2023-2024学年安徽省宿州市萧县城东初级中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省宿州市萧县城东初级中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几何体中，俯视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
2.比例尺为1：2000的地图上，A，B两地间的图上距离为2cm，则两地间的实际距离是( )
A. 10mB. 20mC. 40mD. 80000m
3.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤1B. k≤1且k≠2C. k≥1且k≠2D. k≥2
4.将分别写有“魅”“力”“安”“徽”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出1个球，放回后再随机摸出1个球，两次摸出的球上的汉字可以组成“安徽”的概率是( )
A. 18B. 16C. 14D. 13
5.若点A(−1,a)，B(1,b)，C(2,c)在反比例函数y=2x的图象上，则a，b，c的大小关系是( )
A. a6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=513，则csA的值为( )
A. 512B. 813C. 23D. 1213
7.下列命题中：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为1，则输出y的值为2；若输入x的值为−2，则输出y的值为( )
A. −8B. −4C. 4D. 8
9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E，F分别是AD，DC的中点，连接BE，BF，EF，点P为边BE上一点，过点P作PQ/​/EF，交BF于点Q，若S△BPQS△BEF=12，则PQ的长为( )
A. 12
B. 1
C. 22
D. 2
10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF=CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M.P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM.有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3 2；
③CF2=GE⋅AE；
④S△ADM=6 2．
其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③④
C. ①③④
D. ①③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算 8−( 3−1)0+(−12)−2−4sin45°= ______．
12.已知a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，则a2−b−3的值是______．
13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，对角线交于点O，F，E分别是AD，BO的中点，则线段EF的长度为 ．
14.有一边是另一边的 3倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角.如图，△ABC是幸运三角形，BC为幸运边，∠B为幸运角，A(3,0)，点B，C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为 3.当△ABC是直角三角形且∠B=90°时，则k的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程：3x2−2x−6=0．
16.(本小题8分)
计算：2cs230°−sin30°+1tan60∘−2sin45∘．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,1)，B(1,4)，C(3,2).请解答下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1
(2)以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
18.(本小题8分)
对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界.例如，函数y=−(x−3)2+2是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①y=x2+2x+1和②y=2x−3(x≤5)中是有上界函数的为______(只填序号即可)，其上确界为______；
(2)若反比例函数y=6x(a≤x≤b,a>0)的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值．
19.(本小题10分)
某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
(1)若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
(2)该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
20.(本小题10分)
如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
21.(本小题12分)
某学校准备组织学生参加唱歌、舞蹈、书法、朗诵活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”(必选且只选一种)的问卷调查.根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

(1)本次抽样调查的总人数为 ，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为 ．
(2)若该校有1400名学生，估计选择参加“书法”的有多少人？
(3)学校准备从推荐的4位同学(两男两女)中随机选取两人当正式活动的主持人，利用画树状图法或列表法求选取的两人恰为一男一女的概率．
22.(本小题12分)
如图，已知△ABC和△CDE为等腰三角形，其中AB=AC，EC=ED，AB//CE，点B、C、D在同一直线上，连接AE，过点D作DF/​/AE交AC的延长线于点F，连接BF．
(1)求证：△ABF≌△CAE；
(2)若∠ACE=∠CDF，求证：AE2=CF⋅AF．
23.(本小题14分)
如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(a,3)，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC=AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、长方体俯视图是矩形，故此选项不合题意；
B、圆锥俯视图是带圆心的圆，故此选项不合题意；
C、四棱锥的俯视图是画有对角线的四边形，故此选项不合题意；
D、三棱柱俯视图是三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到棱都应表现在三视图中．
2.【答案】C
【解析】解：设A、B两地间的实际距离为x m，
根据题意得12000=2100x，
解得x=40．
所以A、B两地间的实际距离为40m．
故选：C．
设A、B两地间的实际距离为xcm，根据比例线段得12000=2100x，然后解方程即可．
本题主要考查了比例线段：熟练掌握比例线段的意义是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程(k−2)x2+2x−1=0有实数根，
∴k−2≠0，即k≠2，
△≥0，即Δ=22−4(k−2)×(−1)=4k−4≥0，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1且k≠2．
故选：C．
由一元二次方程(k−2)x2+2x−1=0有实数根，则k−2≠0，即k≠2，且△≥0，即Δ=22−4(k−2)×(−1)=4k−4≥0，然后解两个不等式得到k的取值范围．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
4.【答案】A
【解析】解：将写有“魅”“力”“安”“徽”四个汉字的小球分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
由图可知共有16种，其中两次摸出球上汉字可以组成“安徽”的结果有2种，即CD，DC，
∴两次摸出球上汉字概率为：216=18，
故选：A．
根据题意画出树状图即可得到两次摸出球上汉字可以组成“安徽”的概率．
本题考查了用树状图求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟记概率公式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=2x的中k=2>0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵−1<0，0<1<2，
∴点(−1,a)位于第三象限，
∴a<0，
∴B(1,b)，C(2,c)位于第一象限，
∵0<1<2，
∴b>c>0，
∴a故选：C．
先根据反比例函数中k=2>0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵sinA=BCAB=513，∠C=90°，
∴设BC=5x，AB=13x，
∴AC= AB2−BC2=12x，
∴csA=ACAB=1213．
故选：D．
根据锐角三角函数的定义和勾股定理解答即可．
此题主要考查了同角的三角函数．
7.【答案】C
【解析】解：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
8.【答案】A
【解析】解：∵由题意得：
把x=1，y=2，代入y=ax2+2bx中可得：
a+2b=2，
把x=−2入y=−ax2+4bx中可得：
y=−4a−8b
=−4(a+2b)
=−4×2
=−8，
故选：A．
根据x的范围选择程序，进行计算即可．
本题考查了函数值，根据x的范围选择程序，进行计算是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接PQ，AC，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC= AB2+BC2= 22+22=2 2，
∵E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF=12AC=12×2 2= 2，
∵PQ//EF，
∴△BPQ∽△BEF，
∴S△BPQS△BEF=(PQEF)2，
∵S△BPQS△BEF=12，
∴(PQEF)2=12，
∴(PQ 2)2=12，
∴PQ=1，
∴PQ的长为1，
故选：B．
连接PQ、AC，由∠ABC=90°，AB=BC=2，根据勾股定理求得AC=2 2，由三角形的中位线定理求得EF= 2，再证明△BPQ∽△BEF，则S△BPQS△BEF=(PQEF)2=12，即可求得PQ=1，得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，根据三角形的中位线定理求出EF的长并且证明△BPQ∽△BEF是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
∵BF=CE，
∴BC−BF=DC−CE，
即CF=DE，
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠DAE+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGM=90°，
∴∠AGM=∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG=∠DAG，
在△AGM和△AGD中，
∠MAG=∠DAGAG=AG∠AGM=∠AGD,
∴△AGM≌△AGD(ASA)，
∴GM=GD，
又∵∠AGM=∠AGD=90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM=HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=BD=4 2，
∴DO=12BD=2 2，
即PM+PN的最小值为2 2，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DGE=∠ADC，
又∵∠DEG=∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴DEAE=GEDE，
即DE2=GE⋅AE，
由①知CF=DE，
∴CF2=GE⋅AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM=AD=4，
又DO=2 2，
∴S△ADM=12AM⋅DO=12×4×2 2=4 2，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．
①先根据正方形的性质证得△ADE和△DCF全等，再利用ASA证得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；
②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出DO=2 2，即PM+PN的最小值2 2；
③先证△DGE∽△ADE，再根据相似三角形的性质及CF=DE，即可判断；
④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解： 8−( 3−1)0+(−12)−2−4sin45°
=2 2−1+4−4× 22
=2 2−1+4−2 2
=3，
故答案为：3．
先计算零次幂、负整数指数幂、二次根式和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
12.【答案】1
【解析】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，
∴a+b=−1，
把x=a代入方程得：a2+a−3=0，即a2=3−a，
则原式=3−a−b−3
=−(a+b)
=1．
故答案为：1．
利用根与系数的关系求出a+b，把x=a代入方程得到关系式，变形后代入原式计算即可求出值．
本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
13.【答案】 13
【解析】解：如图，过F作FG⊥BD于点G，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，
∴AB=AC=BC=4，
∴OA=12AC=2，OB=OD=12BD=2 3，AC⊥BD，
∵FG⊥BD，
∴FG/​/AC，
∵F、E分别是AD、BO中点，
∴OG=DG=12OD= 3，OE=12OB= 3，
∴EG=OE+OG=5，FG是△AOD的中位线，
∴FG=12OA=1，
∴EF= EG2+FG2= (2 3)2+12= 13，
故答案为： 13．
过F作FG⊥BD于点G，由菱形的性质得OA=12AC=2，OB=OD=12BD=2 3，AC⊥BD，再求出EG=OE+OG=2 3，证FG是△AOD的中位线，得FG=12OA=1，然后由勾股定理求出EF的长即可．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
14.【答案】3+3 3
【解析】解：过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图，
∴∠AEB=∠F=∠ABC=90°，
∴∠BCF+∠CBF=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
∴△BCF∽△ABE，
∴BFAE=CFBE=BCAB= 3，
设AE=a，则BF= 3AE= 3a，
∵A(3,0)，
∴OE=OA+AE=3+a，
∵B的纵坐标为 3，即BE= 3，
∴CF= 3BE=3，CG=EF=BE+BF= 3+ 3a，B(3+a, 3)，
∴OG=OE−GE=OE−CF=3+a−3=a，
∴C(a, 3+ 3a)
∵点B、C在在函数y=kx(x>0)的图象上，
∴ 3(3+a)=a( 3+ 3a)=k，
解得：a1=− 3(舍去)，a2= 3，
∴k=3+3 3，
故答案为3+3 3．
作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，再利用对应边的关系把B、C的坐标表示出来，再代入y=kx计算即可．
本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，表示出B、C的坐标是解题的关键．
15.【答案】解：a=3，b=−2，c=−6，
∵Δ=b2−4ac
=(−2)2−4×3×(−6)
=4+72
=76>0，
∴x=2± 762×3=2±2 196=1± 193，
∴x1=1+ 193，x2=1− 193．
【解析】利用公式法求出解即可．
本题考查了解一元二次方程−公式法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值(注意符号)；
②求出b2−4ac的值(若b2−4ac<0，方程无实数根)；
③在b2−4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2−4ac≥0．
16.【答案】解：原式=2×( 32)2−12+1 3−2× 22
=2×34−12+1 3− 2
=32−12+ 3+ 2( 3− 2)( 3+ 2)
=1+ 3+ 2．
【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据分母有理化计算，得到答案．
本题考查的是特殊角的三角函数值、分母有理化，数据特殊角的三角函数值是解题的关键．
17.【答案】解；(1)如图，△A1B1C1为所作三角形；
(2)如图，△A2B2C2为所作三角形，点C2点的坐标为(6,4)．

【解析】(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2点的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图−位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．
18.【答案】② 7
【解析】解：(1)函数①y=x2+2x+1=(x+1)2≥0，y没有最大值，不是上界函数．
②y=2x−3(x≤5)，y岁随的增大而增大，
当x=5时，y有最大值7，
当x≤5时，y≤7，
∴②是上界函数，上确界是7．
故答案为：②，7．
(2)反比例函数y=6x(a≤x≤b,a>0)，y随x的增大而减小，
x=a时，y有最大值，x=b时，y有最小值，
根据题意得：
6b=26a=b+1．
解得：a=1.5b=3．
(1)函数①y=x2+2x+1=(x+1)2≥0，不是上界函数．②y=2x−3(x≤5)，y随x的增大而增大，当x=5时，y有最大值7，可求上确界．
(2)反比例函数y=6x(a≤x≤b,a>0)，y随x的增大而减小，x=a时，y有最大值，x=b时，y有最小值，根据上确界是b+1，且该函数的最小值为2，列方程组，可求a，b．
本题考查了阅读理解新概念的能力，反比例函数的性质，关键是对新概念上界函数，上确界的理解和运用．
19.【答案】解：(1)设每件童服装应降价x元，
根据题意，得(80−50−x)(200+20x)=7500，
整理，得x2−20x+75=0，
解得x1=5，x2=15，
∵尽可能让利于顾客，
∴x=15，
答：每件童服装应降价15元；
(2)该店铺每周不可能盈利10000元，理由为：
设该店铺每周可能盈利10000元，则(80−50−x)(200+20x)=10000，
整理，得x2−20x+200=0，
∵Δ=(−20)2−4×200=−400<0，
∴所列方程没有实数根，
故该店铺每周不能盈利10000元．
【解析】(1)设每件童服装应降价x元，根据单件利润×销售量=总利润列方程求解即可；
(2)根据题意列一元二次方程，利用根的判别式判断根的情况即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
20.【答案】解：如图：

由题意得：∠ECD=∠ADC=90°，∠ECA=37°，∠ADB=53°，
∴∠ACD=∠ECD−∠ECA=53°，∠BDC=∠ADC−∠ADB=37°，
∴∠DBC=180°−∠BDC−∠ACD=90°，
∴∠ABD=180°−∠CBD=90°，
∴∠A=90°−∠ADB=37°，
在Rt△CBD中，CD=90米，
∴BD=CD⋅cs37°≈90×0.8=72(米)，
在Rt△ABD中，∠A=37°，
∴AB=BDtan37∘≈720.75=96(米)，
∴A，B两点间的距离约为96米．
【解析】根据题意可得：∠ECD=∠ADC=90°，∠ECA=37°，∠ADB=53°，从而可得∠ACD=53°，∠BDC=37°，再利用三角形内角和定理可得∠DBC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而可得∠A=37°，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】200人 108°
【解析】解：(1)抽样调查的总人数为36÷18%=200(人)，
参加“舞蹈”的抽样学生有200−36−80−24=60(人)，
扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为60200×360°=108°．
故答案为：200人，108°．
(2)选择参加“书法”的有1400×80200=560(人)．
(3)记两名男生分别为A1，A2，两名女生分别为B1，B2，列表如下：
由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种，
∴选取的两人恰为一男一女的概率=812=23．
(1)先求出抽样调查的总人数，再求出参加“舞蹈”的抽样学生的人数，即可求解；
(2)用总人数乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；
(3)根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵AB=AC，EC=ED，
∴∠ABC=∠ACB，∠ECD=∠EDC，
∵AB/​/CE，
∴∠ABC=∠ECD，∠BAF=∠ACE，
∴∠ACB=∠EDC，
∴AC/​/DE，
即AF/​/DE，
∵DF//AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=ED，
∴AF=EC，
在△BAF与△ACE中，
AB=CA∠BAF=∠ACEAF=CE，
∴△ABF≌△CAE(SAS)；
(2)由(1)可知，△ABF≌△CAE(SAS)，四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=BF，AE=DF，
∴BF=DF，
∴∠FBC=∠CDF，
又∵∠ACE=∠CDF，∠FAB=∠ACE，
∴∠FBC=∠FAB，
∵∠BFC=∠AFB，
∴△BFC～△AFB，
∴BFAF=CFBF，
即BF2=CF⋅AF，
而AE=BF，
∴AE2=CF⋅AF．
【解析】(1)根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，∠ECD=∠EDC，由AB//CE根据平行线的性质得到∠ABC=∠ECD，∠BAF=∠ACE，易证四边形AEDF是平行四边形，结合平行四边形的性质可证△ABF≌△CAE(SAS)；
(2)由(1)可知△ABF≌△CAE(SAS)，四边形AEDF是平行四边形求得∠FBC=∠FAB结合已知证得△BFC～△AFB，利用相似三角形的性质可得BFAF=CFBF即BF2=CF⋅AF，结合AE=BF可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质；运用相关性质证明三角形相似，并灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵点A(a,3)在一次函数y=12x+1的图象上，
代入得，12a+1=3，
∴a=4，
把A(4,3)代入y=kx得，
3=k4，
∴k=12；
(2)∵点A(4,3)，D点的纵坐标是0，AD=AC，
∴点C的纵坐标是3×2−0=6，
把y=6代入y=12x得x=2，
∴C(2,6)，
①如图1，
作CD⊥x轴于D，交AB于E，
当x=2时，y=12×2+1=2，
∴E(2,2)，
∵C(2,6)，
∴CE=6−2=4，
∴S△ABC=12CE⋅xA=12×4×4=8；
②如图2，
当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵B(0,1)，A(4,3)，点Q的纵坐标为0，
∴yP=1+3−0=4，
当y=4时，4=12x，
∴x=3，
∴P(3,4)，
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形(图中的▱ABQ′P′)，
由yQ−yB=yP′−yA得，
0−1=yP′−3，
∴yP′=2，
当y=2时，x=122=6，
∴P′(6,2)，
综上所述：P(3,4)或(6,2)．
【解析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
(1)将点A的坐标代入y=12x+1求得a，再把点A坐标代入y=kx求出k；
(2)先求出A，B，C三点坐标，作CD⊥x轴于D，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE的长，进而求得三角形ABC的面积；
(3)当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y=12x求得点P的横坐标．A1
A2
B1
B2
A1
(A2,A1)
(B1,A1)
(B2,A1)
..
(A1,A2)
(B1,A2)
(B2,A2)
B1
(A1,B1)
(A2,B1)
(B2,B1)
B2
(A1,B2)
(B1,B2)