第13讲 轴对称与旋转（易错点梳理+微练习）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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易错点梳理
易错点01 不能正确理解对称轴的含义
在叙述轴对称图形的对称轴时，错把对称轴当成射线或线段，导致叙述错误。
易错点02 误用“三线合一”
“三线合一”是等腰三角形中特殊线段具有的性质，并不是所有的三角形的“三线”都“合一”。
易错点03 在解有关等腰三角形问题时容易漏解
在解决等腰三角形的底角、腰的问题时漏解解决与等腰三角形的底角、腰有关的问题时，通常需要分类讨论。
易错点04 在旋转过程中，混淆对应角和旋转角
在旋转的过程中，转动的角叫作旋转角.对应角是指旋转前后两个图形的对应角。
易错点05 混淆中心对称和中心对称图形
把一个图形绕着一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称.把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫作中心对称图形.两者不可混淆。
例题分析
考向01 轴对称
例题1：（2021·海南·三亚市崖州区崖城中学九年级期中）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此判断即可；
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
例题2：（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形
B．一定不是中心对称图形
C．当AC＝BD时，它是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它是矩形
【答案】C
【思路分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=AC，EH=FG=BD，可得四边形EFGH是平行四边形可判断A，根据平行四边形是中心对称图形，四边形EFGH是平行四边形是中心对称图形可判断B，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此可判断C，只有AD⊥BD时是矩形，当AC与BD不垂直时，不是矩形可判断D即可．
【解析】解：连接AC，BD交于O，AC交GF于M，DB交EF于N，如图：
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，EF∥AC，GF∥DB，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；
∵平行四边形是中心对称图形，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是中心对称图形，故选项B错误；
当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，
菱形是轴对称图形，
∴菱形EFGH是轴对称图形，故选项C正确；
只有AC⊥BD时∠MON=90°，
∵GF∥DB，
∴AC⊥GF，
∴∠OMF=90°，
∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴∠ONF=90°，
∴∠NFM=360°-∠MON-∠OMF-∠ONF=90°，
∴平行四边形GHEF是矩形，
当AC与BD不垂直时，
∵GF∥DB，EF∥AC，
∴四边形ONFM为平行四边形，∠MFN=∠MON≠90°，即∠GFE≠90°，
∴平行四边形GHEF不是矩形，故选项D错误．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了中点四边形的运用，轴对称识别，中心对称识别，矩形判定，三角形中位线性质解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
考向02 等腰三角形
例题3：（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）
A．B．C．3D．3.5
【答案】A
【思路分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解析】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝AD＝6，
设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，
在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，
解得，x＝，
∴BE＝，
故选：A．
【点拨】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．
例题4：（2021·河南镇平·九年级期中）如图，∆ABC中，，平分，交于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路分析】先利用等腰三角形的性质证明 再证明∆BDE∽∆BCA，再利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得答案.
【解析】解：∵平分，
∴，
∵，
∆BDE∽∆BCA

∴，
∆BDE∽∆BCA
∴
故选A
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形中位线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，解本题的关键是证明
考向03 旋转
例题5：（2021·天津滨海新·九年级期中）如图，在∆ABC中，，以点A为旋转中心，将∆ABC绕点A逆时针旋转得到∆ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若，则的大小是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【答案】D
【思路分析】根据旋转的性质得AE＝AC，∠DAB＝∠EAC，再根据等腰三角形的性质得∠AEC＝∠ACE，然后根据平行线的性质得到∠ACE＝∠CAB＝75°，得出∠EAC＝30°，于是得到结论．
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
∴AE＝AC，∠DAB＝∠EAC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠CAB＝75°，
∴∠AEC＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠CAD＝∠EAD-∠EAC=75°-30°=45°，
∴∠CAD＝45°，
故选：D．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形性质，平行线的性质定理，三角形内角和，角的和差，掌握三角形旋转后，对应边相等，对应角相等，等腰三角形性质，平行线的性质定理，三角形内角和，角的和差，是解题的关键．
例题6：（2021·辽宁大石桥·九年级期中）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段．已知，则BC的值是（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【思路分析】先根据旋转的性质可得ED ＝E'D'＝2，再根据三角形的中位线定理求解即可．
【解析】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'，
∴ED＝E'D'＝2，
∴BC＝2ED＝4，
故选C．
【点拨】本题考查旋转的性质、三角形的中位线定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
微练习
1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．
2．（2021·重庆八中九年级开学考试）如图，在等腰中，，，点是上一点，将沿折叠至△，连接且满足，则点到的距离为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】解：过作于点，
设，则，
，，
，，
由折叠知，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，，或（此时，舍去），
，
故选：D．
3．（2021·四川锦江·九年级期末）已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），再将∠CAD对折，点A的对应点为A'，折痕为EF（如图b），再沿A'E所在直线剪下，则阴影部分展开后的形状为（ ）
A．等腰三角形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【解析】解：阴影部分展开后如图所示，
由折叠可得，∠AFE＝∠A'FE＝90°，AF＝A'F，EF＝E'F，
∴AA'与EE'互相平分，AA'⊥EE'，
∴四边形AEA'E'是菱形，
故选：C．
4．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，、是∆ABC的高，M是的中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵CE和BD分别是△ABC的高，
∴∠CEB=∠BDC=90°，
∵M是BC的中点，
∴，
∴∠MEB=∠MBE，∠MDC=∠MCD，
∴∠BME=180°-∠MBE-∠MEB=180°-2∠MBE，
同理∠CMD=180°-2∠MCD，
∴∠EMD=180°-∠BME-∠CMD=180°-（180°-2∠MCD）-（180°-2∠MBE）
=2（∠MCD+∠MBE）-180°
=220°-180°
=40°，
故选B．
5．（2021·福建·浦城县教师进修学校九年级期中）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P=PA=4，
故选：A．
6．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，、、内分正∆ABC的三边、、均为两部分，、、相交成的∆PQR的面积是∆ABC的面积的（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：如图，过作 交于
设等边三角形的边长为：
结合题意可得：

∆BDH∽∆BCE,∆PDH∽∆PAE


同理：
设等边三角形的面积为：


，

∆PQR的面积是∆ABC的面积的
故选D
7．（2021·江苏·无锡市钱桥中学九年级期中）如图，边长为10的等边∆ABC中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）
A．6B．C．10D．
【答案】B
【解析】解：过点作于，
在等边∆ABC中，，，
在Rt△EFD中，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵∠A=∠B=60°，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
已知
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而,
∴，
∴，
在中，，
∴，
即．
故选：B．
8．（2021·山东南区·九年级期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，AE⊥BC于点E，连接DE，交AC于点G．以DE为边作等边△DEF，连接AF，交DE于点N，交DC于点M，且M为AF的中点．在下列说法中：①∠EAN＝45°，②AE＝CM，③S△AGE＝S△DGC，④AF⊥DE．正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】解：连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，ADBC，
∵AE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE＝30°，
设BE＝CE＝a，则AB＝BC＝AC＝2a，
∴AE＝a，
∵∠ADC＝∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝90°，
∴∠ACF＝150°，
∵AC≠CF，
∴∠CAF≠∠CFA≠15°，
∴∠EAN≠45°，故①错误；
∵∠AHM＝∠FCM＝90°，MA＝MF，∠AMH=∠FMC，
∴△AHM≌△FCM（AAS），
∴HM＝CM＝a，
∴CM＝a＝AE，故②正确；
∵ADBC，
∴S△AEC＝S△DCE，
∴S△AEC−S△GCE＝S△DCE−S△GCE，
即S△AGE＝S△DGC，
故③正确；
∵△EDF是等边三角形，
若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE，
显然AD≠AE，故AF与AD不垂直，故④错误；
∴正确的是②③，一共2个，
故选：B．
9．（2021·福建·福州十八中九年级期中）在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．180°
【答案】B
【解析】解：如图所示：
由旋转的性质可知：AO=AO′，
∴OO′=OA=AO′，
∴△OAO′为等边三角形．
∴θ=∠OAO′=60°．
故选：B．
10．（2021·湖北郧阳·九年级期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，过点作轴于点，连接，
，
，
四边形是矩形
，
，
，
，
，
，
矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；
则第3次旋转结束时，点的坐标为；
则第4次旋转结束时，点的坐标为；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
，
则第2021次旋转结束时，点的坐标为．
故选：A．
11．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，△ABC中，AB=AC=，∠BAC=α°，，G为BC中点，D为平面内一个动点，且．将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为（ ）
A．24B．25C．12D．13
【答案】A
【解析】解：如图，连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABD∽△CBB＇ ，
∴ ，
∵，
∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值 ，
∴的面积的最大值为16，
∴四边形BACB′面积的最大值为 ，
故选：A．
12．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则线段AD1的长为（ ）
A．5cmB．5cmC．5cmD．3cm
【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=90°-30°=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴∠ACO=∠BCO=45°，
∵CA=CB，
∴AO=CO=AB=，
∵DC=，
∴D1C=DC=，
∴D1O=-=，
在Rt△AOD1中，AD1==，
故选：B．
13．如图，在∆ABC中，，将∆ABC绕着点顺时针旋转后，得到△AB＇C＇，且点在上，则的度数为（ ）
A．42°B．48°C．52°D．58°
【答案】C
【解析】解：将∆ABC绕着点顺时针旋转后，得到△AB＇C＇，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
即的度数为，
故选：C．
14．在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p，0）（p是常数，且p＞1），第一次爬到射线OA绕O点逆时针旋转60°方向上的A1点，且OA1＝pOA；第二次爬到射线OA1绕O点逆时针旋转60°方向上的A2点，且OA2＝pOA1；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（ ）
A．（p2021，0）B．
C．（﹣p2021，0）D．
【答案】D
【解析】解：由题意可得，射线OA1、OA2、OA3、OA4、OA5、OA6……的位置为6次一循环，
∵2021÷6＝336……5，
∴点A2021在第四象限，且射线OA2021与x轴正半轴的夹角为60°，
∵A（p，0）（p是常数，且p＞1），
∴OA＝p，
∵OA1＝pOA，OA2＝pOA1，……
∴OA1＝p2，OA2＝p3，……
∴，
如图，过点A2021作x轴的垂线，垂足为点H，
则∠OHA2021＝90°，
又∵∠A2021OH＝60°，
∴∠OA2021H＝30°，
∴，
∴
，
又∵点A2021在第四象限，
，，
故选：D．
二、填空题
15．如图，⊙O与△OAB，的边相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在⊙O上，边交线段于点C．若，则_____．
【答案】
【解析】解：连接，如下图：
∵⊙O与△OAB的边相切，切点为B
∴
又∵
∴
由旋转的性质可得：，
又∵
∴为等边三角形
∴
∴
∴
故答案为：
16．（2021·广东白云·九年级期中）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 _________°．
【答案】315或135
【解析】解：如图，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴
∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO）或135°（旋转角为 ）时，点A的对应点C落在y轴上，
故答案为：315或135．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，点D为边AC的中点，点P为边BC上任意一点，若将△CDP沿DP折叠得△EDP，若点E在△ABC的中位线上，则CP的长度为 __________________．
【答案】2或8﹣2
【解析】解：①如图，设BC边中点为M，连接DM，
当E在DM上时，
由折叠可知，CP＝PE，∠C＝∠DEP，
∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°，
∴AB＝15，CM＝BC，
∴CD＝6，
∴DM＝，DE＝6，
∴EM＝，
在Rt△PEM中，PM2＝PE2+EM2，
∴（﹣CP）2＝CP2+（）2，
∴CP＝2；
②如图，设AB边的中点为N，连接DN，
当E点落在DN上时，
∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°，
∴CD＝6，DN＝，
由折叠可知，DE＝CD，∠C＝∠DEP＝90°，
∵DE∥CB，
∴∠CDE＝90°，
∴四边形CDEP是矩形，
∵DE＝CD，
∴四边形DCPE是正方形，
∴CP＝CD＝6，此时点落在的延长线上（不符合，舍去）
③如图，设BC、AB中点分别为M、N，连接MN、DN，
当E点落在MN上时，
由折叠可知，DE＝CD，CP＝PE，∠C＝∠DEP＝90°，
∵BC＝9，AC＝12，
∴CM＝，CD＝6，DN＝，MN＝6，
在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，
∴62＝NE2+（）2，
∴NE＝，
∴EM＝6﹣，
在Rt△PEM中，PE2＝EM2+PM2，
∴CP2＝（﹣CP）2+（6﹣）2，
∴CP＝；
综上所述，CP的值为2或，
故答案为：2或．
18．（2021·重庆·字水中学九年级期中）如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边的中点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝3，tan∠ECB＝，则△AEC的面积为______．
【答案】
【解析】解：连接BE，过点D作DM⊥EC，垂足为M，
∵点D是BC边上的中点，BC＝3，
∴BD＝CD＝，
由折叠得，BD＝DE，AD⊥BE，
∴DE＝DB＝DC，
∴∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
又∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE=180°，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
∴EC∥AD，
∴S△AEC＝S△DEC，
在△DEC中，DE＝DC＝，DM⊥EC，
∴ME＝MC，
∵tan∠ECB＝＝，
设MC＝2m，则DM＝m，
由勾股定理得，DM2＋MC2＝DC2，
即4m2＋5m2＝（）2，解得m＝，
∴DM＝，MC＝，
∴S△DEC＝EC•DM＝××2=，
∴S△AEC＝S△DEC=．
故答案是：．
19．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）已知等腰△ABC内接于半径为10的⊙O中，且圆心O到BC的距离为6，则这个等腰△ABC底边上的高是 ___．
【答案】4或16或
【解析】解：①当是底，是锐角三角形时，如图1，
连接交于点，
，
，
，，
，
②当是底，是钝角三角形时，如图2，
同理可得，．
③当是腰时，连接并延长到于，作于点，
在中，，，
，
，
设，在中，，
在中，，
，
解得，
．
故答案为：4或16或．
20．（2021·安徽包河·九年级期中）如图，在等边△ABC中，，点P为边上一动点，M为的中点，连接．
（1）当点P为的中点，的长为_______；
（2）若点P移动到使时，的长为__________．
【答案】
【解析】解：（1）等边△ABC中，，且点为的中点，
，
在中，，
点为的中点，
，
在中，，
故答案为：；
（2）设，则，
在和△PCB中，，
△PMC∽△PCB，
，即，
解得或（不符题意，舍去），
由得：，
解得，
故答案为：．
三、解答题
21．（2021·浙江·温州市第十二中学二模）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】证明：（1），
，
，
，即，
在△ACE和△BDF中，，
△ACE≌△BDF；
（2）由（1）已得：，
，
，
，
，
，
由（1）已证：△ACE≌△BDF，
．
22．（2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2，4)、B(1，0)、C(5，1)
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则点C1的坐标为 ；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，其中A、B、C分别和A2、B2、C2对应，画出△A2B2C2，则点C2的坐标为 ；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点 成中心对称
【答案】（1）图见解析，（5，-1）；（2）图见解析，（-1，5）；（3）（0.5，0.5）
【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，
∵△ABC关于x轴对称的，点C（5，1），
∴关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标改变符号C1（5，-1）
故答案为（5，-1）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，
∵将△AB绕原点逆时针旋转90°得
∴点C绕原点O旋转90°，横坐标边纵坐标，纵坐标变为横坐标，点C2在第二象限，
∴点C2坐标为（-1,5），A2（-5，2），B2（0，1）
在平面直角坐标系中描出点A2（-5，2），B2（0，1），C2（-1,5），
顺次连结线段A2B2，B2C2，C2A2，
则△A2B2C2是△ABC逆时针旋转90°的图形，
故答案为（-1,5）；
（3）点B与点B2的中点，其中点横坐标为，纵坐标为
∴与关于点（0.5，0.5）成中心对称．
故答案为（0.5，0.5）．
23．（2021·山东陵城·九年级期中）在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标．
【答案】（1）见解析；点B1的坐标为（-1，3）；（2）见解析；点B2的坐标为（3，1）．
【解析】解：（1）∵三角形ABC向上平移4个单位得到三角形，B（-1，-1），
∴的坐标为（-1，3），
如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
∵是绕原点顺时针旋转90度得到，（-1，3），
∴的坐标为（3，1）．
24．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，AC＝3，则线段CH的长度为 ．
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点F为CD边的中点，点E是BC边上的一点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，BC＝6，CD＝2，求线段EF的长．
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD，∠ABC＝60°，∠C＝90°，点M，N是BC边上的两点，连接AM，AN，BD，BD交AM于点E，交AN于点F．若∠MAN＝30°，BE＝4，DF＝6，求△AMN的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】解：（1）如图①，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AH，
∴×3×4＝×5AH，
∴AH＝，
由勾股定理得：CH＝，
故答案为：；
（2）如图②，过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G，
∴∠EAG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG=90°
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴BE＝DG，AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠GAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵F是CD的中点，且CD＝2，
∴DF＝CF＝1，
设BE＝x，则DG＝x，EF＝FG＝x+1，EC＝6﹣x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝EC2+CF2，
∴（x+1）2＝12+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴EF＝x+1＝+1＝；
（3）如图③，过点A作AO⊥BD于O，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵AB＝AD，
∴∠ABF＝∠ADF＝30°，
∴AB＝AD＝2AO，
设AO＝a，AB=2a，则OB＝OD＝，
∴BD=，
∵BE＝4，DF＝6，
∴BF＝﹣6，EF＝﹣4﹣6＝﹣10，
∵∠EAF＝∠ABF＝30°，∠AFE＝∠AFB，
∴△AFE∽△BFA，
∴，
∴AF2＝BF•EF＝（﹣6）（﹣10），
∵AF2＝AO2+OF2，
∴a2+（﹣6）2＝（﹣6）（﹣10），
2a2﹣5+6＝0，
解得：a1＝，a2＝，
当a＝时，OD＝a＝×2＝6，此时O与F重合，如图1所示，
∴BF＝DF＝6，
∴EF＝2，
Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴AE＝2EF＝4＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵∠ABM＝60°，
∴∠AMB＝90°，∠MBE＝30°，
∴EM＝2，
∴AM＝4+2＝6，
∴MN＝＝2，
∴△AMN的面积＝；
当a＝时，OA＝，OB＝OD＝，
∴BD＝OB+OD＝3＜4+6＝10，
此种情况不成立，
∴△AMN的面积6．
25．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，在矩形中，，，，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长半径作⊙P，⊙P交CE、BD、BC交于F、G、H（任意两点不重合），
（1）半径BP的长度范围为______；
（2）如图1，连接BF并延长交CD于K，若，求BP；
（3）如图2，连接GH，将劣弧HG沿着HG翻折交BD于点M，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】解：（1）当G点与E点重合时，BG=BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，，，
∴
BD=10，
∵CE⊥BD，
∴,
∴,
在△BEC中，由勾股定理得：
,
∴,
当点G和点D重合时，则点F与点H重合，如图所示：
∵△BCD是直角三角形，
∴BP=DP=CP,
∴，
∵任意两点都不重合，
∴，
（2）连接FG，如图所示：
∵∠KFC=∠BFE，tan KFC  3，
∴，
∴，
∴,
∵BG是圆的直径，
∴∠BFG=90°，
∴∠GFE+∠BFE=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠FEG=∠FEB=90°，
∴∠GFE+∠FGE=90°，
∴∠BFE=∠FGE
∴△BEF∽△FEG，
∴,
∴,
∴,
∴BG=EG+BE=4，
∴BP=2，
（3）为定值，
过作,连接，，交GH于点O，如下图所示：
为直径
，
设，则
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
26．（2021·北京市三帆中学九年级期中）在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，E为边AC中点．线段EA绕点E旋转得到线段EF（点F是点A的对应点），连接AF， 直线EF交直线AB于点G．
（1） 如图1，当△ABC为等边三角形且点G在边AB上时，若∠FAD=20°，则∠AGE=______°；
（2）如图2，点G在边AB上，AD与EG交于点O， OG=OA， AG=AD，求证：GF=FD．
（3）如图3，若∠BAC > 60°，过点C作CM⊥直线AD于M，连接MF，当MF=AE时，请直接写出∠FAC与∠DAC的数量关系．
【答案】（1）40；（2）见解析；（3）∠FAC=∠DAC30
【解析】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC=30°，
∵∠FAD=20°，
∴∠EAF=∠FAD+∠DAC=50°，
∠GAF=∠DAB﹣∠FAD=10°，
由旋转性质得EA=EF，则∠EAF=∠EFA=50°，
∵∠EFA=∠AGE+∠GAF
∴∠AGE=50°﹣10°=40°，
故答案为：40；
（2）证明：设∠FAD=α，∠DAC=β，
∵AE=EF
∴∠AFE=∠FAC=∠FAD+∠DAC=α+β．
∴∠FEC=∠AFE+∠FAC=2α+2β．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠DAC=2∠BAD=2β．
∴∠AGE=∠FEC∠BAC=2α．
∵OG=OA
∴∠AGE=∠BAD=∠GAF+∠FAD=2α．
∴∠GAF=∠DAF=α，
∴△AGF△ADF
∴GF=FD
（3）∠FAC=∠DAC±30°，理由为：
如图3，连接ME，
∵CM⊥AD于M，点E为AC的中点，
∴ME=AE=CE，又AE=EF，
∴A、F、M、C四点共圆，点E为圆心，
∵MF=AE，
∴ME=MF=EF，
∴△EFM是等边三角形，
∴∠MEF=60°，
∴∠FAM=∠MEF=30°，
∴∠FAC=∠DAC+∠FAM=∠DAC+30°；
同理，如下图，可证A、M、F、C四点共圆，点E为圆心，△EFM是等边三角形，
∴∠FAM=∠MEF=30°，
∠FAC=∠DAC－∠FAM=∠DAC－30°，
综上，∠FAC=∠DAC±30°．