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专题15 角-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）
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这是一份专题15 角-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用），文件包含专题15角-初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练原卷版docx、专题15角-初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
【典例】已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM=12∠AOC＝40°，
∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；
故选：C．
【巩固】水平直线上顺次三点A、O、B，以O点为顶点在直线上方作∠COD＝40°，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD，求∠MON的度数．
【解答】解：∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠AOM＝∠COM=12∠AOC，∠BON＝∠DON=12∠BOD．
分两种情况：
①如图1，∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝40°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣40°＝140°，
∴∠AOM+∠BON=12∠AOC+12∠BOD=12（∠AOC+∠BOD）=12×140°＝70°，
∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣70°＝110°；
②如图2，∵∠AOC﹣∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝40°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°+40°＝220°，
∴∠AOM+∠BON=12∠AOC+12∠BOD=12（∠AOC+∠BOD）=12×220°＝110°，
∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣110°＝70°．
综上所述，∠MON的度数为110°或70°．
二、钟表中涉及到的角度问题
【典例】（1）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角；
（2）在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针何时成直角？
【解答】解：（1）如图，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，
上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角是4.5个等份，因而时针和分针的夹角是4.5×30＝135°；
（2）时针一小时即60分钟转30度，一分钟转动0.5°，分针一小时转360度，一分钟转6度，
可以设从上午10时30分再经过x分钟，时针和分针成直角，
列方程得到：135﹣6x+0.5x＝90，
解得x＝8211，即10时38211分时，时针和分针成直角；
11时时针与分针的夹角是30度，设再过y分钟，时针与分针的夹角是直角，
根据题意得到：30+6y﹣0.5y＝90，解得y＝101011，
则当在11时101011分时，时针和分针成直角．
【巩固】（1）在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒，△OAB的面积第一次达到最大？
（2）钟面上从2点到4点有几次时针与分针成60°的角？分别是几点几分？
【解答】解：（1）设经过t秒时，OA与OB第一次垂直．
∵秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，
∴（6﹣0.1）t＝90，解得：t=90059．
则当OA与OB第一次垂直的时候，△OAB的面积第一次达到最大．
（2）共有四次时针与分针成60°的角．
①第一次正好为2点整；
②第二次设为2点x分时，时针与分针的夹角为60°，
由题意可知：分针的速度为6°/分，时针的速度为0.5°/分，则分针与时针的速度差为5.5°/分．
则5.5x＝60×2，解得：x=24011；
③第三次设为3点y分时，时针与分针的夹角为60°，
5.5y＝90﹣60，解得：y=6011；
④第四次设为3点z分时，时针与分针的夹角为60°，
5.5z＝90+60，解得：z=30011．
综上所述，钟面上从2点到4点有四次时针与分针成60°的角，分别是
2点整、2点24011分、3点6011、3点30011．
三、角度的动态类问题
【典例】如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°．以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）
（1）当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间．
（2）当射线OQ的转速为4°/s，t＝21s时，求∠POQ的值．
（3）若射线OQ的转速为3°/s，
①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值．
②当∠POQ＝70°时，求射线OP旋转的时间．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+10°＝70°，
∴当射线OP平分∠AOC时，∠AOP＝∠POC＝35°，
∴此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP＝20°+35°＝55°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，
∴旋转的时间：55÷1＝55s．
（2）∵射线OQ的转速为4°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，
∴t＝21s时，∠COQ＝21×4＝84°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，
∴t＝21s时，∠FOP＝21×1＝21°，
如图，
∴∠FOQ＝∠FOA+∠AOB+∠BOC﹣∠COQ＝6°．
∴∠POQ＝∠FOP﹣∠FOQ＝15°；
（3）①当射线OQ和射线OP重合时，t=10+20+603+1=452（s）；
∴∠COQ=452×3=135°2；
②设射线OP旋转的时间为ts，
当OP和OQ在未重合之前，90﹣t﹣3t＝70，t＝5；
当OP和OQ在重合之后，3t+t﹣70＝90，解得t＝40；
∵OQ按题目条件射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，
∴t≤90÷3，即t≤30，
∴t＝40时（t≤30）早已停止运动，但OP未停止，因此第二种情况t＝70．
故当∠POQ＝70°时，射线OP旋转的时间为5秒或70秒．
【巩固】已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．
（1）如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
（2）点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC＝60°，
∵∠DOE＝80°．
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝20°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°+20°＝140°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°；
（2）①∠DOE在∠AOC内部时．
令∠AOD＝x°，则∠DOF＝2x°，∠EOF＝80°﹣2x°，
∴∠EOC＝120°﹣（x°+2x°+80°﹣2x°）＝40°﹣x°，
∴∠EOF＝2∠EOC；
②∠DOE的两边在射线OC的两侧时．
令∠AOD＝x°，
则∠DOF＝2x°，∠DOC＝120°﹣x°，∠EOF＝2x°﹣80°，
∴∠EOC＝80°﹣（120°﹣x°）＝x°﹣40°，
∴∠EOF＝2∠EOC．
综上可得，∠FOE和∠EOC的数量关系不改变，∠EOF＝2∠EOC．
巩固练习
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（ ）
A．12°B．24°C．39°D．45°
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，
∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°
＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故选：C．
2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（ ）
A．480°B．500C．540D．600
【解答】解：如图，
由四边形的内角和得，∠2+∠3+∠5+∠8＝360°，∠6+∠7+∠9+∠10＝360°，
∴∠2+∠3+∠5+∠8+∠6+∠7+∠9+∠10＝720°，
∵∠8+∠9＝180°，∠10＝∠1+∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠8+∠6+∠7＝720°﹣180°＝540°，
故选：C．
3．如图，已知平面内∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，若OD平分∠AOC，OE⊥OA，则∠EOD＝ °．
【解答】解：根据题意画图，
①当OE与OD在OA两侧时，如图1，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+20°＝70°，
∴∠AOD=12∠AOC=12×70°=35°，
∵OE⊥OA，
∴∠EOA＝90°，
∴∠EOD＝∠EOA+∠AOD＝90°+35°＝125°；
②当OE与OD在OA同侧时，如图2，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+20°＝70°，
∴∠AOD=12∠AOC=12×70°=35°，
∵OE⊥OA，
∴∠EOA＝90°，
∴∠EOD＝∠EOA﹣∠AOD＝90°﹣35°＝55°；
综上所述：∠EOD的度数是125°或55°．
4．如图，要用一张长方形的纸片折成一个纸袋，两条折痕的夹角为80°（即∠POQ＝80°），将折过来的重叠部分抹上胶水，就可以做成一个纸袋，那么粘胶水部分所构成的这个角∠A'OB'＝ ．
【解答】解：由折叠的性质可知∠AOP＝∠A'OP，∠BOQ＝∠B′OQ，
∵∠POQ＝80°，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣80°＝100°，
∴∠A'OP+∠B′OQ＝100°，
∴∠A'OB'＝∠AOP+∠A'OP+∠BOQ+∠B′OQ﹣180°
＝100°+100°﹣180°
＝20°，
故答案为：20°．
5．已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．
（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ °；
（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，
∴∠EFH=12∠AFH，∠IFH=12∠BFH，
∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG=12（∠AFH+∠BFH）=12∠AFB＝90°，
∴∠EFI=12∠AFB＝90°，
故答案为：90．
（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，
∵∠HFG＝30°
∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y
∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，
即2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∴∠EFI＝x+y+30＝75°，
∴∠EFI＝75°．
（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，
∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，
∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，
又∵∠EFQ=∠IFQ=180-(α+β)2，
∴∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，
∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）-[180°-(α+β)2]|＝|α-β2|，
∴∠PFQ|＝|α-β2|．
6．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．
（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；
（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．
①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，∠MON为直角？
（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系： ．
【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM=12∠AOB=12×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON=12∠COD=12×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；
（2）如图2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；
②当∠MON＝90°时，n+25＝90，
∴n＝65．
（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°-12m°）=12m°+25°．
当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+12m°﹣40=12m°+25°．
综上所述，∠MON=12m°+25°．
故答案为：∠MON=12m°+25°．
7．阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
解决问题：
（1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数；
（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针；
（3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【解答】解：（1）∵8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，
∴夹角是30°×2.5＝75°，
∴分针与时针所夹的锐角的度数是75°；
（2）设x分钟后分针第一次追上时针，
6x﹣0.5x＝240，
解得x=48011，
答：8：00开始48011分钟后分针第一次追上时针；
（3）设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线，
分三种情况：
如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB＝∠POB，
∴0.5m＝240﹣6m，
解得m=48013；
如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB＝2∠POB，
∴0.5m＝2（6m﹣240），
解得m=96023；
如图③，当OQ平分∠BOP时，∠POB＝2∠QOB，
∴6m﹣240＝2×0.5m，
解得m＝48．
综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
8．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 度．
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．
【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°
（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：∠NOB＝90°；
故答案为90．
（2）∵∠AOM+∠AON＝90°，∠AON+∠NOC＝∠AOC＝45°，
∴∠AOM﹣∠NOC＝45°；
（3）∵ON所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AON＝∠AOC÷2＝45°÷2＝22.5°，
此时旋转角为：90°+22.5°＝112.5°
112.5÷5＝22.5（秒），
或（112.5+180）÷5＝58.5（秒）
所以直角△MON绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．
9．已知如图1，∠AOB＝40°．
（1）若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【解答】解：（1）①C在∠AOB内部时，如下图，
∵∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=34∠AOB=34×40°＝30°，
②OC在∠AOB外部时，如下图，
∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=32∠AOB=32×40°＝60°，
综上所述：∠BOC＝30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）解：
设∠CON＝x，
∵ON是∠MOC的四等分点，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，
又∵∠AOC＝20°，
∴∠AOM＝4x﹣20°，
∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，
∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，
∴4∠AON+∠COM＝80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，
射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠CON=14∠COM，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA-14∠COM＝20°-14（60°﹣5t°）＝5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝20°+10t°，
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，
∵∠CON=14∠COM，
∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA+14∠COM＝20°+14（5t°﹣60°）＝5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝10t°+20°，
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠AON＝∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°﹣60°）+20°＝5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+360°﹣5t°＝380°，
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠CON﹣∠COA=14∠COM﹣∠COA=14（420°﹣5t°）﹣20°＝85°-54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（85°-54t°）+360°﹣5t°＝700°﹣10t°，
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA-14∠COM＝20°-14（420°﹣5t°）=54t°﹣85°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（54t°﹣85°）+360°﹣5t°＝20°，
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM＝20°，为定值20°．
10．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，
∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°
∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．
故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′=12∠BOD′=12(100°-4t)=50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t），
解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
=803（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t-803）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t-803）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′=12∠BOD'=12（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，
∴6（t-803）=12（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时，
∵∠POB=12（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′=12（100°﹣4t）＝50°﹣2t，
∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
当OP与OB重合时，12（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．
∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20+103=703，
当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40，
观察图象可知，703≤t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t=1403，
当1403≤t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或703≤t≤40或1403≤t≤50．
【典例】已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM=12∠AOC＝40°，
∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；
故选：C．
【巩固】水平直线上顺次三点A、O、B，以O点为顶点在直线上方作∠COD＝40°，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD，求∠MON的度数．
【解答】解：∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠AOM＝∠COM=12∠AOC，∠BON＝∠DON=12∠BOD．
分两种情况：
①如图1，∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝40°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣40°＝140°，
∴∠AOM+∠BON=12∠AOC+12∠BOD=12（∠AOC+∠BOD）=12×140°＝70°，
∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣70°＝110°；
②如图2，∵∠AOC﹣∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝40°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°+40°＝220°，
∴∠AOM+∠BON=12∠AOC+12∠BOD=12（∠AOC+∠BOD）=12×220°＝110°，
∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣110°＝70°．
综上所述，∠MON的度数为110°或70°．
二、钟表中涉及到的角度问题
【典例】（1）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角；
（2）在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针何时成直角？
【解答】解：（1）如图，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，
上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角是4.5个等份，因而时针和分针的夹角是4.5×30＝135°；
（2）时针一小时即60分钟转30度，一分钟转动0.5°，分针一小时转360度，一分钟转6度，
可以设从上午10时30分再经过x分钟，时针和分针成直角，
列方程得到：135﹣6x+0.5x＝90，
解得x＝8211，即10时38211分时，时针和分针成直角；
11时时针与分针的夹角是30度，设再过y分钟，时针与分针的夹角是直角，
根据题意得到：30+6y﹣0.5y＝90，解得y＝101011，
则当在11时101011分时，时针和分针成直角．
【巩固】（1）在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒，△OAB的面积第一次达到最大？
（2）钟面上从2点到4点有几次时针与分针成60°的角？分别是几点几分？
【解答】解：（1）设经过t秒时，OA与OB第一次垂直．
∵秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，
∴（6﹣0.1）t＝90，解得：t=90059．
则当OA与OB第一次垂直的时候，△OAB的面积第一次达到最大．
（2）共有四次时针与分针成60°的角．
①第一次正好为2点整；
②第二次设为2点x分时，时针与分针的夹角为60°，
由题意可知：分针的速度为6°/分，时针的速度为0.5°/分，则分针与时针的速度差为5.5°/分．
则5.5x＝60×2，解得：x=24011；
③第三次设为3点y分时，时针与分针的夹角为60°，
5.5y＝90﹣60，解得：y=6011；
④第四次设为3点z分时，时针与分针的夹角为60°，
5.5z＝90+60，解得：z=30011．
综上所述，钟面上从2点到4点有四次时针与分针成60°的角，分别是
2点整、2点24011分、3点6011、3点30011．
三、角度的动态类问题
【典例】如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°．以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）
（1）当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间．
（2）当射线OQ的转速为4°/s，t＝21s时，求∠POQ的值．
（3）若射线OQ的转速为3°/s，
①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值．
②当∠POQ＝70°时，求射线OP旋转的时间．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+10°＝70°，
∴当射线OP平分∠AOC时，∠AOP＝∠POC＝35°，
∴此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP＝20°+35°＝55°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，
∴旋转的时间：55÷1＝55s．
（2）∵射线OQ的转速为4°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，
∴t＝21s时，∠COQ＝21×4＝84°，
∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，
∴t＝21s时，∠FOP＝21×1＝21°，
如图，
∴∠FOQ＝∠FOA+∠AOB+∠BOC﹣∠COQ＝6°．
∴∠POQ＝∠FOP﹣∠FOQ＝15°；
（3）①当射线OQ和射线OP重合时，t=10+20+603+1=452（s）；
∴∠COQ=452×3=135°2；
②设射线OP旋转的时间为ts，
当OP和OQ在未重合之前，90﹣t﹣3t＝70，t＝5；
当OP和OQ在重合之后，3t+t﹣70＝90，解得t＝40；
∵OQ按题目条件射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，
∴t≤90÷3，即t≤30，
∴t＝40时（t≤30）早已停止运动，但OP未停止，因此第二种情况t＝70．
故当∠POQ＝70°时，射线OP旋转的时间为5秒或70秒．
【巩固】已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．
（1）如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
（2）点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC＝60°，
∵∠DOE＝80°．
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝20°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°+20°＝140°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°；
（2）①∠DOE在∠AOC内部时．
令∠AOD＝x°，则∠DOF＝2x°，∠EOF＝80°﹣2x°，
∴∠EOC＝120°﹣（x°+2x°+80°﹣2x°）＝40°﹣x°，
∴∠EOF＝2∠EOC；
②∠DOE的两边在射线OC的两侧时．
令∠AOD＝x°，
则∠DOF＝2x°，∠DOC＝120°﹣x°，∠EOF＝2x°﹣80°，
∴∠EOC＝80°﹣（120°﹣x°）＝x°﹣40°，
∴∠EOF＝2∠EOC．
综上可得，∠FOE和∠EOC的数量关系不改变，∠EOF＝2∠EOC．
巩固练习
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（ ）
A．12°B．24°C．39°D．45°
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，
∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°
＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故选：C．
2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（ ）
A．480°B．500C．540D．600
【解答】解：如图，
由四边形的内角和得，∠2+∠3+∠5+∠8＝360°，∠6+∠7+∠9+∠10＝360°，
∴∠2+∠3+∠5+∠8+∠6+∠7+∠9+∠10＝720°，
∵∠8+∠9＝180°，∠10＝∠1+∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠8+∠6+∠7＝720°﹣180°＝540°，
故选：C．
3．如图，已知平面内∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，若OD平分∠AOC，OE⊥OA，则∠EOD＝ °．
【解答】解：根据题意画图，
①当OE与OD在OA两侧时，如图1，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+20°＝70°，
∴∠AOD=12∠AOC=12×70°=35°，
∵OE⊥OA，
∴∠EOA＝90°，
∴∠EOD＝∠EOA+∠AOD＝90°+35°＝125°；
②当OE与OD在OA同侧时，如图2，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+20°＝70°，
∴∠AOD=12∠AOC=12×70°=35°，
∵OE⊥OA，
∴∠EOA＝90°，
∴∠EOD＝∠EOA﹣∠AOD＝90°﹣35°＝55°；
综上所述：∠EOD的度数是125°或55°．
4．如图，要用一张长方形的纸片折成一个纸袋，两条折痕的夹角为80°（即∠POQ＝80°），将折过来的重叠部分抹上胶水，就可以做成一个纸袋，那么粘胶水部分所构成的这个角∠A'OB'＝ ．
【解答】解：由折叠的性质可知∠AOP＝∠A'OP，∠BOQ＝∠B′OQ，
∵∠POQ＝80°，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣80°＝100°，
∴∠A'OP+∠B′OQ＝100°，
∴∠A'OB'＝∠AOP+∠A'OP+∠BOQ+∠B′OQ﹣180°
＝100°+100°﹣180°
＝20°，
故答案为：20°．
5．已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．
（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ °；
（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，
∴∠EFH=12∠AFH，∠IFH=12∠BFH，
∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG=12（∠AFH+∠BFH）=12∠AFB＝90°，
∴∠EFI=12∠AFB＝90°，
故答案为：90．
（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，
∵∠HFG＝30°
∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y
∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，
即2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∴∠EFI＝x+y+30＝75°，
∴∠EFI＝75°．
（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，
∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，
∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，
又∵∠EFQ=∠IFQ=180-(α+β)2，
∴∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，
∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）-[180°-(α+β)2]|＝|α-β2|，
∴∠PFQ|＝|α-β2|．
6．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．
（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；
（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．
①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，∠MON为直角？
（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系： ．
【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM=12∠AOB=12×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON=12∠COD=12×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；
（2）如图2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；
②当∠MON＝90°时，n+25＝90，
∴n＝65．
（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°-12m°）=12m°+25°．
当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+12m°﹣40=12m°+25°．
综上所述，∠MON=12m°+25°．
故答案为：∠MON=12m°+25°．
7．阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
解决问题：
（1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数；
（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针；
（3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【解答】解：（1）∵8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，
∴夹角是30°×2.5＝75°，
∴分针与时针所夹的锐角的度数是75°；
（2）设x分钟后分针第一次追上时针，
6x﹣0.5x＝240，
解得x=48011，
答：8：00开始48011分钟后分针第一次追上时针；
（3）设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线，
分三种情况：
如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB＝∠POB，
∴0.5m＝240﹣6m，
解得m=48013；
如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB＝2∠POB，
∴0.5m＝2（6m﹣240），
解得m=96023；
如图③，当OQ平分∠BOP时，∠POB＝2∠QOB，
∴6m﹣240＝2×0.5m，
解得m＝48．
综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
8．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 度．
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．
【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°
（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：∠NOB＝90°；
故答案为90．
（2）∵∠AOM+∠AON＝90°，∠AON+∠NOC＝∠AOC＝45°，
∴∠AOM﹣∠NOC＝45°；
（3）∵ON所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AON＝∠AOC÷2＝45°÷2＝22.5°，
此时旋转角为：90°+22.5°＝112.5°
112.5÷5＝22.5（秒），
或（112.5+180）÷5＝58.5（秒）
所以直角△MON绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．
9．已知如图1，∠AOB＝40°．
（1）若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【解答】解：（1）①C在∠AOB内部时，如下图，
∵∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=34∠AOB=34×40°＝30°，
②OC在∠AOB外部时，如下图，
∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=32∠AOB=32×40°＝60°，
综上所述：∠BOC＝30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）解：
设∠CON＝x，
∵ON是∠MOC的四等分点，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，
又∵∠AOC＝20°，
∴∠AOM＝4x﹣20°，
∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，
∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，
∴4∠AON+∠COM＝80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，
射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠CON=14∠COM，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA-14∠COM＝20°-14（60°﹣5t°）＝5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝20°+10t°，
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，
∵∠CON=14∠COM，
∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA+14∠COM＝20°+14（5t°﹣60°）＝5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝10t°+20°，
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠AON＝∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°﹣60°）+20°＝5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+360°﹣5t°＝380°，
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠CON﹣∠COA=14∠COM﹣∠COA=14（420°﹣5t°）﹣20°＝85°-54t°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（85°-54t°）+360°﹣5t°＝700°﹣10t°，
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA-14∠COM＝20°-14（420°﹣5t°）=54t°﹣85°，
∴4∠AON+∠BOM＝4（54t°﹣85°）+360°﹣5t°＝20°，
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM＝20°，为定值20°．
10．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，
∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°
∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．
故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′=12∠BOD′=12(100°-4t)=50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t），
解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
=803（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t-803）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t-803）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′=12∠BOD'=12（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，
∴6（t-803）=12（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时，
∵∠POB=12（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′=12（100°﹣4t）＝50°﹣2t，
∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
当OP与OB重合时，12（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．
∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20+103=703，
当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40，
观察图象可知，703≤t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t=1403，
当1403≤t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或703≤t≤40或1403≤t≤50．
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