三角形．
例10 已知△ABC的三边的长分别是BC＝41，AC＝40，AB＝9．试说明△ABC是直角三角形．
错解 ∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，
∴BC2＝AC2＋AB2，
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
分析 以上解题思路是对的，但∠C＝90°是不对的．直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为∠A，所以这里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．
正解 ∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，
∴BC2＝AC2＋AB2，
∴∠A＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
友情提示：在判断所给的线段能否组成直角三角形时，要先确定最大边，然后再通过计算，判断最大边的平方是否等于其它两边的平方和，应用勾股逆定理时，一定要注意最长边对的角为直角．
勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要工具，因此熟练掌握它们的使用方法是十分重要的，我们要加深理解这两个定理的本质意义，把“忽视”变为“重视”，尽量减少错误的发生．
勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一个三角形的三条边长，则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简
单，因而在运用这两个定理时，同学们往往因不够重视而出现这样那样的错误．现将几种
典型错解列举如下，并作简要的剖析，供同学们参考．
一、忽视应用的前提
例1 △ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，c为质数，求c．
错解 由勾股定理得：
c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，
故c＝5．
分析 不注意定理的成立条件，而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．其实，只
有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解．
正解 由三角形的三边关系知：b－a
故c＝2，或c＝3，或c＝5．
例2 如图1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，试说明AB＝AC．
错解 ∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BC＝8，
又∵AD＝6，
∴在△ADC中，由勾股定理，得
而AB＝10，故AB＝AC．
分析 由于受题目题设、结论及图形的影响，在没有进行推证说明的情况下，就先行认为△ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，导致解题过程错误．
正解 ∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝BC＝8．
又∵AB＝10，AD＝6，
且有62＋82＝102，
即AD2＋BD2＝AB2，
则△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
∴AB＝AC．
友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是：只有在直角三角
形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，在非直角三角形中不具备这种关系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理．
二、忽视直角所对的边是斜边
例3 在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的长．
错解 ∵△ABC为直角三角形．
由勾股定理得：
a2＋b2＝c2，且c＝＝10.
分析 错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：a2＋b2＝c2的影响而理所当然的认为c是斜边，其实，由∠B＝90°，知道斜边应该是b（如图2）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．
正解 因为∠B＝90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理得：
友情提示：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边才是斜边，
而并不一定是我们所习惯的c为斜边．
三、忽视隐含情形
例4 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长，
错解 第三边长为：
分析 同学们都知道3.4.5是最小的勾股数，在我国古代就已有“勾三、股四、弦五”的说法，这意味着当两直角边分别为3和4时，斜边长为5，部分学生在解这道题时，由于思考不周全，忽略隐含情形，误认为一边是3，一边是4，第三边长也就是斜边长为5．实际上，题目中包含着两种情况：一种是已知的两边之长3，4都是直角边长，这时的第三边即斜边长为5；另一种是已知的两边中较长的边（长）4为斜边长，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为．
正解 (1)当两直角边为3和4时，第三边长为：；
(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为：
∴第三边的长为5或．
友情提示：在给出直角三角形两条边长，并且没有确定它们都是直角边时，第三边既可能是斜边，也可能是直角边．
四、忽视分类讨论
例5 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12．求BC的长．
错解 如图3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：
分析 由于题目并没有给出对应的图形，所以根据习惯画出
了图3，认为三角形的高在三角形的内部，忽视了三角形的高也可能在三角形的外部（即图4所示），此时BC＝BD－CD．错解忽视了分类讨论思想的运用.
正解 如图3，当△ABC的高AD在三角形内部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：
如图4，当△ABC的高AD在三角形外部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：
友情提示：在题目没有给出相应图形时，我们一定要周密思考，根据题意画出所有符合条件的图形进行解答．
五、忽视区别应用
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理则是直角三角形的判定定理．在已
知直角三角形中，需要用到三边的关系时用勾股定理；而已知三边想用直角三角形的性
质定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判断它是否是直角三角形．在使用时要特别注意区别对待，
例6 △ABC的三边长分别为7，24，25，试判断△ABC的形状．
错解 ∵72＋242＝252，
∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．
分析 虽然最终判断的结果是对的，但是判断的根据是错误的．因为勾股定理是直角三形的性质定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本题需对三角形形状作出判断，判断的依据是勾股定理的逆定理，错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和区别，导致错误运用．
正解 ∵72＋242＝252，
∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．
友情提示：勾股定理是直角三形的性质，可以用它来解决直角三角形的三边的等量关系．而勾股定理的逆定理是根据三边的一个等量关系来判断三角形的形状的.
六．忽视定理实质
例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，则( )
(A)∠A为直角 (B)∠C为直角 (C)∠B为直角 (D)不是直角三角形
错解 选B．
分析 因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误，该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据
这一等式进行判断．
正解 ∵a2－b2＝c2，
∴a2＝b2＋c2．
故选A．
例8 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )
(A)1.2.3 (B)32，42，52 (C)，， (D)，，
错解 选B．
分析 对勾3股4弦5的形式根深蒂固，对概念的理解流于表面形式，判断一个三角形是不是直角三角形时，应将所给三边的长进行平方看是否满足a2＋b2＝c2的形式．
正解 因为，故选C．
友情提示：在使用勾股定理及其逆定理时，既要看是否满足a2＋b2＝c2的形式，更要看这个定理中字母a，b，.c的实质．
七、忽视最大边所对的角是直角
例9 一个三角形的三边的长分别是a＝，b＝，c＝2．问这个三角形是直角三角形吗？
所以这个三角形不是直角三角形．
分析 以上解答是错误的，因为根据三角形的边角关系可知，最大的角所对的边最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所对的边才是它的最大边即斜边，直角三角形中最大的边所对的角是直角．所以要判断一个三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大边，而错解中并没有判断哪条边是最大边，却受a2＋b2＝c2的影响，认为c为最大边．实际上本题中b才是最大边．所以应判断a2＋c2与b2之间的关系．
根据勾股定理逆定理可知由a，b， c为边组成的三角形为直角三角形．
例10 已知△ABC的三边的长分别是BC＝41，AC＝40，AB＝9．试说明△ABC是直角三角形．
错解 ∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，
∴BC2＝AC2＋AB2，
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
分析 以上解题思路是对的，但∠C＝90°是不对的．直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为∠A，所以这里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．
正解 ∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，
∴BC2＝AC2＋AB2，
∴∠A＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
友情提示：在判断所给的线段能否组成直角三角形时，要先确定最大边，然后再通过计算，判断最大边的平方是否等于其它两边的平方和，应用勾股逆定理时，一定要注意最长边对的角为直角．
勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要工具，因此熟练掌握它们的使用方法是十分重要的，我们要加深理解这两个定理的本质意义，把“忽视”变为“重视”，尽量减少错误的发生．
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