山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题

这是一份山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A．极差B．平均数C．中位数D．方差
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．，的展开式中项的系数等于40，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圆与圆相交于A、B两点，直线交轴于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的对称轴方程为
C．在上的值域为
D．的单调递增区间为
10．如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形
B．若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为
C．不存在点，使
D．与平面所成角的正切值最小为
11．如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）
A．B．以为直径的圆与直线相切
C．D．
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________．
13．已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于A、B两点，在第一象限，若，则的离心率为__________．
14．关于的不等式恒成立，则的最小值为__________．
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求证：．
16．（15分）某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．
（1）求盒中2号球的个数；
（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）
17．（15分）如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18．（17分）如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且．
（1）求粗圆的方程；
（2）设，的斜率分别为，，求的值；
（3）求面积的最大值．
19．（17分）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，且满足：，，，…，．
（注：，，，，…；为的导数）
已知在处的[1，1]阶帕德近似为．
（1）求实数a，b的值；
（2）比较与的大小；
（3）若在上存在极值，求的取值范围．
2024.03高三数学一模试题参考答案
一、单选题
1—8．CADABCBC
二、多选题
9—11．ACDABACD
三、填空题
12．13．14．-
四、解答题
15．解析：（1）由①
当时，解得，
当时，②
①-②得，．
经验证符合上式，所以．
（2）证明：由（1）知，，．
则．
16．（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n，，n，
则取到异号球的概率，
，即．解得．
所以盒中2号球的个数为4个．
（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，
因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，
则可能的取值为0元，100元，600元，
，
，
．
X的分布列为
?的均值为，
若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，
记Y为甲获得的奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元，
．
Y的分布列为
的均值为，
因为，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．
17．（1）取的中点，连接，，则，
又，．为平行四边形，．
又平面，平面，平面．
（2）取中点为，过点作直线的垂线交于点，
分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
为直径，，，，．
在梯形中易求高为，
，，，，，
，，，．
设平面的法向量为
则，令则，．
同理求得平面的法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
平面与平面所成角的余弦值为．
18．解：（1）由题意得，，解之得，
（2）由（1）知，所以，
设直线、、的倾斜角分别为、、、，
则，，，则，所以，
所以，所以，即．
（3）设直线，解方程组，
得，，同理得，
由（2）知，，
又，
同理，，
，
，，
，
，
令，则，
当，即，时，取等号，所以的最大值是．
19．解：（1）由，，
知，，，，
由题意，，所以，所以，．
（2）由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，；时，；
所以时，；时，．
（3）由，
．
由在上存在极值，所以在上存在变号零点．
令，则，．
①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件．
②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件．
③当，即时，令即，．
当时，，为减函数；时，，为增函数，；
令，，易证，恒成立；
，，，，；
，
令，
易证，，
令，则，，．
，即．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点，
又由③知，当时，，为减函数，，
所以此时，，在内无零点，
在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为．
球号
1号球
3号球
答对概率
0.8
0.5
奖金
100
500
X
0
100
600
P
0.2
0.4
0.4
Y
0
500
600
P
0.5
0.1
0.4