人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律2 重力势能精品学案

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一、重力做的功
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中，思考并讨论以下问题(重力加速度为g)：
(1)求出图甲情形中重力做的功；
(2)求出图乙情形中重力做的功；
(3)求出图丙情形中重力做的功；
(4)重力做功有什么特点？
答案 (1)图甲中WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2
(2)图乙中WAB′＝mglcs θ＝mgΔh＝mgh1－mgh2
WB′B＝0
故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2
(3)图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2…。
WAB″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgΔh
WB″B＝0
故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(4)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1．重力所做的功WG＝mgΔh，Δh指初位置与末位置的高度差。
2．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
3．物体下降时重力做正(选填“做正”“做负”或“不做”)功；
物体上升时重力做负(选填“做正”“做负”或“不做”)功。
4．重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。
(1)物体运动时，它的起点越高，重力对它做的功就越多。( × )
(2)质量越大，重力做功越多。( × )
(3)物体所处的高度只要发生变化，其重力一定做功。( √ )
(4)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的路程。( × )
(5)重力做功与物体受到的其他力无关。( √ )
例1 某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C．从A到B重力做功mg(H＋h)
D．从A到B重力做功mgH
答案 D
解析 重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关。从A到B的高度差是H，故从A到B重力做的功是mgH，选项D正确。
二、重力势能
如图所示，水平桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：(g取10 m/s2)
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
答案 (1)以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1＝0.4 m，
因而物体具有的重力势能为
Ep1＝mgh1＝2×10×0.4 J＝8 J
物体落至地面时，物体的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×10×(－0.8) J＝－16 J
因此物体在此过程中的重力势能减少量为
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8 J－(－16) J＝24 J
(2)以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为
h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m，因而物体具有的重力势能为
Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2 J＝24 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2′＝0
在此过程中，物体的重力势能减少量为
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝24 J－0＝24 J；
(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量是绝对的，它与参考平面的选取无关。
1．(1)重力做功与路径无关，总有WG＝mgh1－mgh2。可见mgh这个量有特殊意义，我们把它叫作物体的重力势能。
(2)重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其中h是相对参考平面的高度。
(3)重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小。当物体在参考平面下方h处，重力势能Ep＝－mgh。
(4)重力势能的差值ΔEp与参考平面的选取无关，它的差值是绝对的。
(5)重力势能具有系统性，重力势能是物体和地球共有的。
2．重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功。
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功。
重力势能Ep＝mgh中的“h”与重力做功W＝mgΔh中的“Δh”相同吗？若不同，有何区别？
答案 不相同。重力势能Ep＝mgh中的“h”是物体相对于参考平面的高度；而重力做功W＝mgΔh中的“Δh”是物体初、末位置的高度差，与参考平面无关。
(1)在参考平面相同时，同一物体在不同高度时，重力势能不同。( √ )
(2)重力做功与路径无关，但重力势能的变化与路径有关。( × )
(3)重力势能Ep1＝10 J，Ep2＝－10 J，则Ep1与Ep2方向相反。( × )
(4)重力做功WG＝－20 J，则物体的重力势能减小20 J。( × )
(5)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1>Ep2。( √ )
例2 (2022·淄博市高一期末)质量为m＝1 kg的小球，从离桌面H＝1.5 m高的A处由静止下落，桌面离地面B处高度为h＝0.5 m，如图所示。若以桌面为参考平面，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球在A点的重力势能为20 J
B．小球在B点的重力势能为5 J
C．由A处下落至B处过程中重力势能减少量为20 J
D．若以地面为参考平面，由A处下落至B处过程中重力势能减少量为15 J
答案 C
解析 若以桌面为参考平面，小球在A点的重力势能为EpA＝mgH＝15 J，故A错误；若以桌面为参考平面，小球在B点的重力势能为EpB＝－mgh＝－5 J，故B错误；由A处下落至B处过程中重力势能减少量ΔE＝EpA－EpB＝20 J，故C正确；重力势能减少量与下落高度差有关，与参考平面的选取无关，若以地面为参考平面，由A处下落至B处过程中重力势能减少量仍为20 J，故D错误。
例3 如图所示，质量均匀的链条放在光滑的水平桌面上，链条全长为l，质量为m，有eq \f(1,4)的长度悬于桌面下。链条由静止开始下滑，设桌面的高度大于l，则从链条开始下滑到刚离开桌面的过程中重力势能改变了多少？重力做功多少？(重力加速度大小为g)
答案 －eq \f(15,32)mgl eq \f(15,32)mgl
解析 末态时链条呈竖直状，上端与桌面相平，比较初态和末态，链条从开始下滑到刚离开桌面的过程可等效成将初态桌面上的eq \f(3,4)长度的链条移至末态中整个竖直链条的下端eq \f(3,4)长度处，故这eq \f(3,4)长度的链条的重心下降了eq \f(5,8)l，所以重力势能减少了
eq \f(3,4)mg·eq \f(5,8)l＝eq \f(15,32)mgl
即ΔEp＝－eq \f(15,32)mgl
重力做功WG＝－ΔEp＝eq \f(15,32)mgl。
三、弹性势能
如图所示，物体与水平轻质弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A′运动，A、A′关于O点对称，弹簧始终在弹性限度内，则：
(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(3)在A、A′处弹性势能有什么关系？
答案 (1)正功 减少 (2)负功 增加 (3)相等
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。
2．影响弹性势能的因素
(1)弹性势能跟形变大小有关：同一弹簧，在弹性限度内，形变越大，弹簧的弹性势能就越大。
(2)弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关：在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。
3．对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
4．弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。
例4 (多选)(2022·十堰市高一期末)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中( )
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
答案 BC
解析 若用不可伸长的细绳代替弹簧拴住重物向下摆动，重力做正功，弹力不做功，C正确；用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功比用细绳代替弹簧后做功多，A、D错误，B正确。
课时对点练
考点一 重力做功
1.如图所示，质量关系为m1>m2>m3的三个小球分别沿三条不同的轨道1、2、3由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、3是光滑的，轨道2是粗糙的，重力对小球做的功分别为W1、W2、W3，则下列判断正确的是( )
A．W1>W2＝W3 B．W1＝W3>W2
C．W1＝W2＝W3 D．W1>W2>W3
答案 D
解析 重力做功W＝mgh，h相等，由于m1>m2>m3，所以W1>W2>W3，故D正确。
2.如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达eq \f(h,4)处的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(重力加速度为g)( )
A.eq \f(mgh,4) B.eq \f(3mgh,4) C．mgh D．0
答案 B
解析 解法一 分段法。
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0，
小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·eq \f(h,4)
故小球由A→D全过程中重力做功
WG＝W1＋W2＝mg(h－eq \f(h,4))＝eq \f(3,4)mgh，B正确。
解法二 全过程法。
由A→D全过程，高度差为h1－h2＝eq \f(3,4)h，故WG＝eq \f(3,4)mgh，B正确。
考点二 重力势能
3.(多选)(2023·广州市番禺中学期末)如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是( )
A．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最少
B．小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面，重力做功一样多
C．小球的重力势能的减少量为mgh
D．以地面为参考平面，小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
答案 BC
解析 小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，A错误，B正确；重力势能的变化量与参考平面的选取无关，重力做的功就等于重力势能的变化量，重力做功为mgh，重力势能的减少量为mgh，C正确，D错误。
4．一个100 g的小球从1.8 m的高处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对小球所做的功及小球的重力势能的变化是(g取10 m/s2)( )
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．小球的重力势能一定减少0.55 J
D．小球的重力势能一定增加1.25 J
答案 C
解析 在整个过程中，小球下降的高度为h＝1.8 m－1.25 m＝0.55 m，该过程中重力对小球做正功，为W＝mgh＝0.1×10×0.55 J＝0.55 J，故A、B错误；重力做多少正功重力势能就减少多少，故小球的重力势能一定减少0.55 J，故C正确，D错误。
5．广西壮族“三月三”是壮族人民的传统节日，该节日民族活动很丰富，其中抛绣球是男女青年最喜欢的项目。假设某一青年女子在楼上将绣球水平抛出，抛出点离地4.5 m，绣球质量0.6 kg，在离地2.0 m处被一男青年抢到。重力加速度取10 m/s2，在绣球被抛出至被抢到的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做功15 J
B．重力势能增加了15 J
C．若以抛出点为参考平面，绣球被抢到时的重力势能为－27 J
D．若以地面为参考平面时，上述过程中绣球重力势能的变化量最大
答案 A
解析 重力做功为WG＝mgΔh＝0.6×10×(4.5－2.0)＝15 J，A正确；重力做正功，重力势能减小，故重力势能减少了15 J，B错误；若以抛出点为参考平面，绣球被抢到时的重力势能Ep＝－mg(h－h1)＝－0.6×10×(4.5－2) J＝－15 J，C错误；重力势能的变化与重力做功对应，与参考平面的选取无关，D错误。
考点三 弹性势能
6．(多选)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能与其被拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D．弹性势能的大小与使弹簧发生形变的物体有关
答案 ABC
解析 理解弹性势能时要明确研究对象是发生弹性形变的弹簧，而不是使之发生形变的物体，弹簧弹性势能的大小跟形变量有关，同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能也越大；弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量相同时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故A、B、C正确，D错误。
7．如图所示的几个运动过程中，物体弹性势能增加的是( )
答案 B
解析 运动员从压杆到杆伸直的过程中，杆的形变量先增大后减小，其弹性势能先增大后减小，故A错误；人拉长弹簧的过程中，弹簧的伸长量在增大，则弹性势能增加，故B正确；模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的形变量减小，则其弹性势能减小，故C错误；小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的压缩量减小，其弹性势能减小，故D错误。
8．(2022·扬州中学高一期中)一根粗细均匀的长直铁棒重力为600 N，平放在水平地面上。现将其一端从地面抬高0.50 m，而另一端仍在地面上，则铁棒( )
A．重力势能增加150 J B．重力势能增加300 J
C．克服重力做功400 J D．克服重力做功600 J
答案 A
解析 由几何关系可知在铁棒的重心上升的高度为h＝eq \f(1,2)×0.5 m＝0.25 m，克服重力做功W克G＝Gh＝600×0.25 J＝150 J，故铁棒重力势能增加150 J，故选A。
9.如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距eq \f(1,3)l。重力加速度大小为g。在此过程中，绳的重力势能增加( )
A.eq \f(1,9)mgl B.eq \f(1,6)mgl
C.eq \f(1,3)mgl D.eq \f(1,2)mgl
答案 A
解析 由题意可知，PM段细绳的重力势能不变，MQ段细绳的重心升高了eq \f(l,6)，则重力势能增加ΔEp＝eq \f(2,3)mg·eq \f(l,6)＝eq \f(1,9)mgl，故选项A正确，B、C、D错误。
10．(2022·上海致远中学高一期中)一轻质弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图甲所示。将该弹簧下端固定在水平地面上，一质量为1.8 kg的物体在外力作用下缓慢放在弹簧的上端，待物体稳定后撤去外力，物体静止在弹簧上端，弹簧处在弹性限度内，如图乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．弹簧的压缩量为30 cm
B．弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大
C．此过程中弹簧弹力对物体做的功为0.54 J
D．物体静止时，弹簧的弹性势能为0.27 J
答案 D
解析 由题图甲知，弹簧的劲度系数k＝eq \f(ΔF,Δx)＝600 N/m，弹簧的压缩量满足mg＝kx，解得x＝3 cm，A错误；弹簧的形变量越大，弹性势能越大，B错误；由题图甲知，缓慢压缩过程弹簧弹力对物体做功为W＝－eq \f(1,2)×18×0.03 J＝－0.27 J，则弹簧弹性势能为0.27 J，C错误，D正确。
11．(2022·湖天中学高一期末)如图所示，甲装置为一长度为L的均匀链条，总质量为2m，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂；乙装置为两个质量均为m的小球，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，中间用不计质量的长度为L的细绳相连，水平部分和竖直部分长度相等，初始时令两装置保持静止，现自由释放两装置，使得两个装置都刚好离开水平桌面，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．甲装置重力势能减少了eq \f(3,4)mgL
B．乙装置重力势能减少了mgL
C．甲装置重力做的功小于乙装置重力做的功
D．甲、乙两装置重力势能的减少量相等
答案 A
解析 取桌面为参考平面，则初始位置甲装置的重力势能为Ep1＝－eq \f(mgL,4)，离开桌面时整体重力势能为Ep2＝－mgL，则甲装置重力势能减少了eq \f(3,4)mgL，故A正确；小球下降高度为eq \f(L,2)，所以乙装置重力势能减少了eq \f(mgL,2)，故B错误；重力做的正功等于重力势能减少量，所以甲装置重力做的功大于乙装置重力做的功，故C错误；甲装置重力势能减少量大于乙装置重力势能减少量，故D错误。
12．现有一质量为m＝0.2 kg的小球，将其从离地H＝45 m处静止释放。测得小球经3 s后落地，每1秒时间内下落的距离分别为x1＝5 m、x2＝15 m、x3＝25 m，取地面为参考平面，g＝10 m/s2。求：
(1)第1 s末小球的重力势能；
(2)前2 s内小球重力势能的变化量；
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率。
答案 (1)80 J (2)－40 J (3)30 W
解析 (1)第1 s末小球离地面的高度为h＝x2＋x3＝40 m
取地面为参考平面，第1 s末小球的重力势能Ep＝mgh＝80 J
(2)前2 s内小球重力势能的变化量ΔEp＝mgΔh＝－mg(x1＋x2)＝－40 J
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率
P＝eq \f(W,t)＝eq \f(mgx1＋x2＋x3,t)＝30 W。
13.如图所示，质量相等的两木块中间连有一竖直弹簧，开始时木块A静止在弹簧上面。现用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开水平地面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化ΔEp，下列说法中正确的是( )
A．Ep1＝Ep2 B．Ep1＞Ep2
C．ΔEp＞0 D．ΔEp＜0
答案 A
解析 设两木块的质量均为m，开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg，设B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg，可知x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A正确，B、C、D错误。