专题09 方程中常见设元方法技巧-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
“直接设元”就是题目中要求的量是什么，就设这个量为未知数，是最常用的设元法.
【典例】中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．若设甲有x只羊，则下列方程正确的是（ ）
A．x+1＝2（x﹣2）B．x+3＝2（x﹣1）C．x+1＝2（x﹣3）D．x-1=x+12+1
【解答】解：∵甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”．甲有x只羊，
∴乙有x+12+1只，
∵乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”，
∴x+12+1+1＝x﹣1，即x+1＝2（x﹣3）
故选：C．
【巩固】10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是 ．
【解答】解：设报2的人心里想的数是x，
则报4的人心里想的数应该是6﹣x，
于是报6的人心里想的数是10﹣（6﹣x）＝4+x，
报8的人心里想的数是14﹣（4+x）＝10﹣x，
报10的人心里想的数是18﹣（10﹣x）＝8+x，
报2的人心里想的数是2﹣（8+x）＝﹣6﹣x，
∴x＝﹣6﹣x，
解得x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
二、间接设元法
【学霸笔记】
所设的量是不需要求的，但能够更容易找出题中的等量关系，对于一些采用直接设元法列方程比较困难的问题，可以采用间接设元法会比较容易.（所设未知量与所求未知量要有一定联系）
解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：
（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；
（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：
①求出各个临界点；
②根据未知数的取值范围进行分类讨论；
③去绝对值符号，化为一般方程求解.
【典例】如图是一个长方形色块图，由6个大小不完全相同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个长方形的面积为 ．
【解答】解：设右下角正方形的边长为x，则其余正方形的边长依次为x+1，x+2，x+3，
∴2x+5＝3x+1，
解得x＝4，
∴矩形的边长为13，11，
∴矩形的面积为13×11＝143．
故答案为143．
【巩固】小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数．问：小明家的电话号码是多少？
【解答】解：①后五位数是依次增加的数．
设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x+1，x+2，x+3，x+4，
根据题意，得：4x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）＝10（x+3）+（x+4），
解得：x＝﹣8 不符合实际意义．
②后五位数是依次减小的数．
设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣4，
根据题意得：4x+（x﹣1）+（x﹣2）+（x﹣3）+（x﹣4）＝10（x﹣3）+（x﹣4），
解得：x＝8．
所以后四位数为7654，
因此小明家的电话号码为 88887654．
答：小明家的电话号码是88887654．
三、辅助设元法
【学霸笔记】
对于一些较为复杂的问题，往往数量之间关系交错复杂，可采用增设未知数，在已知条件和所求结论之间架起一座“桥梁”，从而理清各个数量间的关系，这种设元方法叫做辅助设元法，也叫参数法或设而不求法.
【典例】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）由题意得：a+6b=24×6c①a+8b=21×8c②a+bx=16cx③
由②﹣①得 b＝12c④
由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c⑤
将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18
（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤bc=12．
答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．
【巩固】有两块锌铜合金的质量分别为10千克、15千克，这两块合金的含铜的质量分数不同，现分别从这两块合金中各切下一块质量相同的合金，交换后分别与另一块合在一起熔化，冷却后测得这两块合金含铜的质量分数相同，求切下的一块合金的质量．
【解答】解：设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，
则交换后第一块合金含铜的质量为（10﹣x）a+xb，第二块合金含铜量为（15﹣x）b+xa，
由题意得：(10-x)a+xb10=(15-x)b+xa15，
整理得：（b﹣a）x＝6（b﹣a），
解得：x＝6．
答：切下的一块合金的质量为6千克．
四、整体设元法
【学霸笔记】
有些问题未知量较多，已知关系又少，若未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少元的个数，这种设元的方法叫做整体设元法.
【典例】以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”＝3，那么被乘数是 ．
【解答】解：设“神舟五号“＝A，“飞天”＝B，
则3×（100A+B）＝10000B+A，
300A+3B＝10000B+A，
299A＝9997B，
23A＝769B，而23和769互质，
故B＝23n，A＝769n（n是自然数），2≤n≤4．
但A的首位数字为3．
只可能n＝4，从而A＝3076，B＝92．
所以被乘数是307692．
故答案为307692．
【巩固】一个六位数2abcde的3倍等于abcde9，则这个六位数是 ．
【解答】解：设abcde为x，
∵2abcde中的2在十万位上，
∴六位数2abcde可表示为2×100000+x，
同理可得abcde9可表示为10x+9，
∴（2×100000+x）×3＝10x+9，
解得x＝85713．
∴这个6位数为2×100000+x＝285713，
故答案是285713．
巩固练习
1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）
A．7.5秒B．6秒C．5秒D．4秒
【解答】解：设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，则
100÷5×x＝80，
解得x＝4．
故选：D．
2．古希腊数学家帕普斯是丢番图是最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别是22，24，27，20，则这个四个数是（ ）
A．3，8，9，10B．10，7，3，12C．9，7，4，11D．9，6，5，11
【解答】解：设a、b、c、d为这4个数，且a＞b＞c＞d，
则有a+b+c=27a+b+d=24a+c+d=22b+c+d=20，
解得：a＝11，b＝9，c＝7，d＝4．
故选：C．
3．一天晚上停电了，小明同时点上两支粗细不同的蜡烛看书，若干分钟后电来了，小明将两支蜡烛同时熄灭，已知粗的新蜡烛可燃烧2小时，细的新蜡烛可燃烧1小时，开始时两根蜡烛一样长，熄灭时粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍，则停电时间为 分钟．
【解答】解：设停电x分钟，
依题意得：1-1120x=2(1-160x)，
解得x＝40分钟．
答：停电40分钟．
故答案为：40．
4．如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 ．（瓶底的厚度不计）
【解答】解：设瓶的底面积为Scm2，则左图V水＝12Scm3，右图V空＝10Scm3，
∵V瓶＝V水+V空＝22Scm3，
∴V水：V瓶＝6：11．
故答案为611．
5．甲从A地到B地，去时步行，返回时坐车，共用x小时，若他往返都坐车，则全程只需x3小时，若他往返都步行，则需 小时．
【解答】解：∵往返都坐车，全程只需x3小时，
∴坐车一趟用的时间为16x小时，
∵去时步行，返回时坐车，用x小时，
∴步行一趟用x-16x=56x小时，
∴往返都步行，需要56x×2=53x小时，
故答案为53x．
6．某人从家到学校时，13的路程走路，23的路程骑车；从学校回家时，前38的时间走路，后58的时间骑车，结果去学校的时间比回家所用的时间多0.5小时，已知他走路每小时行8千米，骑车每小时行16千米，则此人从家到学校的距离是多少千米？
【解答】解：设此人从家到学校的距离是x千米，
依题意，得：13x8+23x16-x38×8+58×16=0.5，
解得：x＝78．
答：此人从家到学校的距离是78千米．
7．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？
【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．
根据题意，得
x=a+b13×2x=a+13b，
解得b=12x，a=12x．
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．
3tx＝a+bt，
t=a3x-b=15．
即t＝12分钟．
答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．
8．自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3000km就要报废，安装在前轮上，则行驶5000km才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自定车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可驶多少千米？
【解答】解：设自行车行驶了xkm后，互换前后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶（5000﹣x）km，后轮胎还可行驶（3000﹣x）km
则有（5000﹣x）×35=（3000﹣x）×53
∴（53-35）x＝2000
解得：x＝1875（km）
（5000﹣1875）×35=1875（km）
1875+1875＝3750（km）
∴安装在自行车上的一对轮胎最多可驶3750千米．
9．大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；…，按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多．问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？
【解答】解：设遗产总数为x克朗，则老大分得100+110（x﹣100），老二分得200+110[x﹣100-110（x﹣100）﹣200]，
根据题意可得100+110（x﹣100）＝200+110[x﹣100-110（x﹣100）﹣200]，
解得x＝8100，
则老大分得100+110（x﹣100）＝900，
8100÷900＝9（人）．
答：这位父亲共有共有孩子9人，每个孩子分得遗产900克朗．
10．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．
【解答】解：（1）1560×3=34(h)=45（分钟），
∵45＞42，
∴不能在限定时间内到达考场．
（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．
先将4人用车送到考场所需时间为1560=0.25(h)=15（分钟）．
0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），
设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，
5t+60t＝13.75，
解得t=2.7513．
汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.7513h．
所以用这一方案送这8人到考场共需15+2×2.7513×60≈40.4＜42．
所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．
方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，
由A处步行前考场需15-x5(h)，
汽车从出发点到A处需x60(h)先步行的4人走了5×x60(km)，
设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有60t+5t=x-5×x60，
解得t=11x780，
所以相遇点与考场的距离为：15-x+60×11x780=15-2x13(km)．
由相遇点坐车到考场需：(14-x390)(h)．
所以先步行的4人到考场的总时间为：(x60+11x780+14-x390)(h)，
先坐车的4人到考场的总时间为：(x60+15-x5)(h)，
他们同时到达则有：x60+11x780+14-x390=x60+15-x5，
解得x＝13．
将x＝13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：(1360+25)×60=37（分钟）．
∵37＜42，
∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．