人教版 (2019)必修 第二册4 宇宙航行精品学案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册4 宇宙航行精品学案，共11页。

一、三个宇宙速度
牛顿曾提出过一个著名的理想实验：如图所示，从高山上水平抛出一个物体，当抛出的速度足够大时，物体将环绕地球运动，成为人造地球卫星。据此思考并讨论以下问题：
(1)当抛出速度较小时，物体做什么运动？当抛出速度变大时，落地点的位置有何变化？当物体刚好不落回地面时，物体做什么运动？
(2)已知地球的质量为m地，地球半径为R，引力常量为G，若物体紧贴地面飞行而不落回地面，其速度大小为多少？
(3)已知地球半径R＝6 400 km，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，则物体环绕地球表面做圆周运动的速度多大？
答案 (1)当抛出速度较小时，物体做平抛运动。落地点位置逐渐变远。当物体刚好不落回地面时，物体做匀速圆周运动。
(2)物体不落回地面，应围绕地球做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，Geq \f(m地m,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(Gm地,R))。
(3)当其紧贴地面飞行时，轨道半径约为R，由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)＝8 km/s。
1．第一宇宙速度
定义：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度。
大小：v＝7.9 km/s。
意义：(1)是航天器成为卫星的最小发射速度。
(2)是卫星的最大绕行速度。
2．第二宇宙速度
当飞行器的速度等于或大于11.2 km/s时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把11.2 km/s叫作第二宇宙速度。
3．第三宇宙速度
在地面附近发射的飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于16.7 km/s，这个速度叫作第三宇宙速度。
以下太空探索实践中需要的发射速度是多少？
“嫦娥”奔月 天问探火 无人外太阳系
空间探测器
答案 “嫦娥”奔月中卫星的发射速度应该大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度。
“天问一号”的发射速度应该大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度。
无人外太阳系空间探测器的发射速度应该大于第三宇宙速度。
(1)被发射的物体质量越大，第一宇宙速度越大。( × )
(2)地球的第一宇宙速度与地球的质量有关。( √ )
(3)由v＝eq \r(\f(GM,r))知，高轨道卫星运行速度小，故发射高轨道卫星比发射低轨道卫星更容易。
( × )
例1 已知地球表面的重力加速度约为10 m/s2，第一宇宙速度约为8 km/s，某星球半径约为地球半径的2倍，质量是地球质量的9倍，求：
(1)该星球表面的重力加速度大小；
(2)该星球的第一宇宙速度大小。
答案 (1)22.5 m/s2 (2)17 km/s
解析 (1)由物体在星球表面所受引力等于重力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)
得g＝Geq \f(M,R2)
所以有eq \f(gx,g地)＝eq \f(MxR地2,M地Rx2)＝eq \f(9,4)
解得： gx＝22.5 m/s2
(2)由重力提供向心力，则有mg＝eq \f(mv2,R)
得v＝eq \r(gR)
所以eq \f(vx,v地)＝eq \r(\f(gx,g地)×\f(Rx,R地))＝eq \f(3,\r(2))
解得： vx≈17 km/s。
例2 (2022·扬州市仪征中学高一月考)已知月球质量与地球质量之比约为1∶80，月球半径与地球半径之比约为1∶4，则月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比为( )
A．10∶eq \r(5) B.eq \r(5)∶10 C．1∶2 D．2∶1
答案 B
解析 根据牛顿第二定律有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，可得第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，即v∝eq \r(\f(M,R))，设月球上的第一宇宙速度为v1，地球上的第一宇宙速度为v2，则有eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(M1,M2)·\f(R2,R1))＝eq \r(\f(1,80)×\f(4,1))＝eq \f(\r(5),10)，可知B正确。
例3 (2022·西安市高一期末)为使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射时所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2＝eq \r(2)v1。已知某星球的半径为R，其表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度g的eq \f(1,8)，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A.eq \f(\r(gR),2) B.eq \f(\r(2gR),2)
C.eq \r(gR) D.eq \r(2gR)
答案 A
解析 由牛顿第二定律有m·eq \f(1,8)g＝meq \f(v12,R)，由题意可知v2＝eq \r(2)v1，解得v2＝eq \f(\r(gR),2)，A正确，B、C、D错误。
二、人造地球卫星
在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。请思考：
(1)这些卫星运动所需的向心力都是由什么力提供的？这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度大小、角速度、周期跟什么因素有关呢？
答案 (1)卫星运动所需的向心力是由地球与卫星间的万有引力提供的，故所有卫星的轨道平面都经过地心。
(2)由Geq \f(m地m,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r可知，卫星的线速度大小、角速度、周期与其轨道半径有关。
1．人造地球卫星
(1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如静止卫星的轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图所示。
(2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心。
2．近地卫星、同步卫星、极地卫星和月球
(1)近地卫星：地球表面附近的卫星，r≈R；线速度大小v≈7.9 km/s、周期T＝eq \f(2πR,v)≈85 min，分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大速度和最小周期。
(2)地球同步卫星：位于地面上方高度约36 000 km处，周期与地球自转周期相同。其中一种的轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同，因其相对地面静止，也称静止卫星。
(3)极地卫星：轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星，运行时能到达南北极上空。
(4)月球绕地球的公转周期T＝27.3天，月球和地球间的平均距离约38万千米，大约是地球半径的60倍。
例4 (多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道( )
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
答案 CD
解析 人造地球卫星运行时，由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造地球卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故A错误；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面不可能和经线所决定的平面共面，故B错误；相对地球表面静止的卫星就是地球的静止卫星，它可以在赤道平面内，且距地面有确定的高度，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动，故C、D正确。
例5 (2022·杭师大附中高一期中)如图所示是一张人造地球卫星轨道示意图，其中圆轨道a、c、d的圆心均与地心重合，a与赤道平面重合，b与某一纬线圈共面，c与某一经线圈共面。下列说法正确的是( )
A．a、b、c、d都有可能是卫星的轨道
B．轨道a上卫星的线速度大于7.9 km/s
C．轨道c上卫星的运行周期可能与地球自转周期相同
D．仅根据轨道d上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，不能求出地球质量
答案 C
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的引力提供向心力，可知地心为卫星的圆轨道圆心，故b不可能是卫星的轨道，A错误；第一宇宙速度7.9 km/s是卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动时的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，故轨道a上卫星的线速度小于7.9 km/s，B错误；如果轨道c的半径等于地球同步卫星的轨道半径，则轨道c上卫星是地球的同步卫星，即轨道c上卫星的运行周期等于地球自转周期，C正确；根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，可得M＝eq \f(ω2r3,G)，根据轨道d上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，可以求出地球质量，D错误。
课时对点练
考点一 对三个宇宙速度的理解
1．关于宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．第一宇宙速度是人造卫星沿圆轨道运行时的最大速度
B．第一宇宙速度是地球同步卫星的发射速度
C．人造地球卫星运行时的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
D．第三宇宙速度是物体脱离地球的最小发射速度
答案 A
2.(多选)如图所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远。如果抛出速度足够大，物体就不会落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，则下列说法正确的是( )
A．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体可能落在A点
B．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体将沿B轨道运动
C．以7.9 km/sD．以11.2 km/s答案 AC
解析 物体抛出速度v<7.9 km/s时必落回地面，物体抛出速度v＝7.9 km/s时，物体刚好能不落回地面，绕地球做圆周运动，故A正确，B错误；当物体以7.9 km/s11.2 km/s时，物体会脱离地球引力束缚，不可能沿C轨道运动，故D错误。
考点二 第一宇宙速度的计算
3．我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的eq \f(1,81)，月球的半径约为地球半径的eq \f(1,4)，地球的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得，v＝eq \r(\f(GM,R))
又eq \f(M月,M地)＝eq \f(1,81)，eq \f(R月,R地)＝eq \f(1,4)
故月球和地球的第一宇宙速度之比eq \f(v月,v地)＝eq \r(\f(M月,M地)·\f(R地,R月))＝eq \r(\f(1,81)×\f(4,1))＝eq \f(2,9)
故v月＝7.9×eq \f(2,9) km/s≈1.8 km/s，即该探月卫星绕月运行的最大速率约为1.8 km/s，因此选B。
4．已知火星质量约为地球质量的十分之一，半径约为地球半径的二分之一，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 A
解析 当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球转动，当发射速度大于地球的第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；行星的第一宇宙速度为该行星表面轨道处卫星的运动速度，则有eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，可得火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(M火R地,M地R火))＝eq \r(\f(1,5))，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；根据在行星表面的物体所受万有引力近似等于重力可得eq \f(GMm,R2)＝mg，解得g＝eq \f(GM,R2)，得火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为eq \f(g火,g地)＝eq \f(M火R地2,M地R火2)＝eq \f(2,5)，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误。
5．“嫦娥五号”在采集到月球土壤样品后，于2020年12月17日成功带回地球供科学家研究。嫦娥五号从月球返回时，先绕月球做圆周运动，再变轨返回地球。已知地球与月球的半径之比为4∶1，地球表面和月球表面的重力加速度之比为6∶1，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，则从月球表面发射嫦娥五号的最小速度约为( )
A．1.6 km/s B．6.4 km/s
C．7.9 km/s D．38 km/s
答案 A
解析 根据万有引力定律，可得Geq \f(mm星,R2)＝meq \f(v2,R)＝mg，解得星球表面发射的最小速度约为v＝eq \r(gR)，则月球表面发射嫦娥五号的最小速度约为v＝eq \r(g月R月)＝eq \r(\f(1,6)g地·\f(1,4)R地)＝eq \r(\f(1,24))eq \r(g地R地)＝eq \r(\f(1,24))v地≈1.6 km/s，故A正确，B、C、D错误。
考点三 人造地球卫星
6.如图所示，我国自主研发的北斗卫星导航系统由多颗卫星组成，包括分布于a类型轨道的静止轨道卫星、分布于b类型轨道的倾斜轨道卫星(与同步卫星轨道半径相同，轨道倾角55°)和分布于c类型轨道的中轨道卫星，中轨道卫星在3个互成120°的轨道面上做圆周运动。下列说法正确的是( )
A．a类型轨道上的卫星相对于地面静止且处于平衡状态
B．a类型轨道上的卫星运行速率等于b类型轨道上卫星的运行速率
C．b类型轨道上的卫星也与地球保持相对静止
D．三类卫星相比，c类型轨道上的卫星向心加速度最小
答案 B
解析 三种类型轨道上的卫星都绕地球做圆周运动，所受合力不为零，处于非平衡状态，A错误；根据Geq \f(mm地,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(Gm地,r))，由此可知轨道半径相同，则线速度大小相等，故a类型轨道上卫星的运行速率等于b类型轨道上卫星的运行速率，B正确；b类型轨道上的卫星是倾斜轨道卫星，不能与地球保持相对静止，只有静止轨道卫星才能与地球保持相对静止，C错误；卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据公式Geq \f(mm地,r2)＝man可得an＝Geq \f(m地,r2)，由此可知轨道半径越小，向心加速度越大，故c类型轨道上的卫星向心加速度最大，D错误。
7．(多选)(2023·内蒙古兴安盟乌兰浩特一中期末)2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，空间站轨道高度约为400 km，倾角约42°，总重量约100 t，地球半径约6 400 km，已知地球表面重力加速度g取10 m/s2，忽略地球自转影响。下列说法正确的有( )
A．空间站实质上就是一颗同步卫星
B．航天员进驻空间站时为完全失重状态
C．空间站环绕地球运行的速度大于7.9 km/s
D．空间站的向心加速度大小约为8.9 m/s2
答案 BD
解析 地球静止卫星轨道到地球表面的高度约36 000 km，空间站显然不是同步卫星，故A错误；航天员进驻空间站时随空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力全部提供向心力，航天员处于完全失重状态，故B正确；第一宇宙速度7.9 km/s是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，所以空间站的环绕速度不可能大于第一宇宙速度7.9 km/s，故C错误；近地轨道卫星的向心加速度等于重力加速度g，根据牛顿第二定律有Geq \f(Mm,R2)＝mg，设空间站的向心加速度大小为a，同理有Geq \f(Mm′,R＋h2)＝m′a，联立以上两式可得a≈8.9 m/s2，故D正确。
8．某星球的半径为R，在其表面上方高度为aR的位置，以初速度v0水平抛出一个金属小球，水平位移为bR，a、b均为数值极小的常数，不计阻力，忽略星球的自转，则这个星球的第一宇宙速度为( )
A.eq \f(\r(2a),b)v0 B.eq \f(\r(b),a)v0 C.eq \f(\r(a),b)v0 D.eq \f(\r(a),2b)v0
答案 A
解析 设该星球表面的重力加速度为g，小球落地时间为t，抛出的金属小球做平抛运动，根据平抛运动规律得aR＝eq \f(1,2)gt2，bR＝v0t，联立以上两式解得g＝eq \f(2av02,b2R)，第一宇宙速度即为该星球表面卫星的线速度，在星球表面卫星的重力充当向心力，得mg＝meq \f(v2,R)，所以第一宇宙速度v＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(2av02,b2R)R)＝eq \f(\r(2a),b)v0，故选A。
9．(2022·成都市新都一中高一期末)2020年诺贝尔物理学奖授予了在黑洞研究方面做出成就的三名科学家，银河系中心为一超大质量的黑洞，科学家发现了与该黑洞中心距离为r的星体，正以速度v围绕黑洞中心旋转。若该黑洞表面的物体速度达到光速c时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，则该黑洞的半径为( )
A.eq \f(v2,c2)r B.eq \f(v,c)r C.eq \f(c2,v2)r D.eq \f(c,v)r
答案 A
解析 设黑洞的质量为M，黑洞的半径为R，与该黑洞中心距离为r的星体，正以速度v围绕黑洞中心旋转，根据万有引力提供向心力可得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，该黑洞表面的物体速度达到光速c时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得eq \f(GMm′,R2)＝m′eq \f(c2,R)，联立解得R＝eq \f(v2,c2)r，A正确，B、C、D错误。
10．现代物理中的黑洞理论是建立在爱因斯坦的广义相对论的基础上。2019年4月10日，人类首次捕捉到了黑洞的图像。物体逃逸地球的速度(第二宇宙速度)v2＝eq \r(\f(2GM,R))，其中G、M、R分别是引力常量、地球的质量、地球的半径，已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，光速c＝3×108 m/s。已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某一黑洞的质量m＝5×1031 kg，则它可能的最大半径约为( )
A．7.41×102 m B．7.41×103 m
C．7.41×104 m D．7.41×105 m
答案 C
解析 由题意可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度eq \r(\f(2GM,R))，其中M、R为天体的质量和半径。设该黑洞半径为R′，对于黑洞来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即eq \r(\f(2Gm,R′))>c，所以R′11．我国科学家自主研制的“墨子号”卫星的质量为m，轨道离地面的高度为h，绕地球运行的周期为T，地球半径为R，引力常量为G。求：
(1)“墨子号”卫星所需的向心力大小；
(2)地球的质量；
(3)第一宇宙速度的大小。
答案 (1)m(R＋h)eq \f(4π2,T2) (2)eq \f(4π2R＋h3,GT2) (3)eq \f(2πR＋h,T)eq \r(\f(R＋h,R))
解析 (1)“墨子号”卫星角速度ω＝eq \f(2π,T)，
“墨子号”卫星所需的向心力Fn＝m(R＋h)ω2＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)
(2)根据万有引力提供“墨子号”卫星所需的向心力，
有Geq \f(Mm,R＋h2)＝Fn
解得地球的质量M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)
(3)根据万有引力提供物体绕地球表面做匀速圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)
解得第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \f(2πR＋h,T)eq \r(\f(R＋h,R))。
12.(多选)(2022·六安市测试)如图所示，北斗三号全球卫星导航系统的一颗中轨道卫星绕地球做匀速圆周运动，该卫星相对地球的张角为θ。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则关于该中轨道卫星，下列说法正确的是( )
A．离地面的高度为eq \f(R,sin \f(θ,2))
B．运行速度有可能大于第一宇宙速度
C．运行的线速度大小为eq \r(Rgsin \f(θ,2))
D．运行的角速度为eq \r(\f(gsin3\f(θ,2),R))
答案 CD
解析 如图，由几何关系可得，中轨道卫星轨道半径为r＝eq \f(R,sin \f(θ,2))，则离地面的高度为h＝r－R＝eq \f(R,sin \f(θ,2))－R，故A错误；根据Geq \f(mm地,R2)＝meq \f(v2,R)，得v＝eq \r(\f(Gm地,R))，可知，第一宇宙速度是近地轨道卫星的运行速度，是地球卫星的最大运行速度，中轨道卫星轨道半径大于近地卫星轨道半径，所以运行速度小于第一宇宙速度，故B错误；根据牛顿第二定律有Geq \f(mm地,r2)＝meq \f(v′2,r)＝mω2r，对地球表面的物体有Geq \f(m地m0,R2)＝m0g，联立解得v′＝eq \r(Rgsin \f(θ,2))，ω＝eq \r(\f(gsin3\f(θ,2),R))，故C、D正确。